Elastoplasticité des métaux en grandes déformations : comportement global et évolution de la structure interne

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Submitted on 1 Jan 1990

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Elastoplasticité des métaux en grandes déformations : comportement global et évolution de la structure interne

P. Lipinski, J. Krier, M. Berveiller

To cite this version:

P. Lipinski, J. Krier, M. Berveiller. Elastoplasticité des métaux en grandes déformations : comporte- ment global et évolution de la structure interne. Revue de Physique Appliquée, Société française de physique / EDP, 1990, 25 (4), pp.361-388. �10.1051/rphysap:01990002504036100�. �jpa-00246196�

Classification Physics ^Abstracts

62.20 ^- 62.20F ^- 46.10 ^- 81.40E ^- 46.30

Article de mise au point

Elastoplasticité des métaux

en

grandes déformations : comportement global ^et évolution de la structure interne

P. Lipinski, ^{J. Krier et} M. Berveiller

Laboratoire de physique ^et mécanique ^des matériaux, ^UA CNRS, Institut Supérieur ^{de Génie} Mécanique ^et Productique, ^{île du} Saulcy, 57045 Metz Cedex 1, ^France

(Reçu ^{le 18} juillet 1989, révisé le 8 janvier 1990, accepté ^{le 9} janvier 1990)

Résumé. ^- Ce travail propose ^une approche générale ^au problème de la détermination du comportement élastoplastique ^des polycristaux métalliques ^en grandes déformations à partir ^des propriétés des constituants.

On discute tout d’abord les effets des paramètres physiques ^{intra et} intergranulaires ^sur les mécanismes de déformation et le comportement global. Le formalisme de Hill est utilisé pour effectuer les transitions d’échelle. Une nouvelle relation intégrale cinématique ^{reliant le} gradient de la vitesse locale au gradient macroscopique ^est démontrée. Plusieurs solutions de cette équation ^sont proposées ^{et une} approche

autocohérente nouvelle est développée. ^{De nouveaux résultats} concernant le comportement global ^{des métaux}

C.F.C. et C.C. sont présentés. ^Les surfaces de plasticité ^{initiales et} induites pour différents trajets ^de chargement ^{sont calculées et} comparées ^{avec succès} aux mesures expérimentales de la littérature.

L’anisotropie ^du comportement élastoplastique résultant simultanément des contraintes internes du second ordre, ^{des textures} cristallographiques ^{et des} paramètres d’écrouissage ^{est mise en évidence.}

Abstract. ^- A general approach ^{to the} problem of determination of the elastoplastic behavior of metallic

polycrystals ^at finite transformations is proposed ⁱⁿ this paper. At first, the influence of physical ^{intra and} intergranular parameters ^{on the} deformation process and global behavior of the polycrystal ^{is discussed.}

Transition relations, given by ^Hill, between local and overall scales are used here. A new kinematic integral equation linking the local and global velocity gradients is established. Some solutions of this equation ^are presented ^{and a new} self-consistent scheme is developed. New results concerning the overall behavior of FCC metals are presented. The initial and induced yield surfaces have been calculated for various loading paths.

The successful comparison ^{with the} experimented ^data by Bui, Ikegami and others has been performed. ^The anisotropy ^{of the} elastoplastic ^{behavior of the} polycrystal ^{due to} the second order internal stresses,

crystallographic ^and morphologic textures, and hardening parameters has been obtained.

1. Introduction.

La détermination des propriétés effectives des maté- riaux

microhétérogènes

^et macrohomogènes ^à partir

de la connaissance des propriétés ^des constituants,

du rôle des interfaces et de la microstructure de

l’agrégat

^{constitue un} champ de recherches en plein

développement

du fait des

applications

potentielles

que l’on peut ^{en attendre.}

Ces approches débouchent sur une meilleure

description des lois de comportement des matériaux et constituent simultanément un outil précieux pour l’élaboration de nouveaux matériaux dans la mesure

où l’effet de la microstructure et du comportement local est traduit directement en termes de comporte-

ment global dans les modèles utilisant des transitions d’échelles.

Concernant les propriétés linéaires, ^de nombreux modèles ont été proposés

[1-3].

^Le

développement

récent des théories

statistiques systématiques

peut être considéré, ^{au moins} formellement, ^comme

étant la solution complète ^et définitive du problème

des milieux

microhétérogènes

^à comportements linéaires

[4-6].

La situation n’est pas aussi avancée concernant les

propriétés

inélastiques

^telles que l’élastoplasticité

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:01990002504036100

des métaux polycristallins. Jusqu’à ^{une date encore} récente, les études de plasticité ^{se sont} limitées à des

applications des modèles simples ^{de Sachs}

[7]

^{ou de} Taylor

[8],

^ou à d’éventuelles améliorations de ceux-

ci.

Une voie nouvelle a été ouverte par Krôner

[3, 9]

au travers des modèles autocohérents qui ^{ont ensuite}

été développés par Hill

[10], Budiansky

^{et Wu}

[11],

Hutchinson

[12, 13],

Berveiller et Zaoui

[14-16]

^et Weng

[17]

^{dans le cas des}

petites

déformations. Le

problème ^{de la formation des textures}

cristallogra- phiques

^aux grandes déformations a été abordé _pour la première ^{fois dans} le cadre du modèle de Krôner- Hill

[9, 10],

par Hihi et al.

[18].

Néanmoins, pour des grandes déformations plasti-

ques, ^{c’est tout l’état} microstructural et

mécanique

du

polycristal qui change profondément

^{avec la}

déformation

plastique.

Globalement, ^on _peut ^distin-

guer quatre familles de paramètres

physiques

^ou

variables d’état dont l’évolution avec la déformation doit être connue si on veut déduire le comportement tangent ^actuel.

1)

^{A l’échelle} intracristalline, ^la multiplication

des dislocations et l’évolution de leur

répartition spatiale (cellules,

parois,

empilements...)

^{sont res-} ponsables ^de

l’écrouissage

intracristallin.

Logique-

ment, il conviendrait de relier ^l’état disloqué ^intra-

granulaire

^au comportement ^du monocristal, ^ce

qui

constitue un domaine de recherche largement

ouvert. Actuellement,

l’écrouissage

intracristallin

est plutôt décrit par l’intermédiaire d’une matrice

d’écrouissage

[19, 20]

reliant la vitesse de la cission

critique

^{sur les} systèmes ^de

glissement

à la vitesse du

glissement plastique

^{sur les} systèmes ^{actifs. Des}

informations concernant cette matrice

d’écrouissage

peuvent ^être déduites des mesures

expérimentales

de l’écrouissage ^latent

[19, 20]

^{mais, là encore, la}

détermination

précise

^et

complète

^{de cette matrice}

reste à effectuer. Malgré l’absence d’outils plus complets ^et

précis,

^cette

approche

^sera utilisée par ^la suite pour décrire le comportement intracristallin.

2)

^A l’échelle des

grains (échelle intercristalline),

la désorientation relative des réseaux cristallins constitue une source de contraintes internes par l’intermédiaire des

incompatibilités

^du champ ^de

déformation

plastique.

Ces contraintes internes

jouent

^un rôle essentiel et fondamental dans la

plasticité

^{des métaux.}

Pour s’en convaincre, il suffit de se

rappeler

^la

définition même d’une dislocation et les théories

physiques qui

permettent ^de

prévoir

^{la nature cristal-}

lographique

^des systèmes ^de

glissement

^{et les diffé-}

rents stades d’écrouissage des monocristaux.

Au cours de l’écoulement

plastique,

^les contraintes internes se développent du fait des

incompatibilités plastiques,

^{se relaxent}

(au

^moins

partiellement)

grâce ^à l’accommodation plastique ^et contribuent

ainsi, ^{de manière}

significative,

^au comportement

élastoplastique macroscopique (écrouissage

isotrope

et

cinématique).

3)

^{A la même} échelle, ^{le mécanisme de} glissement

plastique

^{induit une rotation}

plastique qui,

^{en rela-}

tion avec les

équations

^de compatibilité ^{de Krô-}

ner

[21],

^{entraîne une} rotation des réseaux cristallins.

Ces rotations sont à l’origine ^{des textures de défor-} mation, phénomène ^connu depuis longtemps ^et

qui

est, _pour une large part, responsable ^de l’anisotropie

du comportement

élastoplastique macroscopique.

4)

^{A cette même échelle, on} peut

signaler

^le

changement morphologique

^des grains

qui

^se super- pose ^aux hétérogénéités

plastiques

^{intra et}

intergra-

nulaires.

D’une manière

symbolique,

l’ensemble des modifi- cations de l’état structural ainsi discuté est décrit dans la

figure

^1.

Fig. ^{1. - Etat d’un} polycristal ^{avant et} après déformation

plastique (schématique).

[Polycrystal ^state before and after plastic ^strain (schema- tic) . ]

Face à une telle

complexité,

^{il est nécessaire}

d’aborder le

problème

^{de la} détermination des lois de comportement

élastoplastiques

^à

partir

^de simpli-

fications « homogènes ».

- Le comportement intracristallin des grains ^est

construit à

partir

^{de variables}

cinématiques

^décrivant

la vitesse de glissement

plastique

^{sur les} systèmes ^de

glissement

^{actifs. Le}

glissement plastique

^{obéit à la}

loi de Schmid et

l’écrouissage

intracristallin est décrit par la matrice

d’écrouissage

^discutée

précé-

demment.

Formulée en vitesse, ^une telle loi de comporte-

ment a été développée par

Mandel [22],

^{Hill et}

Rice

[23],

^Asaro

[24],

Nemat-Nasser

[25]

^{et discutée}

par Stolz

[26].

^{Elle est basée sur une} décomposition

additive des vitesses de déformation plastique ^et élastique proposée pour la première fois par Krô-

ner

[21].

Cette loi de comportement ^est rappelée

dans le chapitre ^3.

L’hypothèse ^de comportement uniforme à l’inté- rieur des grains ^{constitue sans doute} l’approximation

la plus ^{forte eu} égard ^aux observations expérimenta-

les concernant les hétérogénéités

plastiques

intragra-

nulaires. Le comportement

élastoplastique

^{du maté-}

riau étant fortement non linéaire, ^celui-ci dépend ^en particulier de l’état de contrainte

(par

l’intermédiaire du critère de

plasticité)

^et de l’état de déformation

plastique

(variables d’écrouissage). L’hypothèse

^de

comportement ^{uniforme à} l’intérieur des grains implique ^donc l’uniformité des contraintes et défor- mations. On peut considérer cependant, ^{mises à} part les interactions

glissement

^- joints ^de grains, que les hypothèses

précédentes

^sont relativement bien vérifiées pour les métaux à faible écrouissage latent,

c’est-à-dire ceux pour lesquels ^le glissement multiple homogène constitue le mécanisme de déformation

plastique prédominant

(cas

^de l’aluminium et du

cuivre).

- Le cadre général ^des transitions d’échelles pour les grandeurs

microscopiques

^et macroscopi-

ques ^a été discuté par Mandel

[22]

^{et Stolz}

[26].

^Pour

les grandes déformations plastiques, ^Hill

[27]

sug-

gère l’emploi ^du gradient de la vitesse et des taux des contraintes nominales pour effectuer ^ces transitions.

Ce choix ramène les opérations

d’homogénéisation

^à

de simples

opérations

de moyenne volumique

comme c’est le cas pour les déformations infinitési- males.

Les résultats de Hill sont rappelés ^{dans le} chapi-

tre 2 et de nouvelles relations de localisation ^sont

proposées pour les grandeurs physiques locales décri- vant l’évolution de la microstructure.

- Dans le chapitre 4, ^{on traite le} problème ^{de la}

localisation cinématique ^en proposant ^une équation intégrale ^{similaire à} celle que Dederichs ^et Zeller

[6]

ont démontrée dans le cas de l’élasticité.

Différentes

approximations

proposées pour ^cette

équation intégrale conduisent aux modèles classi- ques. Un développement ^de l’équation intégrale

sous forme de série de Born constitue un premier

pas ^vers les méthodes statistiques systématiques

pour les solides élastoplastiques. Face à la lourdeur de la formulation et eu égard ^aux simplifications

faites par ailleurs

(loi

^de comportement du monocris-

tal, ^absence d’hétérogénéités plastiques intragranu-

laires...),

^{cette démarche}

systématique

^{n’est pas} poursuivie.

- Nous avons préféré développer l’approxima-

tion autocohérente pour

l’équation intégrale, approximation

présentée ^{dans le} chapitre ^{5 en même} temps que des indications sur les méthodes numéri- ques développées.

C’est également dans le cadre de l’approximation

autocohérente que ^sont décrites les lois d’évolution de la structure interne du polycristal.

Une telle approximation ^{a été} proposée par Iwa- kuma et Nemat Nasser

[28]

pour la plasticité ^du polycristal ^en grandes déformations plastiques ^en

utilisant directement la solution du problème ^d’inclu-

sion adaptée ^aux problèmes ^des grandes ^déforma-

tions. Ici, ^{le fait d’avoir} établi la solution du pro- blème d’inclusion à partir ^de l’équation intégrale

permet ^des développements ultérieurs basés sur

d’autres approximations ^de l’équation intégrale.

Par ailleurs, ^les applications qui ^{ont été} dévelop- pées par Iwakuma ^et Nemat Nasser ne concernent que des problèmes plans ^{à deux} systèmes ^de glisse-

ments imposés a priori. Cette forte restriction ignore

l’un des problèmes ^{centraux de la} plasticité ^des

métaux qui ^est celui du choix de la combinaison de

systèmes ^actifs parmi ^les systèmes ^de glissements potentiels. ^{Or on sait à} partir d’observations expéri-

mentales et de calculs antérieurs

[18]

que ^{le nombre}

et la nature des systèmes ^de glissements ^actifs dépendent fortement du chargement ^{et de l’état} d’écrouissage ^du

polycristal

^au travers, notamment, de la formation des textures de déformation.

- Dans le chapitre 6, de nombreux résultats

nouveaux obtenus à partir ^{de cette} formulation sont

présentés.

2. Transitions d’échelles et localisation.

Pour décrire la réponse ^du polycristal microhétéro-

gène ^{à un} chargement donné, ^{il est} nécessaire de connaître le comportement ^du monocristal et d’effec- tuer les opérations d’homogénéisation. Ces dernières nécessitent la description ^de l’agrégat ^{et la} prise ^en compte des lois de conservation et de continuité.

S’agissant de matériaux élastoplastiques, ^{il est}

bien connu que le comportement correspondant ^est

de nature incrémentale, c’est-à-dire reliant un

accroissement de contrainte

(ou

^{un taux de}

contrainte)

à l’incrément de déformation

(ou

^{à un}

taux de

déformation).

^En négligeant le caractère

visqueux ^du comportement

(à froid),

^le paramètre

temps qui intervient dans les relations constitue une

variable utile pour la description ^des grandeurs

physiques

^ou mécaniques ^{mais ne} correspond pas forcément ^au temps physique.

Le choix des grandeurs

conjuguées

contraintes ^- déformations

(ou

^{de leur}

vitesse)

pour décrire le comportement local n’est pas forcément celui qui

facilite les opérations d’homogénéisation ^ou qui simplifie les relations

d’équilibre

^{et de} compatibilité.

Ainsi, ^s’il paraît ^naturel d’employer les contraintes

de

Cauchy,

_03C3ij, pour décrire les relations de compor- tement locales et globales, il s’avère que, dans ^ce cas, les transitions d’échelles sont plus complexes ^à

écrire.

Un autre choix, plus naturel parce qu’il ^{est relié}

aux conditions aux limites sur la surface du solide dans la

configuration

actuelle, consiste à utiliser le

gradient de la vitesse et le taux de contraintes nominales n pour décrire à la fois :

2022 les lois

d’équilibre

^{et de}

compatibilité

2022 les transitions d’échelles.

Ce choix

simplifie

^les

équations précédentes

^mais

complique légèrement

l’écriture des relations de comportement.

Soient nij ^les composantes ^{du tenseur des contrain-}

tes nominales locales et vi ^{le vecteur vitesse au}

point

^r.

Le

gradient

^de la vitesse vi,j ^se décompose ^{en une} partie

symétrique dij

^{et une}

^partie antisymétrique

Wij telles que :

Ces relations assurent la

compatibilité

^{de la transfor-}

mation

puisqu’avec (1) l’incompatibilité

^du champ ^d

est nulle.

En choisissant la configuration ^{actuelle comme} configuration ^de référence, ^{et en}

désignant

par U ij les contraintes de Cauchy, ^{on a :}

et

p

désigne

^{la masse}

volumique

^{actuelle et}

fj

^{les forces}

massiques.

^{Pour le solide de volume V et de fron-}

tière S, ^on impose ^{des forces}

surfaciques dFi

^telles

que :

On a alors, ^si

Nij

^{est constant sur la surface :}

De même, pour ^un solide

macrohomogène,

le gra- dient de la vitesse

macroscopique Vi,j

^{s’écrit :}

Les relations

cinématiques (1), d’équilibre (3)

^{et les}

relations entre grandeurs ^{locales et} globales

(5)

^et

(6)

prennent ^{alors la} même forme que pour les théories en déformations infinitésimales.

La forme des relations de comportement ^{local doit} également ^être

exprimée

^à partir ^du gradient ^{de la}

vitesse locale et des vitesses de contraintes nomina- les.

On pose :

Le tenseur f est déterminé dans le

chapitre

^{3 à} partir

du comportement

élastique

^{et des} mécanismes de

glissement

plastique.

En introduisant le tenseur localisation cinémati- que :

le comportement

global

^{s’écrit :}

soit

où

Gkp

⁼

Vk, 1 ^désigne

^le

^gradient

de la vitesse

macroscopique.

Le tenseur L e caractérise ainsi le comportement ^du polycristal, mais c’est rarement sous la forme

(9)

qu’est ^{écrite la loi de} comportement ^{d’un matériau}

élastoplastique.

^En général, ^{la loi de} comportement relie la vitesse corotationnelle de Jaumann des contraintes de Kirchhoff T au tenseur vitesse de déformation D tels que :

Si

Dij

^{peut être} aisément déduit des vitesses de déformations locales

dij

^{en prenant la}

^partie

^symétri-

que de la relation

(6),

les composantes ^{de T ne se déduisent} pas par les moyennes des

grandeurs

^locales correspondantes.

On utilise alors la démarche proposée par ^Iwa- kuma et Nemat-Nasser

[28]

consistant à introduire le tenseur Me égal ^{à :}

où Le est défini par

(9)

^{et le tenseur Z}

(contraintes

de Cauchy

macroscopiques)

^est

égal

^{au tenseur N}

puisque

^la

configuration

^{actuelle est choisie comme}

configuration

de référence.

Ainsi, ^le

problème global

^{de la} détermination du comportement effectif d’un

polycristal élastoplasti-

que ^se ramène à la détermination du tenseur local

1(r)

^{et du tenseur} localisation

cinématique

^A

(r).

Ces deux tenseurs sont définis dans les

paragraphes

suivants.

3. Loi de comportement élastoplastique pour le monocristal.

Parmi tous les mécanismes de déformation

plastique

possibles

(glissement,

diffusion,

maclage...),

^nous

nous limitons au glissement

plastique cristallographi-

que résultant du ^mouvement

athermique

^{des disloca-}

tions. Ce mécanisme

correspond principalement

^{à la} plasticité à froid des métaux.

Nous supposons également que ^ce glissement ^a

lieu sous la forme du glissement

multiple homogène,

c’est-à-dire que plusieurs systèmes ^de glissement

sont actifs à une échelle large par rapport ^aux dislocations. C’est le cas pour les métaux de forte

énergie

^{de faute}

d’empilement (Cu, Al...).

Le

gradient

^{de la vitesse} _gij ⁼ _Vi,j ^est composé

d’une

partie élastique

ge ^{et d’une}

partie plastique gP

^et

possède

^une partie

symétrique

^{d et une} partie

antisymétrique w

^telles que :

La

signification physique

des différentes parties ^de

(3)

^est maintenant claire

[21, 29].

La partie

plastique gP

résulte de la vitesse de

glissement plastique

03B3g ^{sur les} différents systèmes

actifs.

Si n’ et m r

désignent

respectivement la normale unitaire au plan ^de glissement ^{et la direction de} glissement ^du système r, ^{on a :}

Le produit ^{scalaire m * n étant nul, on a}

dpkk

^{= 0 et}

dkk = dkk

^·

Soit U ij ^la contrainte de Cauchy

et a

z ^* la vitesse de

U par rapport ^{au réseau} cristallin ; ^{la loi de} comporte-

ment

élastique

^{est écrite sous la forme :}

où cijk~ ^{sont les} constantes élastiques ^{locales et :}

La vitesse des contraintes nominales Ii;; ^{est reliée à}

et i j

^{par la relation :}

En introduisant

(23), (21)

^et

(22)

^dans

(16),

^{on a :}

Il reste à

spécifier

la forme de la

partie plastique

^du comportement pour laquelle ^nous supposons que ^la loi de Schmid

s’applique

^et que l’écrouissage ^est

décrit par ^une matrice d’écrouissage ^H.

Un

système r

^{peut être actif si :}

où Te ^est la cission

critique

^{actuelle du} système ^r.

La vitesse de la cission réduite sur

(r )

dépend ^{à la}

fois de u ^et de la vitesse de rotation du réseau cristallin w e.

On a :

qui

^est égal ^{à :}

La matrice d’écrouissage ^{relie la} vitesse de la cission

critique

ic ^{sur un} système ^{r à la vitesse de}

glissement plastique

s ^{sur un} système s :

Pour la

partie plastique,

^{on a} alors les relations usuelles :

et

et

En utilisant

(21)

^et

(16),

^{on a} pour les systèmes

actifs :

En posant :

la vitesse de glissement

plastique

r ^{est obtenue} par :

La relation

(24)

^{devient alors, en}

remplaçant

^03B3r par

(31) :

ou encore :

avec :

Le tenseur t

dépend

^{de l’état de} contraintes local par l’intermédiaire de

(34)

^et des conditions de

plasti-

cité

(28)

^{et de} l’orientation du cristal par ^{l’intermé-} diaire de c

(élasticité

anisotrope

éventuellement)

^et

des tenseurs R et Q.

Pour un milieu à élasticité isotrope ^et pour

lequel

le niveau des contraintes d’écoulement est faible _par rapport ^{aux modules} d’élasticité,

(34)

peut ^être

simplifiée

considérablement et se présente ^{sous la}

forme :

4. Equation intégrale cinématique.

Les

équations

^de comportement ^{local étant}

préci-

sées, ^{il est} nécessaire, pour déterminer le comporte-

ment

élastoplastique global,

d’effectuer des transi- tions d’échelles permettant ^{de relier les}

grandeurs

locales aux

grandeurs macroscopiques,

par exemple

sous la forme

(8).

Plusieurs méthodes, partant ^de points ^{de vue} différents, ^{ont été}

développées.

L’approche

^{de Hill}

[27]

^{ou de Mandel}

[22]

^consiste

à introduire formellement un tenseur localisation

(ou concentration)

^{de la} déformation

(ou

^{de la}

contrainte)

reliant g ^à G par ^la relation :

A (r)

^étant supposé ^{connu, il est} alors facile de déduire la relation en N et G à

partir

des relations de moyenne ^du

chapitre

^2.

Cette méthode,

qui

^telle quelle ^reste formelle, ^a

cependant

l’avantage ^de pouvoir ^{définir une classe}

de

propriétés

^{à l’échelle}

macroscopique

^à partir ^des propriétés ^locales.

Un autre

point

^{de vue consiste à} faire d’emblée des

hypothèses

^{sur les tenseurs de} localisation en

leur affectant des valeurs données. Ainsi, ^{dans le} modèle de Lin

[30],

^{on suppose} que ^la vitesse de déformation locale

dij

^{est égale à la vitesse macrosco-}

pique

Dij.

^{Pour le modèle de Taylor}

^[8],

la déforma- tion

élastique

^est négligée ^{et la} déformation

plastique

locale est supposée ^être

égale

^{à la} déformation

macroscopique.

De fait, ^la détermination des tenseurs de localisa- tion constitue le problème central des méthodes

d’homogénéisation ^des

propriétés

des milieux micro-

hétérogènes. ^{Dans ce} travail, ^ce problème ^{est résolu}

en considérant le milieu

microhétérogène

^comme

étant un milieu continu à microstructure.

On résout alors, pour ^la

configuration

actuelle, ^un problème de structure, c’est-à-dire ^on recherche une

solution

(en

^{vitesse ou}

contrainte)

satisfaisant les

équations d’équilibre,

^de compatibilité ^{et vérifiant}

les relations de comportement.

En élasticité, ^la formulation d’un tel

problème

conduit à une

équation intégrale [6]

^dont la solution formelle est analogue ^à

(8).

^En

élastoplasticité,

Berveiller et Zaoui

[31]

^{ont formulé une}

équation intégrale

pour les

petites

déformations.

Ici, ^la même démarche est utilisée _pour résoudre le

problème

^des

grandes

déformations

plastiques,

formulé en vitesse.

D’après (1), (3)

^et

(33),

^{on a à écrire :}

- les

équations d’équilibre

- les relations définissant d et w à partir ^du gradient de la vitesse v

- les relations de comportement ^local

Nous nous limitons ici au

problème

^pour

lequel

^on

impose

^{sur la} frontière actuelle une vitesse Vi

donnée.

En éliminant nij ^de

(37)

^{et de}

(39),

^{on obtient la}

relation :

Comme pour ^les milieux linéaires, ^on décompose ^le tenseur f ^{en une}

partie

^{uniforme L 0 et les déviations}

8f (r)

^telles que :

L’équation (40)

s’écrit maintenant :

Le deuxième terme apparaît ^{comme des forces de}

volume et on peut ^{utiliser un tenseur de Green} G *

adjoint

^à

(42)

^défini par :

pour transformer

(42)

^en

équation intégrale.

En

multipliant (42)

par

Gjm(r - r’)

^et

⁽⁴³⁾

^par

vj(r),

^on obtient par différence :

avec

Par

intégration

^sur V, ^{on a :}

Si vj

^est

^imposé

^{sur S, alors}

GJm

^{= 0 sur S et le}

premier ^{terme du second membre de}

(45)

^{n’est autre}

que ^la vitesse

vm (r’ )

^{du milieu}

homogène

^{L° soumis}

aux mêmes conditions sur S.

On a alors :

Soit pour ^le

gradient

vm, n ⁼ 9 lM

qui

^est

l’équation

intégrale recherchée.

On note :

Cette

équation

intégrale ^{est valable} pour ^toute structure interne actuelle _y

compris lorsque

^des

hétérogénéités

intragranulaires ^sont présentes.

Par ailleurs, ^{si la solution de cette}

équation

^est

connue, il est possible de déduire les lois d’évolution de la structure interne

(cissions critiques,

^rotation

des réseaux cristallins, ^{forme des}

grains... )

^à partir

de la forme des relations de comportement local

[32].

^{Nous donnons ces} lois d’évolution dans le

chapitre

5 pour le ^cas où

l’équation intégrale

^est

résolue par la méthode autocohérente.

Ainsi

qu’il

^{a été}

signalé

dans l’introduction de ce

chapitre,

^le

problème

central de la détermination des propriétés effectives des milieux

microhétérogè-

nes consiste à résoudre les

problèmes

^de localisation, c’est-à-dire résoudre

l’équation intégrale (47).

Nous mentionnons ici les

grandes

^{classes de}

méthodes ou modèles

qui

^{ont été}

développés

^{dans le} passé.

-

L’approche

^de

Taylor-Lin

^{consiste à}

négliger l’intégrale

^dans

l’équation (47),

c’est-à-dire à poser :

Puisque

^les

chargements envisagés

consistent en des solutions

uniformes g°

pour des milieus

homogènes, g°

^est égal ^{à G et on a :}

On voit _que cette

approximation néglige

^{de fait}

toute

hétérogénéité

^{et ne doit}

s’appliquer qualitative-

ment que pour ^les milieux faiblement hétérogènes.

-

L’approche statistique systématique

^{de Krô-}

ner

[4]

pour ^les milieux

élastiques

^linéaires peut ^être étendue au cas de

l’élastoplasticité

^{en utilisant}

l’approximation

^{de Born} pour résoudre

l’équation intégrale (47).

A partir de la solution de

Lin-Taylor, l’approxima-

tion suivante

(1er ordre)

^{consiste à} substituer au

terme g ^{sous le}

signe

^{somme le terme}

(connu)

^G.

On a alors

L’approximation

^au second ordre s’écrit alors

En procédant ^{de la} même manière pour les ordres

supérieurs, ^{on obtient une solution} générale pour

g(r)

^{sous la} forme d’une série infinie. Krôner et Koch

[33]

^{ont montré} que ^la convergence d’une telle série est assurée si le tenseur 1 ^est local et aléatoire.

L’emploi

d’une telle

procédure

de résolution de

l’équation

intégrale ^se

justifie

^{dans la mesure où le}

comportement local, les mécanismes de déforma- tion, ^{le rôle des}

joints

^de

grains...,

^{sont décrits avec}

la même

précision

que ^les interactions contenues dans

l’équation

intégrale. Ceci n’étant pas réalisé,

nous

préférons

^{utiliser la} solution autocohérente pour résoudre

l’équation intégrale (47),

^solution présentée ^{dans le}

chapitre

^suivant.