3 Approximation numérique dans le cas radial

L’énergie des vortex

Benoît Merlet, merlet acmap.polytechnique.fr 18 janvier 2011

Dans ce projet, on s’interesse à des champs de vecteurs u : D → R² où D = B(0,1) est le disque ouvert unité de R². On leur associe l’énergie

Jε(u) := 1 2 Z

D

|∇u|²+ 1 4ε²

Z

D

(1− |u|²)², (1)

où ε >0 est un petit paramètre. Le deuxième terme de l’énergie est un terme de pénalisation qui est un affaiblissement de la contrainte

|u(x)|= 1 pour (presque) toutx∈D. (2) Ce type de modèle apparaît dans plusieurs domaines de la physique (supraconducteurs, cristaux li- quides, micromagnétisme). Le champ u représente respectivement la fonction d’onde des électrons, le vecteur directeur donnant l’orientation des cristaux ou la direction de l’aimantation.

On fixera les valeurs deuà la frontière ∂D=S¹ du domaine :

u(x) =g(x) sur∂D. (3)

où la donnée au bord g :S¹ →S¹ est supposée régulière.

Dans ce projet, on s’interesse aux minimiseurs deJε sous des conditions au bord (3) favorisant l’appa- rition devortex. L’objectif est d’observer numériquement ces minimiseurs, d’étudier leur(s) unicité(s) et de quantifier leur énergie.

La première partie est théorique, on établit en particulier l’existence des minimiseurs. Dans les parties suivantes, nous proposons de calculer des approximations numériques de ces minimiseurs : dans le cas radial tout d’abord puis dans le cas général.

1 Existence et caractérisation des minimiseurs

Soitd∈Zetε >0. On s’interesse à la minimisation de J_ε sous la condition au bordg=g_d avec gd(cosθ,sinθ) := (cos(dθ),sin(dθ)). (4) Posons

E_g = {u ∈H¹(D,R²) : u=g sur∂D},

Question 1. Montrer que Eg∩C¹( ¯D) est non vide. En déduire qu’il existe u₀ ∈Eg∩C¹( ¯D) tel que E_g =u₀+H₀¹(D,R²).

On admet qu’il existe une constante C >0 telle que pour toutv∈H₀¹(D), on av ∈L⁴(D)avec kvk_L⁴_(D) ≤ Ck∇vk_L²_(D).

De plus l’injection H₀¹(D) → L⁴(D) est compacte, c’est à dire que si (vn) est une suite bornée dans H₀¹(D) alors elle admet une sous suite convergente dansL⁴(D).

Question 2. Montrer que pour toutu∈E_g, l’énergie J_ε(u) est finie.

Indication : utiliser l’inégalité de Hölder.

On note le minimum d’énergie

λε,d := inf

u∈Eg

Jε(u).

Question 3. Montrer queλ_ε,d≥0 et que si(u_n)⊂E_g est une suite minimisante :

n→∞lim Jε(un) = λ_ε,d,

alors il existeu∈E_g telle que (u_n)converge vers udansL⁴(D,R²).

Montrer queEg(u) =λε,d.

Indication : on utilisera, pour u∈L²(D,R²), l’identité k∇uk_L²_(D)= sup

(∇u, v)_L²_(D) : v∈L²(D,R²×R²), kvk_L²_(D)≤1 .

Question 4. Montrer que Jε : Eg ={u0+H₀¹(D,R²)} →R est différentiable et montrer que pour u∈Eg etv∈H₀¹(B(0,1),R²) on a

(J_ε^′(u), v)_H¹

0 =

Z

D

∇u· ∇v− 1 ε²

Z

D

(1− |u|²)uv.

En déduire quew:=J_ε^′(u) est solution du problème variationnel : trouver w∈H₀¹(D,R²) telle que Z

D

∇w· ∇v = Z

D

∇u· ∇v− 1 ε²

Z

D

(1− |u|²)uv, ∀v∈H₀¹(D,R²). (5) Question 5. Montrer que le problème (5) admet une unique solution dansH₀¹(D,R²).

Question 6. Donner une condition nécessaire satisfaite par les minimiseurs deJε dansEg.

2 Le cas des solutions radiales

On souhaite étudier qualitativement ces minimiseurs. Dans un premier temps, on ne s’intéresse qu’aux fonctions radiales : de la forme

u(x) = ρ(|x|)g(x/|x|). (6)

On note

H := {ρ : u∈H₀¹(D,R²)}, H_g:= {ρ : u∈E_g(D,R²)}.

Pouru, v ∈H¹(D,R²) radiales et d’amplitudes respectives ρ, σ, on a Z

D

(∇u,∇v)dx = 2π Z ₁

0

d²

rρ(r)σ(r) +rρ^′(r)σ^′(r)

! dr,

L’ensemble des fonctions radiales deH¹(D,R²) est fermé dansH¹(D,R²). On en déduit que H muni du produit scalaire

(ρ, σ)_H :=

Z 1 0

d²

rρ(r)σ(r) +rρ^′(r)σ^′(r)

! dr

est un Hilbert. Remarquons queH_g =ρ₀+H₀ où par exempleρ₀(r) =r² et que Jε(u) = 2πKε,d(ρ)

où on a posé

K_ε,d(ρ) := 1

2kρk²_H + 1 4ε²

Z 1 0

(1−ρ²(r))²r dr.

On note le minimum d’énergie

µε,d= inf

ρ∈Hg

Kε,d(ρ).

Comme dans la section précédente, on peut montrer l’existence de minimiseurs ρ_ε,d ∈ H_g réalisant Kε,d(ρε,d) =µε,d. On a en plus le résultat suivant :

Théorème 1. Le minimiseurρε,d est unique et de classe C^∞ sur [0,1].

Pour d = 0, on ρ_ε,d ≡ 1 et pour d ≥ 1, ρ_ε,d = ρ_ε,−d est strictement croissante et on a ρ_ε,d(0) = 0, ρ_ε,d(1) = 1.

On s’interesse maintenant au casd≥1.

3 Approximation numérique dans le cas radial

Soit d ≥ 1 et ε >0. On va résoudre numériquement le problème de minimisation de K_ε,d dans H_g. Pour cela, on va utiliser une discrétisation par Éléments Finis P¹ des fonctions deHg.

Soit N ≥1, notre pas de discrétisation sera p := 1/N et nos degrés de libertés seront aux abscisses r_i =ihpour i= 0,· · ·, N. Les fonctions de bases (ϕ_i)_i=0,···,N sont définies par

ϕ^h_i(r) :=















0 pour r≤r_i−1,

(r−ri−1)/h pour ri−1 ≤r ≤ri, (r_i+1−r)/h pour r_i ≤r≤r_i+1,

0 pour r_i+1 ≤r.

Dans la suite, on associera au vecteurR^h = (R^h)_i=0,···,N la fonction

ρ^h(r) :=

N

X

i=0

R_iϕ^h_i(r).

De même, on associeraS^h àσ^h etT^h à τ^h.

Question 7. Montrer qu’il existe une matriceA= (Ai,j)0≤i,j≤N telle que (ρ^h, σ^h)_H = (AR^h, S^h).

Donner une formule explicite pour les coefficients deA en fonctions d’intégrales dépendantes des(ϕ^h_i).

Question 8. Montrer quekρ^hk²_H est fini si et seulement siR^h₀ = 0.

Dans la suite on supposera toujoursR^h₀ = 0et par abus de notation on omettra ce premier coefficient en notant R^h = (R^h)_i=1,···,N. Pour la même raison, on supprime la première ligne et la première colonne deA, de sorte queA= (A_i,j)_1≤i,j≤N.

Question 9. Exprimer l’énergie K_ε,d^h (R^h) := K_ε,d(ρ^h) sous la forme K_ε,d^h (R^h) = 1

2(AR^h, R^h) + 1

4ε²I(R^h).

ExpliciterI en fonction d’intégrales dépendant des (ϕ^h_i).

Question 10.Le script "CalculEnergie.sci" programmé enScilabpermet de calculer l’énergieK_ε,d^h (R^h).

Dans ce programme, toutes les intégrales du typeRr_i+1

ri f(r)dr ont été approchées par la méthode du point milieu :

Z ri+1

ri

f(r)dr ≃ hf r_i+1+ri

2

! .

Les formules du script sont elles-compatibles avec vos propres formules obtenues aux questions 7 et 9 ?

Question 11. Modifiez ce programme de manière à étudier l’erreur dans l’évaluation de l’énergie.

Indication : pour cela, on choisira une fonctionρ dont on sait calculer l’énergie, on posera R^h_i :=ρ(r^h_i) et on calculera l’erreur

err := K_ε,d^h (R^h)−K_ε,d(ρ).

On tracera log(err) en fonction de log(h) pour N = 2,4,8,16,· · ·. Faites le test pour différentes fonctionsρ. Quel est l’ordre de la méthode d’approximation ?

Question 12. Soit ρ ∈ H_g et σ ∈ H, montrer que la différentielle de K_ε,d^′ en ρ est donnée par la formule

(K_ε,d^′ (ρ), σ)H = (ρ, σ)H − 1 ε²

Z ₁

0

(1−ρ²(r))ρ(r)σ(r)r dr.

Question 13. Montrer que ρ^h ∈ H si et seulement si R_N^h = 0 et que ρ_h ∈ H_g si et seulement si R^h_N = 1. A nouveau par abus de notation, on représentera ρ_h ∈H par R^h = (R^h_i)_{1≤i≤N−1}.

Question 14. Soitρ^h∈H_g. On noteτ^h :=K_ε,d^′ (ρ^h)∈H. Montrer que T^h est défini par

(A₀T^h, S^h) = (AR^h, S^h) + (B^h, S^h), ∀S^h ∈R^N−1, (7) oùA₀= (A_i,j)_{1≤i,j≤N−1}. Exprimer B^h∈R^N−1 en fonction de T^h et des(ϕ_i).

4 Approximation numérique des minimiseurs : le cas radial

Pour la minimisation, nous proposons une méthode de descente de gradient à pas constant. Pour une fonctionnelle dérivableJ à minimiser dans un espaceE, cette méthode consiste à construire une suite (x_n)⊂E de la manière suivante :

1/ On se donnex0∈E,

2/ Pour n= 0,1,2,· · · on posex_n+1 :=xn−pJ^′(xn).

Le paramètrep >0 est le pas de la méthode.

Remarque 1. Expliquons brièvement le bien fondé de cette méthode. En supposant que la fonctionnelle J est de classe C² et en développant à l’ordre 2, on calcule

J(xn+1) = J(xn)−p|J^′(xn)|²+O(|xn+1−xn|²).

On voit alors que si le pas pest assez petit on a bienJ(x_n+1)≤J(xn) ce qui est souhaitable puisqu’on cherche à minimiserJ. Par ailleurs, la méthode ne stagne que si on aJ^′(x_n) = 0 ce qui est vrai si x_n est un point de minimum deJ.

Le pas est délicat à choisir : on veut qu’il soit assez petit pour qu’on ait J(x_n+1) ≤ J(x_n) à chaque itération, et assez grand pour que la méthode converge rapidement vers un minimiseur.

On peut montrer que siJ est de classe C² et est fortement convexe, alors, si p >0 est assez petit, la méthode converge vers un minimiseur avec l’estimation

kxn−x∞k ≤ Cαⁿ.

pour un 0< α <1 dépendant de p et de J^′′. Le meilleur facteur de convergence α possible dépend du conditionnement de la matrice J^′′, on a α≃1−C/cond(J^′′).

Question 15. Le script "MinimiseEnergie.sci" met en oeuvre la méthode de gradient à pas constant pour minimiserKε,d dansHg.

Utilisez ce programme pour étudier l’énergie minimale approchée µ^h_ε,d. On prendra N = 10³. Repré- sentez le minimiseur approché. Que se passe-t-il quandεtend vers 0 ?

Tracez l’énergie µ^h_ε,d en fonction de ln(ε) pour ε= 0.2, 0.1, 0.05,· · · pour d= 1,2,3,· · ·. Exprimez une conjecture sur le comportement de l’énergie minimale quandεtend vers 0.

5 Approximation numérique des minimiseurs : le cas général

Pour approcher numériquement les minimiseurs de Jε dansEg, nous proposons d’utiliser la méthode des éléments finisP² et le logicielFreeFem++. Ce logiciel, permet d’écrire les problèmes sous forme variationnelle : pour calculer J_ε^′ on pourra utiliser directement la formulation (5). De même, pour calculerJε, on peut utiliser la formule (1).

Question 16. A l’aide deFreeFem++, mettez en oeuvre la méthode du gradient à pas constant. On commencera par le casε= 0.1avec d= 1et on utilisera 50points pour mailler le bord du domaineD.

Indication : il est assez efficace de choisir comme donnée initiale la solution radiale donnée (en iden- tifiant R² au plan complexe) paru(x, y) = (x+iy)^d.

Représentez les solutions obtenues pourd= 1,2,3,· · ·.

Question 17. Pourd= 1, la solution trouvée semble-t-elle radiale (du type (6)) ? Et pourd= 2,3,4· · · ?

A votre avis, y-a-t-il unicité du minimiseur ?

Question 18. Pour ε= 0.05. Comment varie l’énergie minimale λ en fonction de d? Comparer avec l’énergie minimale obtenue dans le cas radial (ne pas oublier le facteur2π).