Faculté des Sciences de Luminy 4 janvier 2006 Département de Mathématiques
Licence 2ème année, semestre 3
Epreuve d’Analyse 1 (3h) Documents et calculatrices sont interdits
A rédiger sur copie séparée (ex 1 et 2 d’un côté, 3 et 4 de l’autre)
Exercice 1
Pour n 1; on pose an= 4n31 n: a) Montrer que la série P
an converge.
b) Prouver l’égalité, pour n 1 an=
Z 1 0
x2n 2(1 x)2dx:
c) En déduire que la somme partielle d’indicem 1de la série est donnée par la formule
Xm
n=1
an= Z 1
0
1 x
1 +x(1 x2m)dx:
d) Montrer que sif est une fonction continue sur[0;1];R1
0 xnf(x)dxtend vers 0 quand n!+1:
e) En déduire la valeur de P1
1 an. Exercice 2
a) Soit an 2 R: Montrer que si P
an converge absolument, alors P a2n converge. La réciproque est-elle vraie ?
b) L’a¢ rmation suivante est-elle vraie (fournir une démonstration ou un contre-exemple) : sian>0etP
an converge, alors an+1a
n a une limite stricte- ment plus petite que 1.
c) Même question pour l’a¢ rmation : si la suite (un) est décroissante et si limun+1u
n = 1; alors (un) converge vers un nombre réel strictement positif.
Exercice 3
a) Donner le développement limité de xln(chx) en 0; à l’ordre3, puis celui deexp(sinx) en 0; à l’ordre 3, pour en déduire
xlim!0
xln(chx) 1 +xp
1 +x exp(sinx): 1
b) Justi…er soigneusement, à l’aide du cours, la double inégalité suivante 8x2R: 1 x2
2 cosx 1 x2 2 +x4
24: :
Exercice 4
a) Quelle est la nature de la série de terme général an= ( 1)npn+2n pn, puis de la série de terme générala0n=
pn+2 p n
n ?
b) Même question pour la série de terme général bn= ln( 1
nsinn1)? Corrigé de l’épreuve d’analyse 1 du 04/01/06 Exercice 1
a) On a an = 4n31 n k
n aveck = 14 et = 3: La série de terme général an converge donc (comparaison avec la série de Riemann avec >1):
b) On a Z 1
0
x2n 2(1 x)2dx = Z 1
0
x2n 2(1 2x+x2)dx
= x2n 1 2n 1
x2n
n + x2n+1 2n+ 1
1
0
= 1
2n 1 1
n + 1 2n+ 1
= an:
c) On écrit, d’après b) et la linéarité de l’intégrale Xm
n=1
an = Z 1
0
(1 x)2(1 +x2 +::::+ x2 m 1)dx
= Z 1
0
(1 x)21 x2m
1 x2 dx (formule de la progression géométrique)
= Z 1
0
1 x
1 +x(1 x2m)dx (en simpli…ant par (1 x)).
d) Si f est continue sur [0;1];elle est bornée (thm de cours). Soit M un majorant, on a, d’après un thm de cours
Z 1 0
xnf(x)dx
Z 1
0 jxnf(x)jdx M
Z 1 0
xndx= M n+ 1; 2
quantité qui tend vers 0 quand n!+1: e) En regroupant les résultats, on a donc
Xm
n=1
an= Z 1
0
1 x 1 +xdx
Z 1 0
1 x 1 +xx2mdx
et on constate que le second terme du membre de droite est de la forme R1
0 xnf(x)dxen posant f(x) = 11+xx:En faisant tendrem vers +1; la somme partielle a pour limite la quantité
Z 1 0
1 x 1 +xdx =
Z 1 0
2 (1 +x) 1 +x dx
= 2 ln 2 1:
Exercice 2 a) Si P
an converge absolument, son terme général tend vers 0, donc devient inférieur à 1 à partir d’un certain rangn0: On écrit donc : a2n janj et le critère de comparaison montre que P
a2n converge. La réciproque est évidemment fausse grâce aux séries de Riemann, prendrean= n1:
b) A¢ rmation fausse, un contre-exemple facile est an = n12 puisque liman+1a
n = 1:
c) A¢ rmation fausse : la suite an = 1n décroît, on a bien liman+1a
n = 1;
mais sa limite est 0.
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