1S
1: DEVOIR SURVEILLÉ N°4
(1 heure)Exercice 1 (3 points)
Ci-contre est donnée la courbe C¦ représentant une fonction ¦ définie et dérivable sur l'intervalle [1 ; 8].
1. Par lecture graphique, donner, sans justifier, la valeur de : ¦(3) ; ¦'(3) ; ¦(6) et ¦'(6).
2. Le graphique ne permet pas la lecture de
¦'(4). Préciser néanmoins son signe.
(Expliquer)
Exercice 2 (9 points)
On considère la fonction ¦ définie sur par : ¦(x) = x3- 3x - 3. On note C¦ sa représentation graphique.
1. Étudier les limites de ¦ en -¥ et en +¥.
2. Calculer la dérivée ¦' de ¦.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction ¦.
4. Déterminer une équation de la tangente T à C¦ au point d'abscisse 0.
5. Tracer T et C¦ (dans un même repère). (On se limitera à l'intervalle [-2 ; 2,5] et on choisira 2 cm par unité sur chaque axe)
6. Démontrer que l'équation ¦(x) = 0 admet une unique solution a dans l'intervalle [2 ; 3].
Donner une valeur approchée de a, par défaut, à 10-1 près.
Exercice 3 (6 points)
Un fermier décide de réaliser un poulailler (en forme rectangulaire) le long du mur de sa maison. Ce poulailler devra avoir une aire de 392 m2. Où doit-on placer les piquets A et B pour que la longueur de la clôture soit minimale ?
La figure ci-dessus représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus. On appelle x la distance séparant
mur de la ferme
x x
y B
A
y
9
C¦
2
O x
3 6 8
1
1. Sachant que l'aire du poulailler est 392 m2, exprimer y en fonction de x.
2. Démontrer que la longueur l(x) du grillage est : l(x) = 2x + x 392. 3. Calculer la dérivée l' de l. En déduire le tableau de variation de l.
4. En déduire les dimensions x et y pour lesquelles la clôture a une longueur minimale. Préciser cette longueur.
Exercice 4 (2 points)
Soient ¦ et g deux fonctions dérivables sur l'intervalle I = [0 ; 1] telles que : ¦(0) = g(0) et ¦' g' sur I.
Démontrer que ¦ g sur I. (On pourra étudier les variations de g - ¦)
1S
1: DEVOIR SURVEILLÉ N°4 : CORRIGÉ
Exercice 1 (3 points) 1. ¦(3) = 9 (Image de 3)
¦(6) = 2 (Image de 2)
¦'(3) = 0 (Tangente horizontale)
¦'(6) = 0 (Idem)
2. La fonction ¦ est strictement décroissante sur l'intervalle [3 ; 6] donc ¦'(4) < 0.
Exercice 2 (9 points)
On considère la fonction ¦ définie sur par : ¦(x) = x3- 3x - 3. On note C¦ sa représentation graphique.
1. ¦ est une fonction polynôme de degré 3. Sa limite en -¥ (et en +¥) est donnée par la limite de son terme de plus haut degré : lim
x®-¥¦(x) = lim
x®-¥ x3= -¥ et lim
x®+¥¦(x) = lim
x®+¥ x3= +¥.
2. On a immédiatement : ¦'(x) = 3x2- 3 = 3(x2- 1) = 3(x - 1)(x + 1)
3. La dérivée ¦' est une fonction polynôme de degré 2. Son signe est celui de a (coefficient de x2) sauf entre les racines. Ici, a = 3 et les racines sont -1 et 1. Donc ¦' est positive sauf entre -1 et 1. On en déduit le tableau de variation de ¦ :
Maximum local (ou relatif) en -1 : ¦(-1) = (-1)3 - 3´(-1) - 3 = -1 Minimum local (ou relatif) en 1 : ¦(1) = 13 - 3 - 3 = -5
4. Une équation de la tangente T à C¦ au point d'abscisse x0 est donnée par la formule : y = ¦(x0) + ¦'(x0)(x - x0)
Lorsque x0 = 0, la formule devient :
y = ¦' (0) x + ¦(0) Et comme ¦(0) = -3 et ¦' (0) = -3, on obtient :
T : y = -3x - 3 5. Représentation graphique de T et C¦ (dans un même repère) :
6. La fonction ¦ est continue (puisque dérivable) sur donc a fortiori sur [2 ; 3].
La fonction ¦ est strictement croissante sur [2 ; 3].
y
9
C¦
2
O x
3 6 8
1
x –¥ –1 1 +¥
Signe de la
dérivée ¦'
+
0-
0+
-1 +¥
Variations de ¦
-¥ -5
y
T 2
C¦
1
-2 -1 O 1 2a x
-1
L'équation ¦(x) = 0 admet donc une unique solution a dans l'intervalle [2 ; 3].
Localisation de a :
Comme ¦(2,1) < 0 et ¦(2,2) > 0, on a : 2,1 < a < 2,2.
Une valeur approchée de a, par défaut, à 10-1 près est donc : a 2,1.
Exercice 3 (6 points)
1. Puisque l'aire du poulailler est 392 m2 on a : xy = 392 d'où : y = 392 x . 2. La longueur l(x) du grillage est : l(x) = 2x + y = 2x + 392
x 3. La fonction l est du type l = u + 392
v avec îí ì
=
= x x v
x x u
) (
2 )
( . Donc l' = u' - v2 v
¢ , ce qui donne :
l'(x) = 2 - 3922
x = 2 2 392
2
x x
- = 2 2 196
2
(x )
x
- = 2 14 14
2
(x )(x )
x
- +
Comme x > 0, le signe de l' ne dépend que de celui de x - 14 :
Minimum local (ou relatif) de l en 14 : l(14) = 56 4. La clôture a une longueur minimale lorsque x = 14 et y = 392
14 = 28.
Cette longueur minimale est l(14) = 56.
mur de la ferme
x x
y B
A
392 m2
x 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
¦(x) -0,039 1,048 2,267 ...
x 0 14 +¥
Signe de x - 14
-
0+
Signe de x + 14
+
+
Signe de x2 0
+
+
Signe de la dérivée l'
-
0+
+¥ +¥
Variations de l
56
Exercice 4 (2 points)
Calculons la dérivée de la fonction g - ¦ : (g - ¦)' = g' - ¦'.
Comme ¦' g' sur I, on a : g' - ¦' 0 sur I. La fonction g - ¦ est donc croissante sur I. Ce qui signifie : pour tous réels u et v de I : u < v Þ (g - ¦)(u) (g - ¦)(v)
C'est-à-dire : pour tous réels u et v de I : u < v Þ g(u) - ¦(u) g(v) - ¦(v) En particulier avec u = 0, on a : pour tout v de I : g(0) - ¦(0) g(v) - ¦(v)
Et comme ¦(0) = g(0) : pour tout v de I : 0 g(v) - ¦(v)
C'est-à-dire : pour tout v de I : 0 g(v) - ¦(v)
Ce qui signifie : ¦ g sur I
