Caractérisation de droites et de plans de l’espace

(1)

1

TS

Barycentres

Caractérisation de droites et de plans de l’espace

I. Barycentre de l’espace 1°) Définition



^{A ,}₁ ₁



,



^{A ,}₂ ₂



, …,



^{A ,}_n _n



sont n points pondérés de l’espace



ⁿ^^^*



^{tels que}

1

0

i n

i i





  ^. Il existe un unique point G de l’espace tel que

1

GA 0

i n

i i

i



 



^{ }^.

Ce point G est appelé le barycentre des points pondérés



A ,1 1



,



A ,2 2



, …,



^{A ,}n n



.

2°) Égalités de position

 Si G est le barycentre de 2 points pondérés (A, a) et (B, b)



^{a b} ⁰



, alors AG b AB

a b



 

.

 Si G est le barycentre de 3 points pondérés



^A,^a



^,



^B,^b



^et



^C,^c

 

^{a b c}  ⁰



, alors

AG b AB c AC

a b c a b c

 

   

  

. 3°) Homogénéité

Si G est le barycentre des points pondérés



A ,1 1



,



A ,2 2



, …,



^{A ,}n n



(

1

0

i n

i i





  ^),

alors, pour tout réel   0, G est aussi le barycentre des points pondérés



A ,1 1



,



A ,2 2



, …,



^{A ,}n n



.

4°) Relation fondamentale

Pour tout point M de l’espace E^{, on a :}

1 1

MA MG

i n i n

i i i

i i

 

 

 

  

 

 



^{}



^{}^.

5°) Isobarycentre

- de 2 points A et B : milieu de [AB]

- de 3 points A, B, C non alignés : centre de gravité du triangle ABC

2 6°) Coordonnées dans un repère de l’espace

A 1 G

1

A 1 G

1

A 1 G

1 i

i

i n

i i

n

i i n

i i

n

i i n

i i

n

i i

x x

y y

z z





 

 



 



 



 

 



 



 



 





7°) Barycentre partiel (propriété d’associativité du barycentre)

Si G est barycentre de 3 points pondérés (A, a), (B, b) et (C, c)



^{a b}  ^c ⁰



et g est le barycentre des points pondérés (A, a) et (B, b) (a b 0), alors G est le barycentre des points pondérés (g, a + b) et (C, c).

Énoncé du théorème d’associativité

On peut regrouper certains points du système dont la somme des coefficients est non nulle, remplacer les points choisis par leur barycentre partiel, affecté de cette somme et garder les autres points tels quels sans changer le barycentre.

L’associativité du barycentre marche pour deux points que l’on peut regrouper ou trois points que l’on peut regrouper.

Utilisation du théorème d’associativité du barycentre pour :

- démontrer des alignements de points - démontrer que des droites sont concourantes

- exprimer un point comme barycentre de points pondérés

Voir exercices

(2)

3 8°) Réduction de sommes vectorielles

1

MA

i n

i i

i





^{}

1^er cas :

1

0

i n

i i





 

1 1

MA MG

i n i n

i i i

i i

 

 

 

  

 

 



^{}



^{} où G est le barycentre des points pondérés



A ,1 1



,



A ,2 2



, …,



^{A ,}n n



.

2^e cas :

1

0

i n

i i





 

1

MA

i n

i i

i





^{} est un vecteur constant indépendant de M.

Démonstration :

M et N sont deux points quelconques de l’espace.

Démontrer que

1 1

MA NA

i n i n

i i i i

i i

 

  



^{}



^{}^.

 

1 1

NA NM MA

i n i n

i i i i

i i

 

   



^{}



 

1 1

NM MA

i n i n

i i i

i i

 





^{}



^{}

1 1

0

NM MA

i n i n

i i i

i i

 

 

 

   

 

 



^{}



^{}



1

MA

i n

i i

i





^{}

II. Caractérisation barycentrique d’une droite 1°) Théorème de caractérisation (rappel) A et B sont deux points distincts de E. M  (AB)   t / AMt AB



4 2°) Interprétation à l’aide du barycentre

AMt AB

 AMt AB 0  ^AM^{}^^t



^AM ^^MB



^⁰ 



¹^t



^AM^t^BM ⁰ 



¹^t



^MA^t^MB ⁰

(on multiplie les deux membres de l’égalité par – 1)  M est le barycentre des points pondérés



^{A ;1}^^t



et (B ; t)

 

¹^^t



^{ }^t ⁰



Retenir : AMt AB

 M est le barycentre des points pondérés



^{A ;1}^t



et (B ; t)

 

¹^^t



^{ }^t ⁰



^.

3°) Théorème de caractérisation barycentrique

A et B sont deux points distincts de E^. M  (AB) ¹

2

 il existe deux réels a et b avec a b 0 tels que M soit le barycentre des points pondérés (A, a) et (B, b)

4°) Démonstration (ROC)

 Sens direct ¹

Si ^M



^AB



, alors il existe un réel t tel que M soit le barycentre des points pondérés



^{A ;1}^t



et



^{B ;}^t



^.

 Sens réciproque ²

Si M est le barycentre des points pondérés (A, a) et (B, b)



^{a b} ⁰



, alors AM b AB

a b



 

(égalité de position).

Or AB, donc ^M



^AB



.

III. Caractérisation barycentrique d’un segment 1°) Théorème de caractérisation vectorielle

A et B sont deux points distincts de E^. M  [AB]  ^{ }^t



^{0 ; 1 / AM}



^{}^^t^AB^

(3)

5 2°) Théorème de caractérisation barycentrique

A et B sont deux points distincts de E^. M  [AB] ¹

2

il existe deux réels a et b positifs ou nuls avec a b 0 tels que M soit le barycentre des points pondérés (A, a) et (B, b)

3°) Démonstration (ROC)

Si M  [AB], alors il existe un réel t  [0 ; 1] tel que AMtAB

.

M est donc le barycentre des points pondérés



^{A ;1}^t



et



^{B ;}^t



⁽^t^



^{0 ;1}



^{donc 1}^{ }^t ⁰^).

Si M est le barycentre des points pondérés (A, a) et (B, b) avec a0, b0 et a b 0, alors

AM b AB

a b



 

.



^{0 ; 1}



b a b

 ; en effet, b 0

a b

 et b 1 a 0

a b  a b

  .

IV. Caractérisation barycentre d’un plan de l’espace 1°) Théorème de caractérisation (rappel)

A, B, C sont trois points non alignés de E. M  (ABC)     



^;



²^{/ AM} ^AB ^AC



2°) Théorème de caractérisation barycentrique

A, B, C sont trois points non alignés de E^.

 

M ABC

1

2 il existe trois réels a, b, c avec a b c  0 tels que M soit le barycentre des points pondérés (A, a), (B, b) et (C, c).

6 3°) Démonstration

Si ^M^



^ABC



^{, alors}   



^,



²^{/ AM} ^AB ^AC



AM AB AC 0

   

AM  AM MB   AM MC 0



¹   



^MA ^MB ^MC ⁰



¹        



⁰ donc cette égalité exprime que M est le barycentre des points pondérés



^{A,1   }



^,

(B, ) et (C, )

Si M est le barycentre des points pondérés (A, a), (B, b) et (C, c)



^{a b c}  ⁰



, alors

AM b AB c AC

a b c a b c

 

   

  

(égalité de position).

On en déduit que M



ABC



.

4°) Théorème de caractérisation barycentrique de l’intérieur d’un triangle (admis sans démonstration)

A, B, C sont trois points non alignés de E.

M appartient à l’intérieur du triangle ABC si et seulement si il existe trois réels a, b, c strictement positifs tels que M soit le barycentre des points pondérés (A, a), (B, b) et (C, c).