FM 03 : Reconnaissance et transformation d’une expression algébrique
1/2 Seconde – Lycée Desfontaines – Melle
Fiche méthode 03 – Reconnaissance et transformation d ’ une expression algébrique
I. Reconnaître une expression algébrique
Une expression algébrique contient des nombres et des lettres qui représentent des nombres, ainsi que des parenthèses et des opérations (+ , - , × , /).
Dans une expression algébrique, c’est la dernière opération effectuée en respectant les règles de priorités de calcul qui donne son nom à l’expression.
Nom Forme Exemples
Somme A+B 2x2+5x+3 est la somme de trois termes : 2x2, 5x et 3 Produit A×B (2x+3)(3x−4) est le produit des facteurs 2x+3 et 3x−4
Carré A2 (x+5)2 est le carré de (x+5)
Quotient A
B
5x+ 3
x2−3 est le quotient de 5x+ 3 par x2−3
Différence de deux carrés A2−B2
(
x2+1)
−(4x+1)2 est la différence de x2+1 et du carré de 4x+1.
Exercice 1 : En prenant exemple sur la première ligne, compléter le tableau : A=x2+x Somme A est la somme des termes x2 et x.
B=x+5(x+3) C=(x+5)(x+3)
D=(x−5)2−4 E=(x+5)2
F=x−5 x+1 G=x+1
2 + x
x−2
Exercice 2 : Parmi les expressions suivantes, entourer les différences de deux carrés :
A=x2−16 B=
(
1+x2)
−(5−2x)2 C=(1+x)2+(-7+2x)2 D=(3−4x)2−4 E=(9−5x)2−2 F=11−(8x+1)2 G=(x−5)2+9 H=-x2+9 I=-x2−9 J=x4−1Exercice 3 : Associer à chaque énoncé l’expression algébrique correspondante.
Enoncé Expression algébrique Association
1. Somme de deux produits A. a b
c+d
1↔
2. Produit d’une différence et d’une somme B= c d −a
b
2↔
3. Différence d’une somme et d’un produit C=(a+b)−cd 3↔
4. Quotient d’une somme par une différence D=a b+cd 4↔
5. Différences de deux quotients E= 1
c+d
5↔
6. Inverse d’une somme F=(a−b)(c+d) 6↔
7. Quotient d’un produit par une somme G=a+b
c−d
7↔
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Exercice 4 : Traduire chaque phrase par une expression algébrique : 1. La somme de 5 et du produit de 3 par x ;
2. Le double du carré de a ;
3. Le produit de la somme de 7 et x et de la différence de y et 8 ;
4. Le quotient du cube de x et du double de x ;
5. La différence du carré de 5 et du double de x ; 6. Le carré de la somme de 4 et de x.
II. Transformation d ’ une expression algébrique
Une expression algébrique peut s’écrire de plusieurs façons. Il faut savoir la transformer pour utiliser la forme la plus adaptée au travail à effectuer.
• Réduire une somme, c’est écrire cette somme sous la forme la plus condensée possible, en regroupant les termes de même nature (par exemple, on rassemble tous les termes en x2, tous les termes en x, tous les termes constants).
• Développer un produit, c’est écrire ce produit sous la forme d’une somme.
• Factoriser une somme, c’est écrire cette somme sous la forme d’un produit.
Développement et factorisation à connaître : (a, b, c et d sont des réels)
Forme développée Forme factorisée
a b+a c a(b+c)
a c+ad+bc+bd (a+b)(c+d) a2+2ab+b2 (a+b)2 a2−2ab+b2 (a−b)2
a2−b2 (a−b)(a+b)
Exercice 1 :Développer et réduire les expressions suivantes : A=(x−2)(2x+6)
B=
(
x2−2x+6 (4)
−x) C=(3−5x)2D=(2x−1)(2x+1)
Méthode pour factoriser une expression algébrique
• Etape 1 : On cherche un facteur commun à chacun des termes de la somme algébrique. Sinon, on passe à l’étape 2.
• Etape 2 : On cherche à identifier une identité remarquable qui permette de factoriser l’expression. Sinon on passe à 3.
• Etape 3 : On tente d’appliquer les étapes 1. ou 2. sur une partie de l’expression et on recommence à l’étape 1.
Sinon on passe à l’étape 4.
• Etape 4 : On développe, on réduit et on recommence à l’étape 1.
Exercice 2 : Factorisons les expressions suivantes :
A=(x−2)(x+1)−(3x−5)(x−2) B=x2−2x+1−3(x−1) C=(2x=3)2−(x−5)2
D=(2x−6)+(x−3)2 E=3(x−1)+4x(1−x) F=x2−10x+25−(x−5)(3x+2) G=(3x−2)2−1 H=(6−x)2−(3x−2)2 I=(3x+2)−(3x+2)(6x−1)
