Université Claude Bernard Lyon 1 - 2006/2007
Licence Sciences et Technologies - UE Mathématiques III, Algèbre
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Examen - durée 2h
8 juin 2007
Les calculatrices et les documents ne sont pas autorisés. Les questions de cours et les deux exercices sont indépendants.
Questions générales
Barème : les points indiqués pour chaque question seront attribués pour une preuve à la fois correcte et rédigée avec soin.
Démontrer les assertions suivantes dans lesquelles E désigne un K-espace vectoriel de dimension finie n>1.
1. (1 pt) SiQest un polynôme annulateur d’un endomorphismeudeE, alors toute valeur propre de u est racine deQ.
2. (2 pts) Si le polynômeQ=Q1Q2, oùQ1 etQ2 sont premiers entre eux, est annulateur d’un endomorphisme u deE, alors E = KerQ1(u)⊕KerQ2(u).
3. (1.5 pts) Soit v un endomorphisme nilpotent d’indice r de E. Il existe une suite d’inclusions strictes :
Kerv0 (Kerv (Kerv2 (. . .(Kervr−1 (Kervr.
4. (1.5 pts) Déterminer toutes les réduites de Jordan possibles pour un endomorphisme nilpotent deR4.
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Barème : Pour les deux exercices suivants, les points indiqués seront accordés aux réponses à la fois correctes et argumentées de façon convaincante. Il est demandé de citer clairement les résultats du cours que vous utiliseriez.
Exercice 1
On considère la matrice réelle A=
−7 4 3 2 −5 3
5 1 −6
.
1. (1 pt) Montrer que le polynôme caractéristique de Aest PA=−X(X+ 9)2.
2. (1 pt) Déterminer la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre −9.
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13. (1 pt) La matrice A est-elle diagonalisable ? 4. (1 pt) Déterminer le polynôme minimal de A.
5. (1 pt) Exprimer, en fonction de la matrice A, les matrices des projections π1 etπ2 de R3 sur les sous-espaces caractéristiques KerA et Ker (A+ 913)2.
6. (1 pt) Exprimer, en fonction de Aet des matrices de π1 et π2, la matriceetA, où t est un réel quelconque.
7. (3 pts) On considère trois lacs L1,L2 et L3, chacun de volume V, reliés entre eux par un système de canaux permettant de faire circuler l’eau entre les lacs. L’eau circule avec un taux indiqué par la figure suivante.
Par exemple, il circule du lac L1 au lac L2 2a litres d’eau par seconde. On suppose que les échanges sont continus. Les lacsL1,L2,L3 contiennent, à l’instantt = 0, respectivement q1, q2, q3 grammes de polluant.
Déterminer la quantité de polluant dans chaque lac, lorsque t tend vers +∞.
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Exercice 2
Soit E un C-espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E. Dans tout cet exercice, on suppose que 0 est racine simple du polynôme minimal de u.
1. (1 pt) Montrer que les blocs de Jordan de la réduite de Jordan de u, associés à la valeur propre 0, sont tous de taille1×1.
2. (1 pt) Montrer que la dimension de l’espace propre associé à la valeur propre0est égal à l’ordre de multiplicité de 0 dans le polynôme caractéristique deu.
3. (1 pt) Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de uest de la forme 0 0
0 B
,
où le premier bloc diagonal est nul et le second bloc diagonal B est inversible.
4. (1 pt) Montrer que Keru2 = Keru.
5. (1 pt) Montrer que E = Keru⊕Imu.
6. (1 pts) Soit v un endomorphisme de E. On suppose qu’il existe un polynôme Q de C[X]annulateur de v et tel que Q(0) = 0et Q′(0)6= 0. Montrer que
E = Kerv⊕Imv.
