Question1 Notations Séance1:ExercicesCALCULDIFFÉRENTIEL

Mathématiques 2 1

Séance 1 : Exercices CALCUL DIFFÉRENTIEL

Objectifs

Les notions de différentielle, gradient, ... d’une fonction en dimension finie et infinie. Exer- cices d’illustration et calcul des différentielles. Quelques applications.

Notations

On note V un espace vectoriel normé,xun point deV,F une fonction deV dansR.hx, yi = P

ix_iy_iest le produit scalaire canonique deRⁿ. Question 1

Fonction quadratique

SoitV =Rⁿ,Aune matrice symétrique de dimensionn,b∈Rⁿ.

•SoitF(x) = ¹₂hAx, xi − hb, xi, montrer que

DF(x).h=hAx−b, hi et que, pour le produit scalaire canonique,

∇F(x) =Ax−b

•Les points pour lesquelsDF(x) = 0sont donc solutions du système linéaireAx=b. Montrer que, si la matriceAest symétrique définie positive¹, l’extrémum est unique et que c’est un minimum.

Quel est l’intérêt de de cette propriété pour la résolution des systèmes linéaires à matrice symétrique définie positive ?

1i.e.∀x6= 0∈RⁿhAx, xii0

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Mathématiques 2 2

Question 2

Une fonction non quadratique en dimension finie Soit

F(x) = 1

2hAx, xi+ 1

4kxk⁴₄− hb, xi

•CalculerDF(x)et∇F(x). Quels sont les points pour lesquelsDF(x) = 0?

•CalculerHF(x). Quelle est la nature des extrémums ?

Nous montrerons dans la séance suivante, en utilisant la convexité de la fonction, qu’il y a un seul extrémum et que c’est un minimum.

Question 3

Une fonction quadratique en dimension infinie SoitV =C¹([0,1]),v∈V etf ∈C([0,1]).

J(v) = Z 1

0

(1

2v⁰(x)²+1

2v(x)²−f(x)v(x))dx

•Calculer la différentielle au sens de Gateaux deJ(v).

•On munitV du produit scalaire et de la norme deL²([0,1]),J(v)est-elle différentiable au sens de Fréchet ?

•SoitV0 le sous-espace deC²([0,1])∩V formé des fonctions nulles en0et1. Montrer que, pour le produit scalaire deL²([0,1]),∇J(v) =−v” +v−f. Peut-on définir de façon analogue le gradient

∇J(v)surV pour le produit scalaire deL²([0,1])? Quels sont les extrémums deJ(v)surV₀(nous verrons ultérieurement qu’il n’y a qu’un extrémum qui est un minimum) ?

Question 4

Généralisation : le “calcul des variations”

SoitV₀ ={v∈C¹([0,1])/ v(0) =v(1) = 0}etg(t, x, y)∈C¹(R³). On définit surV₀ la fonction

J(v) = Z L

0

g(x, v, v⁰)dx (1)

•CalculerDJ(v).

• En ajoutant des hypothèses de régularité, calculer∇J(v) pour le produit scalaire de L²([0,1]).

En déduire qu’un extrémumude la fonctionJ(v)vérifie une équation différentiel du second ordre, l’équation d’Euler

− d dx(∂g

∂u⁰) +∂g

∂u = 0 (2)

•Application :

J(v) = Z 1

0

1

2v⁰(x)²+1

4v(x)⁴−f(x)v(x)dx

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