Anomalies de l'écoulement laminaire d'un smectique A autour d'un obstacle cylindrique

HAL Id: jpa-00232196

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Submitted on 1 Jan 1983

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To cite this version:

P. Oswald.

Anomalies de l’écoulement laminaire d’un smectique A autour d’un

obsta-cle cylindrique.

Journal de Physique Lettres, Edp sciences, 1983, 44 (8), pp.303-309.

�10.1051/jphyslet:01983004408030300�. �jpa-00232196�

Anomalies

de

l’écoulement laminaire d’un

_smectique

A

autour

d’un

obstacle

_cylindrique

P. Oswald

Laboratoire de

_Physique

des Solides

(*),

Université Paris-Sud, 91405 _Orsay, France

(Re!Vu le _{13 janvier 1983, accepte} le 1 er mars ₁₉₈₃₎

Résumé. 2014 En cisaillant un échantillon

homéotrope

de smectique A, nous observons une

_{rigidification}

importante

de la

_partie

centrale de l’écoulement. Cet effet, sans doute lié à la _présence de défauts

invisibles au _microscope, subsiste en

_présence

d’un fil

_cylindrique

collé sur l’une des faces de l’échan-tillon. De part et d’autre de cet obstacle s’étendent deux

_{régions statiques}

raccordées à la

_partie

centrale

de l’écoulement au travers d’une couche mince de

_perméation.

Une évaluation de la

_{puissance dissipée}

nous _permet d’estimer la _longueur de

_perméation

_~-1

=

~03BBp

pour la

première

fois introduite par de Gennes. Nous montrons enfin

_qu’une

dilatation sous cisaillement conduit à un _{réseau de}

para-boles focales

_asymétrique

_{par rapport} à l’obstacle. Abstract 2014 When

shearing

a

_{homeotropic sample}

of smectic A, a _strong

_{rigidification}

of the central

part of the flow has been observed. This effect has

_probably

to do _{with the presence of defects that} are not visible under the

_microscope.

It subsists when a

_cylindrical

thread is _glued on one side of the

sample.

Two static

_regions

then

_spread

out on both sides of this obstacle.

_They

are connected to the central _part of the flow

_through

a thin

_layer

of

_permeation.

An estimate of the

_dissipation

_gives us a

rough

value of the

_{permeation length,}

first introduced

_by

de Gennes :

_~-1

=

~03BBp.

Lastly

we show that a dilation under shear leads to a lattice of focal

_parabola,

which is

_asymmetrical

with _respect to

the obstacle.

Un cristal

_{liquide smectique}

A

_{presente 1’originalitc}

d’etre un

_liquide

a deux dimensions dans le

plan

de ses couches et un solide dans la direction

_{perpendiculaire.}

Ce double caractere est a

l’origine

d’effets

_{hydrodynamiques remarquables.}

Les

_premieres

tentatives visant à les decrire sont celles de P. G. de Gennes et du

_Groupe

_d’Orsay

des Cristaux

_{liquides [1].}

Le cas du cisaillement

_{perpendiculaire}

aux couches a été successivement _{etudie par C.} E. Williams

_puis

_par J.

_{Marignan [2].}

Ces travaux ont montre le role

_important

des défauts

_(coniques

focales)

dans l’écoulement du

_smectique.

Cet article decrit le

_comportement

d’un

_smectique

soumis a un cisaillement

_parallele

aux couches. II montre les anomalies de 1’ecoulement de Couette

simple

que nous

_{généralisons}

au cas d’un écoulement autour d’obstacles

_cylindriques

de

diff6-(*) Laboratoire associé au CNRS.

La cellule de cisaillement utilisée a

déjà

ete decrite dans un article anterieur

_[3].

Elle

_permet

de cisailler avec une

_grande

_regularite

un

_{cristal liquide plac6}

entre deux lames de verre

_parallèles.

Cette cellule a ete conçue pour les observations au

_{microscope polarisant.}

Les lames de verres

sont traitees au silane

_polymerise

_pour assurer un bon _ancrage

_homéotrope.

L’obstacle utilise est

un fil

cylindrique

en

_nylon

_qui

est colle a ses extrémités sur la lame inferieure _que l’on maintient

immobile. La lame

_supérieure

effectue un mouvement de translation dans la _direction perpen-diculaire a 1’axe du fil. Sa vitesse V

_peut

verier de 1 a 70

_{pm/s. L’epaisseur}

des echantillons est de 280 _pm.

Le

_produit

étudié est le 8 CB

_{(4-n-octyl-4’-cyanobiphényle) qui}

a une

_phase

Sm A entre 21 °C

et 33 °C et est

_nematique

au-dessus de 33 ~C.

2. Les anomalies de l’icoulement laminaire.

Ce

_paragraphe

decrit le cisaillement continu d’echantillons

homeotropes.

Qu’il

y ait ou non un

obstacle,

Fextinction reste

_parfaite

entre

_polariseurs

croisés au cours du mouvement.

L’écoule-ment est stable a 1’echelle du

_{microscope optique.}

Ceci

_exige

une

_grande

stabilite de la cellule de

cisaillement et un bon

_{parallélisme}

des lames dont

_1’angle

n’excède pas

10-4

rad. Pour determiner

le

_profil

des vitesses nous suivons dans leur mouvement de fines

_{poussières toujours présentes}

dans les echantillons. Leur

_repartition

aléatoire et la difficulté de les

_positionner

dans

_{l’épaisseur}

avec

_precision

rendent nos resultats

_{approximatifs.}

La

figure

1

represente

le

profil

des vitesses

Fig.

1. - Profil des vitesses _en cisaillement

simple parallele

aux couches.

[Velocity profile

under

_simple

shear

_parallel

to the

_layers.]

pour un cisaillement sans obstacle. Nous observons un écart

_important

au

_profil

lincaire et une

rigidification

très nette du centre de 1’echantillon. Cette

_region

se caractérise _par un faible taux de

cisaillement. Elle est animee d’une vitesse moyenne moitié de la vitesse V de la lame

superieure.

Au

_voisinage

des lames s’étendent deux zones

_épaisses

de 30 _~m environ et soumises a un fort

gradient

des vitesses. L’allure de ce

_{profil depend}

_peu de la vitesse de cisaillement V et la

La

_presence

d’un obstacle modifie ce

_{comportement.}

Nous _pouvons alors

_distinguer

dans

l’écoulement trois

_{regions (Fig.}

_{2) :}

- La

premiere,

caracterisee _par un fort

_gradient

des

vitesses,

s’étend sur une

_profondeur

h

qui

croit avec le diamètre d de l’obstacle. La vitesse varie de V a V’ dans

_{cette region.}

- Lui succède

une

_region

de faible vorticite

qui

s’étend

_jusqu’au

sommet de l’obstacle et ou la vitesse est

_quasiment

constante et

_égale

a V’.

- Une derniere

zone

_statique

s’etend de

_part

et d’autre de l’obstacle. La limite

_qui

la

_separe

de la

_précédente

et dans

_laquelle

s’annule la vitesse n’a _pu etre résolue au

_microscope.

Fig. 2. - Profil des vitesses _sous cisaillement _en

presence

d’un fil

_cylindrique.

[Velocity

profile

under shear in presence of a

_cylindrical

_thread.]

Voici a titre indicatif les

ordres

de

_grandeur

de h et du

_rapport

_V/V’

_pour diverses valeurs du diamètre d du fil. Dans tous les cas

_{1’epaisseur}

totale de 1’echantillon est de 280 _um.

Pour

_compléter

nos resultats nous allons décrire 1’effet d’une dilatation au cours du

cisaille-ment. Ceci fait

_l’objet

du

_paragraphe

suivant.

3. Instabifitis.

Nous savons _que sous 1’effet d’une dilatation normale aux couches se

_{développe rapidement}

un reseau de

paraboles

focales.

En

_statique

ce reseau est désordonné

_[4].

Sous cisaillement il

_apparait

mieux ordonne. Sans obstacle les domaines focaux

_qui

le

com-posent

occupent la

_partie

médiane due rechantillon

_qui

devient encore

_{plus rigide}

_que lors de

recoulement de Couette

_simple.

Ces defauts se

_deplacent

en bloc a une vitesse moitié de celle de la

lame mobile. Une

_description

detaillee et une

_{premiere analyse théorique}

de ces

_phénomènes

sont

Ils _passent a

_1’aplomb

de l’obstacle sans modification.

Avec un _{fil de 40 gm la} texture est entrainee a une vitesse

plus petite, proche

de

0,3

V. Un effet nouveau survient au

voisinage

du fil. Les defauts en _provenance de 1’amont s’« annihilent » a son passage pour

reapparaitre

a 1’aval sous forme d’un nouveau reseau tres bien ordonne dont le

parametre a

est

_{toujours superieur}

a celui de la texture initiale

_(Fig.

_3a).

D’autre

_part

l’observa-tion des

points

de rencontre des

_paraboles

a montre

_qu’elles

_occupent

une

_{épaisseur t plus grande}

que dans le reste de Fechantillon

_{(Fig. 3b).}

La mesure de a et t de

_part

et d’autre du fil

_permet

de connaitre la distance focale

_f

des

_{paraboles (a 2 =}

8

_ft)

et de montrer

_qu’elle

reste invariante

apres

passage a

1’aplomb

de l’obstacle. L’effet

_principal

du fil est donc de favoriser un

rearrange-ment des domaines focaux et de conduire a une diminution

_globale

de

_{Fenergie elastique}

du reseau.

Avec un fil de 80 ~m

apparait

un

_decentrage

visible des domaines

_{paraboliques (Fig.}

4a).

Cet

effet survient au moment de la nucleation sous cisaillement. Les defauts du reseau amont sont

decentres vers le bas et ne _peuvent franchir l’obstacle. Ils restent

_immobiles.

A l’avalles defauts

Fig.

3. - a :

_Aspect

de la texture obtenue _apres cisaillement en

_presence

d’un fil de 40 _{um de diamètre,} la dilatation _(de l’ordre du micron) ftant maintenue. A 1’aval est _apparu un réseau tres bien ordonne de domaines

paraboliques plus

gros

(Nicols croises). b :

S

cr

Disposition

des

paraboles

focales au sein de Fechantillon.

[a :

Aspect

of the texture obtained _{under shear in presence} of a 40 um diameter _thread, the dilation _(about one

_{micron) being kept}

constant. A very well ordered lattice of

larger parabolic

domains

_appeared

Fig. 4. - a : _Aspect du reseau de

_paraboles

focales

_juste

_apres sa nucleation sous cisaillement en _presence

d’un fil de 80 nm de diametre. Le decentrage des domaines focaux est tres net : a 1’amont de l’obstacle sont

visibles les

_points

de rencontre des

_paraboles

tandis

_qu’a

Faval la mise au

_{point apparait}

sur le coeur des domaines _{(Nicols croises). b :}

_Disposition

des

_paraboles

focales au sein de Fechantillon.

[a :

Aspect of the focal

_parabola

lattice

_just

after its nucleation under shear in presence of a 80 ~m diameter

thread. The focal domains are

_clearly

out of the centre; up-stream from the obstacle, the

parabola-intersec-tion

_points

are visible while down-stream, the focus is on the core of the domains _{(Crossed Nicols). b :}

Arrangement of the focal

_parabola

inside the

_sample.]

sont decentres vers le haut et sont entrain6s _par l’ écoulement a une vitesse voisine de

0,2 V

(Fig. 4b).

Au niveau du fil

_apparait

comme

_precedemment

un reseau bien ordonne de defauts

_plus

_gros.

Avec un fil de 110 Ilm la situation est sensiblement la

meme,

et le

_decentrage

s’accentue

légère-ment. Neanmoins le cisaillement devient très destructeur et conduit

_rapidement

a un echantillon

de nouveau

_homéotrope.

Les effets _que 1’on vient de decrire sont

_{reproductibles.}

Ils

_dependent

neanmoins

_beaucoup

de

parametres

difficilement

_{controlables,}

comme la valeur de la dilatation

_{imposee (de}

l’ordre du

micron dans ce

_{qui precede)}

et 1’etat de surface des lames. La force de

_1’ancrage

dont 1’effet est

discute dans

_[3]

_peut

_jouer

un rôle

_important

lors de la nucleation des

_paraboles

focales et dans le

contenu en

_defauts,

invisibles au

microscope,

des echantillons

homeotropes

du

depart.

L’impor-tance de ce dernier

point

est

_soulignee

dans le

_paragraphe

suivant.

4. Elements

d’interpretation.

Le

_phénomène

le

_plus

_surprenant est sans aucun doute la

_{rigidification}

centrale des echantillons

homeotropes

sous cisaillement

_simple.

Cet effet s’accentue sous dilatation en

presence

d’un reseau

micro-Neanmoins

_{1’experience}

montre clairement l’existence de 2

_{regions statiques qui}

s’étendent de

part

et d’autre de 1’obstacle et

_qui

se raccordent a la

_partie

centrale de l’écoulement au travers

d’une couche mince de vorticité. Le

_principe

du

_calcul

de la distribution de vitesse dans cette

couche limite a _{ete donne par P. G. de Gennes}

[ 1 ]. On

_peut

montrer _que

_{Fenergie dissipee}

_par

permeation

et friction

_visqueuse

dans cette couche mince s’ecrit :

L

_designe

la dimension linéaire

_(dans

le

_plan

des

_couches)

de Fechantillon et

_{X - I}

=

~/~p

est la

longueur

de

_permeation.

_{Ce calcul suppose} constante et

_égale

a V’ la vitesse dans la

_partie

cen-trale de l’échantillon. Cette

_energie

doit etre

_egale

a celle

_qui

est

_dissipée

dans l’écoulement de Couette localise au

_voisinage

de la lame

supérieure

et

_qui

vaut :

L’egalite 4>’ = ~", qui exprime

que les forces

qui

s’exercent sur les lames inférieure et

_supérieure

sont

_egales

et

_opposees,

conduit a la relation suivante :

Nous avons donne dans le

_paragraphe

2

_{quelques couples}

de valeurs

(h, VIV’).

Ils satisfont a

cette relation et conduisent pour le 8 CB a la

temperature

ambiante a

/’ ~ ~

70

A.

Cette valeur

est en accord avec celle obtenue lors des

_experiences

de lubrification

[6].

5. Conclusion.

Cette

_experience

met en evidence 1’existence d’un

profil

des vitesses du

_type

« bouchon » en

cisaillement

_{simple parallèle}

aux couches

_smectiques.

Ce résuItat est

_compatible

avec un

compor-tement non newtonien observe d’abord _{par M.} G. Kim et al.

_{[7] puis}

_{par R.} G. Horn et M.

K16-man

[8]

dans cette

_géométrie

d’écoulement.

Il est

_probable

_que les defauts

_jouent

ici un role

_important

comme c’est le cas dans d’autres

situations

_{expérimentales [9].}

Remerciements.

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