CALCUL NUMÉRIQUE DU FROTTEMENT INTÉRIEUR ƊH : APPLICATION À MgO MONOCRISTALLIN

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Submitted on 1 Jan 1983

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CALCUL NUMÉRIQUE DU FROTTEMENT INTÉRIEUR �H : APPLICATION À MgO

MONOCRISTALLIN

M. Gabbay, C. Esnouf, A. Vincent, Gilbert Fantozzi

To cite this version:

M. Gabbay, C. Esnouf, A. Vincent, Gilbert Fantozzi. CALCUL NUMÉRIQUE DU FROTTEMENT

INTÉRIEUR �H : APPLICATION À MgO MONOCRISTALLIN. Journal de Physique Colloques,

1983, 44 (C9), pp.C9-569-C9-573. �10.1051/jphyscol:1983984�. �jpa-00223434�

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CALCUL N U M É R I Q U E DU FROTTEMENT I N T É R I E U R A H : APPLICATION À Mg0 MONOCRI STALLIN

M. Gabbay, C . Esnouf, A . V i n c e n t e t G . F a n t o z z i

Groupe dtEtudes de Métallurgie Physique et de Physique des Matériaux, L.A.-CNRS, I.N.S.A., Bât. 502, 69621 Villeurbanne Cedex, France

Résumé

-

AH e s t c a l c u l é en f o n c t i o n de l a température e t de l ' a m p l i t u d e a, de l a c o n t r a i n t e s o l l i c i t a t i o n . Pour un niveau donné AH, o d é c r o î t

Ilnéairement avec TPf2 dans l e domaine des basses températures.

l u

d e l à , l a décroissance e s t t o u j o u r s l i n é a i r e mais p l u s l e n t e . L ' e x t r a p o l a t i o n de l a d r o i t e basse température d é f i n i t une température Tc c a r a c t é r i s t i q u e qui permet d ' é v a l u e r l ' é n e r g i e de l i a i s o n e n t r e d i s l o c a t i o n e t d é f a u t ponctuel. Dans c e domaine basse température, l e désancrage du premier d é f a u t ponctuel s u f f i t pour e n t r a î n e r l e désancrage t o t a l a l o r s que, dans l e domaine haute température, l e désancrage s ' e f f e c t u e c o l l e c t i v e m e n t à p a r t i r de p l u s i e u r s d é f a u t s ancreurs.

Abstract - AH i s computed a s a f u n c t i o n of temperature and s t r e s s amplitude

0,. For a given l e v e l AH, oo decreases l i n e a r l y versus Tl12 along t h e low temperature range. For higher temperature, such a l i n e a r decrease i s observed but t h e slope i s lower. The e x t r a p o l a t i o n of t h e low temperature s t r a i g h t l i n e determine a c r i t i c a l temperature Tc which allows an e s t i m a t i o n of t h e binding energy between d i s l o c a t i o n and point d e f e c t . Along t h e low tempera- t u r e range, complete breakaway i s t r i g g e r e d by t h e breakaway of t h e f i r s t pin ; a t higher temperature, s e v e r a l s p i n s a r e c o l l e c t i v e l y involved.

1

-

INTRODUCTION

L'étude de l ' i n t é r a c t i o n d i s l o c a t i o n s - d é f a u t s ponctuels dans Mg0 m o n o c r i s t a l l i n déformé plastiquement à l'ambiante nous a conduit à mesurer l e f r o t t e m e n t i n t é r i e u r dû au désancrage AH en f o n c t i o n de l ' a m p l i t u d e de v i b r a t i o n s i n u s o ï d a l e (fréquence 1 0 kHz) pour d i f f é r e n t s é t a t s de r e c u i t . D i f f é r e n t s modèles t h é o r i q u e s de désancra- ge ont é t é appliqués à ces mesures expérimentales e t l e s premières analyses des r é s u l t a t s ont é t é publiées p a r a i l l e u r s {11,{21. Parmi ces modèles, i l e s t u t i l e de r a p p e l e r l e s bases d e c e l u i i s s u de l a t h é o r i e de L U C K E e t a l ' ( 3 1 d é c r i v a n t l e désancrage thermomécanique ; dans l e domaine basse température, AH e s t donné par : (O) A H = 0 pour o. << o d ~ - .

(1) A H = hLT2 fm [(uo2

-

urT2)/2 u02] pour uO 5 u dT (2) A H = hLT2 [(udT2

-

urT2)/2 o02] Pour oo > cfdT avec A : d e n s i t é des d i s l o c a t i o n s

L T i longueur t o t a l e des segments e n t r e ancrages durs.

uo. amplitude de l a c o n t r a i n t e u=oo s i n 2 s v t où v e s t l a fréquence de s o l l i - c i t a t i o n

orT: respectivement c o n t r a i n t e s de désancrage e t de réancrage thermique u d T y d é f i n i e s dans' {31

fm: v a l e u r maximale de l a f r a c t i o n désancrée f a t t e i n t e dans un demi-période (fm = 1 lorsque uo >udT)

Pour des boucles longues, urT2 devient n é g l i g e a b l e devant ud ( c a r udT/orT e s t proportionnel à l a longueur des segments) e t l e s r e l a t i o n s

(1)

e t ( 2 ) s e s i m p l i - f i e n t . En p a r t i c u l i e r , pour l a région où A H c r o î t avec oo, (1) s ' é c r i t a l o r s (3) AH = AL; fm/2.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1983984

(3)

C9-570 JOURNAL DE PHYSIQUE

Dans c e t t e première approche où l ' o n considère o <<O l e réancrage des segments désancrés peut ê t r e négligé e t c e t t e f r a c t i o n ma$fmumdTi obtenue au cours d u cycle sera quasiment constante lorsque (4) Pd. A t = K

où :

-

Pd e s t l a fréquence de désancrage donnée par Pd = vd exp 1- Ud/kT) (5) vd e t Ud sont t a fréquence d'attaque e t l ' é n e r g i e d ' a c t i v a t i o n du desancrage.

-

^A; ⁼a/v.a é t a n t une f r a c t i o n de l a période de mesure l / v pendant laquelle l a contrainte a g i t au voisinage de son maximum oo (LUCKE e t al ^'131 ) .

-

K e s t une constante au maximum égale à 1.

En u t i l i s a n t l a force d ' i n t é r a c t i o n l i n é a r i s é e proposée par TEUTONICO e t a l ' (41, l'énergie Ud e s t donnée par :

(6) U

-

^U (1- o /a ) avec U : énergie de liaison dislocation-défaut ponctuel e t a d c8ntrainte de désancrage mécanique, on obtient une f r a c t i o n désancrée cdnstante ( c ' e s t - à - d i r e A H constant) lorsque l a condition suivante e s t s a t i s - f a i t e

( 7 ) oo =

(l ^-

^/b o / k . ln (o. v d / ~ . v ) ] '12))

Si Uo/k.ln ( a . vd/K.v) =

cte

⁼Tc (8) alors (7) s ' é c r i t uo = ~ ~ [ l - ( T / T c ) l / ~ ] (9) L'analyse de nos résul ts expérimentaux

selon l e diagramme ~ ( T t 4 2 ) présente un bon accord avec l a r e l a t i o n (7) vers les basses températures (Figure 1 ) . Ainsi, nous observons l o r s de r e c u i t s successifs:

i ) une température c a r a c t é r i s t i q u e Tc quasiment commune montrant que l ' é n e r g i e moyenne des ancreurs varie peu l o r s des d i f f é r e n t s traitements;

i i ) l e module de l a pente des d r o i t e s

o (T 12) augmente indiquant une augrnenta- tion de od, c ' e s t - à - d i r e une augmentation du nombre de défauts piégeant l a dislocation.

Au delà de ce domaine l i n é a i r e , i l ap a r a î t une diminution plus l e n t e de E avec T /2,

P

mais nous n

'

avons pas pu déterminer s i ce changement é t a i t dû à un défaut ancrant d'un autre type ou à un autre mode de dé- sancrage. Nous avons donc e n t r e p r i s un calcul numérique de A H afin de : i / préciser c e t t e analyse e t d é f i n i r son domaine d'application;

i i / i n t e r p r é t e r l e changement de pente du diagramme o ( ~ 1 / 2 )

.

I I

-

PRINCIPE DU CALCUL Figure 1: Analyse des mesures s u r Mg0 pour d i f f é r e n t s é t a t s de r e c u i t . a-293K. b-366K. c-429K. d-521K.

Les dislocations sont piégées par N défauts e - 5 9 3 ~ : ponctuels identiques r é p a r t i s selon l e

schéma de l a figure 2. Pour une t e l l e d i s t r i b u t i o n , u t i l i s é e par VINCENT e t al' (53, l e défaut central définissant une double boucle symétrique e s t celui dont l e désan- crage e s t l e plus probable. Ensuite l e chemin de désancrage d o i t s ' e f f e c t u e r par désépinglages successifs des points adjacents à l a grande boucle précédemment désancrée de longueur Ld = 2L, 2L

+

1, 2L

+

21,

. . .

ainsi formée. Les longueurs t o t a l e s LT e t désancrées Ld, sont données par :

LT = L (2 +(N-I)/B) e t Ld = L (2 + (Nd-1) 6 ) avec 6=L/1;

Nd e s t l e nombre de défauts adjacents désancrés.

Pour T e t op donnés, AH e s t calculé à p a r t i r de l ' a i r e du cycle ~ ~ ~ ~ ( o ) , ^E é t a n t l a déformation due au désancrage. Un pas de contrainte ~ o = o ~ / 1 ( 1 : nombre dgi$?s), choisi à p r i o r i , conduit à une variation de o en e s c a l i e r o = ( p / I ) oo,p e n t i e r o.< p < I . Le calcul de E nécessite l a détermination à ch66Le pas, des populations partiellement ou t 8 â l e m e n t désancrées. Ce calcul e s t r é a l i s é de l a f acon

(4)

e s t déterminé pour l e chemin de désancrage l e plus probable. Les énergies d ' a c t i - vation du désancrage U ( i ) e t du réancrage Ur ( i ) d u ième ancreur sont déterminées à p a r t i r du modèle de f a double boucle

dissymétrique de TEUTONICO e t al {4).

i i ) Pour l e désancrage du ième point, ^{1 ,} ^L , L , I , I ~ I , I

l e s fréquences de désancrage Pd(i) e t

1

de réancrage Pr(i) sont alors calculées _LT

à p a r t i r de U d ( i ) , Ur(i) e t des fréquences d'attaque efficaces de désancrage e t de réancrage vd e t vr calculées par TEUTONICO

Figure -

^schéma^{d l}une dislocation e t al' (61.

i i i ) P d ( i ) e t P r ( i ) permettent l e calcul plegee. N=9 6=2

de l a population ni + An. des dislocations comportant i points désancrés à p a r t i r des populations n i calculées pour l e pas de contrainte précédent (p-1).

(Io) A n i z p ( i - l ) ' p d ( i - l ) + n ( i + l ) . p r ( i + l )

-

n i ' p d ( i )

-

n i * p r ( i ) ) ~ t où A t e s t l a durée du pième pas de contrainte.

i i i ) A H é t a n t obtenu, l e calcul complet e s t r é i t é r é pour un nombre de pas de con- t r a i n t e double du précédent jusqu'à convergence s a t i s f a i s a n t e de AH.

A H a ainsi é t é calculé pour diverses longueurs de dislocations. Ensuite, pour nous rapprocher de l a r é a l i t é physique, nous avons calculé AH en tenant compte d'une d i s t r i b u t i o n des lot-tgueurs utour d'une valeur moyenne Cm. AH e s t obtenu par l a r e l a t i o n (11) AH= AH(L).%(L)~L avec X ( L ) ~ L L exp

[-

t J d L . Lo étant l a plus courte longueur en-h@ssous de 1 aqueï l e AH=O.

I I I

-

RESULTATS

La f i g u r e 3 présente un réseau de courbes A H (oo) pour L=2000b, N=9, B =2 e t pour

Figure 3

-

A H en fonction de opour d i f f é - rentes températures : a-20K, b-30K, c-50K, d-70K, e-100K, f-200K, g-250K.

Figure 4

-

A H calculé en fonction de compte tenu d'une d i s t r i b u t i o n de longueurs autour d'une longueur moyenne Lrn=700b : a-ZOK, b-30K, c-50K, d-70K, e-100K, f-200K, g-300K.

(5)

C9-572 JOURNAL DE PHYSIQUE

L=2000b, N=9, ,6=2 e t pour d i f f é r e n t e s températures. Avec l ' a i d e d u tableau des pnpv- l a t i o n s en fonction de l a contrainte, nous avons v é r i f i é que, pour T donné, l ' a l l u r e de l a p a r t i e ascendante de l a courbe AH (0,) t r a d u i t exactement l'évolution de l a f r a c t i o n désancrée f avec u

.

Les r é s u l t a t s d u calcul de A H avec d i s t r i b u t i o n des longueurs sont présentés sup l a f i g u r e 4. La d i s t r i b u t i o n a pour e f f e t de rendre les maximums moins aigüs e t l a croissance de A H avec a, moins abrupte.

I V - DISCUSSION

La f i g u r e 5 présente les diagrammes u ( ~ 1 1 2 ) pour t r o i s longueurs d i s t i n c t e s . Nous constatons une variation l i n é a i r e avec changement de pente séparant basses e t hautes températures : c e t t e variation e s t qualitativement comparable à l ' a n a - lyse des r é s u l t a t s expérimentaux. Les diagrammes énergétiques s u r l a f i g u r e 6 permettent d'expliquer l ' a l l u r e de l a variation de u avec ~ 1 1 2 . Dans l e domaine basse température (jusqu'au changement de pente), les diagrammes 6a e t 6b mon- t r e n t que l e désancrage d u premier point conditionne l e désancrage de toute l a ligne. Au-delà, c ' e s t un groupe de plu- s i e u r s ancreurs qui d é f i n i t l a b a r r i è r e énergétique à franchir pour entraîner l e désancrage t o t a l ( f i g u r e 6c); 1 'éner- gie d ' a c t i v a t i o n d u phénomène e s t alors plus élevée.

Comme l ' a n a l y s e conduisant à l a r e l a t i o n ( 9 ) l e prévoyait, nous vérifions que, d u côté des basses températures, pour L=1000b e t 2000b :

F i g u r e 5

-

Diagramme o (T1I2) pour A H Fi ure 6

-

Diagramme énergétique pour e t pour l e s contraintes a,b,c calcule pour t r o i s longueurs d i s t i n c t e s

b

de dislocation e t pour l a même f r a c t i o n repérées dans l a f i g u r e 5.

désancrée ( f = 0 , 5 ) .

i

-

l ' e x t r a p o l a t i o n à T1I2=0 des d r o i t e s D2 (1000b) e t D j (2000b) conduit bien à l a contrainte de désancra e mécanique du premier ancreur à savoir respectivement ud=2,27.10-56 e t 1,14.10- 6.

L,

i i

-

l a variation de l a pente des d r o i t e s D2 e t D3 s ' e f f e c t u e dans l e rapport des contraintes od respectives.

i i i

-

1 'extrapolation de D2 e t D3 à o=o détermine une température c a r a c t é r i s t i q u e commune Tcf410K.

Ces v a r i a t ~ o n s l i n é a i r e s de ⁰⁰avec Tl1* d u côté des basses températures ainsi que

(6)

Au s u j e t du cas L=2OOb, l a d r o i t e D l obtenue ne correspond pas à c e l l e attendue ( d r o i t e D ' l ) : ce décalage e t son sens ( D l 1 -c D l ) s'expliquent par l e f a i t que l e modèle rappelé dans 1 'introduction néglige l e réancrage-relation (3)

-

alors que c e t t e approximation n ' e s t plus valable. En e f f e t , n ' e s t plus négligeable devant ozT ,puisque l a limite inférieure du rapport U ~ T / Ü ~ T e s t égaie à or/ad = 0,42.

Ce decalage e s t d'autant plus important que 1~ rapport a r ~ / u d ~ e s t grand, c ' e s t - à - d i r e que l a température e s t élevée ( voir relation 1 ).

La f i g u r e 7 présente l e s diagrammes a ( ~ ~ / ~ ) obtenus en tenant compte d'une d i s t r i b u t i o n

des longueurs dans l e calcul de A H . Ces di agrames, t o u t - à - f a i t semblables aux pré- cédents, montrent que l a d i s t r i b u t i o n n ' a

pas d ' e f f e t déterminant; i l s ne sont en

4

0 . 1 0 5

f a i t qu'une combinaison des droites décalées

1 -. 0 Lm = 700 b

de l a f i g u r e 5. La température Tc obtenue

e s t de 410K environ. 0 L ~5 0 0 b =

En vue de l ' a n a l y s e des r é s u l t a t s expéri-

mentaux, i l e s t u t i l e de préciser l a _\O r e l a t i o n e n t r e Tc e t l ' é n e r g i e de liaison

U o ; nous avons donc déterminé, à p a r t i r des courbes o ( ~ 1 1 2 ) obtenues numérique- ment, l e coefpicient A t e l que A=Uo/kT, donc A = 14. En u t i l i s a n t c e t t e valeur, nous déduisons pour nos r é s u l t a t s expéri- mentaux, une énergie de l i a i s o n Uo=0,31eV.

V

-

CONCLUSION

5 10 15 _Tc¹

*

Notre calcul numérique d u désancrage précise l a nature des deux domaines observés dans

l e s analyses o o = f ( ~ 1 / 2 ) à AH constant : Fi ure 7

-

Diagramme a (Tl") pour l e domaine basse température correspond au *lé avec d i s t r i b u t i o n des désancrage catastrophique à p a r t i r d u premier longueurs autour de 2 longueurs ancreur ; l e domaine haute température moyennes 500b e t 700b e t pour l e correspond au désancrage c o l l e c t i f à p a r t i r même rapport A H / A H max.

de plusieurs ancreurs. Pour l e domaine

basse température, l a variation l i n é a i r e de oo avec T1l2 peut ê t r e approchée par une loi de l a forme : oo = od

[

¹

-

( T / T C ) ~ / ~ ) .

Dans c e t t e r e l a t i o n nous avons r e l i é Tc à U o pour les boucles longues, mais l a r e l a t i o n r e s t e à é t a b l i r pour les boucles t r è s courtes.

Par a i l l e u r s , une étude plus complète e s t en cours afin de préciser l ' e f f e t des d i f f é r e n t s paramètres.

REFERENCES

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