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Potentiel effectif non-perturbatif, limites sur la masse du boson de Higgs et applications dynamiques

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Academic year: 2021

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(1)

HAL Id: tel-00391727

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00391727

Submitted on 4 Jun 2009

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Potentiel effectif non-perturbatif, limites sur la masse du

boson de Higgs et applications dynamiques

Hugo Faivre

To cite this version:

Hugo Faivre. Potentiel effectif non-perturbatif, limites sur la masse du boson de Higgs et applications

dynamiques. Physique mathématique [math-ph]. Université Louis Pasteur - Strasbourg I, 2006.

Français. �tel-00391727�

(2)

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OPCABPA =PQSRePAfABC SA gh iDBjRA> gkkl UAjDBC SD mOffR@@ROB UnAoDfAB

pqrssr tquvwsxy psvzq{ruw {x |xsy }~sqr€r rur‚q~uƒ „~……ƒswrxs r†wrsur ‡{r€ˆ~‰ Š|ƒx~{q „~……ƒswrxs r†wrsur ‹~uƒz pƒ€ƒuyq „~……ƒswrxs quwrsur Œ ~s  Žquwrs † ~ qu ~ wrxs quru‚ƒ ts ~ uˆqu ~ Š qsrwrxs {r wˆ‘zr

(3)
(4)

                                                                                                                                          !    " #       $ %       "  &   !    " #       '  '           '  '      "     %(   )    &    "           '   %(         & %       "        " #              %    %(          

(5)
(6)

                                                                                                                                                                                                                          !   "     #  $ %    &       ' (                   )                                                &       &                                      *          +                              &             $                   &               '                                           ,                           #      -   #   #       %   .   & / 0  +                           )  /                                                                

(7)

                 

¯h = c = 1 .

                            

[

   

] = [



] = [

  

]

−1

= [



]

−1

.

           

(+, −, −, −)

      $ $  *                 

(+, +, +, +)

               

x



p

              

x

µ

= (x

0

, ~x)



p

µ

= (p

0

, ~p)

                  

θ(x)

   %        

δ(x)

   ,    

θ(x) =

0

 

x < 0

1

 

x > 0

,

δ(x) =

d

dx

θ(x) .

              

d

                  

δ

(d)

(x) =

Z

d

d

k

(2π)

d

e

i k·x

.

                        ,    

f (x) =

Z

d

d

k

(2π)

d

e

i k·x

f (k)

e

,

f (k) =

e

Z

d

d

x e

−i k·x

f (x)

f (x) =

1

d

X

k

e

f

k

e

i k·x

,

f (k) =

e

q

d

X

x

f

x

e

−i k·x

,

  

d

=

R

d

d

x

        

d

     

e

                                               !                       ,            

Γ(z) =

Z

0

dt e

−t

t

z−1

.

                                  

Z

Y

n

i=1

dx

i

exp

1

2

n

X

i,j=1

x

i

A

ij

x

j

= (2π)

n

2

(det A)

1

2

,

                             

A

ij

    

(8)

                    !                                    %                                    +                                       !                                                 !     !                                          +                                                                                                              "                                    #    %,         "                              ,         ,                                                         $ %   ! &   &  ' (  (   (  $)   '                                       .                                  .                                                                            +                                      .                                              "               

(9)

               )                                                                                    +!                                +             

MS

                +         "                                "                                                                    #                                     #      !                                #                                #                                        # ) (   (   (                                        #                                                "                                                                 #                                     '                                                                       %                                                                               %       )    '      (                                  '                                +                              #   .                                         '

MS



(10)

     '      ! $ $                                                                                                  $   %          $   

O(2)

                                                                            *                                                                                   ) $

(11)
(12)

  .  

E

0



E

1

   

¯hω

                                

λ

          .         "  

U

k

(x)

   

k

  

λ(Λ) = 0.1

                                                    .      

m

2

         

λ

         

k

          ,                                        +     "                        "   

∆E

     

λ

      +!                                                                    '                                           

λ = 5 · 10

−2



m

2

= −10

−2

                                           #        '                                            

−εφ

     ,             

φ

t

             

v



                 ,             

λ = 5 · 10

−2



m

2

= −10

−2



ε = 2 · 10

−3

     

(13)

      +!                                                                                           

k = 0.1

  

λ = 5 · 10

−2



m

2

= −10

−2



ε = 2 · 10

−3

                             

V

cl

     "      

V

1l

      +!

V

RGI

                                   

µ = 1.1 · 10

−1

   

λ = 2 · 10

−3



m

2

= −10

−4



g = 3 · 10

−1

                        

V

1l

 

V

RGI

    %                                          -   "     ,                                                     

V

1l

          )    

V

cl

                  )      ,                     "                                  

λ

Λ

= 5 · 10

−2



m

2

Λ

= −10

−2



g

Λ

= 0.35



Λ = 100

                                                                                                      ,                        

φ

                      "        

φ

   "

Λ

                                 #     "        

V

wil

= V

k=0

                       ,                      )                          "         ,                    

V

wil



V

1l

                     #

(14)

                                                ,                                  ,               

φ

            #            

φ

   "

Λ

                )            )                   

V

wil



V

1l

                                      #       

m

2

         

λ

                              +!                                                 ,                    

k

cr

                   +!                    %    

k ≤ k

cr

             '         "                +!                             )              

β

                               #    .       

J(~x, t)

                   #           

J

0

              

[t

0

, t

1

]

  +                                  #             

V

dw

(q)

        

V

RG

(q)

              +!                      

λ = 0.15



m

2

= −1

        

λ = 1.1

           

ψ

J

(q)



ψ

g

(q)

 .      

q(t)

                          

ψ

J

(q)



ψ

g

(q)

                                          

(15)

     %             

q − p

            ,       

λ = 1.1

                                    

λ = 0.15

           

ψ

J

(q)



ψ

g

(q)

 .      

q(t)

                          

ψ

J

(q)



ψ

g

(q)

                                              %             

q − p

            ,        

λ = 0.15

                                  

λ = 0.07

           

ψ

J

(q)



ψ

g

(q)

 .      

q(t)

                          

ψ

J

(q)



ψ

g

(q)

                                           #   # %             

q − p

            ,       

λ = 0.07

                                                                "             +!     %                            

V

ef f

   

V

1l



V

RG

     

q(0) = 0.5

                       

λ =

0.15

      

V

RG



V

1l

        "          %                            

V

ef f

   

V

1l



V

RG

     

q(0) = 0.7

                        

λ = 0.25

 ' )      

V

1l

      

q

               

V

RG

   

V

1l

                 

(16)

                            !            " #$%&'() *+(,) -. /0 /.                                                                                   *                                                 ,                                             1                                  #                                      (    2 3                                                                                    2  3 4%                                        5    "                         4*                                           5     "                                          ,                                                                                  4*                                    )                   4*     

(17)

                                "    , 

Λ

                     ,    

Λ

                                               

ln Λ



Λ

2

         ,                                    ,         "                                ,                                                #                , ,         "                                                                "           )                                          +! 2 3  &                              4%       '    '                                                                                 4  %                                    ! "                                      ,       ,        5                      4  %           $                                                       4  %              4%         '                               *                                 '  "                                                                     "           

(18)

                                       )                                             #                                                            ,                                %                        "                                                                                          !                           (                      2 3                                                                                                                                            "             + #                                                                         4*  "                                                #                 ,                     "                                                                             + 1                          4*                +                                                                         "                 4*   

(19)

        "                    %                ,                           "                                                 %          (        2 3                            ,                             +!  )                                             !              )                                "        

k

                                                                            ,                              "                        *                     ,                            ,          "                                                                                                

Λ

−1

     "    )                                            2 3                              ! "                     '                                               ! "                        )       ,                                           "      1           '                        "

Λ

                  #                    

(20)

     

Λ

−1

                                                     "                                                                     "                                   2   3                                            ,        "                              +

p

            

p/Λ

                 5       " #                       

Λ

−1

                                            +                                                   2# 3            *                                                                                                  "            (           ,          +!                                      +!                                                                                       "            1                                              +!          "               2 3                      +!     ,                                                                                              

(21)

 #                                                     '                   $     $                                         ,       "  

V

ef f

                                                                   

V

ef f

                               "                      "                                "          -                       $                                                        +!                                                                                         2 3                     "             !         -  ,                                                               "                            %       

δΓ

δφ

= 0



Γ

     "                            

δS

δφ

= 0



S

                                   )                                    "                        )      ,     )       "                                        

Γ

                                               "                      ,                         )  

(22)

                                                   2   3          )                                                                       ,                                                                        (    2  3                    '   )            +!                                                        )     %                               +! 2  3                         " )                                 %                                           

(23)
(24)

 % )

1

./    /.     #,                                                                                                                                       "                    ƒuwqƒuz {r } srru                               

φ

                                                           

L =

1

2

µ

φ∂

µ

φ −

1

2

m

2

φ

2

24

1

λ φ

4

.

     (

 ),' ' ,$ '(&(& +)&( )() +)$ ' '(&(&

L =

R

d

3

x L

 '( +) +'(&(&

(25)

                       

J(x)

                       !     

Z[J] = h0, +∞|0, −∞i

J

= N

Z

Dφ e

i

R

d

4

x

(

L(φ,∂

µ

φ)+J(x)φ(x)

) .

         

                                      ,              ,              

     ,                                          2 3  %       

λ = 0



Z[J]

   

Z

0

[J] = exp



i

2

Z

d

4

x d

4

y J(x)G

0

(x − y)J(y)



,

             

Z

0

[0] = 1

      

G

0

(x − y)

       !      ,          

(2 + m

2

)G

0

(x − y) = δ(x − y) .

           ,                               !  %                                                  !  

n

  

G

(n)

(x

1

, ... , x

n

)

  ,               

n

 

G

(n)

(x

1

, ... , x

n

) = h0| T [φ(x

1

) ... φ(x

n

)] |0i .

           

G

(n)

               5     "                                 !  

n

  

Z[J]

      

G

(n)



δ

n

Z[J]

δJ(x

1

) ... δJ(x

n

)

J=0

= (i)

n

G

(n)

(x

1

, ..., x

n

) .

            (  $  )                

n

      

G

(n)

0

          

G

0

(x − y)

                 

i

         !                                       

G

0

(x − y)

     

G

0

(x − y) = lim

→0+

Z

d

3

~k dk

0

(2π)

4

e

i k

0

(x

0

−y

0

)−i ~k·(~x−~y)

k

0

2

− ~k

2

− m

2

+ i

,



  

(26)

                                    / 

±(~k

2

+ m

2

)

1

2

                                                            



        /                 "                        ,                            2 3        !                                  /            "                                                ,  

Z[J]

                             (  $                         

x

0

→ −i x

4



k

0

→ −i k

4

        2  3             $ $                 ,        

−k

E

2

= −(k

4

2

+ ~k

2

)



−x

E

2

= −(x

4

2

+ ~x

2

)



−k

E

· x

E

= −(k

4

x

4

+ ~k · ~x)

                      ,                   !           

G

0E

(x

E

− y

E

) =

Z

d

4

k

E

(2π)

4

e

−k

E

·(x

E

−y

E

)

k

2

E

+ m

2

,

G

e

0E

(p

E

) =

1

p

2

E

+ m

2

,

   #    



      )   /                                 $ $                      

G

0

(x)|

x

0

→−i x

4

→ i G

0E

(x

E

) ;

G

0E

(x

E

)|

x

4

→i x

0

→ −i G

0

(x) .

         (  $   ,                                               

Z

E

[J] = N

Z

Dφ e

R

d

4

x

E

(

L

E

(φ,∂

µ

φ)+Jφ

) ,

                

L

E

=

1

2

(∂

µ

φ)

2

+

1

2

m

2

φ

2

+

1

24

λ φ

4

.

                                       

E

             

(27)

 Švr€ƒ……rruw …rswxs~wq rw {qrsrurz                   

L

int

= λφ

4

/24

             

Z[J]

 

Z[J] = e

R

d

4

x L

int

(

δJ(x)

δ

) Z

0

[J]

    

=

X

n=0

(−1)

n

n!

"Z

d

4

x L

int

δ

δJ(x)

!#

n

Z

0

[J] .

     %          !  '            

φ



L

int

               

J



Z

      

J

                                                                                     

λ

                        !  

n

      )                                                                ,                        -                        !           "     

Z[J]

      

J

            

G

(2)

(x − y)

           

G

0

(x−y)

           

λ

        

φ

4

                           

G

(2)

(x − y) = G

0

(x − y) −

λ

2

G

0

(0)

Z

dz G

0

(z − x) G

0

(z − y)

    

e

G

(2)

(p) =

G

e

0

(p) −

λ

2

G

0

(0)

G

e

0

(p) .

                     2  # 3 

G

(2)

(x − y) =

1

(2π)

4

Z

d

4

p

e

−p(x−y)

p

2

+ m

2

+

λ

2

G

0

(0)

.

                  #                               /            ,                    

m

2

R

   $ % ') $) )() ,()) +) +&)  )$ &(', )) ,() $%) $%) $$) (% $) ,())) )('() +() ( $+% &(' 

(28)

            

m

2

B

                          

Σ

0

            

m

2

R

= m

2

B

+ Σ

0



Σ

0

=

λ

2

G

0

(0) .

                    ,                                    

G

0

(0) = G

0

(x − x)

                "        # 

G

0

(0) =

Z

+∞

−∞

d

4

k

1

k

2

+ m

2

Z

Λ

0

dp

p

3

p

2

+ m

2

∝ Λ

2

,

    #   "

Λ

                                                 

m

2

B

                                                   "       

Λ

             ,                              4*        )                

λ

    

Z[J]

                                                                                       ! 

Γ

(n)

                                   #                   2  # 3 

e

Γ

(4)

(p

1

, p

2

, p

3

, p

4

) = λ +

3

X

i=1

λ

2

2

Z

d

d

p

(2π)

4

1

p

2

+ m

2

·

1

(p − q

i

)

2

+ m

2

,

     

q

2

i

          '  

s = p

1

2

+ p

2

2



t = p

1

2

+ p

3

2



u = p

1

2

+ p

4

2

     ,                     

ln (Λ/m

2

)

              „ruƒs ~€ qz ~w qƒu … rswxs ~ wqr                        ,                         ,    

(29)

       !  

δm

2



δλ



δZ

                                               "                                                                                                                  "       

d

    

d = 4 − 2

                  !

Γ(n)

         

d → 4



 → 0

        ,     /     

1



            %               

MS

              /       , 

MS

            ,       

−γ

     

ln(4π)

                                             

µ

                                    ,        

p

2

= µ

2

          2   3    

e

Γ

(2)

(p)

p

2

2

= m

2

     

d

2

dp

2

Γ

e

(2)

(p)

p

2

2

= 1

     

e

Γ

(4)

(p

1

, p

2

, p

3

, p

4

)

s=t=u=µ

2

= λ .

         ,                                                           ,   )                                                                                     

δm

2

  

m

2

B

+ Σ

0

= m

2

R

+ δm

2

+ Σ

0

= m

2

R

+ Σ

R

,

    

m

2

R



Σ

R

  ,           

Σ

0



d

     2  3 

Σ

0

=

Z

d

d

p

(2π)

d

1

p

2

+ m

2

= m

2

λ

(4π)

2

m

2

4πµ

2

!

d

2

−2

1

2

Γ

1 −

d

2

!

.

    

(30)

 #        

δm

2

= −m

2

λ

(4π)

2

1



        

MS

         

 → 0



Σ

R

=

1

2

m

2

λ

(4π)

2

ln

m

2

4πµ

2

!

+ γ − 1

!

,

     

µ

               %   )                

δλ



δZ

                        )            ,          

φ

4

                           

φ

6

                    ,                        }sƒx…r {r sruƒs~€qz~wqƒu               ,               

µ

                 

Λ

                     "                        4*           "                                               #                      

< Λ

−1

        4*                           "    ,        #          1                          !   +      +!                    

µ

                          

g(µ)

           

µ

            )  

β

     ,    

µ

∂g

∂µ

= β

g

({g

i

}, µ) ,

     

{g

i

}

                    

µ

 .       

g(µ)

                                   

β

                              

(31)

          

µ

       

g(µ)



µ

                " 

µ

0

= µ + δµ

                                

g(µ

0

)

      

δµ = 0

       

β

       ,          ,     

γ

m

 

µ

∂m

∂µ

= m γ

m

({g

i

}) .

     ,                       

µ

∂µ

ln

Z = γ({g

i

}) ,

   #                  

γ

              

φ

4

 .             "                      ,        !    )                 

µ

               )    ,        

µ → µ

0

                            

Γ

(n)

 )   

µ

d

Γ

(n)

(x

1

, ... , x

n

; µ, g

i

) = 0 .

                                                  

φ

4



"

µ

∂µ

+ β

λ

(λ)

∂λ

− nγ(λ) + m

2

γ

m

2

(λ)

∂m

2

#

Γ

(n)

= 0 .

                                   $ 2  3                     !                               

t = ln(µ/µ

0

)

                2 3    

Γ

(n)

({x

i

}, t, λ, m

2

) = exp



−n

Z

t

0

dt

0

γ



λ(t

0

)



Γ

(n)

({x

i

}, t, λ(t), m

2

(t)) ,

                   

g

i

(t)

                            #                                  

g

i

(µ)

,      

µ

 

(32)

      

g

i

(t)

       

t

    

g

i

(t)



µ

0

= µ



t = 0

                        

∂g

∂t

= β

g

({g

i

})



g

i

(t = 0) = g(µ) .

    %                    5             

λ

 

β

                

β

1l

λ

(λ) =

16π

3

2

λ

2

                                        

µ

0



λ(µ

0

) = λ(µ)

1 +

3λ(µ)

16π

2

ln

µ

0

µ

!

.

                     $                                   

λ(µ

0

) =

λ(µ)

1 −

3λ(µ)

16π

2

ln

µ

0

µ

.

                                                                                                                           %                   "  

V

ef f

                             $      

V

ef f

                            +!    

V

RGI

                            "                                          

3λ(µ)

16π

2

ln

µ

0

µ

    )                     

µ

0

           5                                                 +!                          

µ

0

                         $,(')($ $% ,$+ 

(33)
(34)

                             !                       "  (%' #(

2

./    /. ./.      0 /.  0                                                                                +!            (    2 3                                                                                                                                            "         "                                          "     "                                    "      ,         ,                         "                         

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