<' \l*-ai f et Dini

Développement: Théorème de Dini

Marine Malo et Coralie Renault 13 février 2074

Référence.'

Gourd.on,

AnalYse P L?A

Nourdin,

Agrégation de mathématiques, épreuve orale

et application au théorème de Glivenko Cantelli

Théorème L (Deud'ème théorème ^de Dini

Soient

a,b e

IR avec

o

^.--b,

et (./,),.x

une suite

de

fonctions croissantes

de[a,b)

dans JR., qui converge simplement vers une fonction continue

f .

Alors,

("f")".u

converge uniformément vets

f

^sur

la,bl.

Démonstration ;

^{Soit e}

>

^0. La fonction

f

étant continue sur le compact la,à], ^{elle est} uniformément continue sur _[o, b] par Ie théorème de Heine. [1 existe donc 4

>

^{0 tel que}

Yr,u €la,bl,l*-yl<q

^-+

l/(r) - ^l(u)l<e

Soit alors

S: (a:,ao 1at 1... l an-l1an:

^{à) une} subdivision de [o,b] ^de pas

(

_4. Puisque

(/r)

^converge simplement vers

/,

^{et que les a; sont en nombre fi.ni,}

^il

existe un entier ^7zo € N, tel que Vn

/ns,

^{et V1}

^{< i 1n,}

^on

ait l/(ai) - ^{f^(oùl <}

^e.

Soit

r e fa,bletn)

ào..Ilexiste

ie

{1,...,r4} ^{tel que}

r € lot,ot+tl.

^Alors,

lr@)

-/(ar)l <' \l*-ai _{t <n\}

Donc,

l/(") - ^{r"@)l < l/(")} - ^{l@ùl+ l/(ar)} - l"@t)l+V"("ù - ^l"@)l

<

e + ^e

+ (f"(r) - ^{l^@ù) cx fn}

^{est croissante}

1

2e

* l"(a;*r1 - ^f"@)

^car

^fn

^{est croissante}

<

2e

* ll,çon*r1-

^7(ar+r)l

*

l1(o;.+r

- ^71at)l+ l/("e) - ^Î"@t)l

(5e

La convergence est donc uniforme.

Application:

soit (x")"6ry

ui?€ suite de

v.a.i.i.d.

Notons

F Ia

fonction d.e

répartition

commune des

Xn

et posons si ü

e

IR et

n e N*, la

vafiable _{aléatoire :}

F,(t): i ^,nu

1n

I ^r,_-,4(xe)

,, Ë:1

r---\rv

Alors, presque surement, on

a

^:

9rr

sup

_,€lR lIl,(t) - ^r'(r)l

_n-++æ

^---+

⁰

Démonstration: Idée de la preuve :

^La

loi

forte des grands nombres nous d.onne

F"(t)

_{' n-J*oo}

--)

^p'"

^F(t)

^pour

^{tout , €}

^IR. Par ailleurs, _---' chaqrre ----1-- fonction FL est -- croissante.

envie d'appliquer ie deuxième théorème de Dini. Plusieurs problèmes _se posent alors :

-

la fonction

F

n'qst pffi, â priori, continue.

-

^la convergence n'a pffi, â priori, Iieu sur un segment.

-

^{la loi forte des} grands nombres nous donne

\€-fqJ= FIx^<t)=Çtt)

âï'fffi\r§lTrt,_

\ ^{e r,li} ll

=F(u _-§1s1L

Vi € ^IR,

=AtlP(Aù:

^{1 et Vw e A1,}

F"(t)(a)|,ï_

.F'(ü)

Pour appliquer le théorème de Dini,

il

nous faut trouver un ensembie ,4 de mesure pleine uniforme pour tous les ü € IR. Autrement dit, on cherche .4 tel que p(,4)

: i

^s1

Yu e

A,Yt

e ^R., fl,(t)(r,,')

,*-7_ F(t)

Les deux premiers points seront résolus grâce à l'inverse généralisé de la fonction de répartition, le troisième grâce à la séparabilité de lR.

Commençons pal deux résultats fondamentaux sur l'inverse généralisé de la fonction F.

Lemme

L

On

introduit

l'inverse généralisé de

la

fonction

F

^:

Vu

e

_{[0, 7),}

F+

(u)

:: inf{r

e R/F'

(r) >

u}

Alors, on a |'équivalence suivante, pour tout æ € ^jR et a

e

_{[0, 1],}

F*(")(r->u<F(r)

Dêmonstration:

Si

F*(") ( _r,

alors

il

existe y

I r

^{te| que} F(3r)

) z.

Mais par croissance de

f',

on a

F(y) < F(*),

et donc

"<F(y)<F'(")

Réciproquement, si

u< F(r), alorsr

€

{g

^e

mir(g) }z},

et

doncr>inf{g

_e R./F(y)

>

u)'

i'e

F+(u) < r

I

Corollaire

¹

I S;

y

est une v.a réelle de fonction de répaûition

F

et U

-

^{U(ï0,1]), a.lors F<- (U)}

-

^{Y .}

I

Démonstration: Il

suffit d'écrire

P(r-(U) 1r): _{P([/ <} F(r)): F(r)

car la restriction à _[0,1] de la fonction de répartition d'une loi uniforme est

l'identité. I

On va maintenant pouvoir se ramener, dans la preuve du théorème de Glivenko-Cantelli, au cas de v.a qui suir.'ent une loi uniforme sur [0.1].

En e{fet, soit ^(Ç),161.1 une suite de v.a réelles indépendantes de même ioi /,/([0,1]). Alors. on a ^:

d _^e-

û[o e

:˧t*Ër,-=, -r(,)t -iËR'*Ë tr*1uo1<t- F(t)t-:ËR,*Ëluo<rqr; - ^F(t)i

Par ailleurs, si on pose s

: F(t), il

vient :

1n1n1n

r"plif lr*.<"r,)-.F(t)l : sup l;»rur<"-.sl < ^sup l;»1uos,-sl

tem 2

r-=r

^{se F(R) n}

f:1

^{se [0,1] ru}

f'j

Ainsi,

il

suffit de montrer qrre le théorème de GlivenkoCantelli est vrai dans le cas particulier <le

v.a qui suivent des lois Z/([0,1]), et où s

e

_[0,1].

Grâce à loi forte des grands nombres, on sait que pour

tout

s

€

_[0,1],

il

existe A" de mesure pleine tel que

ya

_e

_A,, * f, ^ru

-r,r-.<"

4

^S

n

7-t

On va maintenant essayer de trouver un ensemble

A

de mesure pleine, qui soit uniforme pour

tousless€[0,1].

Q

^étant dénombrable,

et

une intersection dénombrable d'ensembles de mesllre pleine étant de mesure pleine, on en déduit I'existence d'un ensemble A de mesure pleine tel que

1n §-- ^OAr

Yu € A,Vs

e [0,1]nQ,1I1r.,,,<" * s Solo,rl

n

î1r

Montrons que

la

propriété ci-dessus est

waie

pour

tout s €

_[0,1]

et

pas seulement pour tout

se[0,1] nQ.

Fixons

s e

_[0.1]

et e >

^0.

Qn

[0,1] étant ^{dense dans} [0,1],

il

existe

p et q

deux éléments de

Qn

[0,1] tels ^{que s}

-

^e

I

p

1s (

q

(

s

*e.

Alors, par croissance de s

'+ f lkr

1y*1r;<", on ^â

1 Ë ^rr-,,,=, ₌ : É rr,,,,="

= : É

^Luo(,).,

" k:l '' lr:l 'o k:1

pourtoutu€4.

D'où, en passant à

la

limsup à droite et à

la liminf

à gauche, on en déduit (la propriété étant vérifiée pour p et q) :

s

-

^e

( - Iiminf

^n-++æ

I »

ⁿ

_{fl_,} rr-,.,."

^uÊ\w,,:'r

( - "-*à _limsup

ⁿ

Iiruu,,., ( fa ^s*6

pourtoutw€4.

Pour chaque

u € A,

Ia suite cle fonctions croissante.

f ltr ^luu(r)..,

^{converge donc} simplemerrt vers s sur _[0, 1]. Le deuxième théorème de Dini, nous assure alors que la convergence est uniforme

sur [0,1]. ^Ce qui achève la

démonstration. I

Çro,rt§ .

frUtnona$

ejoS

Remarques

^:

o

Pour

justifier

que

l'application

définie sur O par supü€rRlfl"(t)

-,F(r)l

^{est bien} une variable aléatoire (ce qui

justifie

par la même occa,sion la suite d'équivalences en

loi

de Ia preuve du théorème de Glivenko-Cantelli), on a besoin

du

lemme suivant ^:

Lemme

2

La fonction de

répartition

empirique Fn de

répartition F

rérifre ^:

bâtie sur les variables aléatoires X1, ...,

X,

de fonction

Vr.r

€

^{0, sup} _z€lR

lIl"(r)(w) - ^{f @11:}

En

conséquence,

lliln - fll".

^{est une} variable aléatoire Éelle.

Démonstration:

lléordourloila ^k\s

lrotnlrtt*-,{i .1

^.

x, cuT'Ll. x(2).'''' x(")

at't'c X(1) <

-\ ^{l) < ...}

S

X(,,)

(c'cst cc c|rc l'ou irppclie rurc

stati;ticltc

<l'or<lre). Les fouc- -:,r1rs àritrsi {éfiuies sotrt bicn ^cles variablcs al('atoircr prtisrlttc ^1'orl a i'iclcutitô

1x(r) <

ⁱ¹

: - ''l'

^,,1

La

fblctiou î,, * ^F

^r.s1 coutirmc l)iu' r})orccaLrx (le rtottli;re rlc tttort'cttttx

rrrl.zrlrt

êtlc

irrfitri r\ ^causc

rh I') : l)ollf ⁰ < À'(

^{rr. cllc}

^vaut f ^-,F'.(f)

^sur

-1

l).f(l'r-1)i.

_a'c,r'1a cort'etttiorr Ji(0)

:0

ct ^1-(l-:1)

-

^{1. Comtnc 1',,}

--F

^est

:.'i loissutrtc ct contittrte sr.tr

[f

^(À).

^y(À-rl)i.

^{orr a}

- ^r(-rtÀ);i ,il - .r!'(IrÀ*r);

silp

)

i:i-\(À)..\(t' l)l

I' , /'

^1,.

'l- -

^1.'(l):

-

ruax

(i:

'.n \,,l

/

^1,.

I

tria-x r--

\l<1,(rr ^{i tr}

lrunc F,,

ct F

coirtciclcilt

cr

0

ct

cu 1. oll a sitrlplctttt:ut F,,

* fii- ^:ll1ilx

r;rri tttotttLc que tiI7,,

-

^{}. ii}

.'

^cst l>icn tuestrt'ablc'

Il

existe bien sur

un

premier théorème de

Dini dont

l'énoncé est le suivant ^:

Théorème 3 (Pre.mî.er théoùrne de Dinù)

I

Soient

a,b e

^{IR avec a}

4

^b,

IR., qui converge simplement vers

f

sur fa.bl.

et (Â)"ex

une suite croissante de fonctions conürnues de la,b) ^dans

ÿ'ers une

fonction

contintte

f

^{. Alors,}

(Â)".*

converge uniformément

Prendre garde au

fait

que dans ce théorème, on

a

besoin de

la continuité

_{des /,,.,} contrai-

rement au

deuxième théorème

de Dini. Dans

Gourd,on, les

fonctions /,, ^sont

^supposées

continues dans les deux théorèmes

de Dini,

mais comme

on le voit ici, cette

hypothèse n'est pas nécessaire pour Ie deuxième. La démonstration du théorème de Glivenko-Cantelli nécessite

d'ailleurs

cet énoncé plus précis, puisqu'a

priori, il n'y

a âucune raison

pour

que les fonctions f1,. soient continues.

o

Pour

tout

^'n,, si

(Xr)rs6<,

€st un échantillon de

tailie

n, la fonction

f|

est appelée la fonction de

répartition

empirique de

l'échantillon

(X6)r-<r5,.

Le théorème de Glivenko-Cantelli est parfois appelé théorème fondamental de la statistique,

car il

^exprime

^{en quoi}

^une

^loi

^de

probabilité peut être

révélée

par la

connaissance

d'un

échantiilon suffisamment grand de laclite

loi

de probabilité.

Le théorème de Glivenko.Cantelli est parfois considéré comme une généralisation du deuxième théorème de

Dini,

car

il

ne suppose pas en

particulier ia continuité

de

F, ni

Ie

fait

d'être déflni sur

un

compact.

Le

théorème

de

Kolmogoro'u,*Smirnov précise l'énoncé

du

théorème

de

Glivenko-Cantelli dans le cas où .F'est continue :

il

donne une estimation de la vitesse de convergence en

;f

^:

Théorème a (de Kolrruogorou-Srnimtoa)

Soit

(X1, ...,

Xn)

un écltantillon de

loi p

sur

R

de

fonction

de

répartition F.

Si

F

^est continue, alors

Kn: fr?:f l4"(r) - ^{F(*)l -41 trxs}

où

pxs

est une loi universelle ne dépendant pas de

F.

Elle est portée par R.+ et a pour fonction de

répartitiott pour t ) 0 :

*rre

Fxs(t) :

¹

+ 2l(-L1x

"-zn'*'

k:1

Le

théorème

de

I{olmogorov-Smirnov

est à la

^ba"se

du test d'adéquation à une loi

^de

Kolomogorov-Smirnov.