1]→Rtelle que ∀n≥2, Z

Universit´e de Lille Master 1 Math´ematiques

M402 Analyse 2018-2019

Seconde session

Exercice 1

1. Soit f : [0; 1] → R continue telle que ∀n ∈ N, Z 1

0

tⁿf(t) dt = 0 : montrer que f est identiquement nulle.

2. Soitg: [0; +∞[→Rune fonction continue et born´ee.

(a) Justifier que pour tout n≥2, la fonction x7→g(x)e^−nx est dans L¹([0; +∞[), et montrer qu’il existef : [0; 1]→Rtelle que

∀n≥2, Z +∞

0

g(x)e^−nxdx= Z 1

0

tⁿ⁻²f(t) dt

(b) En d´eduire que si ∀n ≥ 2, R+∞

0 g(x)e^−nxdx = 0, alors g est identiquement nulle.

Exercice 2

SoitE =L²([0; 2π],C) muni du produit scalairehf, gi=R2π

0 f(x)g(x)^dx_2π. On noteen:x7→e^inx etH={f ∈E | ∀n <0, hf, e_ni= 0}.

1. Montrer queH est un espace de Hilbert. En donner une base hilber- tienne.

2. Pour z∈Ctel que|z|<1, on pose φz: E → C

f 7→ P+∞

n=0hf, e_nizⁿ

(a) Justifier que l’applicationφ_z est bien d´efinie, lin´eaire et continue.

(b) Montrer qu’il existe un unique hz ∈E tel que

∀f ∈E, φz(f) =hf, h_zi et d´eterminer explicitement hz.

(c) Montrer queH^⊥ = \

|z|<1

Kerφz.

3. D´eterminer les projections orthogonales sur H de f :t7→ 1

2−e^it et g:t7→ 1 1−2e^it 1

Exercice 3

Soit E un R-espace vectoriel norm´e, et A une partie non vide de E. On suppose que pour toutϕ∈E^∗,ϕ(A) est une partie born´ee de R.

1. Pour a∈A, on pose

T_a : E^∗ → R ϕ 7→ ϕ(a)

V´erifier que Ta est une application lin´eaire continue.

2. Montrer quekT_ak=kak(indication : on pourra utiliser un th´eor`eme de Hahn-Banach). Que peut-on dire de Sup

a∈A

kT_ak? 3. En d´eduire que A est une partie born´ee de E.

Exercice 4

Dans cet exercice, λd´esignera un r´eel strictement positif, H la fonction de Heaviside (d´efinie par H(t) = 1 si t ≥ 0 et H(t) = 0 si t < 0), et δ la distribution de Dirac en 0.

1. Pour ϕ∈ S(R), on poseϕ_λ(t) =ϕ(t+ _2π^λ) : calculer

ϕc_λ(x) = Z +∞

−∞

ϕ_λ(t)e^−2iπxtdt

2. D´eterminer bδ etH⁰. 3. On poseT = vp(_x¹).

(a) Soit ϕ ∈ S(R) et ψ d´efinie par ψ(x) = ϕ(−x) : montrer que Tb(ψ) =−T(ϕ).b

(b) On rappelle que Tb0

=−2iπxTc. En partant de l’´egalit´e xT = 1 (au sens des distributions), montrer que Tb=−iπsgn(x).

4. SoitT_λ la distributione^iλx·vp(_x¹). Montrer queTc_λ converge au sens des distributions versiπ quand λ→+∞.

5. D´eterminer lim

λ→+∞T_λ.

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