Etude topologique de fonctions définissables par automates

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Etude topologique de fonctions définissables par

automates

Cagnard Benoit

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pour l'obtention du grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE CORSE

Mention Mathématiques Informatique

par

Benoît CAGNARD

ETUDE TOPOLOGIQUE DE FONCTIONS

DEFINISSABLES PAR AUTOMATES

présentée etsoutenue publiquementle 28novembre 2008

Compositiondu jury

Rapporteurs Professeur OlivierCARTON Université Paris7

Professeur Ja ques DUPARC Université de Lausanne

Examinateurs Professeur Marie Pierre BEAL Université Paris Est

Professeur PaulBISGAMBIGLIA Université de Corse

DR CNRS GillesGODEFROY Université Paris6

MCF (HDR) Jean Martin PAOLI Université de Corse

Professeur Jean FrançoisSANTUCCI Université de Corse

Je tiens à remer ier haleureusement OlivierCarton et Ja ques Dupar d'avoir

euonteu l'extrêmegentillessed'a epterd'êtrerapporteurde e travail.Jeremer ie

égalementMarie Pierre Béal etGillesGodefroy,Jean Martin Paoli,Paul

Bisgambi-gliaetJeanFrançoisSantu i deleurbienveillanteprésen edans monjuryde thèse.

Mer i à toi Pierre d'avoir eu susamment de ontinuité et de téna ité pour

m'aider à mener à terme e travail. Nos modes de fon tionnement respe tifs bien

qu'asyn hrones sont peut être àdélai borné...

Mer iàBernardDiMartinopoursadisponibilitésansfailleetsa apa itéàgérer

lessituations de rise de toute sorte.

Un grand et généreux mer i à tous mes ollègues, enseignants, her heurs et

personnels administratifs de la fa ulté des s ien es qui m'ont a ueillis au sein de

etteuniversité etmepermettent dem'y épanouirdepuismaintenantplusde 9ans.

Pour lesamis,vous savez bienqueje mettraibienplus de15joursàvous

Introdu tion 4 0.1 Langages rationnels . . . 5 0.2 Séries rationnelles . . . 7 0.2.1 De lasérie à lafra tion . . . 7 0.2.2 De lafra tion à lasérie . . . 8 0.3 Fon tionsrationnelles . . . 9 0.4 Fon tions

ω

-rationnelles . . . 11

0.5 Représentation des réels en base

θ

. . . 13

1 Automata, Borel fun tions and real numbers in Pisot base 17 1.1 Introdu tion . . . 18

1.2 Innite words ona nite alphabet . . . 19

1.3 Automata oninnite words . . . 20

1.4 Borel hierar hy . . . 22

1.5 We an de ide if afun tion denable in

S1S

is Baire lass 1 . . . 24

1.6 An example of non- ontinuous Baire lass 1 fun tion: the anoni al Booth fun tion . . . 26

1.7 The ase of the real numbers . . . 30

1.8 Con lusion . . . 35

2 Baire and automata 38 2.1 Introdu tion . . . 39

2.2 Automata oninnite words . . . 43

2.2.1 innitewords . . . 43

2.2.2 Automataoninnite words . . . 43

2.2.3 S1S: the monadi se ond order theory of one su essor . . . . 46

2.2.4

ω

-regular sets . . . 46

2.3

ω

-rationalrelations . . . 47

2.4.1 Ordinals . . . 49

2.4.2 The Borelhierar hy. . . 50

2.4.3 Polish spa es . . . 51

2.4.4 Analyti sets and oanalyti sets . . . 52

2.4.5 Complete sets . . . 52

2.5 Baire's lasses . . . 54

2.6 An example . . . 56

2.7 Dieren es hierar hy . . . 59

2.8 Haussdor's derivation . . . 61

2.9 Baire's theorem . . . 64

2.10 Appli ation toautomata theory . . . 65

2.11 Games . . . 66

2.11.1 Bü hi, Landweber and Martin . . . 67

2.11.2 Wadge Game . . . 68

2.11.3 Wadge's hierar hy, Wagner'sHierar hy,Louveau's hierar hy . 68 2.11.4

O

and

Q

. . . 70

2.11.5 Separationgames . . . 71

2.11.6 Steel'sgame and separation by

∆

0

2

sets . . . 73 2.11.7 Mistigri Color . . . 74 2.12 Con lusion . . . 76 2.12.1

Π

1

1

sets and

ω

1

, the boundedness theorem of Lusin . . . 76

2.12.2 Hausdor and automata . . . 77

2.12.3 Game quantier and tree automata . . . 79

2.12.4 Baire lass 1 fun tions . . . 80

2.12.5 A knowledgements . . . 80

3 Sarkovski and automata 89 3.1 Introdu tion . . . 90

3.2 automata on innitewords . . . 90

3.3

ω

-rationalrelations . . . 92

3.4 The Sarkovski theorem . . . 93

L'origine de e travail de thèse est une aaire de ouloir traversé dans un sens

puis dans l'autre. Le bureau de Pierre Simonnet et le mien se font fa e au

pre-mier étage d'un bâtiment de la fa ulté des s ien es, séparés par un simple ouloir.

Métaphoriquement, e ouloirpeutsevoir ommeunefrontièrequiséparei iles

ma-thématiquesde l'informatiqueetdelaphysiquetantdu pointdevuede lare her he

quede eluidel'enseignement.C'estPierrequilepremierfran hileRubi on,venant

dansmonbureauave desobjetsqueje ne onnaissaispasen ore-langagesdemots

nis, de mots innis, automates nis - et deux ou trois problèmes te hniques que

d'assez sommaires outils d'arithmétique sur

Z

, de théorie des groupes oud'algèbre

linéairepermirentde résoudre.

C'est ensuite moi qui l'ai rejoint de l'autre oté du ouloir en m'investissant

dans l'enseignement des mathématiques pour l'informatique pour les lières NTIC.

A ette o asion j'ai pu apprendre et enseigner diérents aspe ts du théorème de

Kleene, la déterminisation des automates, la minimisation des automates,

l'algo-rithme de Berry-Sethi et aussi appréhender d'autres domaines où mathématiques

et informatique restent intimement liées omme la ryptographie ou les odes

dé-te teurs et orre teurs d'erreurs. Cette aventure d'enseignement nous a permis de

jeter les bases de e que serait e travail, résolument transversal et ne perdant pas

lelienave l'enseignement.A tuellementàl'universitéde Corseun étudiantde

pre-mière année n'entend pas parler de relations sur les ensembles sans graphes et en

se onde année les exemples lassiques des fon tions de Lebesgue-S heer-Sierpinski

etde Péano sontvusetimplémentésdanslelangagedeprogammationde al ul

for-mel Maple au moyen de transdu teurs en utilisant la représentation des réels dans

diverses bases.

Dans e mémoire nous avons voulu étudier les notions de ontinuité, fon tions

première lasse(limitessimplesdesuitesfon tions ontinues),fon tionsdedeuxième

lasse(limitessimplesde suitesdefon tionsde première lasse) hèresau

mathéma-ti ien dans le adre des fon tions dénissables par automates qui devrait intéresser

0.1 Langages rationnels

Sur les langagesrationnels, que ditlethéorème de Kleene?

Un langage est rationnel si et seulement si il est re onnu par un automate ni.

Exemple 1. Soit

L

le langage ne pas avoir deux

b

onsé utifs et nir par

b

sur

l'alphabet

{a,b}

. Une expression rationnellede

L

est

(a + ba)

∗

_b

et

L

est re onnu par

l'automate (minimal) de la gure 0.1.

1

2

a

b

a

Fig. 0.1 Automate re onnaissant le langage

(a + ba)

∗

_b

Nous onnaissonsplusieursalgorithmespermettantdepasserdel'automate

A

au

langage

L ⊂ A

∗

etinversement.Deux parmi euxnous intéressent parti ulièrement.

Le premier,l'algorithme de Ma Naughton Yamada permet de passer de

l'auto-mate à l'expression rationnelle en onsidérant les

X

(k)

p,q

, l'ensemble des mots de

A

∗

quipermettentde passerdel'état

p

àl'état

q

en netransitantquepar desétats

≤ k

.

Dans

P(A

∗

₎

l'ensembledes partiesde

A

∗

muni d'unestru ture de semi-anneauave

leou (

+

) etla on aténation (

.

)on ala relationde ré urren e suivante:

X

_p,q

(k+1)

= X

_p,q

(k)

+ X

_p,k+1

(k)

.



X

_k+1,k+1

(k)



∗

.X

_k+1,q

(k)

Le langage re onnupar l'automate étant

L =

P

i∈I,f∈F

X

(n)

i,f

où

I

est l'ensemble desétatsinitiaux,

F

l'ensembledesétatsnauxet

n

lenombred'étatsdel'automate.

Cet algorithme fait partie de la même famille que eux de Roy Warshall ou elui

de Floyd Warshall. En fait 'est le même algorithme, il sut de hanger de semi

anneau!

L'algorithme de Roy Warshall permet de al uler la lturetransitive d'une

re-lation binaire

R

sur un ensemble

E

en seplaçantdans le semi-anneau des matri es

Booléennes. On onsidère les matri es

S

(k)

d'adja en e des relations:

i

est en

quepar des sommets

≤ k

. On a laré urren e suivante:

S

_i,j

(k+1)

= S

_i,j

(k)

+ S

_i,k+1

(k)

.S

_k+1,j

(k)

Si

n

est le ardinal de

E

, la matri e

S

(n)

est alors la matri e d'adja en e de la

lturetransitivede

R

.

L'algorithmede FloydWarshalls'intéresseluiauproblèmedu plus ourt hemin

(ou de oût minimal) dans un graphe. On se pla e i i dans le semi-anneau des

matri esà oe ients dans

N = N ∪ ∞

muni des lois

min

et

+

.

S

(k)

est la matri e

dontles oe ients

S

(k)

i,j

représentent le oûtminimald'un heminallantde

i

à

j

en ne transitant quepar des sommets

≤ k

. On a laré urren e suivante:

S

_i,j

(k+1)

= min



S

_i,j

(k)

,S

_i,k+1

(k)

+ S

_k+1,j

(k)



Et la matri e

S

(n)

où

n

est le nombre de sommet du graphe est la matri e des

plus ourts hemins.

Intéressons nous maintenant à une méthode qui permet de passer du langage

à l'automate. Considérons un langage rationnel

L ⊂ A

∗

, l'ensemble des quotients

à gau he

{u

−1

_{L|u ∈ A}

∗

_}

est un ensemble ni ave

u

−1

_{L = {v ∈ A}

∗

_{|uv ∈ L}}

.

La relation

(uv)

−1

_{L = v}

−1

_(u

−1

_L)

permet de déterminer aisément les

u

−1

_L

et de

onstruire un automate qui re onnaît

L

et dont les états ne sont autres que les

u

−1

_L

: et automate est l'automate minimal qui re onnaît

L

. Nous verrons bientt

que ette stratégie peut être employée dans le adre d'un alphabet à une lettre et

en hangeant juste de semi-anneau pour passer de la série rationnelle à la fra tion

rationnelle.

Remarque 1. Si ette méthode s'avère e a e et élégante sur des exemples simples,

elle n'est pas du tout opérationnelledans le as général puisque l'on a besoin de

sa-voirsideux expressions rationnellesdénissent lemêmelangage. Et 'est justement

grâ e à l'automate minimal que l'on sait répondre à ette question! Or e passage

de l'expression rationnelle à un automate qui la re onnaît est très intéressant pour

le programmeur système. La ommande awk du système UNIX permet de ltrer les

lignesd'un  hieràl'aide d'une expressionrationnelle. L'algorithmedeBerry-Sethi

onstitue une bonne méthode,e a eet opérationnellepermettant depasser de

l'ex-pression rationnelle à l'automate (non déterministe)qui re onnaît le langage.

Ces digressions voulaient montrer que dans lesdeux sens lethéorème de Kleene

l'on regarde un graphe par le biais de sa matri e d'adja en e tout e i n'est que

de l'algèbre linéaire ave des matri es à oe ients dans des semi-anneaux et ela

pourrait bien intéresser l'enseignantde mathématiques.

0.2 Séries rationnelles

Le théorème de S hützenberger étend le résultat de Kleene aux séries

ration-nelles:

Une série est

K

rationnellesi et seulement si elle est

K

re onnaissable.

Cethéorèmeditensubstan eque equiaétéprouvéparKleenedanslesemi-anneau

de Boolereste vrai dans n'importe quel semi-anneau

K

.

An d'illustrernotre propos dans le as d'un alphabet àune lettre

A = {z}

, du

semi-anneauqui sera un orps (

R

)et dans un réexe pavlovien,regardons le as de

lasérie suivante:

S(z) =

+∞

X

n=0

F

n

z

n

où

F

n

désignele n ième

termede lasuite de Fibona iave

F

0

= 0

et

F

1

= 1

.

0.2.1 De la série à la fra tion

Regardons les quotient à gau he de

S

:

S(z) =

P

+∞

_n=0

F

n

z

n

z

−1

_{S(z) =}

P

+∞

n=0

F

n+1

z

n

=

S(z)−F

_z

0

(z

2

₎

−1

_{S(z) =}

P

+∞

n=0

F

n+2

z

n

=

S(z)−(F

_z

2

0

+F

1

z)

Comme

F

n+2

− F

n+1

− F

n

= 0

, onen déduit:

(z

2

)

−1

S(z) − z

−1

S(z) − S(z) = 0

Et par suite:

S(z) =

z

1 − z − z

2

= (z + z

2

₎

∗

_z

.

Comme larelationde ré urren e linéaireque nous avons utilisée pour dé rire la

rationalitéde

S

est laplus ourte,lepolynme ara téristiquede lamatri easso ié

à ettereprésentationlinéaireest égalaupolynmeminimal,i i

P

m

(z) = z

2

_{− z − 1}

.

Lafra tionobtenue est normalisée(irrédu tible)etlequotient

Q(z) = 1 − z − z

2

de

elle iest lepolynmeré iproquede

P

m

:

Q(z) = z

2

_P

m

1

_z

Remarque 2. Il est amusant de onstater que si sur les langages rationnels l'étude

des quotients à gau he nous avait permis de passer de l'expression rationnelle à

l'automate, i i on passe de la relation de ré urren e (matri e, automate à poids) à

lafra tion rationnelle(expression rationnelle).

Remarque 3. I i 'est le point de départ qui pose problème. Nous ne sommes pas

simplement partis d'une série re onnaissable. Nous sommes partis d'une série

re- onnaissable en onnaissant déjà la relation de ré urren e linéaire qui lie ses

oef- ients ou e qui est équivalent en onnaissant une représentation linéaire de ette

série. Etant donné une série formelle, omment savoir si elle est re onnaissable et

omment trouver une représentation linéaire de elle- i? On sait qu'une série

for-melle sur

K

,

S ∈ KhhAii

est

K

re onnaissable si et seulement si il existe un

K

sous-module gau he

M

de

KhhAii

de type ni, stablepar les opérations de quotient

à gau he qui ontienne

S

. A partir de e sous module, onsait onstruire une

repré-sentation linéaire de la série.Un moyen de onstruire

M

est d'étudierles quotients

à gau he

z

−1

_S

,

z ∈ A

∗

et de onsidérer le sous module engendré par es quotients.

Savoir si e sous-module est de type ni nous ramène exa tement sur le problème

évoqué à la remarque 1 dans le as du semi-anneau de Boole.

0.2.2 De la fra tion à la série

Regardonstoujourssur etexempleunmoyenretrouverlarelationde ré urren e

etde retrouver ainsi lasérie rationnelle et un automate à poids qui lare onnaît.

On her he don la ré urren e linéaire qui lie les oe ients de la série

S(z) =

P

_+∞

n=0

a

n

z

n

de telle sorte que:

S(z) =

z

1 − z − z

2

De ette équation, ondéduit immédiatement:

a

0

+ (a

1

− a

0

)z +

+∞

X

n=2

(a

n

− a

n−1

− a

n−2

)z

n

= 0

D'où







a

0

= 0

a

1

= 1

a

n

= a

n−1

+ a

n−2

∀n ≥ 2

Il s'en suit pour tout

n

que

a

n

= 1 0



1 1

1 0



n



1

0



l'automate à poids de la gure 0.2. I i, la matri e étant à oe ients dans

{0,1}

,

tous lespoids valent1.

1

2

1, x

1, x

1, x

Fig.0.2 Suite de bona i

Remarque 4. Les graphes des automatesdes gures 0.2 et 0.1 sont identiques.Dans

lepremieronl'intéresseàunproblèmedere onnaissan eetdanslese ondaunombre

de hemins:onestpassédelasérie

P

w∈A

∗

I

L

(w) w

àlasérie

P

n≥0

Card(L

T A

n

) z

n

. Cetexempleestgénérique,pourtoutlangagerationnel

L

lasérie

P

n≥0

Card(L

T A

n

) z

n

est

N

-rationnelleetpeut don s'é rire sousforme de fra tion rationnelle.C'est pour

etteraisonet àlasuitede Mar elPaulS hützenbergerquel'é olefrançaisede

théo-rie des automates a adopté la terminologie de langages rationnels plutt que elle

utilisée par les anglo-saxons de langages réguliers.

0.3 Fon tions rationnelles

Une fon tion

F : A

∗

_{→ B}

∗

est dite rationnelle si son graphe est une partie

ra-tionnellede

A

∗

_{× B}

∗

. La fon tionnalitéest une propriété dé idable sur lesrelations

rationnellesde

A

∗

_{× B}

∗

.

Pour poursuivrel'introdu tiondesnotionsquiserontdéveloppéesplustard,nous

ontinuonsàillustrernotreproposave unexemple quiutiliselasuite deFibona i.

Exemple 2. Considérons l'appli ation suivante:

ν

F

: {0,1}

+

→

N

u 7→

n

X

i=0

u

i

F

n−i

ave

n

la longueur du mot

u

Où

(F

n

)

n∈N

est la suite de Fibona i ave

F

0

= 1

et

F

1

= 2

.

de ré urren e

F

n+2

= F

n+1

+ F

n

.

ν

f

(1011) = ν

f

(1100) = ν

f

(10000) = 8

Soit

L

n

= {u ∈ {0,1}

+

_{| u}

0

= 1

et

ν

F

(u) = n}

. Pour tout

n

de

N

,

L

n

est un sous ensemble ni de

{0,1}

+

qui possède un maximum pour l'ordre lexi ographique.

Le transdu teur dû à Mar el Paul S hützenberger déni sur

0{0,1}

∗

de la gure 0.3

réalise la fon tion dite de normalisation qui fournit e maximum lexi ographique.

L'image de ette fon tion est évidemment

(0 + 10)

∗

_{(1 + ǫ)}

(l'ensemble des mots qui

n'ont pas deux 1 onsé utifs). Sur l'entrée, l'automate est non déterministe et non

ambigu.

1

2

3

4

0/0

1/1

0/0

0/1

1/0

1/0

0/0,1/1

Fig.0.3 Normalisation en base de bona i

Uneidéeasseznaturelleestdevouloirétendredetellesfon tionsauxmotsinnis,

i i de passer de la représentation des entiers en base de Fibona i à la

représenta-tion des réel en base du nombre d'or. Si onfait opérer le transdu teur de la gure

0.3 sur les mots innis de

0{0,1}

ω

ave une ondition de Bü hi, il reste non

am-bigu sur l'entrée mais jusqu'où doit on lirele mot

α

avant de pouvoir onnaître les

première lettres de son image? Assez loin et même plus si l'on onsidère les suites

((01)

n

₁₀

ω

₎

n∈N

ou

((01)

n

₁

ω

₎

n∈N

,uneretenuepouvantsepropagerdepuisl'inni.Cette fon tion aen ore pour imagel'ensembledes mots qui n'ontpas deux 1 onsé utifs,

pour autantil ne s'agit plus d'une fon tion de normalisation:il sut de onsidérer

lesmots

(01)

ω

et

10

ω

,invariantsparlafon tionetquireprésentent lemêmeréel(

0.4. Fon tions

ω

-rationnelles

Toute fon tion rationnelle sur les mots nis peut se dé omposer en une

appli- ation sous-séquentielle gau he suivie d'une sous-séquentielle droite.D'un point de

vue topologique étendre aux mots innis une appli ation sous-séquentielle gau he

fournit une appli ation lips hitzienne alors que la même intention sur une

appli a-tion sous-séquentielle droite suggère la dis ontinuité. C'est e qui se passe i i ave

ette retenue qui peut sepropager depuis l'inni.On trouvera de nombreuses

infor-mations sur les relations rationnelles et les fon tions rationnelles dans les livres de

Jean Berstel et de Ja ques Sakarovit h.

L'objet prin ipalde e travailde thèsea été d'étudier la omplexitétopologique

detellesfon tions,d'établirdesrésultatsdedé idabilitésur elle- ietéventuellement

d'étendre es résultats à ertaines fon tions d'une variable réelles en utilisant la

représentation de eux- i en base Pisot.

0.4 Fon tions

ω

-rationnelles

L'ensemble

A

ω

muni de la topologie produit de elle de

A

(topologie dis rète)

est un espa emétrisable. La distan e usuelle utilisée

d

est lasuivante:

d(α,β) = 1/2

n

ave

n = min{i ∈ ω | α(i) 6= β(i)}

si

α 6= β

d(α,β) = 0

si

α = β

La famille

(uA

ω

₎

u∈A

∗

onstitue une base d'ouverts fermés pour ette topologie. L'espa e

(A

ω

_,d)

est un espa e polonais e qui permet d'utiliser des résultats

d'ana-lyse lassiquetels lethéorème de Baire.

Une relation

R ⊂ A

ω

_{× B}

ω

est

ω

-rationnelle si elle est re onnaissable par un

automate de Bü hi asyn hrone, 'est à dire dont les transitions sont étiquetées par

des ouples de mots. La omplexité topologique de es relations a été étudiée par

OlivierFinkel.Ilmontrequ'ilexistedes relations

ω

-rationnellesquisontanalytiques

omplètes.Ilen dé ouledesrésultatsd'indé idabilitéstels:onnepeutdé idersiune

relation

ω

-rationnelleestBorel,ouverte,

Σ

0

2

...Toutefois, ommel'amontréFrançoise Gire, lafon tionnalité est dé idable.Dans le as syn hrone 'està dire quand la

re-lation est re onnue par un automate de Bü hi dont les transitions sont étiquetées

pardes ouplesde lettres,lesrelationsrestentboréliennes( ombinaisonsbooléennes

de

Σ

0.4. Fon tions

ω

-rationnelles

Sions'intéresseàla omplexitétopologiquedesfon tions

ω

-rationnelles,le adre

est elui de la hiérar hie des boréliens et des lasses de Baire. On remarque tout

d'abord que es fon tions sont au plus de lasse 2 (lemme2.15). Christophe Prieur

amontré queleproblème de la ontinuité est dé idable:ils'agit d'une onséquen e

du théorème du graphe fermé et du fait que l'on peut al uler de manière ee tive

l'adhéren e topologique d'une relation

ω

-rationnelle. Il reste don à savoir si être

de lasse 1 est dé idable ou non. Nous avons pu répondre par l'armative

(théo-rème 1.18) dans le as syn hrone en utilisant un résultat de Sierpinski sur les sur

etsous-graphes dont nous donnons une démonstrationdans notre ontexte

(propo-sition 1.17). Nous avons voulu illustrer notre proposen étendant aux mot innis le

transdu teursous-séquentieldroitimplémentantl'algorithmedeBoothquiminimise

le nombre de 1dans lareprésentation des entiers en base d'Avizienis. Late hnique

de Booth est bien onnu de la ommunauté de l'arithmétiquedes ordinateurs.

L'ensemble des pointsde ontinuité d'une fon tionest toujours

Π

0

2

. Dansle as syn hrone et ensemblere onnaissable parun automatede Bü hidéterministe

(pro-position 1.15). Si de plus la fon tion est de lasse 1 et ensemble est un

Π

0

2

dense (théorème 1.10). Une fon tion de lasse 2 peut n'avoir au un point de ontinuité

(penseràlafon tion ara téristique de

Q

).Un résultatde Baireditqu'une fon tion

f

n'est pas de lasse 1 si et seulement si il existe un fermé

F

non vide tel que la restri tion de

f

à

F

n'ait au un point de ontinuité. Nous prouvons une version

automate de e théorème ( orollaire2.33):

Une fon tion

ω

rationnelle n'est pas de lasse 1 si et seulement si il existe un

fermé

F

non vide re onnaissable par un automate de Bü hi tel que la restri tion de

f

à

F

n'ait au un point de ontinuité.

La démonstration de e dernier résultat repose sur la dérivation de Hausdor

quis'arrêteauboutd'unnombre nid'étapessur leslangages

ω

-rationnels.Il serait

plaisantquelevieuxthéorèmedeBaire ara térisantlesfon tionsdepremière lasse

puisse avoirune appli ation on rète en arithmétiquedes ordinateurs.

Ré emment OlivierCartonet OlivierFinkelont montré que lanullepart

onti-nuitéétaitindé idablepourlesfon tions

ω

-rationnelles.Ce isuggèrequeleproblème

0.5. Représentation des réels en base

θ

Enn nousnous sommesintéressés aux orbitespériodiques des fon tions

dénis-sablesenbasePisotpardestransdu teurssyn hronesautraversduthéorèmede

Sar-kovski(théorème3.7).Contrairementaux aspré édents erésultatsurlesfon tions

réelles ne s'étend pas dire tement aux as des fon tions

ω

-rationnelles: l'existen e

d'unpointpériodiqued'ordre

m

n'impliquepasné essairementl'existen e de points

périodiques d'ordre inférieurs dans l'ordre de Sarkovski omme l'illustre l'exemple

3.Laraison est que lethéorème de Sarkovski est un résultatde onnexitéalors que

(A

ω

_,d)

n'est pas onnexe. Ce théorème nous permet toutefois d'obtenir un résultat

de dé idabilité dans le adre de fon tions réelles que l'on peut dénir à partir de

fon tions

ω

rationnelles syn hrones etqui font l'objet de la se tion suivante.

Exemple 3. La fon tion dénie sur

3

ω

gra e au transdu teur de la gure 0.4 n'a

que des points périodique de période 3 et au un d'autre période alors que 3 est le

maximum dans l'ordre de Sarkovski.

0

0/1, 1/2, 2/0

Fig.0.4 Tout point est périodique de période 3

0.5 Représentation des réels en base

θ

Nousavonsvouluétendrelesrésultatdedé idabilitéobtenusà ertainesfon tions

réelles. Pour ela on utilise lareprésentation des réels en base

θ

. Soit

θ

un réel >1,

un alphabet symétrique

∆ = {¯

k, . . . ,0, . . . ,k}

et

µ

θ

la fon tion ontinue surje tive déniepar:

µ

θ

: ∆

ω

→ [µ

θ

(¯

k

ω

),µ

θ

(k

ω

)]

α 7→ Σ

_n≥0

_θ

α(n)

n+1

Lafon tion

µ

θ

étant ontinue,pourtoutmot

α

l'ensemble

µ

−1

θ

(µ

θ

({α}))

estfermé etl'on peut onstruire une fon tion de séle tion(de normalisation)qui àtout

α

as-so ie lemaximum lexi ographique de

µ

−1

0.5. Représentation des réels en base

θ

Christiane Frougny a démontré que ette fon tion de normalisation est

dénis-sable dans

S1S

dans le as où

θ

est un nombre de Pisot tel lenombre d'or.

On onsidère alors des fon tions

f ω

-rationnelles syn hrones telles que le

dia-grammesuivant ommute:

∆

ω

_−−−→

f

_∆

ω

µ

θ





y





y

µ

θ

[µ

θ

(¯

k

ω

),µ

θ

(k

ω

)]

F

−−−→ [µ

θ

(¯

k

ω

),µ

θ

(k

ω

)]

Nous appuyant sur les travaux de Christiane Frougny nous avons pu obtenir

quelques résultatsde dé idabilité sur lafon tion

F

.

Tout d'abord en utilisant une fon tion de normalisation on obtient une version

dé idableduthéorèmedeSarkovski (proposition3.8).Puis gra eàdesargumentsde

ompa itéon obtient aussides résultatsde dé idabilitépour la ontinuité

(proposi-tion 1.24),résultat d'abord prouvé de façon ombinatoirepar Christian Chorut et

être de lasse 1 (proposition 1.25).

Remarque 5. Ce dernier résultat n'est pas dénué d'intérêt pédagogique puisque les

premiersexemplesde"vraies"fon tionsde lasse1(limitessimplesetnonuniformes

desuitesdefon tions ontinues)quel'onexposeànosétudiantssontsouventaaires

de bosses glissantes et rentrent omplètement dans e adre. Considérons pour nous

en onvain re la suite

(F

n

)

n∈N

dénie sur

[0,1]

par:

F

n

(x) =



2

n

_{x ∀x ≤ 1/2}

n

1 ∀x > 1/2

n

0.5. Représentation des réels en base

θ

0

-1

1

2

n-1

n

0/1, 1/1

0/0, 1/1

0/ǫ

0/ǫ

0/ǫ

1/1

1/1

1/1

1/1

Fig. 0.5 La fon tion

f

n

en base 2

Pour on lure etteprésentationdes résultatsobtenus,nous pouvonsévoquer les

interrogationsqui subsistent dans le as asyn hrone (ladé idabilitéd'être de lasse

1), des questions relatives à la dérivabilité dans le as syn hrone (l'ensemble des

points de dérivabilité est-il re onnaissable dans le adre des fon tions dénissables

par automateen basePisot?) etenn la onstru tiond'un projet pédagogique ave

l'espoird'une ohéren e plus grandeentre l'enseignement des mathématiqueset de

l'informatiquedans un ursus de li en es ientique.

Pournir,puisquenousavonsparléduthéorèmedeKleene-S hützenbergerrelatif

aux séries

K

-re onnaissables, voi i une question de Pierre Simonnet:

Quelle est la omplexité topologique des supports de séries

R

-rationnelles?

Une série formelle

S ∈ KhhAii

est dite

K

-re onnaissable s'il existe un entier

n ≥ 1

, un morphisme de monoïdes

µ : A

∗

_{→ K}

n×n

et deux ve teurs

λ ∈ K

1×n

et

λ ∈ K

n×1

tels que pour tout mot

w

:

(S,w) = λµ(w)ν

Letriplet

(λ,µ,ν)

estalorsappeléunereprésentationlinéairede

S

et

n

sadimension.

Le support d'une série

S

est l'ensemble des mots

w

tels que

(S,w) 6= 0

. Il est

assez fa ile de voir que l'ensemble des parties de

A

∗

qui sont support de séries

0.5. Représentation des réels en base

θ

problème suivant:

Existe-t-il un langage qui soit le support d'une série

R

-rationnelle sans être le

Automata, Borel fun tions and real

numbers in Pisot base

BenoitCagnard, PierreSimonnet.

Theoreti al Informati s and Appli ation411 (2007)27-44.

Abstra t

This note isabout fun tions

f : A

ω

_{→ B}

ω

whosegraph isre ognized by aBü hi

niteautomatonontheprodu talphabet

A×B

.Thesefun tionsareBaire lass2in

the Bairehierar hy ofBorel fun tionsand it isde idable whether su h fun tionare

ontinuousornot. In 1920 W.Sierpinskishowed that afun tion

f :

R → R

isBaire

lass 1 if and onlyif both the overgraph and the undergraph of

f

are

F

σ

.We show that su h hara terization is also true for fun tions on innite words if we repla e

thereal orderingby thelexi ographi alorderingon

B

ω

.Fromthis wededu e thatit

isde idable whether su hfun tionare of Baire lass 1ornot. Weextend thisresult

toreal fun tions denable by automata inPisot base.

1.1 Introdu tion

Usually,numbers arerepresentedinapositionalnumbersystem,witharealbase

θ > 1

and digits from the alphabet

A =

Z

T[0,θ]

. So real numbers are onsidered as innite words on

A

with the most signi ant digit on the left. Then, very

of-ten in omputer arithmeti a arry propagates from right to left. In [6, 17℄ on-line

algorithms are proposed to ompute arithmeti expressions from left to right. In

general, on-the-y algorithmspro ess data in a serial manner from the most

signi- ant to the least signi ant digit. These algorithms however use several registers,

ea hofthemrepresenting a orre tprexoftheresult, orrespondingtoanassumed

value of the arry. In [6, 17℄ is presented a theoreti al framework whi h allows to

easily obtain on the y algorithms whenever it is possible. C. Frougny [12℄ shows

that a fun tion is on the y omputable if and only if it is omputable by a right

subsequential nite state ma hine. The idea to read from left to right in a right

subsequentialnite state ma hine suggests non-determinism.Moreover, working on

innite words rather than nite words suggests dis ontinuity. A natural hierar hy

exists on dis ontinuous Borel fun tions, the Baire lasses of fun tions. A fun tion

f

belongs to lass

0

if it is ontinuous. A fun tion

f

belongs to lass

1

if it is the pointwiselimitofasequen e offun tionsof lass

0

.Afun tion

f

belongsto lass

2

if

itis the pointwiselimitof a sequen e of fun tions of lass

1

,and so on. The present

workstudiesfromatopologi alpointof viewfun tions

f : A

ω

_{→ B}

ω

whosegraphis

re ognized by a Bü hi nite automaton on the produ t alphabet

A × B

. Topology

and automata on innite words have been heavily studied. It is easy to see that

our fun tions are of Baire lass 2, we prove that we an de ide if they are of Baire

lass 1. We alsoprove this same result when numbers are represented with a Pisot

base. A Pisot number is an algebrai integer

θ

a whi h is real and stri tly ex eeds

1,but su h that its onjugateelements are allstri tly less than 1 inabsolutevalue.

For example, The natural integers greater than 2 and the golden ratio are Pisot

numbers. This extend the appli abilityof our result tothe domainof real numbers.

Ourproofuses anoldresult ofSierpinskionBaire lass1fun tionsand de idability

results of Landweber. The set of points of ontinuity of a fun tion

f

on an innite

word is always a ountable interse tion of open sets whi h is dense whenever

f

is

of Baire lass 1.Weexpe t that our approa h willshed new light onthe dis ussion

in the eld of on-the-y algorithms. For this reason we present adetailled study of

the Booth anoni al re oding on innite words. This fun tion is an example of a

The paper is organized as follows. First in se tions 2, 3, 4 we present some

ne essarydenitionsandpropertiesfromautomatatheoryanddes riptivesettheory.

Inse tion5 weproveour de idabilityresultoninnitewords. Inse tion6 westudy

the Booth anoni al re oding. In se tion 7 we prove our de idability result in the

ase where our fun tions dene fun tions onreal numbers represented with a Pisot

base.Inthe on lusionweadvan eourimpressionsontheasyn hronous ase,thatis

tosay the ase of fun tionswhose graphis re ognizedby aBü hi automatonwhi h

transitions are labeled by ouples of words

(u,v) ∈ A

∗

_{× B}

∗

instead of ouples of

letters

(a,b) ∈ A × B

.

1.2 Innite words on a nite alphabet

Wenote

ω

the set ofnaturalnumbers.Let

A

be anitealphabetand

<

a linear

orderon

A

. Allalphabets thatwe onsider willhave atleast two letters.Wedenote

a

the smallestelement (rstletter)of

A

and

z

thegreatest element. Anite word

u

onthe alphabet

A

isa nitesequen e of elementsof

A

,

u = u(0)u(1) · · · u(n)

where

allthe

u(i)

's are in

A

. The set of nite words on

A

will be denoted

A

∗

. The length

(number of letters) of a word

u

will be noted

|u|

. A parti ular word is the empty

word

ǫ

,

|ǫ| = 0

. The set

A

+

is

A

∗

_{− {ǫ}}

. With on atenation,

A

∗

is a monoid with

unit element

ǫ

. There is a natural order on

A

∗

: the lexi ographi al ordering, still

denoted by

<

.

Lemma 1.1. Let

n

be in

ω

, we note

A

n

the set of words

u ∈ A

∗

with

|u| = n

.

(i) For all

n ∈ ω − {0}

, every word

u ∈ A

n

dierent of

a

n

have an immediate prede essor in

A

n

noted

u

, for the lexi ographi alordering.

(ii) For all

n ∈ ω − {0}

, every word

u ∈ A

n

dierent of

z

n

have an immediate su essor in

A

n

noted

u

for the lexi ographi al ordering.

Proof:By indu tionon

n

the length of

u

.If

u = vl

with

v ∈ A

n−1

and

l ∈ A

then:

if

l 6= a

or

z

:

u = v(l − 1)

and

u = v(l + 1)

,

if

l = a

:

u = vz

and

u = v(a + 1)

,

if

l = z

:

u = v(z − 1)

and

u = va

.



An innite word

α

on the alphabet

A

is an innite sequen e of elements of

A

,

α = α(0)α(1) · · · α(n) · · ·

. The set of innitewords onthe alphabet

A

willbe noted

A

ω

. We note

α[n]

the nite word formed with the

n

rst letters of the inniteword

α

,

α[0] = ǫ

,

α[1] = α(0)

. The set

A

ω

, viewed as a produ t of innitely many opies

distan e

d

dened asfollows. Let

α,β ∈ A

ω

,

d(α,β) = 1/2

n

_{with n = min{i ∈ ω | α(i) 6= β(i)} if α 6= β}

d(α,β) = 0 if α = β

The olle tion

(uA

ω

₎

u∈A

∗

isabasisof lopensetsforthistopology.Re allthat

(A

ω

_,d)

isa ompa t metri spa e.The set

A

ω

isordered by the lexi ographi alordering

<

.

1.3 Automata on innite words

For allthis se tion, see [20℄.

Denition 1.2. A Bü hi (nondeterministi ) automaton

A

is a 5-tuple:

A =<

A,Q,I,T,F >

, where

A

is a nite alphabet,

Q

is a nite set of states,

I ⊂ Q

is the set of initial states,

T ⊂ Q × A × Q

is the set of transitions and

F ⊂ Q

the set

of nal states.

A path

c

of label

α

in

A

is an innite word

c = c(0)c(1) · · · c(n) · · · ∈ (Q × A × Q)

ω

sothat

∀n ∈ ω

,

c(n)

isof theform

(β(n),α(n),β(n + 1))

with

β(0) ∈ I

and

c(n) ∈ T

.

c = β

0

α

0

−→ β

1

α

1

−→ β

2

α

2

−→ . . .

Let us note

Inf inity(c)

the set of states whi h appears innitely many times in

c

.

An a epting path

c

is a path so that

Inf inity(c)

T T 6= ∅

. An a epted word

α

is

a word su h that exists an a epting path

c

of label

α

. We say that the word

α

is

re ognized by

A

for the Bü hi ondition.

The set of words re ognized by a Bü hi automaton

A

isnoted

L

ω

_(A)

.

Let us denote by

P(Q)

the power set of

Q

. Noti e that

T

an be viewed as a

partialfun tion

δ : Q×A → P(Q)

where

δ(p,a) = {q ∈ Q | (p,a,q) ∈ T }

.Bydening

δ(p,ub) =

S

_q∈δ(p,u)

δ(q,b)

and

δ(p,ǫ) = {p}

,

δ

an be extended toa partial fun tion

δ : Q × A

∗

_{→ P(Q)}

.

Example 1. Let

A

betheBü hi automatononalphabet

A = {0,1}×{0,1}

, withstates

Q = {1,2,3,4,5}

, initial states

I = {1,3,4}

, nal states

F = {1,3,5}

and transitions

T = {(1,(0,0),1),(1,(1,1),2),(2,(0,0),1),(2,(1,1),2),

(3,(1,1),3),(4,(0,0),4),(4,(1,1),4),(4,(0,1),5),(5,(1,0),5)}

The graphi al representation of

A

is given in Figure 3.4, the initial (resp.

automaton re ognizes the graph of the fun tion

S : {0,1}

ω

_{→ {0,1}}

ω

dened by

S(α) = α

if

α

has an innite number of zeroes,

S(1

ω

_{) = 1}

ω

and for all

u ∈ {0,1}

∗

,

S(u01

ω

_{) = u10}

ω

. Let

µ

2

: {0,1}

ω

_{−→ [0,1]}

dened by

µ

2

(α) =

P

∞

i=0

α(i)

2

i+1

. One an easilyverifythatforall

α ∈ {0,1}

ω

,

S(α)

isthemaximumlexi ographi ofthebinary

representations of

µ

2

(α)

.

S

is known as normalization in base 2.

1

2

0/0

1/1

1/1

0/0

3

1/1

4

1/1

0/0

5

0/1

1/0

Fig.1.1 Normalization in base 2

Denition 1.3. A Muller automaton

A

is a 5-tuple:

A =< A,Q,I,T,F >

, where

A

is a nite alphabet,

Q

is a nite set of states,

I ⊂ Q

is the set of initial states,

T ⊂ Q × A × Q

is the set of transitions and

F ⊂ P(Q)

. The dieren e between Bü hi automata and Muller automata is the a eptan e ondition.

An innite word

α ∈ A

ω

is re ognized by

A

if there is an innite path

c

of label

α

so that

Inf inity(c) ∈ F

.

Anautomatonis alleddeterministi ifithasanuniqueinitialstateandforea h

state

p

andea hletter

a

there existsat mostone transition

(p,a,q) ∈ T

.In this ase

the partial transition fun tion

δ

an be an be viewed as

δ : Q × A → Q

. For all

inniteword

α

there exist,then, atmost one path

c

of label

α

.

Consider the following logi al language: the set

V

of the variables, its elements

noted by

x

,

y

,

z

... , a onstant symbol 0 and a unary fun tion

s

(as su essor). We

dene the set of the terms

T

by:

ii) 0 is aterm.

iii) if

t ∈ T

then

s(t) ∈ T

.

Let

P

(as parts) another set of variables, this variables are noted

X

,

Y

,

Z

...

and two binary predi ates

=

,

∈

. The atomi formulae are of the form

t = t

′

with

(t,t

′

) ∈ T

2

or

t ∈ X

with

t ∈ T

and

X ∈ P

.

Denition1.4. A formula of

S1S

is dened as following:

i) An atomi formula is in

S1S

.

ii) If

φ ∈ S1S

then

¬φ

,

∀xφ

,

∃xφ

,

∀X φ

,

∃X φ

are in

S1S

, with

x ∈ V

,

X ∈ P

iii) If

φ

and

ψ

are in

S1S

then

φ ∧ ψ

,

φ ∨ ψ

,

φ ⇒ ψ

,

φ ⇔ ψ

are in

S1S

.

The interpretation of these formulae is the following: the variables of

V

are

interpretedasnaturalnumbers,thesymbol0as

0 ∈ ω

,the symbol

s

asthesu essor

fun tion in

ω

, the variables of

P

as subsets of

ω

and the predi ates symbols as

=

and

∈

in

ω

. If ea h integer is assimilated to a singleton and ea h subset of

ω

to

an innite word on the

{0,1}

alphabet, then a

S1S

formula

φ(X

1

,X

2

,...,X

n

)

, with

X

1

,X

2

,...,X

n

free variablesdenes the

ω

-language

L

φ

⊂ 2

N

_{× . . . 2}

N

|

{z

}

n

of the

n

-tupleof

hara teristi words satisfying

φ

.

An

ω

-language

L

issaid denablein

S1S

if there exists a formula

φ

in

S1S

sothat

L = L

φ

.

Re all the followingresult:

Theorem 1.5. for all

ω

-language

L

, the followingassertions are equivalent:

i)

L =

S

1≤i≤n

A

i

B

i

ω

with

A

i

,

B

i

rational sets of nite words. ii)

L = L

ω

_(A)

with

A

nondeterministi Bü hi automaton.

iii)

L = L

ω

_(A)

with

A

deterministi Muller automaton.

iv)

L

is denablein

S1S

.

We all

Rec(A

ω

₎

the familyof su h languages.

1.4 Borel hierar hy

For allthis se tion,see [16, 20℄. Borelsets of a topologi alspa e

X

are the sets

obtained from open sets using omplementation and ountable unions. When

X

is

metrizablewe andenethe hierar hyofBorelsets ofniterank,using the lassi al

notationof Addison[16℄:

Denition1.6. Let

X

beametrizablespa e,for

n ∈ ω −{0}

, wedenebyindu tion

Σ

0

1

(X) = G(X)

the lass of open sets of

X

Π

0

n

(X) = {A

∨

| A ∈ Σ

0

n

(X)}

, where

A

∨

refers to the omplement of

A

.

Σ

0

n+1

(X) = {∪

m

A

m

| A

m

∈ Π

0

n

(X),m ∈ ω}

∆

0

n

(X) = Σ

0

n

(X) ∩ Π

0

n

(X)

Wemust havea metrizable spa e sin e ina metrizable spa e the losed sets are

Π

0

2

.

In parti ular, we have:

Π

0

1

is the lass of losedsets.

Σ

0

2

= F

σ

isthe lass of ountable unions of losed sets.

Π

0

2

= G

δ

isthe lass of ountable interse tions of open sets.

One an prove that:

Σ

0

n

∪ Π

0

n

⊂ ∆

0

n+1

.

This givesusthe followingpi ture whereany lass is ontained inevery lass to

the rightof it:

Σ

0

1

Σ

0

2

Σ

0

3

Σ

0

n

∆

0

1

∆

0

2

∆

0

3

. . . ∆

n

. . .

Π

0

1

Π

0

2

Π

0

3

Π

0

n

The Borel hierar hy is also dened for transnite levels [16℄, but we shall not

need them inthe present study.

For all

n ∈ ω

the lasses

Σ

0

n

(X)

,

Π

0

n

(X)

,

∆

0

n

(X)

are losed by nite union and interse tion, moreover

Σ

0

n

(X)

is losed by ountable union,

Π

0

n

(X)

is losed by ountable interse tion and

∆

0

n

(X)

is losed by omplement.

When

X

isan un ountable metri omplete spa e, the Borel hierar hy is stri t.

In what follows

X

willbe

A

ω

or

[a,b]

with

a

and

b

real numbers.

Denition1.7. The denition of Baire lasses for fun tions is re ursive.

Let

X

,

Y

be metrizable spa es and a fun tion

f : X → Y

.

i)

f

isBaire lass 0 if f is ontinuous.

ii)

∀n ∈ ω

,

f

isBaire lass

(n + 1)

if

f

isthepointwise limit of asequen eof Baire

lass

n

fun tions.

The Lebesgue, Hausdor,Bana h Theoremmakesthe onnexionwith the Borel

hierar hy, see [16℄:

Theorem 1.8. Let

X

,

Y

bemetrizable spa es with

Y

separable. Thenforall

n ≥ 2

,

f : X → Y

isBaire lass

n

i for allopen

V ∈ Y

,

f

−1

_{(V ) ∈ Σ}

0

n+1

(X)

.

Remark 1. Note that this result hold for

n = 1

if in addition

X

is separable and

either

X = A

ω

1.5. We an de ide if a fun tion denable in

S1S

is Baire lass 1

Denote

cont(f )

thesetofpointsof ontinuityof

f

.Wehavethe lassi alfollowing

Proposition,see [16℄:

Proposition 1.9. Let

X

,

Y

, be metrizable spa es and

f : X → Y

, then

cont(f )

is

Π

0

2

.

The following result due to Baire shows that Baire lass 1 fun tions have many

ontinuity points,see [16℄:

Theorem 1.10. Let

X

,

Y

, be metrizable spa es with

Y

separable and

f : X → Y

be Baire lass 1. Then

cont(f )

isa dense

Π

0

2

set.

Itiswellknown thatthe graphofa ontinuousfun tionsis losed.Thefollowing

result is lassi al, see [9℄for example.

Lemma 1.11. Let

X

,

Y

, be metrizable spa es with

Y

ompa t and

f : X → Y

.

f

is ontinuous i its graph is losed.

Lemma 1.12. Let

X

,

Y

, be metrizable spa es with

Y

separableand

f : X → Y

. If

f

is Baire lass

n

then its graph is

Π

0

n+1

(X)

. Proof:Wegivetheproofinthe ase

X = A

ω

,

Y = B

ω

.Firstnoti ethat if

f (α) = β

then

∀u ∈ B

∗

,

(β ∈ uB

ω

_{⇒ f (α) ∈ uB}

ω

₎

and if

f (α) 6= β

then

∃u ∈ B

∗

su h that

β ∈ uB

ω

and

f (α) /

∈ uB

ω

.Thus:

(α,β) ∈

graph

(f ) ⇔ f (α) = β ⇔ [∀u ∈ Y

∗

_{(β ∈ uB}

ω

_{⇒ f (α) ∈ uB}

ω

_)]

As

f

is Baire lass

n

,

{α ∈ A

ω

_{|f (α) ∈ uB}

ω

_}

isin

∆

0

n+1

(A

ω

)

and

{β ∈ B

ω

_{|β ∈ uB}

ω

_}

is in

∆

0

1

(B

ω

)

. Thus for allxed

u ∈ B

∗

,

{(α,β) ∈ A

ω

_{× B}

ω

_{| (β ∈ uB}

ω

_{⇒ f (α) ∈ uB}

ω

_)}

is in

∆

0

n+1

(A

ω

× B

ω

)

and

{(α,β) ∈ A

ω

_{× B}

ω

_{| ∀u ∈ B}

∗

_{(β ∈ uB}

ω

_{⇒ f (α) ∈ uB}

ω

_)}

is in

Π

0

n+1

(A

ω

× B

ω

)

.



1.5 We an de ide if a fun tion denable in

S1S

is

Baire lass 1

Denition1.13. Let A, B be nite alphabets, a fun tion

f : A

ω

_{→ B}

ω

is denable

in

S1S

if its graph is dened bya formula in

S1S

.

ThankstoTheorem1.5

f : A

ω

_{→ B}

ω

isdenablein

S1S

ifitsgraphisre ognized

by a Bü hi automaton onthe produ t alphabet

A × B

.

Re all that

f

is Baire lass

n

if

f

−1

_{(U) ∈ Σ}

0

n+1

for every open set

U ∈ B

ω

. As

(uB

ω

₎

u∈B

∗

is abasis of lopen sets, this ondition is equivalent to:

∀u ∈ B

∗

_{, f}

−1

_(uB

ω

_{) ∈ ∆}

0

1.5. We an de ide if a fun tion denable in

S1S

is Baire lass 1

It is easy to see that sets re ognizable by Muller automata are

∆

0

3

, in fa t they are boolean ombinationof

Σ

0

2

.

Proposition 1.14. Let A, B be nite alphabets and

f : A

ω

_{→ B}

ω

be a fun tion

denablein

S1S

. Then

f

isBaire lass 2.

Proof: We need only to remark that if

U

is re ognizable by a Muller automaton

then

f

−1

_(U)

isre ognizable.



At last, letus re alla result of Landweber [15℄:

Proposition1.15. If

L ∈ Rec(A

ω

₎

and

Π

0

2

then

L

isre ognizablebyadeterministi Bü hi automaton.

Moreover one an de idefor

L ∈ Rec(A

ω

₎

if it is

Σ

0

i

(resp.

Π

0

i

) for

i =

1, 2. Let

f

bedenable in

S1S

, itiseasy tosee that

cont(f )

isstilldenable in

S1S

.

SobyProposition1.9andProposition1.15

cont(f )

isre ognizablebyadeterministi

Bü hi automaton. Moreover if it is Baire lass 1 then by Lemma 1.12 its graph is

re ognizableby adeterministi Bü hi automaton.

Denition 1.16. Let

f : A

ω

_{→ B}

ω

be a fun tion where

B

ω

is lexi ographi ally

ordered. Theovergraph and the undergraph of

f

are respe tively:

G ↑ (f ) = {(α,β) ∈ A

ω

× B

ω

_{| f (α) < β}}

(2)

G ↓ (f ) = {(α,β) ∈ A

ω

× B

ω

| f (α) > β}

(3)

W.Sierpinski[25℄hasshownthatafun tion

f :

R → R

isBaire lass1ifandonly

iftheovergraphandtheundergraphof

f

are

Σ

0

2

.Weshowthatthis hara terization is also true for fun tions on innite words if we repla e the real ordering by the

lexi ographi alordering on

B

ω

.

Proposition1.17. Let

A

and

B

be two nitealphabets, then

f : A

ω

_{→ B}

ω

isBaire

lass 1 i the overgraph and the undergraph of f are in

Σ

0

2

(A × B)

. Proof:

(⇒)

Let

(α,β) ∈ A

ω

_{× B}

ω

. Theword

f (α)

islexi ographi allyless than

β

ithere exists

n ∈ ω

su h that

f (α)[n] = β[n]

, i.e., they have the same prex of length

n

, and

f (α)(n) < β(n)

. Let

u = f (α)[n + 1] ∈ B

+

, then

f (α) ∈ uB

ω

. So:

G ↑ (f ) =

[

u∈B

+

(f

−1

(uB

ω

) ×

[

v>u,|v|=|u|

vB

ω

)

As

Σ

0

2

(X)

is losed by ountable unions then the overgraph of

f

is

Σ

fun tion

(⇐)

Let

u ∈ B

+

, we denoteby

a

the minimumand

z

the maximum of

B

.

We rst onsider the ase where

u

isnot of the form

a

n

or

z

n

. Wehave:

β ∈ uB

ω

⇔ β > uz

ω

_{and β < ua}

ω

α ∈ f

−1

(uB

ω

) ⇔ f (α) > uz

ω

and f (α) < ua

ω

Then

f

−1

_(uB

ω

_{) = {α ∈ B}

ω

_{| f (α) > uz}

ω

_}

T{α ∈ B

ω

_{| f (α) < ua}

ω

_}

But

{α ∈ B

ω

_{; f (α) > uz}

ω

_}

(respe tively

{α ∈ B

ω

_{| f (α) < ua}

ω

_}

)is

Σ

0

2

asse tionof the undergraph (respe tively overgraph )of

f

and this provesthe result.

Inthe ase where

u = a

n

, the proof isthe samewith

f

−1

_(uB

ω

_{) = {α ∈ B}

ω

_{| f (α) <}

ua

ω

_}

. Andfor

u = z

n

,

f

−1

_(uB

ω

_{) = {α ∈ B}

ω

_{| f (α) > uz}

ω

_}

_

Remark 2. Note that the notion of Baire lass 1 is purely topologi al so it is

in-dependant of the order on

B

. So to be

Σ

0

2

for the overgraph and the undergraph is independent of the hoi e of the order on

B

.

Theorem 1.18. We an de ide if a fun tion

f : A

ω

_{→ B}

ω

so that

Graph(f ) = {(α,β) ∈ A

ω

_{× B}

ω

_{| f (α) = β}}

is denablein

S1S

is Baire lass 1.

Proof:Fixan order on

B

. The lexi ographi alordering on

B

ω

is denable in

S1S

.

We have:

(α,β) ∈ G ↓ (f ) ⇔ ∃γ ∈ B

ω

((α,γ) ∈ Graph(f ) ∧ β < γ)

Thentheovergraphandtheundergraphof

f

aredenablein

S1S

.UsingProposition

1.15, we an de ideif

f

is Baire lass 1.



1.6 An example of non- ontinuous Baire lass 1

fun -tion: the anoni al Booth fun tion

In [12℄, C. Frougny shows that a fun tion an be on-the-y omputed i it is

a rightsubsequential fun tion. She gives as example the Booth anoni al re oding,

see also[19℄ for appli ations tomultipli ation.In this se tion, weextend the Booth

anoni al re oding on innitewords, provethat itis a non- ontinuousBaire lass 1

fun tion and give itsset of ontinuity points.

Were all the denition of aright subsequential fun tion.

Denition 1.19. A right subsequential ma hine with input alphabet

A

and output

alphabet

B

,

M = (Q,A × B

∗

_,T,i,s)

isa dire ted graph labeled by elementsof

A × B

fun tion

where

Q

is the set of states,

i ∈ Q

is the initial state,

T ∈ Q × (A × B

∗

_{) × Q}

is

the set of labeled transitions and

s : Q → B

∗

is the terminal fun tion. The ma hine

must satisfy the following property: it is input deterministi , i.e., if

p

a/u

−−→ q

and

p

−−→ r

a/v

, then

q = r

and

u = v

. A word

u = a

0

· · · a

n

∈ A

∗

has

v ∈ B

∗

for image by

M

if there exists a path in

M

starting in the initial state

i

i

−−−→ q

a

n

/v

n

1

a

n−1

/v

n−1

−−−−−−→ . . . q

n

a

0

/v

0

−−−→ q

n+1

with

v

i

∈ B

∗

and su h that

v = s(q

n+1

)v

0

· · · v

n

. A fun tion

f : A

∗

_{→ B}

∗

is right subsequential if there exists a right subsequential

ma hine

M

su hthat if

u ∈ A

∗

and

v ∈ B

∗

,

v = f (u)

i

v

isthe image of

u

by

M

.

On nite words, the Booth anoni al re oding is the fun tion that maps any

binaryrepresentationontoanequivalentAvizienis[1℄onewiththeminimumnumber

of non-zero digits:

ϕ : {0,1}

∗

_{→ A}

∗

with

A = {1,0,1}

where

1

means

−1

, see [19℄.

It an be obtained by a least signi ant digit rst (LSDF) algorithm by repla ing

ea hblo kofthe form

01

n

,with

n ≥ 2

,by

10

n−1

₁

.Thefollowingrightsubsequential

ma hine realizesthe Booth anoni al re oding [12℄.

0

1

2

0/0

1/0

1/ǫ

0/01

1/01

0/ǫ

/1

/ǫ

/1

Fig. 1.2 Right subsequential Booth anoni alre oding

We will now extend the Booth anoni al re oding on innite words

α

whi h

satisfy

α(0) = 0

by

ϕ : 0{0,1}

ω

_{→ A}

ω

. First note that on nite words, the pattern

00intheinputblo ksapossible arry.Sofor

α ∈ 0{0,1}

ω

if

α

ontainsaninnityof

blo ks 00itisnaturaltoextend Booth anoni al re odingon

α

using the algorithm

onea h nite onse utive word of

α

startingby 00.

Example 2. An innite number of 00.

ϕ(01100101100010100011100 · · · ) = ϕ(011)

ϕ(001011)

ϕ(000111) · · ·

= 101

010101

001001 · · ·

ϕ(0101(01010011011)

ω

₎

_{= ϕ(0101)}

_(ϕ(0101)

_ϕ(0011011))

ω

= 0101

(0101

0100101)

ω

Ifthenumberof00in

α

isnitewemustbe arefulbe ausea arry an omefrom

the innity.This asedepends ofthe numberof 11 ontainedin

α

.If thisnumberis

fun tion

11appears in

α

) then we an extend

ϕ

on

α

by

ϕ(α) = ϕ(α[n])α(n)α(n + 1) · · ·

Example 3. A nite number of 00 and nite number of 11.

ϕ((01)

ω

_{) = (01)}

ω

ϕ(01001011(0101001)

ω

_{) = 01010101(0101001)}

ω

At last, if in

α

the number of 00 is nite and the number of 11 is innite then

a arry ome from the innity and propagate up to the last 00. Let then

n

be the

greatestintegersu hthat

α(n−1)α(n) = 00

(

n = 0

ifno00holdin

α

).Therefore we

anextend

ϕ

on

α

by

ϕ(α) = ϕ(α[n])1ψ(α(n + 1)α(n + 2) · · · )

with

ψ : {0,1}

ω

_{→ A}

ω

the sequentialfun tion dened by

ψ(0) = 1

and

ψ(1) = 0

.

Example 4. A nite number of 00 and innite number of 11.

ϕ(01

ω

_{) = 10}

ω

ϕ(01100(101011)

ω

_{) = 10101(010100)}

ω

Withthis onstru tion, weobtain afun tion

ϕ : 0{0,1}

ω

_{→ A}

ω

whi hstill maps

any binary representation ontoan equivalent Avizienis one.

The graph of

ϕ

is realizedby the Bü hi automaton

A

of gure1.3.

0

1

2

0/0

0/0

1/1

0/0

3

4

0/1

0/1

1/0

0/1

1/1

5

1/0

1/1

0/1

1/0

Fig.1.3 Booth Bü hi automata

The essentialdieren e with the nite ase isthat the arry an ome fromthe

innityandthissuggests dis ontinuity.Ablo koftheform

11

laun hsorpropagates