St. Joseph/ICAM Toulouse CB10 - 2019-2020 -Correction
CB n
◦10 - INTEGRALES A PARAMETRE
EXERCICE 1
On considère la fonction f :x7→
Z +∞
0
e−xt 1 +tdt 1. Montrer que f est de classeC1 sur]0,+∞[.
On noteg: (x, t)7→ e−xt
1 +t définie sur ]0,+∞[×[0,+∞[.
• ∀x ∈]0,+∞[,∀t ∈ [0,+∞[,|g(x, t)| ≤ e−xt, donc par comparaison à une intégrale de référence convergente,t7→g(x, t) est intégrable sur[0,+∞[.
• ∀t∈[0,+∞[, x7→g(x, t) est de classe C1 sur]0,+∞[.
• ∀x∈]0,+∞[, t7→ ∂g
∂x(x, t) = −t
1 +te−xt est continue sur [0,+∞[.
• Soit [a, b]⊂]0,+∞[(a >0) ;∀x∈[a, b],∀t∈[0,+∞[,
∂g
∂x(x, t)
≤e−at.
La fonction ϕ:t7→e−at est intégrable sur[0,+∞[(c’est une intégrale de référence).
Le théorème de dérivation donnef de classeC1 sur]0,+∞[.
2. Donner une équation différentielle vérifiée parf. La formule de Leibniz donne :∀x∈]0,+∞[, f0(x) =
Z +∞
0
−t
1 +te−xtdt Z +∞
0
e−xt 1 +tdt et
Z +∞
0
−t
1 +te−xtdt convergent donc, par linéarité des intégrales généralisées, on a : f0(x) =
Z +∞
0
1−(t+ 1)
1 +t e−xtdt=f(x)− Z +∞
0
e−xtdt=f(x)−1 x. Ainsif est solution sur ]0,+∞[de l’équation différentielle :y0−y=−1
x. EXERCICE 2
On considère la fonction f :x7→
Z +∞
0
e−t
√ teixtdt 1. Calculerf(0).
On rappelle l’intégrale de Gauss : Z +∞
0
e−t2dt=
√π
2 . On noteϕ:t7→ e−t
√t.
ϕest positive et continue sur ]0,+∞[donc localement intégrable.
En 0 : ϕ(t) ∼
t→0
√1 t;
Z 1 0
√dt
t est une intégrale de Riemann convergente donc, par comparaison de fonctions positives,
Z 1 0
ϕ(t)dt converge.
En +∞ : Sur [1,+∞[,0 ≤ ϕ(t) ≤ e−t et Z +∞
1
e−tdt est une intégrale de référence convergente donc, par comparaison de fonctions positives,
Z +∞
1
ϕ(t)dtconverge.
Finalement, ϕest intégrable sur]0,+∞[.
On a : f(0) = Z +∞
0
ϕ(t)dt. On effectue le changement de variable u = √
t (qui donne du = dt 2√
t )
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bijectif de]0,+∞[dans]0,+∞[, et on obtient : f(0) =
Z +∞
0
e−u22du=√ π.
2. Montrer que f est de classeC1 surR. On noteg: (x, t)7→ e−t
√teixt définie surR×]0,+∞[.
• ∀x∈R,|g(x, t)|=ϕ(t) donc t7→g(x, t) est intégrable sur]0,+∞[, d’après la question précédente.
• ∀t∈]0,+∞[, x7→g(x, t) est de classeC1 surR.
• ∀x∈R, t7→ ∂g
∂x(x, t) =i√
te−t+ixt est continue sur ]0,+∞[.
• ∀x ∈ R,
∂g
∂x(x, t)
= √
te−t; La fonction t 7→ √
te−t est continue sur [0,+∞[ donc localement intégrable, et√
te−t=ot→+∞
1 t2
, elle est donc intégrable sur [0,+∞[.
Le théorème de dérivation donnef de classeC1 surR.
3. A l’aide d’une intégration par parties, montrer quef est solution de l’équation différentielle
y0 = i−x
2(1 +x2) y (E) La formule de Leibniz donne :∀x∈R, f0(x) =
Z +∞
0
i√
te−t+ixtdt.
On considère les fonctions u:t7→ −ie−t(1−ix)
1−ix etv:t7→√ t.
Elles sont de classe C1 sur [0,+∞[,lim
+∞ uv = 0 et on sait que Z +∞
0
i√
te−t+ixtdt converge donc le théorème d’intégration par parties donne :
f0(x) = Z +∞
0
i√
te−t+ixtdt= i
2(1−ix)f(x) = i−x
2(1 +x2)f(x).
4. Résoudre (E) est en déduire l’expression def. On a :
Z i−x
2(1 +x2)dx= i
2Arctan(x)−1
4ln(1 +x2) +C, C∈R. On en déduit (avec la question 1) que pour x >0, f(x) =√
π e2iArctan(x)
√4
1 +x2 .
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