Surfaces isotropes de $\mathbb{O}$ et systèmes intégrables.

HAL Id: hal-00013717

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Preprint submitted on 5 Dec 2005

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Surfaces isotropes de O et systèmes intégrables.

Idrisse Khemar

To cite this version:

ccsd-00013717, version 3 - 5 Dec 2005

Surfa es isotropes de

O

et systèmes intégrables.

Idrisse Khemar

Introdu tion

Dans etarti le,nousétudions ertainessurfa esisotropesde

O = R

8

.L'idée

des'intéresseràdetellessurfa esvientdelavolontéde her herdesanalogues

aux surfa es lagrangiennes hamiltoniennes stationnaires de

R

4

, dans

R

8

. Ces surfa es de

R

4

forment un système omplètement intégrable présentant une

stru tureinédite( f.[9℄)etil estnatureld'en her herdesgénéralisationsdans

R

8

.( f.[13℄.)

Considéronsunesurfa e

Σ

lagrangiennede

R

4

.Onpeutlo alementtrouverune

paramétrisation onforme de

Σ

par des oordonnées

(u, v) ∈ Ω

,

Ω

étant un

ouvertde

R

2

,i.e.uneimmersion

X : Ω → R

4

telleque

dX = e

f

_(e

1

du + e

2

dv)

ave

(e

1

, e

2

)

basehermitiennede

C

2

pourtout

(u, v) ∈ Ω

,

f ∈ C

∞

₍

_R

2

₎

. L'iden-ti ationentre

R

4

et

C

2

estdonnéepar

(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) 7→ (x

1

+ ix

2

, x

3

+ ix

4

)

.A

lasurfa e

Σ

estasso ié l'anglelagrangien

β

dénipar

e

iβ

_{= det(e}

1

, e

2

)

(quine

dépend pasdelaparamétrisation hoisie arilne dépend queduplan tangent

T

X(u,v)

Σ =

Re

1

+

Re

2

).

Maintenant onsidéronslafon tionnelled'aire

A(Σ) =

R

Σ

dv

surl'ensembledes

surfa es orientées lagrangiennesde

R

4

. Un point ritique pour ette

fon tion-nelleest unesurfa elagrangienne

Σ

telle que

δA(Σ)(X) = 0

pourtout hamp

deve teur

X

àsupport ompa tsur

R

4

ave la onditionsupplémentaireque

X

doitêtrelagrangieni.e.sonotpreservelessurfa eslagrangiennes;sionsuppose

que elan'estvraiquesi

X

esthamiltonien,i.e.

X = −i∇h

ave

h ∈ C

∞

_(R

4

_,

_R)

alors

Σ

est dite hamiltoniennestationnaire. Onmontre alors, f.[9℄, que

Σ

est

hamiltoniennestationnairesi,etseulementsi,

△β = 0

où

△

estlelapla iensur

Σ

déniàl'aidedelamétriqueinduite.

Dans [9℄, il est montré que les surfa es lagrangienneshamiltoniennes

station-nairesde

R

4

sontsolutionsd'unsystème omplètementintégrable.Dansle

lan-gagedessystèmes omplètementintégrableson onstruitunefamillede

onnex-ionsde ourburenulle

α

λ

,

λ ∈ S

1

quis'é rit:

α

λ

= λ

−2

α

′

2

+ λ

−1

α

−1

′

+ α

0

+ λα

′′

1

+ λ

2

α

′′

2

(1)

f.[9℄.

Nous nous proposons i i de trouver des surfa es de

R

8

ha unesd'elle,

Σ

, orrespondeunefon tion

ρ

Σ

: Σ → S

3

(analoguede

e

iβ

_{: Σ →}

S

1

) et que lessurfa es pourlesquelles

ρ

Σ

est harmoniqueforment unsystème

omplètementintégrable.Pour e fairenousallons pro éderpar analogie ave

lessurfa eslagrangienneshamiltoniennesstationnairesde

R

4

.Commençonspar

formulerleproblèmedans

R

4

àl'aidedesquaternions.Ensuitenouspro èderons

paranalogie enutilisantles o tonions(se tion 2). Lerappeldes dénitions et

onnaissan esné essairessurleso tonionsest faitdanslase tion1.

Pour

x, y ∈ H

,ona

x · ¯y = hx, yi

R

4

− ω(x, y)i − det

_C

2

(x, y)j = hx, yi

_C

2

− det

_C

2

(x, y)j

où

ω = dx

1

∧ dx

2

+ dx

3

∧ dx

4

. Ainsipour

(e

1

, e

2

)

base orthonorméed'unplan

lagrangiende

R

4

ona

e

1

· ¯e

2

= −e

iβ

j

où

β

estl'anglelagrangienduplanVe t

(e

1

, e

2

)

.Onvoitquel'onpeutexprimer

la ontraintelagrangienneainsi quel'angle lagrangienàl'aideduproduitdans

H

.Plus pré isemment,nousavonsappliqué lapro éduresuivante :onformele

produit

x · ¯y

,ave

x, y

denorme1,puisonsupposequelesdeuxpremierstermes

de

x · ¯y ∈ H

dansladé omposition

H = R ⊕ Ri ⊕ Rj ⊕ Rk

,sontnulsetalorson a

x · ¯y ∈ S

1

_j

equi nouspermet dere upérer

e

iβ

_{∈ S}

1

.

Nouspro èderonsdemême dans

R

8

enutilisantleproduit deso tonions

(se -tion2). Pour

q, q

′

_{∈ O = H}

2

ona

q · q

′

_{= hq, q}

′

_{i +}

7

X

i=1

ω

i

(q, q

′

)e

i

où

(e

i

)

0

≤i≤7

estlabase anoniquede

R

8

,

ω

i

= h·, L

e

i

·i

,et

L

e

i

designela

multi-pli ationàgau hepar

e

i

.Nousintroduisonsladé omposition

q.q

′

_{= (B(q, q}

′

_{), −ρ(q, q}

′

_{)) ∈ H}

2

_.

Alorsnousregardonslessurfa esisotropespour

ω

1

, ω

2

, ω

3

,quenousappelons

surfa es

Σ

V

.Nousnousinteressonsdon àl'ensemble

Q

desplansde

O

isotropes

pour es 3 formes symple tiques. L'ensemble

V

des bases orthonormées de

es plans est l'ensemble des ouples normées

(q, q

′

_{) ∈ S}

7

× S

7

qui vérient

B(q, q

′

_{) = 0}

(Vest l'analoguedel'ensembledesbases hermitiennesde

C

2

).On aalors

Q = V /SO(2)

,et

ρ(q, q

′

_{) ∈ S}

3

pourtout

(q, q

′

_{) ∈ V}

(lanormeest

multi-pli ativedans

O

:

|qq

′

_{| = |q||q}

′

_{| = 1)}

.Onaainsidéniunefon tion

ρ : V → S

3

analogueà

e

iβ

et ettefon tionpasseauquotientenuneappli ation

ρ : Q → S

3

.

D'autrepartdansle as de

R

4

onalegroupe

U (2)

qui agitlibrementet

tran-sitivement sur l'ensemble des bases hermitiennes et on peut é rire l'a tion de

U (2)

àl'aidedesquaternions:onalemorphismesurje tifdegroupedenoyau

±1

:

S

3

_{× S}

3

_{→ SO(4)}

(p, q)

7→ L

p

R

q

¯

= R

q

¯

L

p

= (x 7→ px¯q)

etonpeuté rire

Ainsi

U (2)

est le sous-groupe de

SO(4)

qui ommute ave

L

i

d'où

U (2) =

{L

p

R

¯

q

, p ∈ S

1

, q ∈ S

3

}

. Quant à

SU (2

) 'est le sous-groupe de

SO(4)

qui

ommuteave

L

i

, L

j

, L

k

d'où

SU (2) = {R

q

, q ∈ S

3

_}

.D'unemanièregénérale,

pour

g = L

p

R

q

¯

∈ SO(4)

ona

(gx)(gy) = p(x¯

y)¯

p

.

Paranalogie nousallons her herlegroupequi onserve

B

, i.e.lesous-groupe

de

SO(8)

qui onserve

ω

1

, ω

2

, ω

3

. Noustrouveronsle groupe

SU (2) × SU(2)

.

Lerésultatesttrèsdiérentde equi epassedans

H

mais 'estlebongroupe

de symétrie. En eet omme

ρ

Σ

est à valeurs dans

S

3

et que nous voulons

luiimposer d'être harmonique, nous allonsutiliser la théorie des appli ations

harmoniques dupoint de vue des systèmes intégrables ( f. [3℄) et don é rire

S

3

omme unespa e symétrique:

S

3

_{= S}

3

_{× S}

3

_/△

où

△

est ladiagonalede

S

3

_{× S}

3

,

△ = {(a, a) , a ∈ S

3

_}

(et est l'analoguede

SU (2)

). Cependantnous

nourrissonsl'espoird'avoirungroupequiagittransitivementsur

V

( equin'est

pasle asde

S

3

_{× S}

3

)ainsiqu'ilenestpour

U (2)

etlesbaseshermitiennesde

C

2

. Nous allons don her her à grossir le groupe en prenant le sous-groupe

de

SO(8)

qui onservela nullité de

B

: nous trouvons alors un groupe

G

de

dimension9(

V

estde dimension10)qui n'agitdon pastransitivement.Alors

nous regardonsl'a tion de

G

sur

Q

, qui lui est de dimension 9.

Malheureuse-ment nous trouvonsque l'a tion n'est toujours pastransitive. Nous al ulons

alorslesorbites:noustrouvonsquetouteslesorbitessontdedimension8sauf

deuxorbitesdégénéréesl'unededimension7,l'autrededimension6.Enoutre

nous onstruisons unefon tion

p : Q → [0 , 1/2]

dont lesbressontlesorbites

de

G

,lesorbitesdégénéréesétant

p

−1

_({0})

et

p

−1

_({

1

2

})

respe tivement.Ensuite

nousarrivonsàtrouverunmoyensimpledepasserd'uneorbiteàuneautre( f.

théorème6). Enn nousterminons la se tion2 en étudiant algébriquementle

groupe

G

etsonalgèbredeLie.

Danslase tion3nousétudionslessurfa es

Σ

V

.Nousmontronsque elle dont

le

ρ

Σ

estharmonique formentunsystème omplètementintégrable: nous

on-truisonsunefamillede onnexionde ourburenulle

α

λ

ommedans (1).

Ensuite nous montrons que les surfa es

Σ

V

sont solutionsde deux équations

l'unelinéaire,l'autrenonlinéaire.(Enfait 'estlamêmeéquationoùonreprésente

lasurfa edemanièrediérente).

Danslase tion4,nousexposonslaméthodedesgroupesdela ets,enseréférant

à[3℄et[9℄pourlesdétails.Puisnousobtenonsunereprésentationdetype

Weier-strasspourlessurfa es

Σ

V

.

Danslase tion5,nous al ulonsleve teur ourburemoyenned'unesurfa e

Σ

V

(dansl'espoird'obtenirune interprétationvariationnelle).

Dans la se tion 6, nous montrons que e que nous avons fait pour les

sur-fa es

Σ

V

est en fait un as parti ulier de quelque hose de plus général. En

eet,en onsidérantleproduitve torielde

O

,nousdénissonsuneappli ation

ρ : Gr

2

(

O) → S

6

.Alorsnousmontronsquelessurfa esimmergées

Σ

de

O

telles que

ρ

Σ

: z ∈ Σ 7→ ρ(T

z

Σ) ∈ S

6

est harmonique (surfa es

ρ − harmoniques

)

formentun système omplètementintégrable.Le groupede symétrie est alors

Spin(7)

.Plus généralement,soit

I

& {1, ..., 7}

alorslessurfa es

ω

I

− isotropes

,

i.e. isotropes pour

ω

i

,

i ∈ I

, dont le

ρ

Σ

(qui est alors à valeurs dans

S

I

₌

in-tégrable.Legroupedesymétrieestalors

G

I

≃ Spin(7 − |I|)

.Pour

I = {1, 2, 3}

,

onretrouvelessurfa es

Σ

V

.Nous onstruisonsdon unefamille

(S

I

)

paramétrée

par

I

,d'ensemblesdesurfa essolutionsd'unsystèmeintégrable,tousin lusdans

S

∅

,telleque

I ⊂ J

implique

S

J

⊂ S

I

.Parrestri tionà

H

onobtientlessurfa es

ρ − harmoniques

,

ω

I

− isotropes

de

H

.Alors

ρ(Gr

2

(H)) = S

2

et

|I| = 0, 1

ou

2

. Pour

|I| = 1

on retrouvelessurfa es lagrangienneshamiltoniennes

station-nairesde

R

4

etpour

|I| = 2

,lessurfa esspé ialeslagrangiennes.Parrestri tion

àIm

(

H)

, onretrouvelessurfa es CMC de

R

3

. Nous terminonsl'arti le parle

al ulduve teur ourburemoyenned'unesurfa equel onquede

O

enfon tion

de

ρ

(nous pensons qu'il existe une interprétation variationnelle des surfa es

ρ −

harmoniques).

1 L'algèbre des o tonions

1.1 Dénitions

Onrappellei ilesdénitionset propriétéssurleso tonionsquinousseront

utiles pourla suite. Pour avoirplus de détails et pour les démonstrations on

pourra onsulter[4℄,[5℄.Onappellealgèbredeso tonionsl'espa eve toriel:

O =



x

−¯y

y

x

¯



, x, y ∈ H



⊂ M

2

(

H)

munidelamultipli ation(i.e.appli ationbilinéairesur

O

):



x

−¯y

y

x

¯



·



x

′

−¯y

′

y

′

x

¯

′



=



xx

′

− y

′

y

¯

−¯y¯x

′

− ¯y

′

x

x

′

y + ¯

xy

′

x

¯

′

x − y¯y

¯

′



Onvoitquel'onpeutidentier

O

à

H

2

₌

_R

8

munidelamultipli ation

(x, y) · (x

′

, y

′

) = (xx

′

− y

′

y, x

¯

′

y + ¯

xy

′

)

Ondénit une onjugaison

q 7→ ¯q

àl'aide dela onjugaisonsur lesmatri es :

(x, y) = (¯

x, −y)

.Onremarquelaprésen ed'unélémentneutrepourla

multipli- ation:

1 = (1, 0)

et

O

estainsiune

R

-algèbreunitaire.En parti ulier,

R.1

est

unesous-algèbredontlesélémentsserontditsréelset ara tériséspar

q = q

¯

.

On dénit sur

O

la norme

N (q) = q.¯

q = ¯

q.q = x¯

x + y ¯

y ∈ R

qui n'est autre

quelanormeeu lidiennestandardde

H

2

₌

_R

8

.Cettenormeestmultipli ative :

N (qq

′

) = N (q)N (q

′

)

. En parti ulier

S

7

est stableparmultipli ation.Les

o to-nions orthogonaux à

1

,

R

⊥

, pourla norme

N

seront dits : o tonions pures,

et ara térisés par

q = −q

¯

, ou en ore

q

2

_{∈ R}

−

. Si onse restreintàla sphère

S

7

_{= {q ∈ O , ¯q.q = 1}}

alors le sous-ensemble des o tonions purs de

S

7

est ara térisépar

q

2

_{= −1}

. Labase anonique de

R

8

orrespondené riturematri ielleàlabasedes

o to-nions:

E

↑

=



1

0

0

1



, I

↑

=



i

0

0

−i



, J

↑

=



j

0

0

−j



, K

↑

=



k

0

0

−k



E

↓

=



0

−1

1

0



, I

↓

= E

↓

I

↑

=



0

i

i

0



, J

↓

= E

↓

J

↑

=



0

j

j

0



,

K

↓

= E

↓

K

↑

=



0

k

k

0



.

Dans la suite il nous arrivera aussi de noter ette base

(e

i

)

0

≤i≤7

(l'ordre des

ve teursétanttoujourslemême).

O

n'est pas asso iative:

I

↓

_(J

↓

_K

↓

_{) = I}

↓

_(−I

↑

_{) = E}

↓

tandis que

(I

↓

_J

↓

_)K

↓

₌

(−K

↑

)K

↓

= −E

↓

. 1.2 Propriétés de la multipli ation Proposition 1

(i)

hxz, yzi = N(z)hx, yi, hzx, zyi = N(z)hx, yi

(ii)

hxz, ywi + hyz, xwi = 2hx, yihz, wi

(iii) si

x /

∈ R1

,

R1 ⊕ Rx

estune algèbre isomorphe (isométrique)à

C

.

Proposition 2

(i)

xy = ¯

y ¯

x

,

x = x

¯

¯

,

hx, yi = Re(x¯y) = Re(¯xy)

(ii)

x(¯

xy) = N (x)y

,

(x¯

y)y = N (y)x

(iii)

x(¯

yz) + y(¯

xz) = 2hx, yiz

,

(z ¯

y)x + (z ¯

x)y = 2hx, yiz

(iv) si

hx, yi = 0

,alors

x¯

y = −y¯x

et

x(¯

yz) = −y(¯xz)

,

(z ¯

y)x = −(z¯x)y

.

Dénition1 Ondirad'unélément

x 6= 0

d'unealgèbre

A

non asso iativequ'il

est inversible s'il existe

x

′

_{∈ A}

tel que

∀y ∈ A

,

x

′

_{(xy) = x(x}

′

_{y) = (yx)x}

′

₌

(yx

′

_{)x = y}

.Ce i revientàdireque

L

x

: y 7→ xy

et

R

x

: y 7→ yx

sont inversibles

d'inversesrespe tives

L

x

′

et

R

x

′

.

Proposition 3 Tout

x ∈ O r {0}

est inversible d'inverse

N (x)

−1

_¯

_x

. Enoutre ona

t

_L

x

= L

x

¯

,

t

_R

x

= R

x

¯

.

Proposition 4 Onalespropriétésd'asso iativité suivantes:

(i)

(ax)(ya)

=

a((xy)a)

a(x(ay))

=

(a(xa))y

x(a(ya))

=

((xa)y)a

(ii)

(xy)x

=

x(yx)

x(xy)

=

x

2

y

(xy)y

=

xy

2

(iii)

R

x

L

x

= L

x

R

x

,

L

2

x

= L

x

2

,

R

2

x

= R

x

2

,

L

axa

= L

a

L

x

L

a

,

R

aya

= R

a

R

y

R

a

.

Proposition 5 L'appli ation trilinéaire

{x, y, z} = (xy)z − x(yz)

est alternée

don antisymétrique.

Proposition 6

(i)

x, y ∈ O

ommutent si, et seulement si,

(1, x, y)

est liée et alors la

sous-algèbre(unitaire)engendréepar

x

et

y

estisomorpheà

C

(onsupposeque

{x, y} * R1

).

(ii) s'ilsne ommutentpasalorsla sous-algèbrequ'ilengendrentestisomorphe

(isométrique) au orps

H

desquaternions.

(iii) si

D

est une sous-algèbre (unitaire)de

O

de dimension 4 (i.e.

≃ H

)et si

a ∈ D

⊥

_{r {0}}

alors

O = D ⊕ a.D

etona

(x + ay)(x

′

+ ay

′

) = (xx

′

− λy

′

y) + a(x

¯

′

y + ¯

xy

′

)

ave

λ = −N(a)

. (iv) soit

a, b ∈ (R1)

⊥

unitairesetorthogonaux(alors omme

ab = −ba

)la

sous-algèbre

D

engendréepar

a, b

estde dimension 4,et soit

c ∈ D

⊥

unitaire

alors

{1, a, b, ab, c, ca, cb, c(ab)}

est une base orthonormée de

O

qui a la

même tablede multipli ationquela base anonique.

Proposition 7 Si

x, y

ne ommutentpasi.e.

(1, x, y)

estlibrealors

z 7→ {x, y, z}

n'est pas identiquement nulle autrement dit

L

xy

6= L

x

L

y

ou en ore par

anti-symétrie

R

yx

6= R

x

R

y

,ouen ore

L

x

R

y

6= R

y

L

x

.

Théorème 1 Si

L

x

L

y

= L

z

alors obligatoirement

z = xy

etdon

x, y

ommu-tent,etdemême

R

x

R

y

= R

z

=⇒ z = yx

.Ainsi

{L

x

, x ∈ O

∗

_}

et

{R

x

, x ∈ O

∗

_}

nesont pasdessous-groupesde

GL(O) = GL(R

8

₎

.

Proposition 8

L

x

L

y

= L

y

L

x

⇐⇒ xy = yx

(idem pour

R

).

2 Plans isotropes et Groupes opérants

2.1 Analogie à l'aide des o tonions

Commenousl'avonsexpliquédansl'introdu tion,onvaétudierl'expression

q.q

′

dans

O

paranalogieave

H

. Soitdon

q = (x, y), q

′

_{= (x}

′

_{, y}

′

_{) ∈ O}

,alors ona

q.q

′

₌

x

y



.

 x

′

−y

′



=

xx

′

+ y

′

.y

x

′

_{y − xy}

′



.

Onpeutaussié rireennotant

(e

i

)

0

≤i≤7

labase anoniquede

R

8

₌

_O

dénieà lase tion1:

q · q

′

_{= hq, q}

′

_{i +}

7

X

i=1

hq, e

i

· q

′

ie

i

.

Posons

ω

i

(q, q

′

_{) = hq, e}

_i

_{· q}

′

_i

,

0 ≤ i ≤ 7

,alors

ω

i

estlaformesymple tiquesur

R

8

asso iéeàl'endomorphisme

L

e

i

(

(L

e

i

)

2

_{= −Id}

).Onaalors

q · q

′

_{= hq, q}

′

_{i +}

7

X

i=1

ω

i

(q, q

′

) e

i

.

Onnotera

B(q, q

′

) = x x

′

_{+ y}

′

_{y = hq, q}

′

_{i +}

3

X

i=1

ω

i

(q, q

′

) e

i

et

ρ(q, q

′

) = xy

′

− x

′

_{y = −}

7

X

i=4

ω

i

(q, q

′

) e

i

−4

.

Soitalors

V = {(q, q

′

_{) ∈ S}

7

_×S

7

_{/ B(q, q}

′

_{) = 0}}

.Onaalorspourtout

(q, q

′

_{) ∈ V}

q · q

′

₌

 0

−ρ



ave

ρ ∈ S

3

.Ce is'é rit en ore

q

′

=

0

ρ



· q.

Onaainsidéni unefon tion

ρ : (q, q

′

_{) ∈ V 7→ ρ(q, q}

′

_{) ∈ S}

3

. Onpeut al uler

les oordonnéesde

q

′

enfon tionde ellesde

q

d'aprèsl'expressionpré édente:

q

′

₌



−y ¯

ρ

xρ



.

En parti ulier on voit que

V

est une sousvariété de

S

7

_{× S}

7

diéomorphe à

S

7

_×S

3

,lediéomorphismeétantévidemment

(q, q

′

_{) 7→ (q, ρ)}

.Ennonremarque

que

ρ

nedépendqueduplanorientéengendrépar

(q, q

′

₎

.

2.2 A la re her he de groupes agissant sur

V

Cher hons le sous-groupe de

GL(8)

qui onserve

B

, i.e. le groupe des

élé-ments

g ∈ SO(8)

qui ommutentave

L

I

↑

, L

J

↑

, L

K

↑

,i.e.ave les

L

(x,0)

,

x ∈ H

.

On a

L

(x,0)

=



L

x

0

0

L

¯

x



ainsi en posant

g =



A

B

C

D



ona pour tout

x ∈ H

:



L

x

0

0

L

¯

x

 

A

B

C

D



−



A

B

C

D

 

L

x

0

0

L

x

¯



=



L

x

A − AL

x

L

x

B − BL

¯

x

L

x

¯

C − CL

x

L

x

¯

D − DL

x

¯



.

Enégalantladernièrematri eà0onobtient:

∀x ∈ H [L

x

, A] = [L

x

, D] = 0

,

BL

x

= L

¯

x

B, CL

x

= L

¯

x

.Leséquationssur

A, D

signientque

A = R

a

,

D = R

d

ave

a, d ∈ H

.Pour

B, C

ona

B(x.1) = ¯

xB(1)

d'où

B(ax) = axB(1)

maisona

aussi

B(ax) = B(L

a

x) = ¯

aB(x) = ¯

a¯

xB(1)

or omme

ax 6= ¯a¯x

en généralona

don

B(1) = 0

etdon

B = 0

et demêmepour

C

.D'où

Théorème 2

g ∈ SO(8)

onserve

B

si,etseulement si,

g =



R

a

0

0

R

d



ave

a, d ∈ S

3

,ainsilegroupe onservant

B

est

SU (2) × SU(2)

.

Remarque1 Legroupeobtenu n'agitpastransitivement.D'autrepart,

on-trairementà equisepassedans

H

,i i, ommeonl'avudanslase tion1,

R

q

et

L

p

ne ommutentpas,

{R

q

L

p

, q, p ∈ S

7

_}

n'estpasungroupeetonn'apas:

(qb)(q

′

_{b) = qq}

′

.

Onpeutse demanderpourquoilerésultat est très diérentde e qui sepasse

ave lesquaternionsoùle groupequi onserve

h·, ·i

C

, i.e.

U (2)

,agit

transitive-ment sur les bases hermitiennes. Cela s'explique parl'absen e d'asso iativité.

Dans

H

,si

g ∈ SO(4)

ommuteave

L

i

et

L

j

,il ommutealorsave

L

k

= L

i

L

j

tandisquedans

O

lefaitde ommuterave

L

K

↑

estune ondition

supplémen-taire. D'ailleurs, on peut voir quele sous-groupede

SO(8)

qui ommute ave

L

I

↑

, L

_J

↑

est de dimension 10 ( ar isomorphe à

Sp(2) = U (2,

H)

) et don la

onditionde ommutativitéave

L

K

↑

, faitpasser la dimensionde 10 à6. Le

groupe,

S

3

_{× S}

3

, ainsi obtenu est le bon groupe de symétrie re her hé pour

obtenirunsystème omplètement intégrable, ar pour é rire

S

3

souslaforme

d'unespa esymétrique,onpeuté rire

S

3

_{= S}

3

_{× S}

3

_/△

où

△

estladiagonale.

Demême dans [9℄, il surait dese restreindreau groupe

S

1

, orlesauteurs y

utilisentlegroupe

U (2)

tout entier quiagittransitivementsurlesbases

hermi-tiennes,ené rivantque

S

1

_{= U (2)/SU (2)}

.Onvoudraiti idelamêmemanière

trouverungroupe( ontenant

S

3

_{× S}

3

)quiagissetransitivement(oudumoins

"leplus transitivementpossible")sur

V

. Cardans le as où

G

agit

transitive-mentsur

V

onpeuttoujoursreleverun ouple

(q, q

′

_{) ∈ V}

enunélémentde

G

,

et lefaitdetravaillersur

G

permet dereprésenter unesurfa eparunélément

de

R

∗

+

.G

(dans [10℄ onobtientainsi une équation de Dira ).D'autre part,on

veut omprendrelagéométriede

V

,i.e., lagéométriedesplans isotropespour

lestrois formessymple tiques

ω

i

,

i = 1, 2, 3

delamêmefaçonquelagéométrie

desplanslagrangiensde

C

2

est étudiée(ourappelée)dans[9℄.

Leplusgrosgroupequi onserve

V

estlesousgroupede

SO(8)

qui onserve

lanullitéde

B

.Ilestdonnépar:

Théorème 3 Soit

G = {g ∈ SO(8)/B(q, q

′

_{) = 0 ⇐⇒ B(g.q, g.q}

′

_{) = 0}}

, 'est le

plusgrandsous-groupede

GL(8)

quistabilise

V

.Ilexisteunmorphismesurje tif

telque

θ

−1

_{(SO(3)) = G}

0

,la omposanteneutrede

G

,et

θ

−1

_(O

−

_{(3)) = L}

E

↓

G

0

, don

G = G

0

⊔ L

E

↓

G

0

,

ettelquetout

g ∈ G

0

s'é rit

g =



R

a

θ(g)

0

0

R

b

θ(g)



.PlusPré isement

G

0

=



R

a

L

c

0

0

R

b

L

c



, a, b, c ∈ S

3



Deplusona

∀q, q

′

_{∈ O}

,

B(g.q, g.q

′

_{) = θ(g)(B(q, q}

′

₎₎

pourtout

g ∈ G

.Enoutre pourtout

g ∈ G

0

,ona

θ(L

E

↓

g) = θ(g)∗ = ∗ θ(g)

où

∗

désigne la onjuguaison

de

H

qui est aussi l'élément

−I

3

de

O(

Im

H) = O(3)

. Enn dans

G

0

, on a

θ(Diag(R

a

L

c

, R

b

L

c

)) = Int

c

= (x ∈

Im

H 7→ cxc

−1

₎

.

Démonstration Direque

g ∈ GL(8)

vérie

B(q, q

′

_{) = 0 =⇒ B(g.q, g.q}

′

_{) = 0}

revientàdireque

(hq, L

e

i

q

′

i = 0, 0 ≤ i ≤ 3) =⇒ (hg.q, L

e

i

g.q

′

i = 0, 0 ≤ i ≤ 3)

equiéquivautà

t

_gL

e

i

g =

3

X

j=0

θ

ij

L

e

i

,

0 ≤ i ≤ 3.

(2)

ave

θ

ij

∈ R

. Alorsen posant

θ(g) = (θ

ij

)

0

≤i,j≤3

,ona

θ(gg

′

_{) = θ(g)θ(g}

′

₎

pour tout

g, g

′

_{∈ G}

′

_{= {g ∈ GL(8)/ B(q, q}

′

_{) = 0 ⇐⇒ B(g.q, g.q}

′

_{) = 0}}

.Eneetona

t

_(gg

′

_)L

e

i

(gg

′

) =

t

_g

′

₍

3

X

j=0

θ

ij

(g)L

e

j

)g

′

=

3

X

j=0

3

X

k=0

θ

ij

(g)θ

jk

(g

′

)L

e

k

=

3

X

k=0

(θ(g)θ(g

′

))

ik

L

e

k

d'oùlerésultat.Ainsi

θ : G

′

_{7→ GL(4)}

estunmorphismedegroupe.Prenons

i =

0

dans(2), omparonsl'équationobtenueave sa transposée,alorsenutilisant

que

t

_L

e

j

= −L

e

j

pour

j ≥ 1

,onvoitquel'on doitavoir

t

_{gg = θ}

00

Id

et

θ

0j

= 0

pour

1 ≤ j ≤ 3

. En pro édantde même pour

i ≥ 1

on obtient

θ

i 0

= 0

pour

1 ≤ i ≤ 3

; il enrésulte que

θ = Diag(θ

00

, µ)

ave

µ ∈ Gl(3)

. Deplus omme

t

_{gg = θ}

00

Id

, on doit avoir

θ

00

> 0

et don

G

′

₌

_R

∗

+

.G

ave , rappelons le,

G = G

′

T SO(8)

.Maintenantené rivant(2)pour

i ≥ 1

et

g ∈ G

,etenutilisant

lefaitqueles

L

e

i

, i ≥ 1

, anti ommutentdeuxàdeux, onobtient:

−2δ

ik

Id =

g

−1

(L

e

i

L

e

k

+ L

e

k

L

e

i

)g

=

(g

−1

_L

e

i

g)(g

−1

L

e

k

g) + (g

−1

L

e

k

g)(g

−1

L

e

i

g)

=

X

1≤j,l≤3

µ

ij

µ

kl

(L

e

j

L

e

l

+ L

e

l

L

e

j

)

=

3

X

j=1

µ

ij

µ

kj

(−2Id)

d'où

µ(g) ∈ O(3)

si

g ∈ G

.

Cher hons,ensuiteàquelles onditions

g =

A B

C

D



∈ G

.Pour ela,onutilise

toujours(2), et lefaitque

L

e

i

=



L

e

′

i

0

0

−L

e

′

i



ave

(e

′

1

, e

′

2

, e

′

3

) = (i, j, k)

la

base anoniquedeIm

H

, eladonne:

 L

e

′

i

A

L

e

′

i

B

−L

e

′

i

C

−L

e

′

i

D



=

AL

µ

i

−BL

µ

i

CL

µ

i

−DL

_µ

i



où

µ

i

₌

P

3

j=0

µ

ij

e

′

j

∈ Ri ⊕ Rj ⊕ Rk =

Im

H

.Ainsipour

A

parexemple,ona

L

e

′

i

A = AL

µ

i

,d'où

e

′

i

.A(1) = A(µ

i

)

equiimliqueque

A.









1

0

0 0

0

0

0

t

_µ









= (a, e

′

1

.a, e

′

2

.a, e

′

3

.a) = R

a

ave

a = A(1)

. Finalement on a don

A = R

a

.Diag(1, µ) = R

a

.θ

et de même

D = R

d

.Diag(1, µ), B = R

b

.Diag(1, −µ), C = R

c

.Diag(1, −µ) =

R

c

.Diag(1, µ)∗

,où

∗ = Diag(1, −I

3

)

est la onjuguaisondans

H

.

Ensuite on é rit qu'on doit avoir

L

e

′

i

.A(e

′

j

) = A(µ

i

.e

′

j

)

pour

1 ≤ i, j ≤ 3

en

utilisant l'expression de

A

que l'on vient d'obtenir. On trouve, après al ul,

que:

(L

e

′

i

= AL

µ

i

, 1 ≤ i ≤ 3 ) ⇐⇒ (µ = com(µ)

ou

a = 0 )

(

com

désignela omatri e), omme

µ ∈ O(3)

elaveutdire

det µ = 1

ou

a = 0

.

Ontrouvelamême hosepour

D

. Pour

B

onaaussi:

(L

e

′

i

= −BL

µ

i

, 1 ≤ i ≤ 3 ) ⇐⇒ (det(µ) = −1

ou

b = 0 )

et de même pour

C

. On a hèvela démonstration en remarquant que

L

E

↓

=

 0

_−Id

Id

0



,etquelegroupedesautomorphismesde

H

estégalaugroupedes

automorphismesintérieursde

H

quin'estautreque

SO(

Im

H)

.



Cethéorèmepermet devoir omment

ρ : (q, q

′

_{) 7→ ρ(q, q}

′

_{) = ¯}

_xy

′

_{− ¯}

_x

′

_y

se

trans-formesousl'a tionde

G

:

ρ(g.q, g.q

′

) = ¯

aρ(q, q

′

)b

pour

g = Diag(R

a

L

c

, R

b

L

c

) .

Ainsil'a tion de

G

0

sur

V ∼

=

{(q, ρ) ∈ S

7

_{× S}

3

_}

s'é rit

g · (q, ρ) = (g.q, ¯aρ b)

.

Enoutre,onvoitquel'a tionde

G

sur

ρ

dénitunea tiontransitivede

G

0

sur

S

3

. Si l'onoublie les

L

c

qui n'ontau uneet sur

ρ

,et quel'on serestreintau

groupe

S

3

_{× S}

3

, ettea tionn'estautrequelerevêtementuniverselde

SO(4)

.

Maintenantpour

g

′

_{= Diag(R}

a

L

c

, R

b

L

c

).L

E

↓

ona

On adon trouvé ungroupe

G

de dimension 9 agissant sur

V

qui est de

di-mension10.Cettea tionnepeutdon pasêtretransitive.Onestdon amenéà

étudierl'a tionde

G

surlesplansengendrésparlesélémentsde

V

,enespérant

qu'ellesoittransitive.

2.3 A tion de

G

sur les plans de

V /SO(2)

Considérons l'ensemble desplans orientés de

R

8

engendrés parles

(q, q

′

_{) ∈}

V

:

Q = {

Plansorientésannulant

ω

1

, ω

2

, ω

3

}.

Q

est une sous-variété ompa t de

Gr

2

(

R

8

_{) = {}

plansorientésde

R

8

_}

,

diéo-morpheà

V /SO(2)

,l'a tionde

SO(2)

sur

V

étantdonnéepar

(q, q

′

_{) 7→ (q, q}

′

_{) ·}

R

θ

= (cos θ q + sin θ q

′

, − sin θ q + cos θ q

′

)

. En eet, omme

V

est fermé dans

Y = {(q, q

′

₎

orthonorméesde

R

8

_}

, le graphe

R

V

de l'a tion de

SO(2)

sur

V

,

R

V

= R

Y

∩ (V × V )

,est fermé,puisque

R

Y

,legraphede

Y

modulo

SO(2)

est

fermé(

Y /SO(2) = Gr

2

(R

8

₎

aunestru turedevariétéquotient)don

V /SO(2)

admetune stru ture de variétéquotientet munie de ette stru ture 'est une

sous-variétéde

Gr

2

(R

8

₎

dedimension9.

Lorsqu'onidentie

V

à

S

7

_{× S}

3

l'a tionde

SO(2)

s'é rit

R

θ

· (q, ρ) = (cos θ q + sin θ

0

ρ



· q, ρ ) .

G

agit sur

Q

: si on note

[q, q

′

_]

le plan engendré par

(q, q

′

₎

on a

g.[q, q

′

_{] =}

[g.q, g.q

′

]

. Cette a tion n'estpas transitive. En eet, onsidérons

P

0

= [1, E

↓

_]

alors

G

0

_.P

0

= {[

ca

₀

,

_cb

0

], a, b, c ∈ S

3

} = {[

x

₀

,

0

_y

], |x| = |y| = 1}

est de

di-mension au plus 6 < 9. De plus

L

E

↓

[1, E

↓

_{] = [E}

↓

_{, −1] = [1, E}

↓

_]

. Finalement

G.P

0

= G

0

.P

0

estdedimension6.

2.3.1 Cal uldu stabilisateur d'un point

Soit

P

0

= [q

0

, q

′

0

] ∈ Q

et

Stab(P

0

)

le stabilisateur de

P

0

, alors omme

G

est ompa t , on sait que

O(P

0

) = G.P

0

est une sous-variété ompa tede

Q

et

G/Stab(P

0

) ∼

= G.P

0

.Ainsisionavait

dim(Stab(P

0

)) = 0

, alors

O(P

0

)

serait

une sous variété de dimension égale à

dim(G) = dim(Q)

, don un ouvert de

Q

mais aussi unfermé ar elle est ompa t, don omme

Q

est onnexe ( ar

V ≃ S

7

_{× S}

3

est onnexe)onauraitque

O(P

0

) = Q

don

G

agirait

transitive-mentor en'estpasle as.Don

∀P

0

∈ Q, dim(Stab(P

0

)) > 0

et

dim O(P

0

) ≤ 8

.

Lesorbitessontenfaitdonnéespar:

Théorème 4

Q

admetla partitionsuivante :

Q = G.P

1

⊔ G.P

2

⊔ U

• P

1

= [1, E

↓

]

,

P

2

=

"

₁

√

2

i

√

2

!

,

−i

√

2

1

√

2

!#

• U = {P =

 x

_y



,

 x

′

y

′



∈ Q, /(x, x

′

₎

est libre et

|hx, x

′

_{i| + ||x| − |x}

′

_{|| 6= 0}}

estunouvertde

Q

. De plus on a

G.P

1

= {P ∈ Q/(x, x

′

₎

estliée

}

,

G.P

2

= {P ∈ Q/hx, x

′

_{i =}

0, |x| = |x

′

|}

etenn

∀P ∈ U

,

G.P

estunesous-variété ompa tede dimension

8.Ainsi,ilyadeuxorbitesdégénérées

G.P

1

,et

G.P

2

,ettouteslesautresorbites

sontde dimensions 8.

Onpeutajouterque

∀P ∈ Q

,

G

0

_{.P = G.P}

et que

•

si

P ∈ G.P

1

,alors

Stab(P )

|P

= {±Id

P

}

•

si

P ∈ GP

2

,alors

Stab(P )

|P

= SO(P )

•

si

P ∈ U

,alors

Stab(P )

|P

= {±Id

P

}

.

Démonstration  Dans un premier temps, on se restreint à l'a tion de

G

0

. Soitdon

P = [q, q

′

_{] ∈ Q}

et posons

q = (x, y)

,

q

′

_{= (x}

′

_{, y}

′

_{) = (−y ¯}

_{ρ, xρ)}

. Soit

g ∈ Stab(P )

,alorsilexiste

θ ∈ R

telque

g.(q, q

′

) = (q, q

′

) · R

θ

i.e. g

|P

= R

θ

equis'é rit



cx a = cos θ x + sin θ x

′

cx

′

_{a = − sin θ x + cos θ x}

′

et

aρ b = ρ.

¯

(3)

Si

(x, x

′

₎

est libre alors ela implique que Mat

(x,x

′

)

(R

a

L

c|[x,x

′

_]

) = R

_θ

, e qui

né essiteque oubien

hx, x

′

_{i = |x}

′

_{| − |x| = 0}

ou bien

θ = 0

mod

π

. Ce i nous

amèneàdiéren iertrois as:

1.

(x, x

′

₎

estlibreet(

hx, x

′

_{i 6= 0}

ou

|x

′

_{| − |x| 6= 0}

) 2.

(x, x

′

₎

estlibreet

hx, x

′

_{i = |x}

′

_{| − |x| = 0}

3.

(x, x

′

₎

estliée.

Dans haque as, ondéterminelesous-groupede

SO(4)

,

{R

a

L

c

∈ SO(4)

véri-antles2premièreséquationsde(3)

}

, equinousdonnealors

dim Stab(P )

et

Stab(P )

_|P

.Ontrouvealorsque

dim Stab(P ) = 1, 2, 3

dansles as1,2,3

respe -tivement.Ce inousdonne

dim O(P )

dans haque as.Ensuite,dansles as2et

3,respe tivement,ondéterminefa ilementunélément

g = Diag(R

a

L

c

, R

b

L

c

) ∈

G

0

telque

P = g.P

2

et

P = g.P

1

respe tivement.Enn,onvérieque

L

E

↓

P

₁

=

P

1

,

L

E

↓

P

₂

= P

₂

etque

∀P ∈ U, L

E

↓

P ∈ G

0

.P

d'où

G.P = G

0

_.P

,

∀P ∈ Q

.Ce i a hèveladémonstration.



2.3.2 Cara térisation des orbites

On her he une fon tion

p : Q → R

dontlesbres soient lesorbites de

G

0

Théorème 5 Soit

p : [q, q

′

_{] ∈ Q 7→ |}

Im

(x. ¯

x

′

)| ∈ [0,

1

2

]

. Alors les orbites de

G

sontlesbresde

p

:

1.

p

−1

_{(0) = G.P}

1

= {P ∈ Q/(x, x

′

)

est liée

}

2.

p

−1

₍

1

2

) = G.P

2

= {P ∈ Q/hx, x

′

i = |x

′

| − |x| = 0}

3.

p

−1

_(]0,

1

2

[) = U

et

∀P, P

′

_{∈ U}

,

p(P ) = p(P

′

_{) ⇐⇒ G.P = G.P}

′

.

Démonstration  D'abord

p

est bien dénie ar Im

(x. ¯

x

′

)

ne dépend que du

plan

[q, q

′

_]

. Ensuite, elle est bien à valeurs dans

[0,

1

2

]

puisque

|x

′

_|

2

_{+ |x|}

2

₌

1

. Elle est invariante sous l'a tion de

G

0

: pour

g = Diag(R

a

L

c

, R

b

L

c

)

on a

p([g.q, g.q

′

_{]) = |c}

Im

(x. ¯

x

′

)c

−1

_{| = |}

Im

(x. ¯

x

′

)| = p([q, q

′

_])

, et sousl'a tion de

L

E

↓

ona

p(L

E

↓

[q, q

′

]) =

Im

(−y.(−y

′

))| = |

Im

(x. ¯

x

′

)|

.

Montrons ré iproquement que toute bre est in luse dans une orbite. On a

p([q, q

′

_{]) = 0 ⇐⇒ x. ¯}

_x

′

_{= α ∈ R ⇐⇒ |x}

′

_|

2

_{x = αx}

′

_{⇐⇒ (x, x}

′

₎

est liée, d'où

p

−1

_{(0) = G.P}

1

. Pourlasuiteonaurabesoindulemmesuivant:

Lemme1 Pour tout

P ∈ Q

, il existe un représentant

(q, q

′

_{) ∈ Q}

tel que

hx, x

′

i = 0

.

DémonstrationdulemmeOnsupposeque

hx, x

′

_{i 6= 0}

alorsona

hcos θ x + sin θ x

′

, − sin θ x + cos θ x

′

i = cos(2θ)hx, x

′

i

+

|x

′

|

2

_{− |x|}

2

2

sin(2θ)

=

A cos(2θ + φ)

et ettedernièrefon tionde

θ

s'annulepour ertainesvaleursde

θ

, e quiveut

direqu'ilexisteunreprésentantde

P

telque

hx, x

′

_{i = 0}

.

DémonstrationduthéorèmeDorénavant,onsupposeque

hx, x

′

_{i = 0}

etdon Im

(x. ¯

x

′

) = x. ¯

x

′

.

Ainsisi

|x. ¯

x

′

| =

1

2

,alors

|x||x

′

_{| =}

1

2

et omme

|x|

2

_{+ |x}

′

_|

2

_{= 1}

onadon

|x| = |x

′

_{| =}

_√

1

2

, ainsi omme

hx, x

′

_{i = 0}

, ona

P ∈ G.P

2

. Onabien

p

−1

_({

1

2

}) = G.P

2

. Soit

P, P

′

_{∈ U}

tel que

p(P ) = p(P

′

₎

ave

P = [q, q

′

_{], P}

′

_{= [q}

₁

_{, q}

′

1

]

. Alors

p(P ) = p(P

′

_{) ⇐⇒ ∃µ ∈ SO(3)}

telqueIm

(x

1

. ¯

x

′

1

) = µ(

Im

(x. ¯

x

′

)) = c

Im

(x. ¯

x

′

)c

−1

,

alors quitte à rempla er

(q, q

′

₎

par

(g.q, g.q

′

₎

, ave

g = Diag(L

c

, L

c

)

, on est

ramenéau asoù

Im

(x

1

. ¯

x

′

1

) =

Im

(x. ¯

x

′

)

etenprenantdesreprésentants onvenables, e is'é riten ore

x

′

1

. ¯

x

′

1

= x. ¯

x

′

i.e.

x

1

ρ

1

y

¯

1

= xρ ¯

y

(4) d'où



|x||y| = |x

1

||y

1

|

|x|

2

_{+ |y|}

2

_{= |x}

1

|

2

+ |y

1

|

2

=⇒



|x| = |x

1

|

|y| = |y

1

|

ou



|x| = |y

1

|

|y| = |x

1

|

.

Onpeutseramener àlapremièredes2possibilitées quitteàrempla er

(q, q

′

₎

par

(−q

′

_{, q)}

, on peut alors poser



x

1

= x.a

y

1

= y.b

, ave

a, b ∈ S

3

, et en revenant

à(4), onobtient

aρ b = ρ

¯

1

, don

g.(q, q

′

_{) = (q}

₁

_{, q}

′

1

)

ave

g = Diag(R

a

, R

b

)

et nalement

G.P = G.P

′

.

Ce ia hèveladémonstrationduthéorème.



Théorème 6 Soit

V

1

=

R

∗

+

.π

−1

SO(2)

(U ) = {(q, q

′

) ∈ O

∗

×O

∗

/|q| = |q

′

|, B(q, q

′

) =

0 et 0 < |

Im

(x. ¯

x

′

)| <

1

2

|q|

2

_}

.Alors onsidéronsl'a tion de

(R

∗

+

)

2

sur

V

1

dénie par:

(α, β) · (q, q

′

) =

αx

βy



,

βx

′

αy

′



Alors l'a tion de

(R

∗

+

)

2

ommute ave elle de

G

0

. Soit

(q

0

, q

′

0

) ∈ V

1

tel que

hx

0

, x

′

0

i = 0

alors

∀(q, q

′

) ∈ V

1

, ∃(g, (α, β)) ∈ G

0

× (R

∗

+

)

2

, ∃θ ∈ R tel que

(g · (α, β) · (q

0

, q

′

0

)) · R

θ

= (q, q

′

)

Ilya exa tementdeuxpossibilitéespour

(α, β)

, l'unetelque

α < |q|/(

√

2|x

0

|)

,

l'autre tel que

α > |q|/(

√

2|x

0

|)

.

R

θ

peut être hangé en

−R

θ

(et don

g

en

−g

),

g

peutvarier dans

g.Stab([q

0

, q

′

0

])

. DémonstrationPosons

(˜

q

0

, ˜

q

′

0

) =

_|q

1

0

|

(q

0

, q

′

0

)

et

(˜

q, ˜

q

′

_{) =}

1

|q|

(q, q

′

)

.Alorsona

p((α

′

, β

′

)·(˜q

0

, ˜

q

′

0

)) = α

′

β

′

p(˜

q

0

, ˜

q

0

′

)

.On hoisit

α

′

_{, β}

′

telque

α

′2

_|˜x

0

|

2

+β

′2

|˜y

0

|

2

= 1

et

α

′

_β

′

_p([˜

_q

0

, ˜

q

0

′

]) = p([˜

q, ˜

q

′

])

,onmontreque e iestpossibleetqu'ilya

exa te-mentdeuxsolutionsparl'étudedelafon tion

α

′

_7→

α

′

₍₁

−α

′2

|˜

x

0

|

2

)

1

2

(1

−|˜

x

0

|

2

)

1

2

dontlavaleur maximaleest

1

2

|˜

x

0

||˜

y

0

|

=

1

2p(˜

q

0

,˜

q

′

0

)

. Ensuite,onpose

(α, β) = (α

′ |q|

|q

0

|

, β

′ |q|

|q

0

|

)

.Alors

(α, β) · (q

0

, q

′

0

)

est denorme

|q|

et

[

1

|q|

(α, β) · (q

0

, q

′

0

)]

est dansl'orbite de

[˜

q, ˜

q

′

_]

don il existe

g ∈ G

0

et

θ ∈ R

telque

(g · (α, β) · (q

0

, q

′

0

)) · R

θ

= (q, q

′

)

.



Remarque2 L'a tionde

(R

∗

+

)

2

permetdepasserd'uneorbiteàl'autretandis

que

G

0

agittransitivementsur haqueorbite.Cependant,l'a tionde

(R

∗

+

)

2

n'est

pas ompatibleave ellede

SO(2)

:ellen'envoiepasunplansurunautreplan.

Comme on le voit sur la démonstration, le théorème est valable pour les

élé-mentsde

G.P

2

,i.e.onauraitpuprendre

R

∗

+

.π

−1

SO(2)

(Q

r G.P

1

) = {(q, q

′

) ∈ O

∗

×

O

∗

_{/|q| = |q}

′

_{|, B(q, q}

′

_{) = 0 et}

Im

(x. ¯

x

′

) 6= 0}

aulieude

R

∗

+

.π

−1

SO(2)

(U )

.Dansle as où

[q, q

′

_{] ∈ G.P}

2

,

(α, β)

estuniqueetdonnépar

(α, β) = (|q|/(

√

2|x

0

|), |q|/(

√

2|y

0

|

))

. En e qui on ernele pointde référen e

(q

0

, q

′

quel onque; omme on levoit sur la démonstration on abesoinde

|˜x

0

||˜y

0

| =

p(˜

q

0

, ˜

q

′

0

)

,i.e.

hx

0

, x

′

0

i = 0

.Onpeutprendreparexemple

(q

0

, q

0

′

) =

₁

√

2

i

√

2

!

,

−i

√

2

1

√

2

!!

et alors

ρ(q

0

, q

′

0

) = 1

. On a alors

α

2

_{+ β}

2

= 2|q|

2

et les deux possibilitées pour

(α, β)

dansle asde

U

sont

α < |q|

et

α > |q|

tandisquepour

G.P

2

ona

α = β = |q|

.Onvoitaussiquelethéorèmeesten orevalablepour

(q, q

′

_{) ∈ G.P}

1

etonalors

αβ = 0

et

α

2

_{+ β}

2

_{= 2|q|}

2

,maisévidemmentonnepeutpasprendre

(q

0

, q

0

′

) ∈ G.P

1

.

Remarque3 L'angle

θ

aunedénitionintrinsèque.Eneet,soit

P ∈ U

,alors

ilexisteun ouple

(q

1

, q

′

1

) ∈ P

uniqueà

±1

prèstelque

hx

1

, x

′

1

i = 0

,alors

θ

est

l'angledénimodulo

π

telque

(q, q

′

_{) = (q}

1

, q

′

1

) · R

θ

pour

[q, q

′

_{] = P}

.Onadon

déniunefon tion

(q, q

′

) ∈ V

1

7→ θ(q, q

′

) ∈ R/πZ

Ainsidans haqueplan

P ∈ U

,il existeunaxe privilégié.Cetteaxepermetde

mesurerdesanglesdedroitesdans

P

.

2.4 Dé omposition de

G

et de son algèbre de Lie.

On a déni l'appli ation

ρ

par analogie ave le déterminant sur les bases

hermitiennesde

C

2

.Onvoudraitdénirl'analoguedudéterminantsurlegroupe

U (2)

,i.e., une fon tion dénie sur

G

àvaleursdans

S

3

qui orresponde d'une

ertainemanièreà

ρ

. Soit

(q

0

, q

′

0

) ∈ V

telque

ρ(q

0

, q

′

0

) = 1

.Considérons

ρ(g.q

0

, g.q

′

0

)

pour

g ∈ G

0

,on a

ρ(g.q

0

, g.q

0

′

) = ¯

a.1.b = ¯

a.b .

Onsedemande àquelle onditiona-t-on

ρ(g.q

0

, g.q

′

0

) = ρ(g

′

.q

0

, g

′

.q

′

0

)

. C'estle

assi,etseulementsi,

a

−1

_{.b = a}

′−1

_b

′

_{⇐⇒ a}

′

_a

−1

_{= b}

′

_b

−1

_{⇐⇒ ∃d ∈ S}

3

_/



b

′

_{= db}

a

′

_{= da}

i.e.

g

−1

_g

′

₌

R

d

L

c

0

0

R

d

L

c



. Don si

g

0

∈ G

0

est telque

ρ(g

0

.q

0

, g

0

.q

′

0

) = ρ

0

alors

ρ(g.q

0

, g.q

′

0

) = ρ

0

si, etseulementsi,

g = g

0

.

R

d

L

c

0

0

R

d

L

c



.Pour

g

0

,on

peutprendreparexemple

g

0

=

Id

0

0

R

ρ

0



.Onaenfaitlethéorèmesuivant:

Théorème 7 Soit

G

0

0

=

R

a

L

c

0

0

R

a

L

c



, a, c ∈ S

3



, G

0

2

=

Id

0

0

R

ρ



, ρ ∈ S

3



Alors:

(i)

G

0

2

estunsous-groupedistingué dans

G

0

:

G

0

2

⊳

G

0

. (ii)

G

0

estleproduit semi-dire tde

G

0

2

et

G

0

0

:

G

0

_{= G}

0

2

⋊ G

0

0

.

(iii) Ce ipermet de dénirune appli ation

ρ : G

˜

0

_{→ S}

3

déniepar

Id

0

0

R

ρ



.

R

a

₀

L

c

_R

0

a

L

c



7→ ρ .

Enoutresi

(q

0

, q

′

0

) ∈ V

est telque

ρ(q

0

, q

′

0

) = 1

alors

ρ

˜

estaussi donnée par

ρ : g ∈ G

˜

0

_{7→ ρ(g.q}

0

, g.q

0

′

)

.De plus

ρ

˜

estinvariante parmultipli ation

àdroite par

G

0

0

:

ρ(g.h) = ˜

˜

ρ(g) ∀g ∈ G

0

_{, ∀h ∈ G}

0

0

. (iv)

ρ(g

−1

_{· q, g}

−1

_{· q}

′

_{) = 1 ⇐⇒ ˜}

_{ρ(g) = ρ(q, q}

′

₎

,pour

g ∈ G

0

,

(q, q

′

_{) ∈ V}

.

Démonstration Pour(i),(ii)et(iii), 'estunsimple al ul.Pour(iv)il sut

d'utiliser

ρ(g.q, g.q

′

_{) = ¯}

_{aρ(q, q}

′

_)b

.



Remarque4 Onvoitqueles

L

c

nejouentau unrledanslethéorème

pré é-dent.Ilrésulteenparti ulierde e dernierquel'ona:

S

3

= G

0

/G

0

0

= S

3

× S

3

/△

où

△

estladiagonale.

Soit

g, g

0

, g

2

lesalgèbresde Lie respe tivesde

G

0

_{, G}

0

0

et

G

0

2

. Alorson

g

=

g

2

⊕ g

0

et

g

2

est un idéal de

g

(on a

[g, g

2

] ⊂ g

2

) et est stable sous

l'a -tionadjointede

G

0

. Ona

g

=

R

α

+ L

δ

0

0

R

β

+ L

δ



, α, β, δ ∈

Im

H



,

g

0

=

R

α

+ L

δ

0

0

R

α

+ L

δ



, α, δ ∈

Im

H



,

g

2

=

0

0

0 R

γ



, γ ∈

Im

H



.

Considéronslegroupe

G

, omposanteneutredugroupedesisométriesanes

de

R

8

onservantlanullitéde

B

,quel'on représente omme

G

0

_{⋉ R}

8

munidu

produit

(G, T ) · (G

′

, T

′

) = (GG

′

, GT

′

+ T ).

Alorsl'algèbredelie

˜

g

de

G

s'é rit

g

˜

= g ⊕ R

8

_{= g}

0

⊕ g

2

⊕ R

8

,le ro hetétant

donnépar

[(η, t), (η

′

, t

′

)] = ([η, η

′

], ηt

′

− η

′

t)

On a alors les relations suivantes :

[g,

R

8

_{] =}

_R

8

,

[R

8

_,

_R

8

_{] = 0}

,

[g

0

, g

0

] = g

0

,

[g

0

, g

2

] = g

2

,

[g

2

, g

2

] = g

2

. 3 Surfa es

ΣV

3.1 Immersions onformes

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Dénition2 Ondiraqu'une surfa eimmergée,

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estune surfa e

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