Terminale S3 Semaine 05 du 29 sept au 3 oct
Mardi
1 heure de courss Cours : Correction rapide DM2Divers : Ramasse DM2
Mercredi
1 heure de TD TD : Méthode d’Euler en salle infoJeudi
2 heures de cours + 1 heure de TD Cours :Propriétés de la fonction f dérivable sur R telle que : f(0) = 1et ∀x∈R, f′(x) =f(x)
On admet son existence conjecturée par ses approximations aussi fines que désirées par la méthode d’Euler.
1. Montrer quef′(0) = 1
2. Soitaun réel fixé, on considère la fonctiong:x→g(x) =f(x+a)f(−x)
2.1. Montrer queg est dérivable surRet calculer sa dérivéeg′(x). Que dire de la fonctiong ? 2.2. Calculerg(0)et en déduire que, pour tous réelsaetx, f(x+a)f(−x) =f(a) (⋆) 2.3. Déduire de(⋆)que:
2.3.1. ∀x∈R, f(x)f(−x) = 1 2.3.2. f ne s’annule pas surR.
2.3.3. ∀(x, a)∈R2, f(x+a) =f(x)×f(a) 2.3.4. ∀x∈R, f(x)>0
3. Unicité de la fonction :
On suppose qu’il existe deux fonctionsf1 etf2 dérivables surRtelle que :f1(0) =f2(0) = 1et∀x∈R,
f1′(x) =f1(x) f2′(x) =f2(x) 3.1. Soit la fonctionϕ:x→ϕ(x) = f1(x)
f2(x).Justifier queϕest définie et dérivable surR. Calculerϕ′(x).
3.2. En déduire que∀x∈R, ϕ(x) = 1 3.3. Conclure.
TD :Méthode d’Euler en salle info
