PHYS106B Electrostatique - Magnétostatique- Induction Electromagnétique L1 : Physique-Chimie-Mécanique-E2i Cours du 08 Février 2007

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PHYS106B

Electrostatique - Magnétostatique- Induction Electromagnétique L1 : Physique-Chimie-Mécanique-E2i

Cours du 08 Février 2007

2

 

E M q AM

A

r

( )  1

4 

r

M q

V

4

) 1

( ^ 

VECTEUR SCALAIRE

Rappel: Champ et potentiel électrostatique d’une charge ponctuelle

x q

A

x

M

) ( M E 

x M’

) ' ( M E 

r

3

Etude d’une distribution linéique de charges

P l a n d e s y m e t r i e ( P ) ( p la n m é d i a t e u r d u f i l ) P la n d e s y m e t r i e

c o n t e n a n t le f i l.

A x e d e r o t a ti o n C

F i l u n i f o m é m e n t c h a r g é () ( P )_{/ /}

Rappel: 1. Méthode de Coulomb en Electrostatique

 dq _i   dz

z

x

4 x

z

M A

z

d z

d E _A O

f i l c h a r g é (^)

+ a

- a

 

dE M dz AM

AM

dz A M A M

dz OM AM

xu dz x z

A A

 x

, '( ) '

  '













 



     

1 4

1 4

2

0 2

3 3

0

3

0 2 2 3

 2

 



 



 

 

E M xu dz

x z

x a

( ) 









2

 

E M u

x ( ) sin

  



2

sin 

2 2

 

a

a x

A’

dE _A’

dz

dz

3

4 0

) 1

( AM

AM M dz

E d _A













3 0

' '

' 4

) 1

( A M

M A M dz

E d _A





 





Champ crée par dz en A

Champ crée par dz en A’

Champ crée par dz en A et dz en A’

Champ crée par la tige de longueur 2a

5

Calcul du potentiel électrostatique en un point de l’axe Ox (calcul direct)







a

x z

M dz

V

4

)

( 



Par la relation différentielle champ - potentiel électrostatique Par la relation différentielle champ - potentiel électrostatique

dV E M dl a dx

x a x

   



 

( ). 



2

V M a dx

x a x ( )  

 _{2 } ^ 

0

2 2

On détermine le potentiel en M à une constante près que l’on fixe par la convention de Coulomb si applicable.

2 2

4

)

( x z

M dz dV

 





Champ crée par dz en A

Champ crée par la tige

6

Cas particulier : Champ et Potentiel d’un fil chargé de longueur infinie

a  

 

0

 2

.

 

E M u

x ( )  



0

2

V M ( )    E M dl ^ ( ). ^

Champ

Potentiel

V M dx

x Ln x K

( )    ₂ ^ _   _{2 } ^ ( ) 

0 0

S u r f a c e s é q u i p ô t e n t i e l l e s

L i g n e s d e c h a m p f i l c h a r g é i n f i n i

Surfaces équipotentielles et lignes de champ d’une tige de longueur infinie

 

E M u

x ( ) sin

  



2

sin₀  _{2 2}

 a

a x Lignes de champ d’une tige finie

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Méthode de Coulomb : Distribution surfacique de charges Méthode de Coulomb : Distribution surfacique de charges

z

M(0,0,z)

d

A’

A

dE M dS

AM zu

A A z

 

, '

( )  



4 2

0

3



dS

dS

dS en A:

dS en A’:

dE M dSA M

A

A M

 

'

( ) '

 1 '

4 



dE M dSAM

A

AM

 

( )  1

4 



dS en A et A’:

Disque Chargé en surface

z

O O z : a x e d e r o t a t i o n C

P l a n d e s y m é t r i e c o n t e n a n t l e d i s q u e . P l a n d e s y m é t r i e c o n t e n a t O z .

( i n f i n i t é d e p l a n s )

( u n i q u e )

A x e d e r o t a t i o n C 2

( ²₂^)

z

d

u

z OM

M A

AM  '  2 .  2 . . 

8

dE M rdr

AM zu rdr

AM zu

Couronne r z

  

( )

( )   







4 2

0

2

3

0

3

Champ crée par une couronne circulaire d’épaisseur dr

Champ crée par le disque

z

M(0,0,z)

d

A’

A

r dr

A A’

dE M dS

AM zu

A A z

 

, '

( )  



4 2

0

3

dS en A et A’

z z

a z

a a

disque u

a z

z z

u z z

r rdr u z

AM z M rdr

E   













 









 

0 0

2 3 2 2

0

0 3 0

0 )

( 2

) 2 (

)

(





 







9

Calcul du potentiel électrostatique V(M), M étant un point de l’axe Oz Calcul du potentiel électrostatique V(M), M étant un point de l’axe Oz

 

dV E M dl z

z R dz V M z z R K

    





  

       

 

( ).  ( )







2 1

0 2 2

2

0

2 2

Cas d’un plan infini chargé uniformément en surface

 

E M z

z u

( )  

 2

dV   E M dl     dz  V z   z  K

( ).  ( )







2

2

10

11

Modélisation de l’activité électrique au sein de nuages

12

2 –Méthode (Théorème) de Gauss

Vecteur surface

Soient deux vecteurs concourants

L 

 L

la surface hachurée est définie par:

S  L   L   L L L L  

1 2 1 2

sin( ,

)

Le vecteur surface est un vecteur de norme S

et de direction perpendiculaire au plan contenant

  

S  L ₁  L ₂

L 1

L 2 ( S )

S

Cette définition est généralisable au cas de surfaces

élémentaires délimitée par des vecteurs élémentaires

dL 

1 ^et

dL 

2

:

2

1 d L

L d S

d   





13

S u r f a c e f e r m é e d S

d S '

d S Convention

Orienter la surface de l’intérieur vers l’extérieur

Orientation de la surface selon

l’orientation de la boucle qui délimite la surface (règle du tire-bouchon)

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x

z

u x y u

u y z

x

z

y

°

°

°

d S = z d x

° u y

E

 Flux d’un champ de vecteurs à travers une surface Flux d’un champ de vecteurs à travers une surface

Notion liée au débit de matière (flux de vitesse), Notion liée au débit de matière (flux de vitesse),

débit de charge (flux de charges= Intensité électrique) débit de charge (flux de charges= Intensité électrique)



 

E S_/ S

E M dS

( )

( ).

 

Si le champ et le vecteur surface sont uniformes sur toute la surface Flux élémentaire

) , cos(

. .

/ _S

E . S E S E S

E









  



Flux nul

Flux=E.S

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Application de la notion de flux au champ électrostatique Cas d’une charge ponctuelle à l’intérieur d’une surface fermée

Q S u r f a c e

é q u i p o t e n t i e l l e d S

E ( M ) M

 

E M dS E M dS Q

r dS

( ).

 ( ). 

4 



 

E équipotentielle i M

M M

M

E M dS E M dS Q

r r Q

i i

i i

/

  ( ).  ( )   ₄ ⁴ 

0 2

2

 



Indépendant de la surface fermée choisie

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Cas d’une charge ponctuelle située en dehors d’une surface fermée

Q

d S

E ( M ) d S ' M

d S '' M ''

M '    

E M dS ( ).   E M dS ( '). '

Flux rentrant Flux sortant

Si la charge est en dehors de la surface, le flux du champ électrostatique Si la charge est en dehors de la surface, le flux du champ électrostatique

à travers une surface est nul.

à travers une surface est nul.

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Enoncé du théorème de Gauss

Dans le vide, le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée () est égale à la somme des charges intérieures à () divisée par 0.

0 . int

/











à E

Q



Cas d’une distribution volumique de charges

La surface fermée délimite les charges entre des charges intérieures ou extérieures.

S u r f a c e f e r m é e    d S

d S '

C h a r g e s d e d e n s i t é 



dv

/

 

^



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Cas d’une distribution de charges surfaciques

d S

d S '

C h a r g e s (  S u r f a c e f e r m é e



dS

/

  ^

