UNIVERSITE DE TUNIS
ECOLE SUPERIEURE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET COMMERCIALES
DE TUNIS
CORRECTION EXAMEN DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE (3ème EFB)
Session principale (Mai 2014)
Exercice 1 (3 points)
Etape 1 : Identification des variables de décision : x1 : la surface allouée à la culture des tomates (0,25) x2 : la surface allouée à la culture des piments (0,25)
0 ,
0 2
1 x
x . (0,25)
Etape 2 : Identification des contraintes.
Terrain : x1 x2 150 (0,25) Eau : 4x1 2x2 440 (0,25)
Main d’œuvre : x1 4x2 480 (0,25)
Les limitations du bureau du périmètre irrigué : x1 90. (0,25) Etape 3 : Identification de la fonction objectif :
Max z 100x1 200x2. (1 pt)
Le programme linéaire qui modélise le problème d’agriculture est : (0,25)
2 0 , 1 0
90 1
480 2
1 4
2 440 1 2
4
150 2
1 . .
200 2 100 1
x x
x x x
x x
x x c
s
x x
Max
Exercice 2 : (3 points)
Les variables de décision :
x1 : le nombre de pilules de petite taille à prescrire. (0,25) x2 : le nombre de pilules de grande taille à prescrire. (0,25)
0 ,
0 2
1 x
x . (0,25)
Les contraintes : 12
2x1 x2 . (0,25) 74 8
5x1 x2 . (0,25)
24 6 2
1 x
x . (0,25)
La fonction objectif Min z x1 x2. (1 pt)
Le programme linéaire qui modélise ce problème médical est donc le suivant : (0,5)
0 ,
0
24 6
74 8
5
12 2
.
.
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
x x
x x
x x
x x c
s
x x Min
Exercice 3 (3 points)
Les variables de décisions sont :
x1 : le nombre d’unités du produit P1 à fabriquer (0,25) x2 : le nombre d’unités du produit P2 à fabriquer (0,25) Les contraintes outre les contraintes de non-négativité sont :
9900 9
11x1 x2 pour la machine M1 (0,5) 8400
12
7x1 x2 pour la machine M2 (0,5) 9600
16
6x1 x2 pour la machine M3 (0,5) Le profit à maximiser est : z 900x1 1000x2 (0,75)
Le programme linéaire résultant est : (0,25)
0 ,
0
9600 16
6
8400 12
7
9900 9
1 1 .
.
1000 900
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
x x
x x
x x
x x
c s
x x
Max
Exercice 4 (3 points)
On peut résumer toutes les données du problème dans le tableau suivant : M N Quantités prescrites
A 0.1 0 0.4
B 0 0.1 0.6
C 0.1 0.2 2
D 0.2 0.1 1.7
Coût 10 4
Les variables de décision sont
xM : la quantité d’aliments M à utiliser pour l’alimentation des deux bestiaux (0,25) xN : la quantité d’aliments N à utiliser pour l’alimentation des deux bestiaux (0,25)
Les contraintes de non-négativité sont x1 0,x2 0. (0,5)
Le choix de cette quantité est contraint à la présence dans l’alimentation du composant A : 0.1x1 0.4 x1 4 (0,25)
B : 0.1x2 0.6 x2 6 (0,25) C : 0.1x1 0.2x2 2 x1 2x2 20 (0,25) D : 0.2x1 0.1x2 1.7 2x1 x2 17 (0,25) La fonction objectif est une fonction de coût : Min z 10x1 4x2. (0,75)
Le programme linéaire est un programme de minimisation : (0,25)
0 ,
0
17 2
20 2
6
4
. .
4 10
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
x x
x x
x x
x x c
s
x x
Min
Exercice 5 (9,5 points)
La forme standard du programme linéaire s'écrit comme suit :(1,5 pt) Max Z = 3x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 +0x5
SC - x1 + 2x2 + x3 = 4 3x1 + 2x2 + x4 = 4 x1 - x2 + x5 = 3
x1, x2, x3, x4, x5 0
La solution initiale de base : (1 pt) x1 = 0 ; x2 = 0
x3 = 4 ; x4 = 4 ; x5 = 3
Tableau de simplexe initial (1ère itération) (1,5 pt)
3 2 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 -1 2 1 0 0 4 -4
0 x4 3 2 0 1 0 14 14/3
0 x5 (1) -1 0 0 1 3 3
3 2 0 0 0
La variable entrante est x1 puisqu’elle présente le plus grand effet net positif. (0,25)
La variable sortante est x5 car elle correspond au plus petit quotient positif. (0,25)
2ème itération (1,5 pt)
3 2 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 0 1 1 0 1 7 7
0 x4 0 (5) 0 1 -3 5 1
3 x1 1 1 0 0 1 3 3
0 2 0 0 -3
La variable entrante est x2 (0,25)
L
a variable sortante est x4 (0,25)3ème itération (1,5 pt)
3 2 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 0 0 1 -1/5 8/5 6
2 x2 0 1 0 1/5 -3/5 1
3 x1 1 0 0 1/5 2/5 4
0 0 0 -10 0
Tous les gains marginaux sont 0 donc le tableau de simplexe est optimal et la solution optimale du programme linéaire est
:
(1,5 pt)x1 = 4 x2 = 1 x3 = 6 x4 = 0 x5 = 0
La valeur de la fonction objectif est 14.
Remarque : L’effet net de l’augmentation d’une unité de la valeur de x5 (variable hors base) est nul. Donc si on introduit x5 dans la base, on ne modifie pas la valeur de la fonction objectif. Ainsi une autre solution optimale peut être trouvée pour notre programme linéaire.
Le tableau du simplexe est :
3 2 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
0 x5 0 0 5/8 -1/8 1 15/4
2 x2 0 1 3/8 1/8 0 13/4
3 x1 1 0 -1/4 1/4 0 5/2
0 0 0 -1 0
Le tableau est optimal et la solution correspondante est : x1 = 5/2
x2 = 13/4 x3 = 0 x4 = 0 x5 = 15/4
La valeur de la fonction objectif est 14.
