Notations et notions utilisées dans le problème

Notations et notions utilisées dans le problème

Ce problème est consacré à l’étude de la notion d’indice d’une courbe plane fermée, qui sera abordée de deux manières différentes avant de donner lieu à quelques applications.

B Nous désignons parN(resp.Z, resp.R, resp.C) l’ensemble des nombres entiers naturels (resp.

nombres entiers relatifs, resp. nombres réels, resp. nombres complexes).

B Dans tout le sujet,Cest vu à la fois comme unR-espace vectoriel normé (le module étant choisi comme norme) ou comme espace affine de dimension 2. Un nombre complexe peut donc être nommé vecteur ou point selon la structure envisagée.

B Pour (α, β)∈C², le segment [α, β] est l’ensemble{α+x.(β−α)/06x61}.

B Pour (a,b)∈N², nous notons [[a,b]] l’ensemble des nombres entiersktels quea6k6b.

Notations et notions utilisées dans les parties I et II

La droite numérique achevéeR∪ {−∞,+∞}est notéeRet est munie de la relation d’ordre usuelle notée6prolongeant l’ordre usuel surRnoté aussi6. En particulier :∀x∈R,−∞<x<+∞.

Nous désignons parR[X] (respR(X)) l’algèbre des polynômes réels (resp. des fractions rationnelles réelles) en l’indéterminée X. Pour toute fraction F ∈ R(X) nous notons Fe la fonction rationnelle associée àF.

Dans les parties I et II, nous définissons la notion d’indice d’une fraction rationnelle sur un intervalle.

Nous nous intéressons plus précisément à l’indice de la fraction P⁰

P oùPest un polynôme réel non- nul,P⁰son polynôme dérivé, et nous étudions le lien entre l’indice et les racines deP.

Notations et notions utilisées dans les parties III et IV

B Nous notonsUl’ensemble des nombres complexes de module 1.

B L’application Arctan :R→

−^π

2,^π₂

(resp. Arccotan :R→]0, π[) est la fonction réciproque de la restriction de sin

cos à

−^π

2,^π₂

(resp. de cos

sin à ]0, π[).

B Un arc paramétré régulier est une application z : R → C de classe C^k (k ∈ N^∗) telle que

∀t∈R, z⁰(t),0. Pourt∈R, levecteur tangent unitaireà l’arc au pointz(t) est :τ(t)= z⁰(t)

|z⁰(t)|. La courbeΓ =z(R) est encore appelée lesupportde l’arcz.

B Un arcz : R → C est dit fermési z est périodique de (plus petite) période` (réel strictement positif). Cet arc fermé est ditsimplesi la restriction dezà l’intervalle [0, `[ est injective.

B Un arcz:R→Cfermé simple et régulier de classeC^k est appelé unarc de Jordande classeC^k. Nous définissons dans la partie IV une autre notion d’indice appelée indice de rotation d’une courbe fermée orientée. La valeur de cet indice est donnée par le théorème de Hopf dont la preuve fait l’objet de la fin de ce problème.

Partie I : indice algébrique

Pour tout nombre réelcet toute fraction rationnelleF∈R(X), nous posons :

I_c(F)=











0 si lim

x→c⁻F(x)e = lim

x→c⁺F(x)e 1 si lim

x→c⁻F(x)e < lim

x→c⁺F(x)e

−1 si lim

x→c⁻F(x)e > lim

x→c⁺F(x)e

Siaetbsont deux éléments deRaveca<b, alors nous définissons l’indice deFsur ]a,b[ ainsi : I^b_a(F)=X

I_c(F)

où la somme porte sur tous les nombres réelscde l’intervalleouvert]a,b[.

A) Indice et nombre de racines

1. Soit (c,d)∈R×R^∗et soitk∈N^∗. Déterminer la valeur de I_c d (X−c)^k

.

2. SoientF,GetHtrois éléments deR(X) tels que :F= G+H. Supposons qu’un nombre réelc soit un pôle commun àFetGet ne soit pas un pôle deH. Vérifier l’égalité :Ic(F)=Ic(G).

3. SoitP∈R[X] avecP,0. Soitcune racine réelle deP(simple ou multiple).

PosonsF= P⁰

P (oùP⁰ désigne le polynôme dérivé deP). DéterminerIc(F).

En déduire l’égalité : Card n

x∈R/P(x)e =0o

=I⁺−∞^∞(F). B) Indice d’une ligne polygonale fermée

Soientαetβdeux nombres complexes non-réels et distincts.

Nous définissons l’indice du segment[α, β] orienté deαversβcomme : I_[α,β]= 1

2I¹₀

Re(α)+X.Re(β−α) Im(α)+X.Im(β−α)

Soit (αk)_k∈[[1,n]] une suite finie de n(n ∈ Net n > 3) nombres complexes non-réels distincts deux à deux. On considère la ligne polygonale fermée orientéeLde sommets successifsα1, . . . , α_n+1(avec α_n+1 = α1, traduisant le caractère fermé de L), et on suppose que L n’est pas croisée (i.e. deux segments distincts ne peuvent s’intersecter qu’en leur sommet commun s’il existe) et qu’elle ne rencontre pas le complexe nul.

L’indice deLest alors par définition :

I_L=

n

X

k=1

I_[αk,αk+1]

4. Que vautI_[α,β]lorsque le segment [α, β] n’intersecte pas l’axe des réels ? 5. Supposons qu’un segment [α, β] rencontre l’axe des réels en un pointt∈R^∗.

Déterminer la valeur deI_[α,β] en discutant selon les signes de t et de Im(β−α) (dessiner les quatre situations).

6. Posons : p=Card{k∈[[1,n]]/[αk, α_k+1]∩R^∗,∅}.

(a) Sachant que la ligne polygonaleLest fermée, déterminer la parité dep.

(b) Lorsquenvaut 3 (ligne polygonale triangulaire), déterminer les valeurs possibles pourp et calculer l’indice correspondant deLen illustrant par des figures les différents cas.

(c) Trouver une ligne polygonale Lvérifiant n−p = 2 et ayant un indice non nul que l’on précisera. Une figure soignée pourra tenir lieu de réponse.

(d) Émettre dans le cas général une conjecture sur les valeurs que peut prendre l’indice d’une ligne polygonale fermée non croisée.

Partie II : suite de Sturm

C) Formule de Cauchy

On commence par définir précisément le nombre de changements de signe dans une suite finie d’éléments deR.

B Soit (x,y)∈R². Posons

S(x,y)=

(1 si x<0<y

ou y<0<x 0 sinon

Par exemple :S(+∞,−∞)=1 etS(0,−∞)=0.

B Six₀, . . . ,x_nsontn+1 éléments deR(n∈N), alors la sommeS(x₀,x₁)+S(x₁,x₂)+· · ·+S(x_n−1,x_n) est notée

S(x0, . . . ,xn)

B Si (A0, . . . ,An)∈(R[X])ⁿ⁺¹eta<b(aetbéléments deR) , alorsS^b_a(A0, . . . ,An) désigne la différence : S(Af₀(a), . . . ,Af_n(a))−S(Af₀(b), . . . ,Af_n(b))

(oùAf_k(a) (resp.fA_k(b)) désigne la limite defA_k ena(resp.b)).

7. Soit une fraction rationnelle F ∈ R(X). Soient a < c < btrois éléments de R. Dans quel cas a-t-on :I^b_a(F)=I^c_a(F)+I^b_c(F) ?

8. Soientaetbdeux éléments fixés deRaveca<b. SoientAetBdeux éléments deR[X] premiers entre eux n’ayant nianibpour racines réelles. Nous souhaitons démontrer la formule :

I^b_a(A

B)+I_a^b(B

A)=S^b_a(A,B)

(a) Vérifier la formule dans le cas oùAetBn’ont pas de racine dans l’intervalle ouvert ]a,b[.

(b) Traiter le cas oùApossède une seule racine réellecdans l’intervalle ]a,b[ etBn’a aucune racine dans cet intervalle.

(c) Considérer enfin le cas où les racines réelles dans l’intervalle ]a,b[ du polynômeABsont c₁<c₂<· · ·<c_n(n∈Netn>2).

D) Nombre de racines réelles

SoitAun élément deR[X] de degré au moins 2 et premier avecA⁰(polynôme dérivé deA).

Posons :A₀ = Aet A₁ =A⁰. Nous considérons alors le nombre entier naturel n(n > 2) et les deux suites finies de polynômes (A₀,A₁, . . .A_n,A_n+1)∈(R[X])ⁿ⁺²et (B₁, . . . ,B_n)∈(R[X])ⁿdéfinis par :







∀k∈[[0,n−1]],A_k =A_k+1.Bk+1−A_k+2

∀k∈[[0,n]], degA_k+1<degA_k A_n+1=0

9. (a) Justifier l’existence de ces polynômes.

(b) Démontrer queA_nest un polynôme constant non nul.

(c) Démontrer qu’on a :

∀k∈[[0,n−1]],∀x∈R,

Ae_k+1(x)=0⇒Ae_k(x)Ae_k+2(x)<0 10. Déterminer, pour tout réelcet tout entierk∈[[0,n−1]], la valeur deIc(_A^Ak

k+1)+Ic(^A_A^k+2

k+1).

11. En déduire le résultat suivant : Card n

x∈R/A(x)e =0o

=S⁺−∞^∞(A₀,A₁, . . . ,A_n) E) Indice et signature

Soitn∈N^∗.

Considérons deux suites réelles (a_k)_k∈[[0,n+1]]et (b_k)_k∈[[1,n]]telles que :







∀k∈[[0,n−1]], a_k+a_k+2=a_k+1.b_k+1

∀k∈[[0,n]],a_k,0 an+1=0

Introduisons les deux matrices suivantes :M=(m_i,j)_(i,j)∈[[1,n]]² etP=(p_i,j)_(i,j)∈[[1,n]]² avec

∀(i,j)∈[[1,n]]²,m_i,j=







b_i si i= j

−1 si |i− j|=1 0 sinon

et ∀(i,j)∈[[1,n]]², p_i,j=

(a_i si j6i 0 sinon 12. Notons^tPla matrice transposée de la matriceP.

Effectuer le produit matriciel^tP.Met exprimer les coefficients non-nuls en fonction des réels a_k.

13. Démontrer que le produit^tP.M.Pest une matrice diagonale.

14. Trouver la valeur du déterminant de la matriceMen fonction dea₀etan.

15. SiSest une matrice symétrique réelle d’ordrenet si le couple d’entiers (p,q) est la signature de la forme quadratique surRⁿcanoniquement associée àS, alors nous posons :σ(S)=p−q.

(a) Justifier l’égalité :σ(M)=σ(^tP.M.P)

(b) Avec les notations introduites en II. D), pourx∈R, nous posons :

(∀k∈[[0,n+1]],a_k =Ae_k(x)

∀k∈[[1,n]], b_k =eB_k(x) La matriceMcorrespondante est alors notéeM(x). Justifier l’égalité :

Card n

x∈R/A(x)e =0o

= 1 2

xlim→+∞σ(M(x))− lim

x→−∞σ(M(x))

Partie III : théorème de relèvement

Nous admettons le théorème suivant :

Théorème (de relèvement). Soient a et b deux réels avec a < b. Si f : [a,b] → Uest une application continue, alors il existe une application continueα: [a,b]→Rtelle que

∀t∈[a,b], f(t)=exp(i.α(t)).

La fonctionαest appelée unrelèvement continude l’application f sur[a,b].

Nous remplaçons désormais le segment [a,b] par un compact deC:

SoitKun compact deCcontenant 0 et étoilé par rapport à 0 (c’est-à-dire :∀z∈K, [0,z]⊂K).

ConsidéronsF:K→Ucontinue surKet notonsθun argument deF(0).

Le but de cette partie est de montrer l’existence d’une application continueα:K→Rtelle que : α(0)=θ et ∀z∈K,F(z)=exp(i.α(z))

Sizest un élément quelconque deK, nous considérons l’applicationF_z : [0,1]→Udéfinie par :

∀t∈[0,1], Fz(t)=F(t.z)

Nous notonsX_z : [0,1]→R(resp.Y_z : [0,1]→R) la partie réelle (resp. partie imaginaire) deF_z. 16. Soit z ∈ K. Justifier l’existence d’une unique application continueαz : [0,1] → Rtelle que :

αz(0)=θ et ∀t∈[0,1], F(t.z)=exp(i.αz(t)).

17. Notonsα:K→Rl’application définie par :∀z∈K, α(z)=αz(1).

Vérifier : exp(i.α)=Fetα(0)=θ.

La preuve de la continuité deαest l’objet de ce qui suit.

18. L’ensemble des nombres complexes dont un argument appartient à [−^π

3,^π₃] est notéS₀. Posons alors :S₁ =i.S0={i.z/z∈S₀};S₂ =i.S1;S₃=i.S2.

Soitzun élément fixé deK.

(a) Démontrer qu’il existe un entier n ∈ N^∗ et une subdivision 0 = t0 < t₁ < · · · < tn = 1 de [0,1] tels que pour tout i ∈ [[0,n−1]], il existe un secteurS_j (j ∈ [[0,3]]) contenant F_z([t_i,t_i+1]).

(b) Démontrer l’existence d’un réel strictement positifδvérifiant la propriété suivante :

∀w∈K,

|z−w|< δ⇒ ∀t∈[0,1], |F_z(t)−F_w(t)|< 1 2

19. On considère maintenant les quatre demi-plansH₀,H₁,H₂etH₃définis ainsi : H₀=R^+∗×R,H₁=i.H₀,H₂ =i.H₁etH₃ =i.H₂.

On choisit aussi un élémentwdeKtel que :|z−w|< δ.

(a) Démontrer que pour touti∈ [[0,n−1]], il existe un demi-planH_j(j∈[[0,3]]) contenant à la foisF_z([t_i,t_i+1]) etF_w([t_i,t_i+1]).

(b) Supposons queFz([t0,t1]) etFw([t0,t1]) soient tous deux inclus dansH0. Démontrer que

∀t∈[t₀,t₁], αz(t)−αw(t)=Arctan

Yz(t) X_z(t)

−Arctan

Yw(t) X_w(t)

.

(c) Supposonsn>2 etF_z([t₁,t₂]) etF_w([t₁,t₂]) tous deux inclus dansH₀, ou tous deux inclus dansH₁ou tous deux inclus dansH₃.

Dans chacun de ces trois cas, donner, à l’aide uniquement des fonctions Arctan et Arccotan , une expression analogue à celle trouvée précédemment de αz(t)−αw(t) va- lable pour tout réelt∈[t₁,t₂].

(d) En déduire la continuité deαenz.

Partie IV : théorème de Hopf

Le théorème suivant est admis :

Théorème(d’équivalence des arcs). Si z:R→Cet w:R→Csont deux arcs de Jordan de même support Γde classeC^k(k∈N^∗), alors il existe un difféomorphismeϕ:R→Rde classeC^k tel que z=w◦ϕ.

Siϕest croissante, alors nous disons que z et w confèrent la même orientation àΓet nous parlons alors de courbe orientée.

F) Indice de rotation

SoitΓle support d’un arc de Jordan z:R→Cde classeC¹et de période` >0.

Soitαun relèvement continu du vecteur tangent unitaireτsur [0, `].

Nous définissons l’indice de rotationdezselonαcomme étant le nombre réel suivant : Iz,α= α(`)−α(0)

2π 20. Justifier que I_z,αest un nombre entier relatif.

21. SoitA:R→Rdéfinie par :∀k∈Z, ∀t∈[k`,(k+1)`[,A(t)=2kπ.Iz,α+α(t−k`) (a) Démontrer queAest un relèvement continu deτsurR.

(b) Soitt₀ ∈ R. Démontrer que si β est un relèvement continu de τ sur [t₀,t₀ +`], alors le quotient β(t0+`)−β(t0)

2π vaut I_z,α.

Il est donc inutile de faire référence au relèvement continu deτchoisi.

Nous notons donc désormais I_zau lieu de I_z,α.

22. Soitw:R→Cun arc de Jordan de classeC¹de supportΓde même orientation quez. Démontrer quezetwont le même indice de rotation.

Par conséquent, nous pouvons définir l’indice de rotation de la courbe orientéeΓpar : I_Γ=Iz. 23. SoitΓ⁰l’image deΓpar une similitude directe plane. Comparer les indices deΓ⁰et deΓ.

24. Soitn∈N^∗. Un système denpoulies (assimilées à des cercles) tournant dans le sens antihoraire entraîne une courroieCtendue (assimilée à une courbe ferméeC) entourant toutes ces poulies.

((((((((

S S

S S

S

&%

'$

PP PP

PP PP

PP PP

&%

'$

(a) Pourn=1, calculer IC. (b) Pourn>2, déterminer I_C.

25. Supposons z de classeC². NotonsLla longueur deΓ.

(a) Démontrer que la fonction « abscisse curviligne »s: [0, `]→[0,L] est un difféomorphisme de classeC².

(b) Démontrer que :

I_Γ= 1 2π

Z _L

0 γ(s) ds= 1 2iπ

Z _`

0

τ⁰(t) τ(t) dt

oùγ(s) représente la courbure de l’arc au point d’abscisse curvilignes.

G) Valeur de l’indice

Soitz:R→Cun arc de Jordan de classeC¹de supportΓde période` >0. Nous allons calculer I_Γ. 26. Démontrer qu’il est possible de réduire l’étude à un arc z vérifiant les conditions supplémen-

taires :

z(0)=0 , z⁰(0)∈{−1,1} et ∀t∈R,

(|z⁰(t)|=1 Im(z(t))>0 Dans la suite, nous considérons le sous-ensemble deCsuivant :T=

s+i.t/(s,t)∈[0, `]² ets6t , puis nous définissons l’application f :T→Cpar

∀ξ∈T, f(ξ)=











−z⁰(0) si ξ=i.`

z⁰(s) si s=Re(ξ)=Im(ξ) z(t)−z(s)

|z(t)−z(s)| sinon (où (s,t)=(Re(ξ),Im(ξ) ) 27. (a) Justifier que fest bien définie.

(b) Soient x = Re(z) et y = Im(z). Déterminer, pour s₀ ∈ [0, `], les limites suivantes (avec s<t) :

(s,t)lim→(s0,s0)

x(t)−x(s)

t−s et lim

(s,t)→(s0,s0)

y(t)−y(s) t−s En déduire la continuité de f au points₀+i.s0.

(c) Démontrer que f est continue au point i.`.

28. Justifier l’existence d’une applicationΦ:T→Rcontinue surTtelle que : Φ(0)∈{0, π} et ∀ξ∈T, f(ξ)=exp(i.Φ(ξ))

29. Démontrer que l’applications7→ f(s+i`) (définie sur [0, `]) ne prend pas la valeur complexe i.

En déduire l’égalité :Φ(`+i.`)−Φ(i.`)=π.z⁰(0)

et montrer, par un argument du même type, la seconde égalité :Φ(i.`)−Φ(0)=π.z⁰(0).

30. En déduire : I_Γ=1 ou I_Γ=−1 (Théorème de Hopf)

FIN DU SUJET