210 Series entieres

210 Séries entières de variable réelle ou complexe. Rayon de convergence.

Propriétés de la somme. Exemples.

Relations sur les rayons. Monier 4

I. Série entière; rayon de convergence.

A. Définitions, premières propriétés.

Def 1 Def 1Def 1

Def 1: On appelle série entièresérie entièresérie entièresérie entière toute série d'applications

( )

0 n:

n

f

≥

∑

→ telle qu'il existe une suite complexe

( )

^a_{n n∈} tq : ∀n∊N, ∀z∊, fn

( )

z =a zn ⁿ. Une fonction polynôme est une série entière.

Prop 1 Prop 1Prop 1

Prop 1: (Lemme d'AbelLemme d'AbelLemme d'AbelLemme d'Abel). Soient

0 n n n

a z

≥

∑

une S.E., ρ∈*₊ tq.

(

anρⁿ

)

n

∈ soit bornée.

Alors, pour tout z∊ tq. z <ρ, on a:

n n

n n

a z O z ρ

∞

=

   

   

 

 

^,

et, en particulier, la série

0 n n n

a z

≥

∑

est ABS. CV.

ThThTh

Th----Def 2Def 2Def 2: Soit Def 2

0 n n n

a z

≥

∑

^{une SE.} ∃^!R∈+ =

[

^0;+∞

]

_tq:

( )

( )

0

Cv. ABS.

,

n'est pas bornée

n n n

n

n n

z R a z

z

z R a z

≥

∈

< ^⇒

∀ ∈

> ^⇒

 

  

  

 



∑

Cet élément R∈₊ est appelé rayon de convergencerayon de convergencerayon de convergence rayon de convergence de la SE

0 n n n

a z

≥

∑

^.

Exemples:

0 n

n

z

≥

∑

. R=1, et la série DV sur le cercle d'incertitude.

1 n

n

z

≥ n

∑

. R=1, et la série DV en 1, mais Cv en tout autre point du cercle d'incertitude.

2 1

n

n

z

≥ n

∑

. R=1, et la série Cv sur tt le cercle d'incertitude.

Les ptés ci-dessus ne rendent pas facile le calcul de R B. Calcul du rayon de convergence.

Prop Prop Prop

Prop 222: Comparaison des rayons2 Comparaison des rayonsComparaison des rayonsComparaison des rayons. Soient

0 n n n

a z

≥

∑

^et

0 n n n

b z

≥

∑

deux SE de rayons respectifs Ra et Rb. Si

(

∀ ∈^{n ,a}_n ≤ ^b_n

)

, alors R_a ≥R_b.

Si

(

n ^,ann O b

( )

ⁿ

)

∞

∀ ∈ = , alors R_a≥R_b. Si

(

n ^,ann bⁿ

)

∞

∀ ∈ ^∼ , alors R_a =R_b.

Exemples: ^sin

0 n n

n

e z

≥

∑

^{; R=1.}

1

1 1

n n

n

e z

≥ n

+ −

   

 

 

 

 

∑

^{; R=1}

Prop 3 Prop 3 Prop 3

Prop 3: Règle de D'AlembertRègle de D'AlembertRègle de D'AlembertRègle de D'Alembert. Soit

0 n n n

a z

≥

∑

^{une SE.}

S'il existe N∊ℕ tq: 1 admet une limite

, _n 0

n

n

n N a

a l

a

+

+

∀ ≥ ≠

∈

 

 

    →

  

Alors 1 R

l

= , avec 1 1

et 0

0

= ∞ =

∞ .

Application: Si les coefs de la SE sont des fractions rationnelles: ∀n, an = F(n), alors R=1.

C. Opérations sur les SE.

Prop 4 Prop 4 Prop 4

Prop 4: Soient

0 n n n

a z

≥

∑

^et

0 n n n

b z

≥

∑

^{deux SE.}

On considère

( )

0

n

n n

n

a b z

≥

∑

+ la série sommesérie sommesérie sommesérie somme.

Alors R_{a b+} ≥Min R R

(

_a, _b

)

, égalité si R_a ≠R_b. Exemple:

0 n

n

z

≥

∑

^et

0 n

n

z

≥

∑

− sont de rayon 1, et leur série somme

0

0 ⁿ

n

z

≥

∑

est de rayon ∞.

Def 3 Def 3 Def 3

Def 3: On appelle SE dérivéeSE dérivéeSE dérivéeSE dérivée d'une SE

0 n n n

a z

≥

∑

^{la SE}

définie par: ¹

( )

₁

1 0

n 1 n

n n

n n

na z ⁻ n a₊z

≥ ≥

=

+

∑ ∑

^.

Prop 5 Prop 5 Prop 5

Prop 5: la SE et la SE dérivée ont même rayon de cvmême rayon de cvmême rayon de cvmême rayon de cv.

Remarque: on a encore le même ry. cv. pour la Se

primitive ¹

0 1

n n

n

a z n

+

≥ +

∑

^.

II. Somme, propriétés de la somme.

Def 4 Def 4 Def 4

Def 4: On appelle sommesommesommesomme de la SE l'application

{ }

: ;

S z∈ z <R → définie par:

( )

0 n n n

S z a z

+∞

=

=

∑

^.

Exemple: Série géom.

( )

0

1 1

1

n

n

z S z z

z

+∞

=

< ⇒ = =

∑

− Lemme

Lemme Lemme Lemme:

0 n n n

a z

≥

∑

C.N sur tout compact de D(0;R).

Remarque: Ce n'est pas forcément le cas sur D

(

0;R

)

.

210 Séries entières de vble ℝ ou . Rayon de cv. Propriétés de la somme. Exemples. Relations sur les rayons. Monier 4

Exple: ₂

1 n

n

z

≥ n

∑

CN sur D(0; 1), mais

1 n

n

z

≥ n

∑

ne CN que sur

(

0;1

)

D (i.e. l'intérieur).

Th 2 Th 2Th 2

Th 2: S est continuecontinuecontinuecontinue sur le disque ouvert de convergence.

Exemples:

1

ln . ⁿ

n

z n z

+∞

=

∑

est cont. sur ^D

(

^0;1

)

^.

2 1

n

n

z z

n

+∞

=

∑

est continue sur D(0; 1).

Application (p.111):

( )

( )

1

1

1 ln 2

n

n n

+∞ +

=

− =

∑

^.

Prop 6 Prop 6Prop 6

Prop 6: S est S est S est CS est CCC^∞∞∞∞ de ]−R R; [→, et ∀k∊ℕ,

( )^k

( ) ( ) (

1 ...

) (

1

)

_n ^{n k}

n k

S x n n n k a x

+∞

−

=

=

∑

− − +

pour tout x∊]-R;R[.

En particulier, ∀k∊ℕ,

( )

( )

0

!

k

k

a S k

= .

Application: ∀x∊]-1:1[,

( )

₂

( )

0

1 1

1

n

n

n x

x

+∞

=

= +

−

∑

^.

III. Applications des séries entières.

A. Fonctions développables en série entière.

Def 5 Def 5Def 5

Def 5: Soient V un vge de 0, f V: →. On dit que f est développable en série entière en 0développable en série entière en 0développable en série entière en 0 développable en série entière en 0

ssi ∃ une SE

0 n n n

a z

≥

∑

de rayon R>0 et un vge U de 0 tq:

( )

0

] ; [, _n ⁿ

n

x U V R R f x a x

+∞

=

∀ ∈ ∪ ∩ − =

∑

^.

Prop 7 Prop 7 Prop 7

Prop 7: Sous les hypothèses précédentes, f est C^∞ sur ] ; [

U∪ ∩ −V R R , et:

( )

( )

0 ,

!

n

n

n a f n

∀ ∈ = .

f DSE en 0, dvt de Mac-Laurin:

( )

( )

( )

0

0

!

n n

n

f x f x

n

+∞

=

=

∑

f DSE en x0, d de Taylor:

( )

( )

( )

(

₀

)

0

0

!

n

n

n

f x

f x x x

n

+∞

=

=

∑

−

Exemple: ∀x∊ℝ,

0 !

k x

k

e x

k

+∞

=

=

∑

^.

B. Applications des DSE.

a) Développements limités, équivalents. (1) Exemple: Etude de

( )

^x_{n n∈}, 1

1

n

xn

n

=



+



 

 

. (406 Ex. C) b) Application à la résolution d'équa. diffs.

Exemple: Recherche des solutions DSE en 0 de l'eq.df:

y" – xy = 0. (M4 p.217).

IV. Notes.

Rapport de jury 2011 Rapport de jury 2011 Rapport de jury 2011

Rapport de jury 2011 : Un candidat bien inspiré a pensé à proposer plusieurs exemples de séries entières issues des équations différentielles.

Wikipedia:

Wikipedia:

Wikipedia:

Wikipedia: En mathématiques et particulièrement en analyse, une série entière est une série de fonctions de la forme

0 n n n

a z

≥

∑

où les coefficients an forment une suite réelle ou complexe. La série est dite entière du fait qu'elle fait intervenir des puissances entières.

Les séries entières possèdent des propriétés de convergence remarquables, qui s'expriment pour la plupart à l'aide d'une grandeur associée à la série, son rayon de convergence R. Sur le disque de convergence (disque ouvert de centre 0 et de rayon R), la fonction

somme de la série peut être dérivée indéfiniment terme à terme.

Réciproquement, certaines fonctions indéfiniment dérivables peuvent être écrites au voisinage d'un de leurs points c comme somme d'une série entière de la variable z-c : celle-ci est alors leur série de Taylor. On parle dans ce cas de fonctions développables en série entière au point c. Lorsqu'une fonction est développable en série entière en chacun de ses points, elle est dite analytique. Toute fonction développable en série entière est une fonction de classe C^∞. Une fonction analytique est une fonction développable en série entière au voisinage de tout point. Les notions de fonction analytique complexe et de fonction holomorphe coïncident.

Les séries entières apparaissent en analyse, mais aussi en combinatoire en tant que fonction génératrice et se généralisent dans la notion de série formelle. Dans la théorie des nombres, le concept de nombre p-adique est proche de celui de série entière.

(1)Wikipedia: DL.Wikipedia: DL.Wikipedia: DL.Wikipedia: DL. C'est une approximation polynomiale d'une fonction en un point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme. En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes.