E xercices P roblèmes

(1)

sciences sup

E xercices ^& P roblèmes

MathéMatiquEs Pour l’ingéniEur

Yves Leroyer Patrice Tesson

Licence • Écoles d’ingénieurs

Rappels de cours Méthodes

Exercices et problèmes

avec corrigés détaillés

(2)

mathématiques pour l’ingénieur

� rappels de cours

� méthodes

� exercices et problèmes

avec corrigés détaillés

(3)

(4)

mathématiques pour l’ingénieur

� rappels de cours

� méthodes

� exercices et problèmes avec corrigés détaillés

Yves Leroyer Professeur à l’École Nationale Supérieure d’Électronique, d’Informatique

et de Radiocommunications de Bordeaux (ENSEIRB) Patrice Tesson Professeur agrégé à l’École Nationale Supérieure d’Électronique, d’Informatique

et de Radiocommunications de Bordeaux (ENSEIRB)

(5)

Illustration de couverture : digitalvision^®

ISBN 978-2-10-053937-6

(6)

T ABLE DES MATIÈRES

AVANT-PROPOS viii

NOTATIONS ix

CHAPITRE 1• OUTILS MATHÉMATIQUES DE BASE. . . 1

Rappels de cours. . . 1

1.1 Rappels d’analyse 1.2 Les fonctions utilisées en physique 1.3 Les Séries de Fourier 1.4 Les fonctions définies par des intégrales Énoncés des exercices . . . 9

Énoncés des problèmes . . . 13

Du mal à démarrer ? . . . 15

Corrigés des exercices . . . 17

Corrigés des problèmes . . . 34

CHAPITRE 2• TRANSFORMATION DE FOURIER. . . 41

Énoncés des exercices . . . 43

CHAPITRE 3• TRANSFORMATION DE LAPLACE. . . 66

©Dunod–Laphotocopienonautoriséeestundélit

(7)

Table des matières

CHAPITRE 4• INTÉGRALES COMPLEXES ; THÉORÈME DES RÉSIDUS. . . 95

CHAPITRE 5• DISTRIBUTIONS. . . 124

CHAPITRE 6• FILTRES ET CAUSALITÉ. . . 148

CHAPITRE 7• FONCTIONS DE BESSEL. . . 165

CHAPITRE 8• FONCTIONS ORTHOGONALES. . . 196

vi

(8)

Table des matières

Corrigés des problèmes . . . 205 CHAPITRE 9• ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. . . . 221 Rappels de cours. . . 221

9.1 Les équations différentielles linéaires 9.2 Équations aux dérivées partielles

Énoncés des problèmes . . . 224 Du mal à démarrer ? . . . 229 Corrigés des problèmes . . . 230

BIBLIOGRAPHIE 248

INDEX 249

(9)

A ^VANT - ^PROPOS

Ce livre est un recueil d’exercices et de problèmes dans les grands secteurs des mathématiques pour l’ingénieur. Il s’adresse aux étudiants de troisième année de Licence de physique et d’EEA ainsi qu’aux élèves des écoles d’ingénieurs. Il est le fruit d’un enseignement de mathématiques pour l’ingénieur dispensé en première année de l’École Nationale Supérieur d’Électronique, d’In- formatique et de Radiocommunication de Bordeaux (ENSEIRB).

Nous avons pris le parti de privilégier l’exposé des méthodes de calcul et de recherche des solutions en laissant parfois le soin au lecteur d’établir par lui-même la justification mathématique de telle ou telle étape (convergence uniforme d’intégrales ou de séries, permutation d’intégrales...).

Dans la plupart des chapitres, des exercices permettent de se familiariser avec les méthodes de calcul. Les problèmes sont plus structurés, plus approfondis et surtout orientés vers les applications en physique de l’ingénieur. Certains peuvent constituer des « mini-projets » et être poursuivis par des calculs sur ordinateur (il est fait référence dans quelques problèmes à des prolongements sous Maple).

Le chapitre 1 rappelle et présente des notions qui seront utilisées dans la suite de l’ouvrage. La distribution de Dirac y est exposée selon l’approche « phénoménologique » usuelle pour les phy- siciens qui permet une utilisation simple et extensive. L’étude plus rigoureuse des distributions fait l’objet du chapitre 5 (Distributions). Les chapitres 2 et 3 sont consacrés aux transformations inté- grales de Fourier et de Laplace et à leurs applications en physique pour l’ingénieur, avec notam- ment au chapitre 3 plusieurs problèmes sur l’étude des lignes de transmission. Le chapitre 4 est consacré à l’étude des fonctions d’une variable complexe avec une orientation particulière vers le calcul d’intégrales. Ces notions sur les fonctions analytiques introduites au chapitre 4 et sur les distributions étudiées au chapitre 5 trouvent un prolongement au chapitre 6 où elles sont appliquées à la description du principe de causalité en physique et à la modélisation des filtres linéaires : relations de Kramers- Kronig, filtres à phase minimale, relations de Bayard-Bode, théorème de Paley-Wiener. Les fonctions de Bessel, chapitre 7, et les polynômes orthogonaux, chapitre 8, sont étudiés en vue de leur application à la résolution d’équations différentielles et d’équations aux dérivées partielles (chapitre 9).

Cet ouvrage ne prétend pas à l’exhaustivité et certains domaines des mathématiques pour la physique n’y sont pas traités : la théorie des groupes dont les applications sont d’un niveau tech- nique plus avancé, le calcul matriciel qui pour l’ingénieur ressort maintenant davantage du calcul sur ordinateur avec des outils comme Matlab, le calcul variationnel, dont le champ d’application est plus restreint.

La plupart des exercices et problèmes originaux de cet ouvrage sont l’œuvre d’une longue collaboration au sein de laquelle nous tenons à remercier plus particulièrement Bernard Morand, Michel Daumens, Michel Hontebeyrie et Pierre Minnaert.

(10)

N ^OTATIONS

Espaces page

N,Z Entiers naturels, entiers relatifs

R,C Nombres réels, nombres complexes

L¹,L² Fonctions sommables, de carré sommable 5

Lloc¹ Fonctions localement sommables 5

S Fonctions à décroissance rapide 124

S Distributions tempérées 124

Fonctions

u Fonction échelon de Heaviside 4

ln, log Logarithme népérien, logarithme complexe

PT Fonction « porte » 6

LT Fonction « triangle » 6

sign Fonction « signe » 6

sinc Fonction sinus cardinal 6

G,B Fonctions eulériennes 8

Jn,Nn,Hn Fonctions de Bessel, Neumann, Hankel 165

In,Kn Fonctions de Bessel modifiées 165

Distributions

T,f Action d’une distributionT sur une fonction testf 124

d Dirac (distribution de, impulsion de) 6, 124

Peigne de Dirac 124

Pf 1

x Pseudo-fonction 1

x 124

[f] Distribution régulière associée à la fonction f 124

Transformations

F,F⁻¹ Transformation de Fourier directe, inverse 41

L,L⁻¹ Transformation de Laplace directe, inverse 66

Divers

z Conjugué complexe dez

fonction de classeC^k Fonctionkfois continuement dérivable 4

fonction de classeL Fonction localement sommable 66

et de classe exponentielle g= lim

n→∞

ⁿ

k=1

1 k −lnn

Constante d’Euler=0,577...

C_n^p= n!

p! (n−p)! Coefficient du binôme

(11)

O UTILS MATHÉMATIQUES

DE BASE 1

RAPPELS DE COURS 1.1 R APPELS D ’ ANALYSE

a) Intégrales généralisées Déﬁnitions

_∞

a

f(x)d x = lim

R→∞

R a

f(x)d x b

a

f(x)d x = lim

e→0

b a+e

f(x)d x si f non bornée enx =a

Si ces limites existent, on dit que l’intégrale correspondante converge (ou est convergente), sinon elle diverge (ou est divergente).

Exemple

l’intégrale de Riemann(dans les deux cas ci-dessous on aa>0) :

• à l’inﬁni

_∞

a

1

x^adxconverge sia>1et diverge sinon

• en zéro _a

0

1

x^adxconverge sia<1et diverge sinon.

On en déduit uncritère de convergencetrès utile :

• si pourx∼ ∞on a:f(x)∼ 1

x^a alors l’intégrale

_∞

a

f(x)dxconverge sia>1et diverge sinon ;

• si pourx∼0on a:f(x)∼ 1

x^a alors l’intégrale _a

0

f(x)dxconverge sia<1et diverge sinon.

Par extension on définit (définition au sens standard) _∞

−∞ f(x)d x = lim

R→∞

c

−R

f(x)d x + lim

R→∞

R c

f(x)d x pourcborné quelconque.

b a

f(x)d x = lim

e→0

c−e a

f(x)d x+ lim

e→0

b c+e

f(x)d x si f non bornée enx =c∈]a,b[

(12)

Chapitre 1^•Outils mathématiques de base

On utilise souvent une définition alternative de ces intégrales généralisées dite au sens de lapartie principale(ou valeur principale) de Cauchy

PP _∞

−∞

f(x)d x = lim

R→∞

R

−R

f(x)d x PP

b a

f(x)d x = lim

e→0

c−e a

f(x)d x+ b

c+e

f(x)d x

si f non bornée enx =c∈]a,b[

Si l’intégrale converge au sens standard elle converge aussi en partie principale et les deux défi- nitions donnent la même valeur de l’intégrale. Une intégrale peut converger en PP sans converger au sens standard.

b) Séries

Séries numériques

On appelle somme partielle de rang N d’une série numérique de terme généralunla somme : SN =

N n=0

un

La série converge et a pour sommeSsi la suiteSN a une limite bornée :S= lim

N→∞SNet on note : S =

∞ n=0

un

Unecondition nécessairede convergence est que lim

n→∞un =0 ; la convergence de la série de terme général |un| entraîne celle de la série de terme général un qui est alors qualifiée d’absolument convergente.

Exemples 1. soitz(x)=

∞ n=1

1

n^x (fonctionz de Riemann) ; cette fonction est déﬁnie (iela série converge) pourx>1;

2. la série géométrique de raisonq : ∞ n=0

qⁿ est convergente pour|q| < 1 et a pour somme 1

1−q.

• Critères de convergence pour une série à termes positifs (un 0) :

® critère de d’Alembert : soit L = lim

n→∞

un+1

un

. SiL < 1 la série converge ; si L > 1 la série diverge ;

(13)

1.1. Rappels d’analyse

® critère de Cauchy : soit L = lim

n→∞(un)^1/n. Si L < 1 la série converge ; si L > 1 la série diverge ;

® critère de comparaison : si lim

n→∞

un

vn

= L avec 0 < L < ∞ alors les deux séries de terme généralunetvnsont de même nature.

Pour une série alternéeun =(−1)ⁿanavecan >0 on a le critère de Leibniz : si à partir d’un rang N la suiteanest monotone décroissante et lim

n→∞an =0 (condition nécessaire) alors la série converge.

Séries de fonctions

Le terme général est une fonction :x →un(x). De ce fait la somme de la série est aussi une fonc- tionx →S(x). Àx fixé on est ramené à une série numérique. La convergence de la série est alors assujettie à la valeur de la variable (convergence simple). On parle dedomaine de convergence.

S’il existe une série numériqueconvergenteà termes positifsantelle qu’à partir d’un rangN on a|un(x)|an ∀x ∈[a,b] alors la série de terme généralun(x) estuniformément (et absolument) convergentedans [a,b] et la somme de la série est une fonction continue dans cet intervalle (critère de Weierstrass).

•Cas particulier : les séries entièresu_n(x)=a_nxⁿ

Le domaine de convergence est l’intervalle ]− R,R[ où R = lim

n→∞

an

an+1

est appelé rayon de convergence de la série (dans C le domaine de convergence est un disque de rayon R). Dans le domaine de convergence la somme d’une série entière est une fonction continue. La série est dérivable et intégrable terme à terme.

Exemples de séries entières ∞

n=0

xⁿ = 1

1−x |x|<1 ∞ n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)! =cosx |x|<∞ ∞

n=0

xⁿ

n! =e^x |x|<∞ ∞ n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! =sinx |x|<∞ ∞

n=1

xⁿ

n =−ln(1−x) |x|<1

c) Équations différentielles

Il existe des méthodes générales de résolution dans un petit nombre de cas rappelés ci-dessous :

3

(14)

•Équations du premier ordre F(x,y,y)=0

• les équations aux variables séparables : l’équation peut être mise sous la forme f(y)d y=g(x)d x et intégrée directement ;

• les équations linéaires : elles sont de la forme

a0(x)y+a1(x)y = f(x)

la solution générale est de la forme : y(x) = ay1(x) +y0(x) où y1(x) =exp −

a1(x) a0(x)d x

est une solution de l’équation sans second membre, a une constante arbitraire et y0(x) une solution particulière de l’équation complète, qui peut s’obtenir parvariation de la constante:

y0(x)=y1(x)

x f(x)

a0(x)y1(x)d x.

•Équations linéaires du second ordre à coeﬃcients constants a0y+a1y+a2y = f(x)

L’équation sans second membre se résout en posant y(x) =e^{r x} oùr ∈RouCest déterminé par identification. La solution particulière de l’équation complète s’obtient par identification selon la forme du second membre ou par la méthode de variation de la constante.

1.2 L ES FONCTIONS UTILISÉES EN PHYSIQUE

•Fonctionscontinuesoucontinues par morceaux, à dérivées continues ou continues par morceaux

Une fonction est de classeC^ksur un intervalle I (éventuellementR) si elle est continue surI ainsi que sesk premières dérivées. Une fonctionC^∞est indéfiniment dérivable.

Une fonction continue par morceaux a des discontinuités de première espèce (de saut fini) et est continue sur les intervalles délimités par les discontinuités.

Exemples

1. la fonction valeur absoluet→ |t|estC¹par morceaux car elle est continue (C⁰) et sa dérivée première est continue par morceaux ;

2. la fonction (ou échelon) deHeaviside

u:t→u(t) = 0pourt<0

= 1pourt>0 est continue par morceaux (ouC⁰par morceaux) ;

3. les fonctionscausales sont nulles pour t <0. Elles satisfont l’identité f = uf où u est la fonction de Heaviside.

(15)

1.2. Les fonctions utilisées en physique

•Fonctions périodiques

∃ T > 0 : f(t +T) = f(t) ∀t. Le plus petit réel positif T qui satisfait cette identité est la période de la fonction qui est alors qualifiée deT–périodique. Exemple : la fonction harmonique t →exp

2ipt

T

.La fréquence est définie parn= 1

T et la pulsation parv=2pn= 2p T .

•Fonctions caractérisées par leurs propriétés d’intégration

• Les fonctions sommables(ou intégrables) sont celles dont l’intégrale

R|f(t)|dt est bornée.

Elles forment un espace vectoriel notéL¹.

• Les fonctions de carré sommable sont celles dont l’intégrale

R|f(t)|²dt est bornée. Elles forment un espace vectoriel notéL². Ces fonctions modélisent en particulier les signaux d’éner- gie finie ou encore les fonctions d’ondes de la mécanique quantique.

• On peut définir plus généralement l’espaceL^k pourk quelconque dont les deux espacesL¹et L²sont des cas particuliers très utilisés en physique et théorie du signal.

• Les fonctionslocalement sommablessont celles dont l’intégrale

I

|f(t)|dtest bornée sur tout intervalle I fermé borné. Elles forment un espace vectoriel noté L¹loc. On utilise parfois Lloc²

l’ensemble des fonctions de carré localement sommable.

Il est clair que les fonctions deL¹sont localement sommables (et celles deL²de carré localement sommable).

•Fonctions tempérées

Ce sont les fonctions localement sommables et à croissance lente, c’est-à-dire celles qui croissent au plus comme une puissance (finie) det. Autrement dit on peut trouver un entierN non négatif borné tel que lim

|t|→∞

f(t)

t^N = 0. Notons qu’une fonction décroissante à l’infini est forcément à croissance lente.

La plupart des fonctions utilisées en physique sont des fonctions tempérées.

•Égalité presque partout

On dit que deux fonctions f et g sont égales presque partout et on note f =^pp g si f(t) = g(t)

∀tsauf sur un ensemble dénombrable de valeurs det(ensemble de mesure nulle). Par exemple la dérivée de la fonction de Heaviside est presque partout nulle. Les fonctions égales presque partout ont comme propriété :

f =^ppg⇔

I

f(t)dt =

I

g(t)dt ∀I

Cette propriété entraîne que les éléments deL¹(deL²) sont en fait les classes d’équivalence des fonctions égales presque partout et (de carré) sommables.

5

(16)

•Modélisation des signaux impulsionnels

L’impulsion d de Dirac (définition « phénoménologique » ; pour une théorie rigoureuse voir le chapitre 5).

∀f

_∞

−∞d(t−a) f(t)dt = f(a)

∀f

_∞

−∞

d⁽ⁿ⁾(t) f(t)dt = (−1)ⁿ f⁽ⁿ⁾(0) g(t)d(t−t0) = g(t0)d(t−t0) d(at)= 1

|a|d(t) en particulierd(−t)=d(t)

La notation ∀f doit rester compatible avec l’existence des valeurs de f qui y apparaissent (f(0),f(a), f(0), ...).

Si f est discontinue ent0 avec pour sauts on peut écrire f(t) = fc(t) +su(t−t0) où fc est continue, alors :

au sens des fonctions → f(t)= f_c(t) presque partout au sens des distributions → f(t)= f_c(t) +sd(t−t0) En particulier, au sens des distributionsu(t)=d(t).

•Formule de Leibniz sur la dérivée n^ième d’un produit de deux fonctions [u(x)v(x)]⁽ⁿ⁾=

n k=0

C_n^k [u(x)]^(k)[v(x)]⁽ⁿ⁻^k) oùC_n^k est le coefficient du binôme :C_n^k = n!

k! (n−k)!. Déﬁnitions

Fonction de Heaviside :u(t)=0 pourt<0

=1 pourt >1 Fonction « signe » : sign(t)=−1 pourt <0

=1 pourt >0

=2u(t)−1 Fonction « porte » :PT(t)=1 pourt∈ −T

2,T 2

=0 sinon Fonction « triangle » :LT(t)=

1−|t|

T

u

T − |t| Fonction sinus cardinal :sinc(t)= sin (pt)

pt

(17)

1.3. Les Séries de Fourier

1.3 L ES S ÉRIES DE F OURIER

• f est une fonctionT–périodique sommable sur tout intervalleDfermé de longueurT; on note v= 2p

T la pulsation fondamentale.On appellecoefficient de Fourierde f : cn = 1

T

D

f(t)e⁻^{i nvt} dt n∈Z

On définit lasérie de Fourier de f :

SF(f;t)=

n∈Z

cn e^{i nvt}

® Si en t0 ∈ D, f et font une valeur à droite et une valeur à gauche alors (théorème de Dirichlet)

SF(f;t0)= 1 2

f(t₀⁺) + f(t₀⁻)

® Si f est continue et fcontinue par morceaux alors SF(f;t) = f(t) uniformément∀t et la série de Fourier de fs’obtient en dérivant celle de f terme à terme.

® Si f estC^k⁻¹ et f^(k)est continue par morceaux alors|cn| 1

n^k+1 pourngrand.

• Série de Fourier de fonctionsréelles: f réelle⇒c₋n =cn (complexe conjugué decn) ; alors SF(f;t) = 1

2a0+ ∞ n=1

an cosnvt+bn sinnvt

an = cn+c₋n bn =i(cn−c₋n) ⇔ cn = 1

2(an−i bn) c₋n= 1

2(an+i bn) a0 = 2

T

D

f(t)dt an= 2 T

D

f(t) cosnvt dt bn = 2 T

D

f(t) sinnvt dt

• On rappelle larelation de Parseval(pour f ∈ L²(D)) 1

T

D

|f(t)|² dt =

n∈Z

|cn|²= a0

2 2

+ 1 2

∞ n=1

a_n²+b²_n

7

(18)

1.4 L ES FONCTIONS DÉFINIES PAR DES INTÉGRALES

Quelques fonctions usuelles

Fonctions eulériennes

La fonction GammaG(x) La fonction BêtaB(x,y) G(x) =

+∞ 0

e⁻^tt^x⁻¹dt x ∈R^∗⁺ Pour (x,y)∈R^∗⁺² B(x,y)=

1 0

t^x⁻¹(1−t)^y⁻¹dt G⁽ⁿ⁾(x) =

+∞ 0

e⁻^t (lnt)ⁿt^x⁻¹dt x ∈R^∗⁺ =2 ^p₂

0

(cosu)^2x⁻¹(sinu)^2y⁻¹du

= _∞

0

t^x⁻¹ (1 +t)^x+y dt G(x+ 1) = x G(x) ∀x ∈R\

Z⁻

G(1)=1, G(1 2)=√

p B(x,y)= G(x)G(y)

G(x+y) ∀x,y,x +y ∈R\ Z⁻ G(1)=−g G(1

2)=−(g+ ln 4)√ p g=0,577...constante d’Euler

G(n+ 1)=n! G(n+ 1

2)= (2n)!

2²ⁿn!

√p. B(x,1−x)=G(x)G(1−x)= p

sinpx x ∈/ Z Toutes les fonctions ci-dessous sont définies surR^∗⁺; certaines peuvent être prolongées surR⁺ ou même surR.

Fonction Erreur Erf(x)= 2

√p x

0

e⁻^t²dt Erreur complémentaire Erfc(x)= 2

√p _∞

x

e⁻^t²dt Sinus Intégral Si(x)=

x 0

sint

t dt Exp^elleIntégraleEn En(x)= +∞

x

e⁻^t

tⁿ dt n∈N^∗ Cosinus Intégral Ci(x)=−

+∞ x

cost

t dt Exp^elleIntégraleEi Ei(x)=P P x

−∞

e^t t dt

(19)

Énoncés des exercices

Produit de convolution

f ∗g :t→(f ∗g)(t)= +∞

−∞

f(t−t)g(t)dt Si f etgsont causaux : (f ∗g)(t)=u(t)

t 0

f(t−t)g(t)dt On utilise couramment la notation (abusive) f(t)∗g(t).

•Propriétés

• symétrie : f ∗g=g∗ f

• si f ∈ L¹etg ∈ L¹alors f ∗g ∈ L¹

• si f ∈ L¹etgest continue et bornée à l’infini alors (f ∗g)= f ∗g

ÉNONCÉS DES EXERCICES

1.1 Intégrales généralisées

1 Étudier la convergence des intégrales suivantes : (a):

1 0

√ 1

x(1−x)d x (b): 1

−1

1 (x+ 1)√³

xd x (c):

_∞

0

x + 1

x

x³+ 1d x (d): _∞

0

e⁻^xcosx d x

2 Étudier en fonction deala convergence de l’intégrale _∞

0

x^a⁻¹ x+ 1d x 3 L’intégrale

_∞

−∞

1

x³+ 1d x est-elle convergente au sens standard ? au sens de la partie principale ? Si oui la calculer.

1.2 Séries

1 Déterminer la nature (convergente ou divergente) des séries : (a):

∞ n=0

√ 1

n²+ 1 (b): ∞ n=0

2ⁿ+ 1 3ⁿ+n (c):

∞ n=1

lnn n² (d):

∞ n=0

(−1)ⁿ

√n

2 Pour quelles valeurs deala série de terme général (1−a)ⁿ est-elle convergente ? Calculer sa somme.

3 Calculer la somme de la série ∞ n=0

1 n!.

9

(20)

4 Soit deux séries numériques absolument convergentes de terme général respectivementanet bn. Montrer que la série de terme général ancosnx+bnsinnx est uniformément convergente

∀x ∈R.

1.3 Équations différentielles

1 Résoudre les équations différentielles du premier ordre :

(a)y+y²sinx =0 avecy(0)=1 (b) y=a²−y² (c)(1 +x)y+ y x = 1

x² 2 Résoudre les équations différentielles du second ordre :

(a)y+ 2y+ 2y =2x −sinx (b)y+y =ln|cosx| 1.4 Impulsion de Dirac

1 Établir les propriétés suivantes de l’impulsion de Dirac : (a)

b a

f(t)d(t−t0)dt = f(t0) sit0∈]a,b[ et 0 sinon.

(b) d(at+b)= 1

|a|d(t+b a) 2 Calculer :

(a) _∞

−∞(2t+ 3)d(t+ 1)dt (b) _∞

0

te⁻^t²d(t+ 1)dt

(c) 2

−1

(t³+ 3t²)d(t−1)dt (d) _∞

−∞

tcos(t)d⁽ⁿ⁾(t)dt

3 Calculertⁿd^(k)(t). En déduire n solutions indépendantes au sens des distributions des équa- tions :

tⁿT = 0 tⁿT = d 4 Potentiel coulombien à une dimension:

a)Calculer « au sens des distributions » la dérivée seconde dex → |x|.

b)On place une particule ponctuelle de charge q à l’origine (x = 0) dans un espace à une dimension (une ligne). Le potentiel créé par la charge à l’abscissexest solution de l’équation de Poisson à une dimension

V(x)=−q e0

d(x)

Trouver la solution de cette équation qui soit une fonction paire.

(21)

Énoncés des exercices

c)On place sur la ligne une autre particule, de charge−q.À l’instantt = 0 elle est située en x0=0 et possède une vitessev0. Montrer que quelle que soit sa vitesse initalev0elle ne peut pas échapper à l’attraction de la particule localisée enx =0.

On rappelle que la force que ressent enxla particule de charge−q plongée dans le potentiel V(x) est :F(x)=q V(x).

1.5 Séries de Fourier ; propriétés, dérivation

1 Développer en série de Fourier la fonctionT–périodique suivante : f(t) = at −T/2t 0

= bt 0t<T/2 où|a| =|b|. Discuter les casa =±b.

2 Développer en série de Fourier la fonctionT–périodique suivante : g(t) = a −T/2t <0

= b 0t <T/2

3 Comment peut-on comparer ce résultat à celui de la question précédente ? 1.6 Série de Fourier et somme de séries

Développer en série de Fourier la fonction paire et 2p–périodique définie pour t ∈ [0,p] par f(t)=e⁻^at.

En déduire la valeur de la somme des séries numériques : S1=

∞ n=0

(−1)ⁿ

n²+a² ; S2= ∞ n=0

1 n²+a² 1.7 Série de Fourier

Développer en série de Fourier la fonction 2p–périodique définie par : f(t) = sin(v0t) pour

−pt<pavecv0∈]0,1[.Que se passe-t-il quandv0→1 ? 1.8 Série de Fourier et équations différentielles

Trouver une solution particulière périodique de l’équation y(t) − 4y(t) = f(t) où f est 2p-périodique définie par f(t)=|t|pourt ∈[−p,p].

1.9 Séries de Fourier sinus et séries de Fourier cosinus

Soit f une fonction satisfaisant les critères de Dirichlet sur ]0,L[. Construire une série de Fourier de périodes 2L ne comportant que des termes en sinus (cosinus) et qui coïncide avec f sur ]0,L[.

Applications :

• Développer en série de Fourier-cosinus sur [0,p] la fonction f(t)=sint.

• Construire la série de Fourier-sinus puis la série de Fourier-cosinus qui coïncident avec la fonctiont →coshtsur ]0,1[.

11

(22)

1.10 Fonctions eulériennes 1 CalculerG(5

2), B(2,−1

2),G(n+ 1

2) et en déduireG(−n+ 1

2) (n∈N^∗).

2 Calculer Jn= _∞

0

tⁿe⁻^at²lnt dt (n ∈N,a ∈R^∗⁺) en termes deGet deG. Donner la valeur de J0et de J1.

1.11 Calcul d’intégrales Calculer les intégrales suivantes :

1 I1= _∞

0

t^ae⁻^btdt (b>0,a>−1) 2 I2= _∞

0

e⁻^at

√t+b²dt (a,b>0) 3 I3=

1 0

√ 1

t(1−t)dt 4 I4(x)=

_∞

x

e⁻^(at²^+2bt+c)dt (a>0) 5 I5=

p/2 0

(tanu)^adu a∈]−1,1[ 6 I6= _∞

0

cos(pt)Ci(t)dt 7 I7=

_∞

0

e⁻^at

t+bdt (a,b>0) 8 I8= b

a

e⁻^at

t+bdt (a >0 ; -b∈/[a,b]) 9 I9=

_∞

1

√lnt

t² dt 10 I10 =

_∞

0

sinat

t+bdt (b>0) 11 I11 =

_∞

0

1

1 +t²ⁿdt (n ∈N^∗) 12 I12 = 3

0

(9−t²)³²dt 1.12 Produit de convolution

1 Calculer les produits de convolution f ∗g (les fonctionsPa et La ci-dessous sont définies dans le rappel de cours) :

(a) f(t)=P2(t) g(t)= f(t)

(b) f(t)=P2(t) g(t)=2L2(t)=(2− |t|)u(2− |t|)

(c) f(t)=sint g(t)=aLa(t)=(a− |t|)u(a− |t|) a >0 (d) fa(t)= 1

G(a)t^a⁻¹e⁻^tu(t) a >0 fb(t)= 1

G(b)t^b⁻¹e⁻^tu(t) b>0 2 Calculer f ∗d⁽ⁿ⁾.

(23)

Énoncés des problèmes

3 On désigne par fa la fonction définie poura>0 par fa(t)= 1 a√

2pe⁻^t²^/2a²; a)Montrer que

_∞

−∞

e⁻^at²^+btdt = p

a exp b²

4a

b)Calculer fa∗ fb.

c)Calculer f_a^∗³= fa∗ fa∗ fapuis f_a^∗ⁿ(nentier positif).

ÉNONCÉS DES PROBLÈMES

Problème 1.1 Équation de la chaleur

Trouver à l’aide des séries de Fourier la solution du problème suivant : u(x,t) définie pourx ∈[0,l] ett >0

∂u

∂t = a∂²u

∂x² −bu a>0 ; b>0

u(0,t) = u(l,t)=0 t 0 u(x,0) = x(l−x) x ∈[0,l]

Problème 1.2 Séries de Fourier, polynômes de Bernouilli et fonctionz de Riemann

Les polynômes de Bernouilli sont définis par :

B1(x)=x− 1 2 B_n(x) = Bn−1(x) Bn(1) = Bn(0)

n 2

On veut déterminer la série de FourierSnde période 1, qui coïncide avec Bnpourx ∈]0,1[.

1 DéterminerS1.

2 Établir que le coefficienta0deSnest nul∀n.

3 Quelle relation existe-t-il entreSn etSn−1? En déduire l’expression deSn; on distinguera le casnpair du casnimpair.

4 Justifier queSn(0)= Bn(0) pourn 2. Calculer B2(x) et B4(x) et en déduirez(2) etz(4) où la fonctionzde Riemann est définie par :

z(x)= ∞ n=1

1 n^x

13

(24)

Problème 1.3 Phénomène de Gibbs

1 Soit f une fonction 2p–périodique admettant un développement en série de Fourier et SN(t) la somme partielle d’ordre N de la série de Fourier

SN(t)=a0/2 + N n=0

ancos(nt) +bnsin(nt) a)Montrer que

ancos(nt) +bnsin(nt)= 1 p

p

−p

f(t) cos(n(t−t))dt b)En déduire que

SN(t)= 1 2p

p

−p

f(t)sin

(N+ ¹₂)(t−t) sin₁

2(t−t) dt 2 Soit la fonction f,impaire, 2p–périodique, définie par f(t)=1 sur [0,p[.

a)Déterminer sa série de Fourier.

b)En utilisant le résultat de la question 1 b)montrer que pourt ∈]−p,p[

SN(t)= 1 2p

t

−t

sin

(N +¹₂)u sin₁

2u du− 1

2p p+t

p−t

sin

(N+ ¹₂)u sin₁

2u du

c)On regarde le voisinage de t = 0 et on se place pour N grand. Montrer que dans cette situation la seconde intégrale est négligeable devant la première et que

SN(t) 1 pm

mt 0

sinv sin _v

2m

dv où on a posém=N +1

2,v=um.

d)En déduire que le premier maximum de SN(t) apparaît pourt p

m p

N.Montrer qu’une valeur approchée du premier maximum de SN(t) est donnée par

S^max_N 2 p

p 0

sinj j dj Quelle remarque peut-on faire au vu de ce résultat ?

Problème 1.4 Formule de Stirling pour la fonction G

1 Montrer que 1

0

lnG(t)dt =ln√ 2p

(25)

Du mal à démarrer ?

2 On définit pourx 0

F(x)= x+1

x

lnG(t)dt a)CalculerF(x).

b)À l’aide du résultat de la question 1 en déduire l’expression de F(x).

3 En appliquant la règle des trapèzes (voir formulaire) à l’intégrale qui définit la fonction F montrer que (formule de Stirling)

x 1⇒G(x + 1)=√

2px^x+¹² e⁻^x 1 +o

1/x Formulaire

1 0

ln sin(pu)du=−ln 2

0< d²

d x²lnG(x) 1

x−1 pourx >1 b

a

f(x)d x = 1

2(b−a) [f(a) + f(b)]− 1

12(b−a)³ f(u) avecu∈]a,b[

DU MAL À DÉMARRER ?

1.1 1 et 2 Utiliser les critères de convergence.

3 Décomposer 1

x³+ 1 en éléments simples. Dans cette même question pour intégrer les élé- ments simples prendre la partie principale à l’infini (justifier).

1.2 1 et 2 Utiliser les critères de convergence.

3 Utiliser la table de séries entières.

1.3 2 Seconde équation : utiliser la méthode de variation des constantes.

1.4 1 a)Définir une fonctiong(t)= f(t) pourt∈]a,b[ etg(t)=0 sinon.

2 d)et 3 : Utiliser la formule de Leibniz. 4 a): La dérivée d’une fonction discontinue est différente selon qu’on la calcule au sens des fonctions ou au sens des distributions.

1.5Vérifier les symétries éventuelles de la fonction selon les valeurs deaetb.

3 On remarque queg= f.

15

(26)

1.6La fonction est continue donc elle est égale à sa série de Fourier en particulier ent = 0 et t=p.

1.7Prendre soigneusement la limitev0→1.

1.8L’équation différentielle ne fait intervenir que des dérivées paires et le second membre est une fonction paire ; on cherche donc la solution sous la forme d’une série de Fourier paire.

1.9Prolonger la fonction f sur ]−L,0[ de façon à obtenir une fonction paire (impaire) et prolonger la fonction ainsi définie ]−L,L[ surRpar périodicité de période 2L.

1.10Attention (voir table dans les rappels de cours) : on définitG(x) pourx < 0 non entier en prolongeant les valeurs pourx >0 à l’aide de l’identitéG(x)= G(x+n)

x(x+ 1)· · ·(x+n−1)pour x ∈]−n,−n+ 1[ avecn∈N^∗.

1.11 I2: poseru=√

t+b²;I6: intégrer par parties et utiliser _∞

0

sin (at)

t dt = p

2 sign(a) ;I8: distinguer le casa <b <−bdu cas−b < a <b; I9 : posert = e^u; I11 : poseru =t²ⁿ; I12: poseru =t²/9.

1.12 1 a)etb)On peut utiliser un raisonnement graphique.

Problème 1.1

Les conditions aux limites suggèrent de chercher des solutions de la forme u(x,t)=

n1

bn(t) sinnpx l ;

pour implémenter la condition initiale utiliser les séries de Fourier sinus (exercice 1.9).

Problème 1.2

1 Remarquer que la série de FourierS1 est une fonction impaire. Dans la suite, attention à ne pas faire de confusion entre l’indicenqui numérote les polynômes de Bernouilli et l’indicekqui repère les coefficients de Fourier.

2 La relation de récurrence entre lesak(n) et lesbk(n+ 1) sera transformée en relations par pas de deux dans une même série de coefficients.

Problème 1.3

2 b)Dans l’expression de SN(t) on fera un changement de variableu = t−tdans l’intégrale entre−pet 0 etu =t−tdans l’autre intégrale.

2 c)On établira que pourt ∼0 les deux intégrales de la question 4 sont de la forme a+e

a−e

g(t)dt =2eg(a) +o(e).

Problème 1.4

1 On fera le changement de variablet =1−t. Dans tout le problème, utiliser les propriétés de la fonctionG.

E xercices P roblèmes

sciences sup