Contribution de Certains Formalismes Vectoriels à la Modélisation des Machines Asynchrones n-Phasée
destinées aux postes de soudage à l’arc
B. BOUSSIALA, A. BOUTAGHANE,
M.
OUADAH Welding and NDT Research Centre (CSC) BP 64 CHERAGA, ALGERIA.b.boussiala@csc.dz,
a.boutaghane@csc.dz, m.ouadah@csc.dz
Abstract:In this work, we express an approach contributing to the modeling of n-phase induction machine, applied in the field of electric arc welding. This approach is based on a vector formalism, whose goal is to diagonalize the matrices inductors in Hermitian and Euclidean spaces. This diagonalization allows us to decouple magnetically phases of the machine. The objective therefore is to find a simple and general mathematical model for all polyphase induction machines.
Keywords:n-phase induction Machine, modeling, vector formalism, arc welding.
Résumé :Dans ce travail, nous allons exprimer une approche contribuant à la modélisation de la machine asynchrone à n phases régulièrement décalées entre elles dans l'espace, destinée au domaine de soudage à l’arc électrique. Cette approche se base sur un formalisme vectoriel dont le but est de diagonaliser les matrices inductances de la machine dans les espaces, Hermitien et Euclidien. La diagonalisation nous permet de découpler magnétiquement les phases de la machine. L'objectif donc est de trouver un modèle mathématique simple et général pour toutes les machines asynchrones polyphasées.
Mots clés : machine n-polyphasée, Modélisation, formalismes vectoriels, soudage à l’arc électrique.
I. INTRODUCTION
Dans le domaine de soudage à l’arc électrique, certains postes s’articulent par fois sur les machines tournantes triphasées à courant alternatif, à titre d’exemple la machine asynchrone. Or ces machines sont de loin les mieux connues dans le domaine d’électrotechnique, leurs problématiques de conception et d’alimentation sont aujourd’hui bien maîtrisées (fabrication, techniques de bobinages, alimentation, commande,...) et restent les plus utilisées, et permettent d'obtenir de bonnes performances surtout dans le domaine de la vitesse variable. Lors de l'augmentation de la puissance, des problèmes apparaissent tant au niveau de l'onduleur que de la machine. Les interrupteurs statiques de l'onduleur doivent commuter des courants importants. Pour éviter ceci, tout en conservant la structure triphasée de la machine, une solution consiste à réaliser des onduleurs multiniveaux.
Les machines polyphasées, dont le nombre de phases est supérieur à trois offrent une alternative intéressante à la réduction des contraintes appliquées aux interrupteurs comme aux bobinages de la machine. Elle permet aussi [1], [2], [3]:
De fractionner la puissance;
De réduire l'amplitude et d'augmenter la fréquence des ondulations de couple;
D'offrir une fiabilité accrue en permettant de fonctionner, une ou plusieurs phases en défaut.
Les matrices inductances des machines à n phases régulièrement décalées entre elles dans l'espace, sont pleines, ce qui se traduit en un système fortement couplé. Cependant, comme ces matrices sont circulantes [11], alors, elles sont diagonalisables, et il existe une base orthogonale unique de vecteurs propres, sur laquelle, les grandeurs magnétiques de la machine sont découplées [4], ce qui facilitera le système, et par conséquent, de connaître les grandeurs électriques et magnétiques de la machine en régime dynamique.
Donc l’objectif est de chercher une base orthonormée dans laquelle les matrices inductances sont diagonales.
A cet effet, il faut trouver d’abord la matrice de passage de la base naturelle à la base orthogonale [3], [11].
Les machines considérées dans ce travail, sont des machines asynchrones à n phases régulièrement décalées entre elles dans l'espace. Les relations entre les vecteurs courants et les vecteurs flux sont supposées linéaires.
Fig. 1: Représentation schématique d’une machine asynchrone à n phases
II. LA BASE NATURELLE
Les hypothèses qu’on a présentées conduisent à des relations linéaires entre les vecteurs flux et les vecteurs courants [3]:
s ss s sr r
r rr r rs s
L I M I L I M I
tels que :
0, 0 0, 1 0, ( 1)
1, 0 1, 1 1, ( 1)
( 1), 0 ( 1), 1 ( 1), ( 1)
s s s s s s n
s s s s s s n
ss
s n s s n s s n s n
m m m
m m m
L
m m m
La même écriture matricielle pourL , M , et Mrr sr rs si ,sj
m désigne l’inductance mutuelle entre deux phases statoriques.
Il est bien claire que les matrices précédentes font apparaître un couplage magnétique entre les différentes phases d’un côté, et entre stator/rotor de l’autre côté.
Les deux matrices Msr et Mrssont aussi liés à la position de rotor par rapport au stator.
III. DIAGONALISATION DE LA MATRICELss La base où existera le découplage magnétique sera celle où une coordonnée du vecteur flux pourra s'exprimer en fonction d'une seule coordonnée du vecteur courant (matrice inductance diagonale) [3], [11].
La diagonalisation d'une telle matrice impose la recherche des valeurs propres et des vecteurs propres qui leurs sont associées.
A. Changement de base dans l’espace Hermitien : Après le calcul, les valeurs propres de la matrice
L
sssont données par le système suivant:
0 0 0 0 1 0 2 0 1
2 1
1 0 0 0 1 0 2 0 1
2 22 2 1
2 0 0 0 1 0 2 0 1
2 2 2
2 0 0 0 1 0 2 0 1
s s ,s s ,s s ,s s ,s( n )
( n )
s s ,s s ,s s ,s s ,s( n )
. ( n )
s s ,s s ,s s ,s s ,s( n )
( n ) ( n ). ( n
s( n ) s ,s s ,s s ,s s ,s( n )
m m m m
m m a m a m a
m m a m a m a
m m a m a m a
2 1
1 1 2 1 1
1 0 0 0 1 0 2 0 1
)( n )
( n ) ( n ). ( n )( n )
s( n ) ms ,s m as ,s m as ,s ms ,s( n )a
avec a e (2 in )
Ces valeurs propres sont des nombres complexes de mêmes modules, et bien décalés entre eux par un angle de 2/ ndans le repère complexe.
Les vecteurs propres associés aux valeurs propres précédentes sont donnés par le système suivant :
2 0
2 2 1
1
2 4 2 2 2 1
2
1 1 2 1 2 1
1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
t
( n ) ( n ) t
.( n ) .( n ) t
( n ) ( n ). ( n ).( n ) ( n ) t
n
e ( , , , , ) n
e ( ,a,a , ,a ,a )
n
e ( ,a ,a , ,a ,a )
n
e ( ,a ,a , ,a ,a )
n
avec a e (2 in )
Ces vecteurs à coordonnées complexes forment une base orthonormée de l'espace Hermitien associé à la matrice Lssde la machine.
La matrice de passage de la base naturelle vers la base de découplage est l’ensemble des vecteurs colonnes propres :
2
1
2 2 1
1 1
1 1 1
1 11
1
( n ) ( n )
( n ) ( n )
a a
T a a
n
a a
Cette matrice est similaire à la Transformée de Fortescue.
On obtient les systèmes suivants [2], [3], [4]:
Système homopolaire :
Correspond au vecteur e0 1 1 1 1t
n
Système direct :
Correspond au vecteur e1 1 1
a a( n )1
tn
Système inverse :
Axe réel Axe imaginaire
Fig.2 : Représentation des valeurs propres dans le repère complexe
Correspond au vecteur en1 1 1
a( n )1 a2 a
tn
La nouvelle matrice inductance statoriqueLss représentée dans la nouvelle base de découplage
0 1 2 n 1
( e ,e ,e , ,e )
devient :
0 1
2
1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
s s
ss s
s ( n )
L
B. Changement de base dans l’espace Euclidien D’après les deux propriétés, la circularité et la symétrie de la matrice inductance, on distingue deux cas selon la parité de nombre de phases de la machine [11].
1. Cas de n impair :
Les valeurs propres sont trouvées réelles doubles, avec une seule valeur simple:
0 0 0 0 1 0 2 0 1
2
1 0 0 0 1 0 2 0 1
2
1 0 0 0 1 0 2 0 1
2
2 2 2
2 2 1 2
2 2 2 2
2
2 1 2 1 1
2 2 2 2
s s ,s s ,s s ,s s ,s( )n
s s ,s s ,s s ,s s ,s( )n
s(n ) s ,s s ,s s ,s s ,s( )n
m m m m
m m cos( ) m cos ( ) m cos(n )( )
n n n
(n ) (n ) n
m m cos( ) m cos ( ) m cos(
n n
2 1
2
)((n ) ) n
Dans le cas où les forces magnétomotrices sont à répartition sinusoïdale, les valeurs propres de la matrice Lssdeviennent comme suit :
0 2 3 2
1 1 2
s s s s( n ) fs
s s( n ) fs ps s
l
l nL L
LPsest l’inductance principale.
lfsest l’inductance de fuite d’une phase statorique.
La nouvelle matrice inductance statoriqueLss représentée dans la nouvelle base de découplage devient :
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
fs s
fs ss
fs s
l L L l
l L
Les vecteurs propres associés sont donnés par le système suivant :
0
1 1
1
1 1
2
1 1
2 2
2
1
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2
2
2 0 2 1 2
2
2 1 1 2 1 1 2
2 2
2
t
( n ) t
( n ) t
n n
( ) ( ) t
n
n
e ( , , , , ) n
e e e n( , cos( n), ,cos(( n ) n))
e e e ( , sin( ), ,sin(( n ) ))
n n n
i
e e
n n
e ( , cos(( ) ), ,cos(( )( n ) ))
n n n
e
21 21 2 0 1 2 1 1 2
2 2
2
n n
( ) ( ) t
e e
n n
( , sin(( ) ), ,sin(( )( n ) ))
n n n
i
Ces vecteurs à coordonnées réelles forment une base orthonormée de l'espace Euclidien associé à la matrice
Lssde la machine.
2
2
2 4 2 1
1
2 4 2 1
0
2 1 1 2 1 1
1 2 1 1
0
2 2 2 2
2 2 2 2
( n )
cos( n) cos( n) cos( n )
( n )
sin(n) sin( n) sin( n )
T n cos(( nn) ) cos( ( nn ) ) cos(( n n) )
( n ) ( n ) ( n )
sin( n ) sin( n ) sin( n )
Cette matrice est similaire à la matrice de Concordia généralisée
2. Cas de n pair :
Les valeurs propres sont trouvées réelles doubles:
0 0 0 0 0 1 0 2 0 2
2 2
1 0 0 0 0 1 0 2 0 2
2 2
2 0 0 0 0 1 0 2
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
22 22
2 2 2
s s ,s s ,s( )n s ,s s ,s s ,s(n)
s s ,s s ,s( )n s ,s s ,s s ,s(n)
s s ,s s ,s( )n s ,s s ,s
m m m m m
m m m cos( ) m cos( ( )) m cos((n )( ))
n n n
. .
m m m cos( ) m cos( ( ))
n n
2
0 2
1 0 0 02 0 1 0 2 0 22
2 2 22 2
2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2
2
s ,s(n)
s(n ) s ,s s ,s( )n s ,s s ,s s ,s(n)
n .
m cos(( )( )) n
(n ) (n ) n (n )
m m m cos( ) m cos ( ) m cos(( )( ))
n n n
Dans le cas où les forces magnétomotrices sont à répartition sinusoïdale, les valeurs propres de la matrice Lssdeviennent comme suit :
0 2 3 2
1 1 2
s s s s ( n ) fs
s s ( n ) fs ps
l l nL
Les vecteurs propres associés à ces valeurs propres sont donnés par le système suivant :
0
1
1 1
2
1 1
3
2 2
2 2
2
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2
2
2 0 2 1 2
2
2 1 22 2
2
t
t
( n ) t
( n ) t
n n
( ) ( )
n
e ( , , , , )
n
e ( , , , , )
n
e e e n( , cos( n ), ,cos(( n ) n))
e e e ( , sin( ), ,sin(( n ) ))
n n n
i
e e
e n( , cos((n ) n), ,
2 2
2 2
1
2 1 2
2
2 0 22 2 22 1 2
2
t
n n
( ) ( ) t
n
cos((n )( n ) n))
e e
n n
e i n( , sin(( ) n ), ,sin(( )( n ) n ))
La matrice de changement de base qui est construite par les vecteurs( e ,e ,e , 0 1 2 ,e )n1
est donné par :
2 4 2 1
1
2 4 2 1
0
2 1 2 2 2 2 2 2 1 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 1 2
0 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
( n )
cos( ) cos( ) cos( )
n n n
( n )
sin( ) sin( ) sin( )
n n n
n n . n ( n )
T cos(( ) ) cos(( ) ) cos(( ) )
n n n n
n n . n ( n )
sin(( ) ) sin(( ) ) sin(( ) )
n n n
2 2 2
2 2 2
Quelques résultats pour une machine de 2.75 kW :
IV. CONCLUSION
Dans cet article, nous avons appliqué certains formalismes vectoriels pour diagonaliser les matrices inductances de la machine asynchrone n-phasée. Notre démarche a été pour but d’éliminer le couplage entre les différentes grandeurs magnétiques de la machine [3].Il a été ressorti que la propriété de circularité est suffisante pour pouvoir diagonaliser les matrices inductances dans un espace vectoriel hermitien [2], [3], [11]. Dans ce cas, la transformée de Fortescue de dimension n est une base des vecteurs propres.
D’autre part, la propriété de symétrie permet de passer de l’espace vectoriel hermitien à l’espace vectoriel euclidien [11]. La transformée de Concordia généralisée définit une base orthonormale de découplage à coefficients réels.
Pour cela, les matrices inductance ont été représentées dans un espace vectoriel hermitien de dimension liée au nombre de phases, sur lequel, il a été montré que ces matrices inductances sont diagonalisables, et admissent n valeurs propres distinctes. Par la suite, les matrices inductances sont représentées dans un espace euclidien où les éléments sont réels. Dans ce cas, nous avons distingué selon la parité du nombre de phases de la machine deux matrices de changement de base connues sous le nom de transformée de Concordia généralisée.
Les valeurs propres obtenues sont égales deux à deux pour n pair, et égales deux à deux avec une seule valeur simple pour n impair.
REFERENCES
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Fig.3 le Couple électromagnétique lors de l’application d’une charge de 18 N.m –simulation sans Commande –
Fig.4 la Vitesse lors de l’application d’une charge de 18 N.m – simulation sans Commande –
