BCPST 1 21 mai 2021
Devoir surveillé 8
On attachera un soin tout particulier à la rédaction, toutes les réponses devront être justifiées. N’hésitez surtout pas à faire des phrases ; par contre, hésitez suffisam- ment longtemps avant d’écrire des choses qui n’auraient pas de sens.
L’utilisation de tout matériel électronique est interdite.
Ce sujet contient deux pages, un exercice et deux problèmes. L’exercice et les problèmes sont indépendants.
Durée : 3h30.
Exercice — Tut tut tut tut
Considérons le sous-espace vectorielE deR3 engendré par les vecteurs suivants : v1 =
2
−1
−1
, v2 =
−1 2 3
, v3 =
1 4 7
et v4 =
1 1 2
. 1. La famille (v1, v2, v3, v4) est-elle libre ?
2. Donner la dimension et une base deE.
3. Compléter cette base de E en une base de R3.
Problème 1 — Une application linéaire à paramètre Soit k un réel. Considérons la fonction suivante :
fk: R3 −→R3
(x, y, z)7−→(kx+ 2y+z,(k−1)y+ 2z, y+kz). Partie I : De zéro...
Dans toute cette partie, on étudie le cas particulier où k = 0.
1. Montrer que l’application f0 est linéaire.
2. Déterminer la dimension et une base B0 du noyau de l’applicationf0. 3. (a) Donner la dimension et une baseC0 de l’image de f0.
(b) Donner une équation cartésienne de l’image de f0.
4. (a) Déterminer l’intersection des sous-espaces vectoriels Ker(f0) et Im(f0). Quelle est sa dimension ?
(b) Montrer que la famille B0∪ C0 forme une base deR3. On notera D cette base.
5. Donner la matrice de l’endomorphisme f0 dans la base D.
6. Pour tout vecteur ude R3, exprimer les coordonnées de u dans la base D.
Lycée Pierre-Gilles de Gennes 1 Adriane Kaïchouh
BCPST 1 21 mai 2021 Partie II : ...en noyau !
On se place à présent dans le cas oùk est non nul.
7. Vérifier que l’application fk est un endomorphisme de R3.
8. Déterminer la dimension et une base du noyau de l’endomorphisme fk. 9. (a) Donner la dimension de l’image de l’applicationfk.
(b) Trouver une base de l’image de l’application fk. Problème 2 — L’urne de tous les records
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Une urne contientn boules numérotées de 1à n, indiscernables au toucher.
On tire successivement et sans remise les n boules de l’urne.
Lors d’un tirage donné, on dit que le résultat du tirage est un record si la boule tirée porte un numéro strictement plus grand que tous les numéros tirés précédemment.
On convient que le résultat du premier tirage est toujours un record.
Partie I : Nombre de records 1. Combien y a-t-il de manières de vider l’urne ?
2. Combien y a-t-il de manières de vider l’urne de telle sorte que l’on observe (a) exactement n records ?
(b) un seul record ?
3. Soit k ∈ J2;nK. Le but de cette question est de dénombrer les manières de vider l’urne de telle sorte que le résultat du k-ième tirage soit un record.
(a) Soit j ∈ Jk;nK. Combien y a-t-il de manières de vider l’urne de telle sorte qu’au k-ième tirage, on tire la boule numérotée j et qu’elle soit un record ? (b) Montrer que pour tout couple (p, q) d’entiers naturels, on a :
q
X
i=0
p+i p
=
p+q+ 1 p+ 1
. On pourra procéder par récurrence sur q.
(c) Conclure.
Partie II : Modélisation informatique
La fonctionrandintde la bibliothèquenumpy.randomprend en arguments deux entiers aetb, et renvoie un entier aléatoire dans l’intervalle Ja;bJ (tiré selon une loi uniforme).
4. Écrire une fonction qui prend en argument un entier n, qui simule les n tirages dans l’urne et qui renvoie le nombre de records observés durant l’expérience.
5. Écrire une fonction qui prend en arguments un entiernet un grand entier N, qui effectue N simulations de l’expérience et qui renvoie la liste des proportions de simulations conduisant à1record, à2records, ..., ànrecords sur lesN simulations effectuées.
Lycée Pierre-Gilles de Gennes 2 Adriane Kaïchouh
