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Submitted on 1 Jan 1990
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DÉTERMINATION DES PROPRIÉTÉS ACOUSTIQUES DES MATÉRIAUX DOUÉS
D’AMORTISSEMENT
R. Blanc
To cite this version:
R. Blanc. DÉTERMINATION DES PROPRIÉTÉS ACOUSTIQUES DES MATÉRIAUX DOUÉS D’AMORTISSEMENT. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-65-C2-68.
�10.1051/jphyscol:1990216�. �jpa-00230462�
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Colloque C2, supplhment au n 0 2 , Tome 51, FBvrier 1990 ler Congrès Français d'Acoustique 1990
DETERMINATION
DESPROPRIETES
ACOUSTIQUES DESMATERIAUX DOUES
D'AMORTISSEMENTR.H. BLANC
Laboratoire de M6canique et d'Acoustique du CNRS, 31 Chemin J. Aiguier, F-13402 Marseille Cedex 09, France
Résumé
-
On établit des méthodes d'impulsion pour l a détermination d e s propriétés dynamiques des solides e n p e t i t e s déformations. Pour cela, on relève la f o r m e d'une onde transitoire après deux distances d e parcours dàns un barreau du milieu étudié. On propose deux types d e solutions.D'abord dans l e c a s où les deux relevés d e l'impulsion sont séparables. Puis, e n prenant e n compte l a superposition des réflexions successives d e l'onde sur chaque e x t r é m i t é du barreau.
C e s méthodes fournissent leurs résultats dans l a g a m m e des fréquences audibles.
Abstract - Pulse methods a r e established for determining t h e dynamic properties of solids subjected t o small deformations. For this purpose, t h e shape of a transient wave is recorded a f t e r travelling two distances along a bar of t h e medium under investigation. Two types of solution a r e proposed : (i) in t h e case where t h e two pulse recordings can be separated ; and (ii) taking t h e superimposition of t h e successive reflections of t h e wave produced by t h e ends of t h e bar. These methods yield results within t h e audio frequency range.
1 - INTRODUCTION
La propagation acoustique dans un solide dissipatif, aux propriétés mécaniques connues, a f a i t l'objet d e multiples investigations. Notre but e s t d e résoudre l e problème inverse : déduire l e s propriétés dynamiques d'un milieu viscoélastique linéaire à partir d e l'évolution d e l a f o r m e d'une onde transitoire qui s'y propage. Un t e l milieu peut ê t r e caractérisé e n tension-compression à une dimension par l a vitesse d e phase c(w ) e t l e coefficient d'amortissement a(w ) des ondes longitudinales, ainsi que p a r le nombre d e Poisson ; on peut, e n e f f e t , e n déduire t o u t e a u t r e couple d e grandeurs mécaniques pouvant. servir à caractériser complètement l e matériau. Pour déterminer l e s fonctions c( w ) e t a ( w 1, on applique c o n t r e une e x t r é m i t é d'un barreau mince du milieu étudié, une excitation axiale, transitoire, brève, qui engendre l a propagation d'une impulsion. A l a différence du c a s élastique, la forme d e c e t t e onde va évoluer comme conséquence d e l a dispersion d e vitesse e t d e l'amortissement interne du matériau. Supposons que l'on sache relever e n fonction du temps c e t t e impulsion après deux distances d e parcours, on s e propose d'en t i r e r c ( w ) et a ( L I ). Pour établir l a solution d e n o t r e problème nous allons considérer deux c a s : impulsions séparables e t impulsions superposées. Le premier c a s s e présente pour des barreaux suffisamment longs pour que chaque impulsion puisse ê t r e entièrement relevée avant que n e parvienne a u point d e mesure son écho s u r l'extrémité opposée. Mais i l p e u t arriver que l e s impulsions s e chevauchent. C'est l e cas d e barreaux courts e n matériau à t e m p s d e recouvrance long.
Dans c e cas, nous serons amenés à prendre e n compte l a superposition des réflexions successives d e l'impulsion sur chaque e x t r é m i t é du barreau.
2 - THEORIE
Notons f(x,t) l'impulsion à l a distance x e t à l'instant t. f peut représenter soit l a déformation€
,
soit la vitesse particulaire v. Notons Rx,w ) l a transformée d e Fourier par rapport au t e m p s d e f(x,t). La solution générale d e l'équation qui régit l e mouvement e s t l a suivante /1/ :- -
(1) f (x, o ) = P(o) e-""'"+
N(&)
e y ( w ' x ,a v e c y(w) = a(o)+ik(o), k( w 1 = w /c( (11 1,
-
P(w ) e tN(
w) é t a n t déterminés p a r les conditions initiales e t aux limites. Par inversion d e l a relation (l), on obtient :P(o) e-or(w)x i[wi-k(o)x] d
(2) e O
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990216
C2-66 COLLOQUE DE PHYSIQUE
Les deux t e r m e s du second membre représentent l e s ondes s e propageant respectivement dans l e sens des x croissant e t décroissant. Pour établir l a solution d e notre problème, nous devrons considérer deux cas.
2.1 - IMPULSIONS SEPAREES
On observe l'onde progressive, simple, telle que dans un barreau semi-infini. Le second membre d e (2) s e réduit à son premier terme. Plaçons l'origine des x à l'extrémité A du barreau, qui reçoit l'excitation, cf. Fig. 1. La relation (2) devient
f(O,w)e-a(u)x+iuCt- x f ( x , t )
=& j*- - d u .
2.1.1 - Solution par analyse de Fourier
Prenons l a transformée inverse d e (3) e t notons sous f o r m e polaire c e t t e transformée T ( x , u ) = p(x,u)e i e ( x , u )
On é c r i t c e t t e relation pour l e s deux distances de parcours x l e t x2 e t l'on résoud par rapport a u x fonctions cherchées /2/ ; on obtient
2.1.2 - Méthode du filtre
Nous avons eu l'idée d'appliquer l e s impulsions à des filtres sélectifs de fréquence. Dans une précédente é t u d e /3/, nous avons résolu l e problème dans l e c a s du circuit oscillant amorti. Nous généralisons ici c e s résultats e n les étendant a u cas des filtres passe bande étroite.
2.1.3 - Méthodes approchées rapides
Supposons que l'on sache modéliser les fonctions cherchées c ( w ) e t a ( ) ainsi que l'impulsion initiale d e manière à pouvoir intégrer analytiquement l e second membre de (3). On obtient ainsi un modèle d'onde, fonction du temps. Par identification d e c e modèle a v e c l'impulsion observée, on détermine les paramètres définissant c e t a
.
C'est c e que nous avons f a i t /2/ dans l e cas d'une onde engendrée par un choc. On propose ainsi des méthodes directes, d'une mise e n oeuvre e x t r è m e m e n t aisée, qui fournissent pour c(w ) et a (w 1 un excellent ordre d e grandeur.2.2 - SUPERPOSITION DES IMPULSIONS 2.2.1 - Méthode du front d'onde
Supposons que l e front a v a n t d e l'onde r e s t e observable. F. Chanipomier e t l'auteur /4/ ont résolu l e problème a u moyen des méthodes d e modélisation précédentes.
2.2.2 - Méthode de superposition
L'impulsion e s t représentée par l'expression (2) complète. Plaçons maintenant l'origine des x à l'extrémité B du barreau. Soit R(w ) l e coefficient d e réflexion e n B, on a
Posons
- -
$ ( w ) = r ( w ) e'""' = f i / f 2
Ecrivons la relation (1) pour x = x l e t x = x2. Résolvons l e système obtenu par rapport à
P
e t e t portons l e résultat dans (6), il viente-yxt - $ e-yxz= R ( $ e7x2-ePl),
(7)
qui détermine c e t
.
Une solution explicite simple e s t obtenue en choisissant pour position des transducteurs x i = -a e t x2 = -2a. En effet, portons ces valeurs dans (7), en en tire= ( i / a ) sinh-' [ ( C - A ) " ~ ] ,
k = ( l l a ) ( s P
+
n.ri-1, d'où c,avec
c
= ( A 2 + B')"', A = ( 1 / 2 ) [ 1 - ( r / 2 ) ' ] , B = ( r / 2 ) sin (41, 8 = sin-' [ ( C +A)"'].La continuité e t la monotonicité 151 de la fonction k( o ) conduisent à choisir les entiers s = - 1 e t n = 0, 1, 2, conformément a u tableau 1.
Table 1. Détermination des entiers s e t n.
3 - MONTAGE EXPERIMENTAL. RESULTATS
Y
nregistreur ransi t o i r e s
Fig. 1. Schéma du montage
C2-68 COLLOQUE DE PHYSIQUE
Dans l a mise e n oeuvre d e l a méthode d e superposition, l e barreau e s t équipé d e jauges d e déformation J1 e t J2, collées. Pour l'application d e l a méthode des impulsions séparées, il e s t préférable e t plus aisé d'utiliser un capteur d e vitesse, sans contact, CV, e n bout d e barre. Dans c e cas, on obtient le relevé de l'impulsion v(x,t) après des distances d e parcours x = L, 3L, 5L,
...
Le montage e s t schématisé à l a figure 1.Nous avons appliqué c e s méthodes à une grande variété d e matériaux t e l s que polymères, élastomères, composites, etc... Leur concordance e s t excellente ainsi que leur recoupement a v e c d'autres méthodes.
4 - CONCLUSION
On a établi des méthodes d'impulsion pour l a détermination des propriétés viscoélastiques des solides e n petites déformations. Pour cela, on relève l a forme d'une onde transitoire après deux distances d e parcours dans un barreau mince du milieu étudié. Si l e s impulsions sont séparables, on propose trois solutions : 1. La solution générale, explicite et e x a c t e a u moyen des transformées d e Fourier des impulsions observées, 2. Une méthode d e filtrage physique, 3. Des'solutions approchées, directes e t rapides.
Dans de cas où les impulsions ne sont pas séparables, on propose une solution prenant e n compte l'écho multiple d e l'impulsion dans l e barreau. C e t t e méthode a l e mérite d'admettre des barreaux plus courts e t d e s'appliquer a u x matériaux à amortissement extrème. C e s deux types d e méthodes s e complètent.
Elles fournissent leurs résultats dans une bande de fréquence de une à deux décades dans l a gamme des fréquences audibles, 20 - 20 000 Hz.
5 - REFERENCES
/1/ HUNTER S.C., "Viscoelastic waves", Progress in Solid Mechanics (I.N. Sneddon & K, Hill, eds), North-Holland, Amsterdam, 1960, 1, 1-57.
/2/ BLANC R.H., "Propriétés viscoélastiques des solides déterminées p a r des méthodes d e propagation d'ondes transitoires", Cahiers Gr. Fr. Rhéol., C.R. 18e Coll., Paris, 1983, 6(4), 107-134.
131 BLANC R.H., "Spectre instantané d'une impulsion dans un barreau viscoélastique", Rheol. Acta, 1974, 13(2), 228-232.
/4/ BLANC R.H. and CHAMPOMIER F.P., "A wave-front method for determining t h e dynamic pro- perties of high damping materials", J. Sound Vibr., 1976, 49(1), 37-44.
/5/ LUNDBERG B. and BLANC R.H., "Determination of mechanical material properties from t h e two-point response of a n impacted linearly viscoelastic rod specimen", J. Sound Vibr., 1988, 126 (11, 97-108.
