1.1 Entre le thermocouple (1) et l'écran (3)

TF06_rayonnement_04.xmcd

TF06

- Rayonnement - exercice 4 σ 5.67 10× ^-8 W

m²×K⁴

× :=

T2:= 500 K×

T1:= 800 K× h3 100 W m²×K

× :=

ε3:=0.3

ε1:=0.8 h1 120 W m²×K

× :=

1. Étude avec écran

F11 F13+ = 1 F31 F33+ = 1

1.1 Entre le thermocouple (1) et l'écran (3)

F11:=0 F13:=1-F11 F31 F13 S1

×S3

:= F33:=1-F31 F13=1 F31=0.25 F33=0.75

F13 ε1×ε3×F13

1-

(

1-ε1

)

×F11

éë ùû

^×

éë

¹-

(

^1-ε3

)

×F33

ùû

-

(

^1-ε1

)

^×

(

¹-^ε3

)

×F13×F31

:= F31 S1

S3×F13 :=

F13= 0.545 F31= 0.136

1.2 Entre l'écran (3) et la conduite (2)

_{F33 F32}+ = 1 F23 F22+ = 1

F33:=0 F32:=1-F33 F32=1 F23 F32 S3

×S2

= F32 D3

×D2

= avec D3<<D2

F22=1-F23 1 D3 -D2

= =1 F22 = 1 F23:=1-F22 F23=0

F32 ε2×ε3×F32

1-

(

1-ε2

)

×F22

éë ùû

^×

éë

¹-

(

^1-ε3

)

×F33

ùû

-

(

^1-ε2

)

^×

(

¹-^ε3

)

×F23×F32

= ε2×ε3

ε2

= F32 = ε3 F32= 0.3

Bilan sur S1 :

h1 S1× ^×

(

T1 Tg-

)

^σ×S1×F13

æ

T1⁴-T3⁴

è ö

×

ø

+ =0 T_g et T₃ sont les inconnues à déterminer

Bilan sur S3 :

h3 S3× ^×

(

Tg T3-

)

^σ×S1×F13

æ

T1⁴-T3⁴

è ö

×

ø

+ h3 S3× ^×

(

T3 Tg-

)

^σ×S3×F32

æ

T3⁴-T2⁴

è ö

×

ø

+

=

En soustrayant la première équation de la seconde et en remarquant que (S₃ = 4 S₁), on exprime T_g en fonction de T₃ :

En remplaçant T_g dans la première on a une équation en T₃ :

Tg

4×σ×F32

( )

×T3⁴+

( )

8 h3× ×T3

æ

h1 T1× -4×σ×F32×T2⁴

è ö

+

ø

8 h3× +h1

=

4 h1× ×F32 8 h3× +h1 +F13

æç çè ö÷

÷ø

^{×σ×T34 8 h3}

× ×h1 8 h3× +h1×T3

+ 4 h1× ×F32

8 h3× +h1×σ×T2⁴

- -σ×F13×T1⁴ h1²

8 h3× +h1 -h1

æ ç ç è

ö ÷

÷ ø

^×T1

+ = 0

3.980 10× ^-8×x⁴+104.35 x× -96701= 0 On trouve par toute méthode graphique ou numérique : x= 783.2 T3= 783.2 K Tg= 808.6 K

MH 1/2 ^31/05/2012

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2. Étude sans écran

Entre le thermocouple (1) et la conduite (2)

_{F22 F21}+ = 1 F12 F11+ = 1

F11:=0 F12:=1-F11 F12=1 F21 F12 S1

×S2

= F12 D1

×D2

= F12 D1

4 D2×

×

=

F22=1-F21 1 D1 4 D2× -

= = 1 F22 = 1 F21:=1-F22 F21=0

F12:= ε1

F12 ε2×ε1×F12

1-

(

1-ε2

)

×F22

éë ùû

^×

éë

¹-

(

^1-ε1

)

×F11

ùû

-

(

^1-ε2

)

^×

(

¹-^ε1

)

×F12×F21

= ε2×ε1

ε2

=

F12= 0.8

Bilan sur S1 :

h1 S1× ^×

(

T1 Tg-

)

^σ×S1×F12

æ

T1⁴-T2⁴

è ö

×

ø

+ =0

σ×F12

( )

×T1⁴+

( )

h1 ×T1

æ

h1 Tg× +σ×F12×T2⁴

è ö

-

ø

= 0

Numériqement :

4.536 10× ^-8×x⁴+120 x× -99866= 0 on trouve : x= 726.8

T'1= 726.8 K

Récapitulatif : Tg= 809 K T1= 800 K avec écran

T'1= 727 K sans écran

L'écran permet une lecture "meilleure" du thermocouple

MH 2/2 ^31/05/2012