Mme Langella Terminale S
DEVOIR SURVEILL´ E N
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Les calculatrices ´electroniques de poche sont autoris´ees, conform´ement `a la r´eglementation en vi- gueur. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif. Le sujet est compos´e de trois exercices ind´ependants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un r´esultat pr´ec´edemment donn´e dans le texte pour aborder les questions suivantes, `a condition de l’indiquer clai- rement sur la copie. Le candidat est invit´e `a faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mˆeme incompl`ete ou non fructueuse, qu’il aura d´evelopp´ee.
Il est rappel´e que la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements seront prises en compte dans l’appr´eciation des copies.
Exercice 1 (10 pts)
Pour embaucher ses cadres, une entreprise fait appel `a un cabinet de recrutement. La proc´edure retenue est la suivante.
Le cabinet effectue une premi`ere s´election de candidats sur dossier. 40% des dossiers re¸cus sont valid´es et transmis `a l’entreprise.
Les candidats ainsi s´electionn´es passent un premier entretien `a l’issue duquel 70% d’entre eux sont retenus.
Ces derniers sont convoqu´es `a un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25% des candidats rencontr´es.
1. On choisit au hasard le dossier d’un candidat. On consid`ere les ´ev´enements :
• D :Le candidat est retenu sur dossier
• E1 :Le candidat est retenu `a l’issue du premier entretien
• E2 :Le candidat est recrut´e
(a) Reproduire et compl´eter l’arbre pond´er´e suivant :
(b) Calculer la probabilit´e de l’´ev´enementE1.
(c) On note F l’´ev´enement Le candidat n’est pas recrut´e. D´emontrer que la probabilit´e de l’´ev´enementF est ´egale `a 0,93.
2. Cinq amis postulent `a un emploi de cadre dans cette entreprise. Les ´etudes de leurs dossier sont faites ind´ependamment les unes des autres. On admet que la probabilit´e que chacun d’eux soit recrut´e est ´egale `a 0,07.
On d´esigne parX la variable al´eatoire donnant le nombre de personnes recrut´ees parmi les cinq candidats.
(a) Justifier queX suit la loi binomiale et pr´eciser les param`etres de cette loi.
(b) Calculer la probabilit´e que deux exactement des cinq amis soient recrut´es. On arrondira le r´esultat `a10−3.
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3. (R´epondre en utilisant votre calculatrice, aucune justification n’est demand´ee) Quel est le nombre minimal de dossiers que le cabinet doit traiter pour que la probabilit´e d’embaucher au moins un candidat soit sup´erieure `a 0,999 ?
Exercice 2 (10 pts)
Une locomotive de 48 tonnes se d´eplace sur une voie ferr´ee rectiligne d’origine O. Le moteur de la locomotive g´en`ere une force d’entraˆınement constanteE~ de valeur (norme du vecteurE) 36 000~ kN; les forces de frottement F~ sont proportionnelles `a la vitesse de la locomotive, et de sens contraire `a cette vitesse. Le coefficient de proportionnalit´e est ´egal `a 240 000 Newtons parkm/h.
On notex(t) la distance, en kilom`etres, parcourue par la locomotive en fonction du temps t, en heure.
A l’instant t, sa vitesse est not´eex0(t) et son acc´el´eration est not´eex”(t).
Selon les lois de Newton,E~+F~ =m~a, o`u le vecteur~arepr´esente l’acc´el´eration de la locomotive et m la masse de la locomotive en kg. Si l’on consid`ere les normes des vecteurs, on a donck~ak=x”(t).
1. Justifier que :
48 000 x”(t) + 240 000x0(t) = 36 000 000
2. (a) D´emontrer que le ”d´eplacement”y=x(t) est solution de l’´equation diff´erentielle (E) : 48000y” + 240000y0 = 36000000
ssi la vitessev=x0(t) est solution de l’´equation diff´erentielle (E0) :v0 =−5v+ 750 (b) R´esoudre surR l’´equation diff´erentielle (E0).
(c) On suppose que l’on a les conditions initiales :x(0) = 0 etv(0) = 0 (c’est-`a-direx0(0) = 0).
En d´eduire l’expression de x(t) en fonction de t.
3. ´Etudier le sens de variation de la fonction v sur l’intervalle [0; +∞[ et d´eterminer la limite de v(t) lorsque ttend vers +∞.
4. Au bout de combien de kilom`etres la vitesse de la locomotive d´epassera-t-elle 120km/h?
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