Corrigé de la série 26

EPFL

Algèbre linéaire 1ère année 2006-2007

Corrigé de la série 26

Correction exercice 1

(Attention ! ! On remarquera que les notations utilisées dans l’énoncé diffèrent de celles utilisées dans le cours. Dans ce corrigé on adoptera les notations du cours c’est à dire que la matrice de l’application linéaire f : E → F par rapport aux bases B de E et C de F sera notée [f]C,B. Ainsi la question de l’exercie 1 devient : déterminer [f]C₂,B₂)

Soient E un F-espace vectoriel de dimension finie et B, B⁰ deux bases de E. On note PB⁰,B la matrice de passage de B à B⁰ i.e. [Id]_B⁰_,B.

On a

P_B1,B2 =





0 1 1 1 0 1 1 1 0





et

PC₂,C₁ =

1 1 1 −1

d’où

[f]C₂,B₂ =PC₂,C₁[f]C₁,B₁PB₁,B₂ =

−3 1 6

−1 1 −4

.

Correction exercice 2

Considérons la matrice C_i,j dont le terme à la i-ème ligne et j-ème colonne est égal à 1et tous les autres termes de la matrice sont nuls. On a

AC_i,j =







a_1,i 0 ... 0

an,i







où seule la j-ème colonne est non-nulle. D’où tr(AC_i,j) = a_j,i. De même on montre que tr(BC_i,j) =b_j,i. En faisant varier i et j on obtient

∀(i, j)∈ {1, . . . , n} × {1, . . . , n} a_j,i =b_j,i d’où A=B.

Correction exercice 3

1. La matrice H étant supposée de rang 1, il existe une colonne non-nulle U =





 u1

... u_n





 de M at(n,1,F) telle que les colonnes de H soient colinéaires à U. Par conséquent, il existe v₁, . . . , v_n ∈F tels que

H = (v₁U, . . . , v_nU) =







u₁v₁ . . . u₁v_n ... ... unv1 . . . unvn





=U V^t

1

où V =





 v₁

... v_n





 d’où tr(H) =Pn

i=1u_iv_i =V^tU.

2. Soit A∈M at(n, n,F). En utilisant le premier point on a HAH = (U V^t)A(U V^t) = U(V^tAU)V^t. Comme V^tAU ∈M at(1,1,F)'F on a

HAH = (V^tAU)U V^t = (V^tAU)H.

On a

AH =





 (Pn

k=1a1,kuk)v1 . . . (Pn

k=1a1,kuk)v1

... ...

(Pn

k=1a_n,ku_k)v_n . . . (Pn

k=1a_n,ku_k)v_n







Donc tr(AH) =Pn

j=1v_j(Pn

k=1a_j,ku_k) = V^tAU et donc HAH =tr(AH)H.

Correction exercice 4

L’application p étant un projecteur, on sait que Im(p)⊕Ker(p) =E (cf exercice 1 de la Série 11). Soient B₁ une base de Im(p) et B₂ une base deKer(p), alors B=B₁∪ B₂ est une base de E et

[p]B =

















 1

. ..

1 0

. ..

0



















où le nombre de 1 sur la diagonale est la dimension de Im(p) c’est à dire le rang de p. On conclut que tr(p) = rg(p).

2