Correction du TD sur la loi normale
I
1. Z =Y −µ
σ suit la loi normale centrée réduite.
2. 0,16ÉY É0,18⇔0,16−0,17ÉY −0,17É0,18−0,17⇔0,16−0,17 σ
ÉZÉ0,18−0,17 σ
⇔ −0,01
σ ÉZÉ0,01 σ .
On cherche le nombreuαtel queP(−uαÉZ Éuα)=0,99.
Par symétrie de la courbe représentative de la fonction de Gauss par rapport à l’axe des ordonnées, on a P(Y É −uα)=1−0,99
2 =0,005.
À la calculatrice, on trouve−uα≈ −2,576 doncuα≈2,576.
On en déduit0,01
σ =uαdonc σ=0,01
uα ≈0,003 9
II
1. φ(t)=0,985 donct≈2,17.
2. 98ÉX É100⇔98−100 σ
ÉZÉ98−100 σ
⇔ −2 σ
ÉZ É 2 σ . Z suit la loi normale centrée réduite.
On chercheαtel queP(−αÉZ Éα)=0,97⇔P(ZÉα)=0,97+
µ1−0,97 2
¶
=0;085.
D’après 1., on aα≈2,17.
D’oùσ≈ 2 2,17. Alors, σ≈0,922.
III
1. p1=P¡
µ1−3σ1ÉX ɵ1+3σ1¢
=P(35,4ÉX É36,6)≈ 0,997. 2. p2=P(5,88ÉY É6,12)=P(Y É6,12)−P(Y É5,88)≈ 0,984. 3. (a) Les deux évènementsDetLétantindépendantson a :
P(D∩L)=P(D)×P(L)≈ 0,981.
La probabilité qu’une pièce ne soit pas acceptée est donc 1−0,981≈ 0,02 arrondi à 10−2. (b) DetLsont indépendants doncDetLle sont aussi d’après le cours.
On a donc :PL(D)=P(D)= p2.
