de Contrôle 3 Section : Sciences Ex

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Exercice 1

Pour les questions 1 et 2, on donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.

M. Zribi a 17 cravates : 12 cravates à motifs et 5 cravates unies. Il range toujours 10 cravates (7 à motifs et 3 unies) du côté gauche de son armoire et 7 cravates (5 à motifs et 2 unies) de l’autre côté.

1) M. Zribi devant partir en voyage pendant 3 jours a besoin de 3 cravates.

Pour cela, il les choisit simultanément et au hasard du côté gauche de son armoire. Soit X le nombre de cravates à motifs qu’il choisit :

a) Déterminer la loi de probabilité de X.

b) Calculer E(X).

2) Lorsqu’il ne voyage pas, pour déterminer la cravate qu’il portera dans la journée, M. Zribi utilise la méthode suivante : il choisit un côté de l’armoire au hasard, de façon équiprobable, et il prend ensuite une cravate, toujours au hasard, sur le côté choisi.

On considère les événements suivants :

G : « M. Zribi choisit le côté gauche de l’armoire ».

D : « M. Zribi choisit le côté droit de l’armoire ».

M : « M. Zribi tire une cravate à motifs ».

U : « M. Zribi tire une cravate unie ».

a) Calculer p(M).

b) Calculer p(G/_M ).

3) Tous les jours, pendant n jours, M. Zribi prend une cravate au hasard avec une probabilité égale à

140

99 de tirer une cravate à motifs. Chaque soir, il remet la cravate utilisée pendant la journée à sa place.

a) Calculer en fonction de n la probabilité p_n pour qu’il ait pris au moins une cravate à motifs.

b) Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle p_n 0,99

Lycée Marsa Erriadh

4^ème année 24/04/2010

Prof : M.Zribi.

Devoir

de Contrôle 3 Section : Sciences Ex

Epreuve : Mathématiques

Durée : 2h

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Exercice 2 :

On a représenté ci-dessous dans un repère orthogonal , les courbe représentative C₁ et C₂, des fonction f et g définies sur  par f x( )x e² ^^x et g x( )xe^^x .

1) Par une lecture graphique :

a) Identifier la courbe de f et celle de g.

b) Donner le signe de g(x)-f(x).

2) On considère la suite d’intégrale (I_n) définie par

1 0

0

I 



e^xdx et pour tout entier n >0 par

1

0 n x

In 



x e^ dx^.

a) Calculer la valeur exacte de I₀.

b) En utilisant une intégration par parties, démontrer que

1

1 ( 1)

n n

I _  n I e^ .

c) En déduire les valeurs exactes des intégrales I₁ et I₂.

3) Soit A l’aire de la partie du plan limitée par C₁; C₂ et les droites :x=1 et x=0. déterminer la valeur exacte de A.

(3)

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Exercice 3:

On désigne par f la fonction définie sur IR par ( ) 1

x x

f x e e

  , on note Γ la courbe représentative de f dans un repère orthonormé



^{O i j}^{, ,}



(voir annexe).

A) Par une lecture graphique :

1) Déterminer f’(0) ; les limites de f en et en  .

2) a) Montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on précisera.

b) Tracer dans le même repère la courbe Γ′ de la fonction f ^-1. B)

Soit n un entier naturel. On désigne par D_n le domaine du plan limité par la droite d’équation : y=1 ; la courbe Γ et les droites d’équation x=0 et x=n ; An

désigne l’aire du domaine D_n exprimée en unité d’aire.

1) Calculer A_n.

2) Déterminer la limite de A_n.

C) Soit 𝜆 un réel positive, et ^V ^{( )} ⁰ ^{f x}^{( )}^²^dx



 







^.

1) Donner une interprétation géométrique de v(𝜆).

2) Déterminer les réels a et b tel que ; pour tout réel x :

   

2

2 1 2

1 1

x x x

e ae be

e e e

 

   .

3) Exprimer V(𝜆) en fonction de 𝜆.

4) Calculer limV ( )

 



(4)

4/3

Nom : ……….. Prénom : ………..