PHYS106B
Electrostatique - Magnétostatique- Induction Electromagnétique Responsable : L1 : Physique-Chimie-Mécanique-E2i
Cours du 14 Février 2008
Applications du théorème de Gauss
R
E r
R
r
C h a m p e n u n p o in t e x t é r ie u r a u c y li n d r e c h a r g é C h a m p e n u n p o in t in t é r i e u r a u c y lin d r e c h a r g é
S y m é t r i e c y l i n d r i q u e
R
r
R
r
Symétrie sphérique
Symétrie cylindrique
Nappe infinie
Chargée uniformément Base chargée d’un nuage Condensateurs plan
Conducteurs
Condensateurs Câble H.T
Filtres électrostatiques Alvéoles de connecteurs Électriques
Piquet de paratonnerre Faisceau électronique
Electricité atmosphérique Condensateurs sphériques Nuages électroniques
Méthodologie pour calculer les effets
Électriques crées par un système chargé
1. Inventaire des éléments de symétrie du système 2. En déduire les surfaces équipotentielles
3. Répondre à la question: EN QUEL POINT M dois-je calculer le champ et potentiel
4. IDENTIFIER la surface équipotentielle qui contient le point M
5. Définir la surface de Gauss FERMEE qui se confond totalement ou partiellement avec l’équipotentielle contenant le point M.
5. Calculer le flux du champ électrostatique à travers la surface de Gauss
6. Appliquer le théorème de Gauss pour déduire le champ électrostatique
7. En déduire le potentiel électrostatique par circulation du champ sans oublier une constante d’intégration 8. Fixer la constante par les conditions aux limites de
votre système et par la continuité du potentiel
R
E r
R
r
C h a m p e n u n p o in t e x t é r ie u r a u c y li n d r e c h a r g é C h a m p e n u n p o in t in t é r i e u r a u c y li n d r e c h a r g é
S y m é t r i e c y l i n d r i q u e Equipotentielles = cylindres coaxiaux
M extérieur M intérieur
Surface de Gauss=Boîte cylindrique (fermée) contenant le point M Cas d’une symétrie cylindrique: cylindre chargé en volume Avec une densité
Calcul de E en un point M à l’extérieur du cylindre chargé
Seul le flux à travers la surface latérale est non nul et a pour valeur :
E E
extrh R h
extE R
r
/
. 2
2
2 0
2 0
Calcul de E en un point M à l’intérieur du cylindre chargé
Seul le flux à travers la surface latérale est non nul et a pour valeur :
E E rh r h
E r
/
int. 2
int
2
2
0 0
Potentiel électrostatique
dV E M dl E r dr
( ). ( )
Relation différentielle
M à l’extérieur
V
ext( ) r R Lnr K 2
02
la constante K ne peut être fixée par la convention de Coulomb la constante K ne peut être fixée par la convention de Coulomb car il existe des charges à l’infini
car il existe des charges à l’infini .
M à l’intérieur
V
int( ) r r K '
4
02
Propriété générale
Propriété générale : le potentiel électrostatique est une fonction continue , : le potentiel électrostatique est une fonction continue ,
V
int( ) R V
ext( ) R
Vext( )R R LnR K V int ( )R R K'
2 0 2
2
2
0
Distribution de charges dans sphère
R
r
R
r
Calcul de E en un point M à l’extérieur de la sphère chargée
E E
extr Q
totale ext totaleE Q
r
/
. 4 .
4
2
0 0
2
Pour M extérieur à la sphère, tout se passe comme si la sphère se comporte comme une charge ponctuelle Qotale placée à l’origine.
Calcul de E en un point M à l’intérieur de la sphère chargée
0 int
0 3
0 2 int
/ int
3 . 3
4 4
.
E r
Q r r
E
érieuràE
Potentiel électrostatique
dV E M dl E r dr
( ). ( )
Point à l’extérieurPoint à l’extérieur
V r Q
r K
ext
totale
( )
4
0La convention de Coulomb est valable ici et donc K=0
Point à l’intérieurPoint à l’intérieur
V r r
int
( ) K '
2
6
0La continuité du potentiel électrostatique permet de déterminer la constante K’ :
V R R
K V R R
ext
int
( ) ' ( )
2
0
2
6 3
0 K R
'
2
2
0Nappe infinie chargée avec une densité
E
E S E S ES S
/
1.
1
2.
2 E
0 0
2 2
Justifiez que la surface de Gauss peut être choisie comme ci-dessous:
V z ( ) z K
2 0
z
0
En déduire que le potentiel électrostatique est donné par:
Appliquer le théorème de Gauss pour Appliquer le théorème de Gauss pour
Déterminer le champ de gravitation à l’intérieur de la terre Déterminer le champ de gravitation à l’intérieur de la terre
