VII.  . Lois de Kepler

M     `

VII.  . Lois de Kepler

En première approximation, le mouvement des planètes^(∗1)autour du Soleil est régi par trois lois qui furent établies au 17^esiècle par l’astronome Johannes Kepler, à partir notamment des observations de Mars réalisées par Tycho Brahe. Ces lois furent utilisées par Newton pour établir la loi de l’attraction universelle. Voici leur énoncé traditionnel :

Première loi de Kepler

Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil est l’un des foyers.

Deuxième loi de Kepler

Le rayon-vecteur (c.-à-d. le segment) Soleil-planète balaie des aires égales en des temps égaux.

Troisième loi de Kepler

Le rapport du cube du demi-grand axe de l’ellipse sur le carré de la période de révolution autour du Soleil est le même pour toutes les planètes.

Nous démontrerons ces lois et préciserons leur signification et leurs limites dans ce qui suit.

VII.  . Mobile fictif

SoientR=(O, ~ı, ~, ~k) un référentiel galiléen etM1 etM2 deux points matériels de massesm1 etm2. NotonsGle centre d’inertie du systèmeS={M1,M2}:

m1

−−−→ GM1+m2

−−−→ GM2=~0.

On suppose queSest unsystème isolé. On a donc (m1+m2)~a_G/R=PF~ext→S=~0, c.-à-d.~v_G/R=~c^te: leréférentiel barycentriqueR^∗=(G, ~ı, ~, ~k) deSest donc galiléen.

On se place désormais dans R

.

On définit lemobile fictif M par

Z

−−−→ GMB

−−−−−→ M1M2 B~r

1. Rappelons que, par ordre croissant de distance au Soleil, les planètes du Système solaire sont Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune. Elles effectuent leurs révolutions autour du Soleil quasiment dans le même plan que la Terre. Ce dernier, appelé écliptique, est incliné d’environ 23^◦par rapport à l’équateur terrestre.

et on lui associe lamasse réduite

µB m1 m2

m1+m2

.

Connaissant la position du mobile fictif, il est facile d’en déduire celles de M1 et M2. En effet,

−−−→ GM1=−−−→

GM2+−−−−→

M2M1=−m1

−−−→

GM1/m2−~r, donc

−−−→

GM1=− m2

m1+m2

~r.

De même,

−−−→

GM2= m1

m1+m2

~r.

En particulier, sim2m1 (p. ex. la masse d’un satellite devant celle de la Terre ou la masse d’une planète devant celle du Soleil),−−−→

GM1≈~0 et−−−→

GM2≈~r:M1est alors presque confondu avecG, etM2avec M.

La trajectoire de Mest déterminée par

Z

F~1→2=m2 d²−−−→ GM2

dt² =µ d²~r dt² . On a

~LG({M1,M2})=m1

−−−→

GM1×d−−−→ GM1

dt +m2

−−−→

GM2× d−−−→ GM2

dt

=m1

−−−→

GM1×d−−−→ GM1

dt +m2

−−−→

GM2× d(−−−→

GM1+−−−−→

M1M2) dt

=(m1

−−−→ GM1+m2

−−−→ GM2

| {z }

~0

)×d−−−→ GM1

dt +m2

−−−→ GM2

| {z }

µ ~r

× d−−−−→

M1M2

dt , soit

~LG({M1,M2})=µ ~r× d~r

dt B~LG(M).

De même,

Ec({M1,M2})= 1 2 µ·

d~r dt

2

BEc(M).

VII.  . Constantes du mouvement

VII.  .1. Moment cinétique. 2

loi de Kepler

Le système étant isolé,~LG =~c^te. Notons ~uz un vecteur unitaire colinéaire à~LG et L0 = ~LG·~uz. Le vecteur~r étant perpendiculaire à~LG, donc à un vecteur ~uz constant, M se déplace dans le plan perpendiculaire à~LGpassant par G. Soient~uxet~uy deux vecteurs tels que le repère (G, ~ux, ~uy, ~uz) soit orthonormé direct. RepéronsMpar ses coordonnées polaires,r=k−−→

GMketφ=(~uxb,−−→

GM). On a

~LG(M)=µ ~r× d~r

dt =µ·(ru~r)×(.

r~ur+r .

φ ~u_φ)=µr² . φ ~uz. La constante

C Br² .

φ=L0/µ s’appelle laconstante des aires^(∗2).

2. Certains auteurs appellent « constante des aires » la quantitéC/2.

Pendant une durée infinitésimale dt, l’aire balayée par lerayon-vecteur −−→

GMvaut (cf. § I..1 pour le calcul de l’aire d’un triangle)

dA= k~r×d~rk 2 = |C|

2 dt.

C’est ce qu’exprime laloi des aires, ou2^e loi de Kepler: « Le rayon-vecteur balaie des aires égales en des temps égaux. ».

L’aireA₁balayée par−−→

GMentre t1ett1+ ∆test égale à l’aireA₂ balayée entret2 ett2+ ∆t.

Cas où m

m

Sim1m2,~LM1(M2)=~LG(M), donc~LM1(M2)=~c^te.

On peut démontrer ceci sans passer par le mobile fictif. Sim1m2,M1 est confondu avecGet est donc immobile dansR^∗. En appliquant le théorème du moment cinétique à M2 seul et en calculant les moments par rapport àM1, on obtient d~LM1(M2)/dt=−−−−→

M1M2×~F1→2=~0, puisque~F1→2est une force centrale.

VII.  .2. Énergie mécanique. Énergie potentielle effective

M1etM2interagissent par l’intermédaire d’uneforce centrale, c.-à-d. une force dirigée selon−−−−→

M1M2

et ne dépendant que der=k−−−−→

M1M2k. Une telle force est nécessairement conservative. Le système étant isolé, son énergie mécanique,Em=Ec+Ep, est donc constante ; notons-laE0. On a

E0= 1 2 µ·(.

r²+r² .

φ²)+Ep(r)= 1 2 µ· .

r²+r²· C

r² 2!

+Ep(r)= 1

2 µ .r²+E^eff_p (r), où

E^eff_p (r)B µC²

2r² +Ep(r) est l’énergie potentielle effective.

On peut séparer les variablestetrdans l’équation différentielle (en

Z

r) ci-dessus. On obtient

dt= dr

q2 (E0−E^e_p^ff[r])/µ , que l’on peut intégrer pour trouverten fonction der.

On a de même

dφ= Cdr

r² q

2 (E0−E^eff_p [r])/µ .

Cas d’une force en 1/r

Considérons le cas d’une force en 1/r²,

F~1→2=− K r² ~ur.

K=Gm1 m2correspond à la force gravitationnelle etK=−q1 q2/(4π 0) à la force électrostatique. F~1→2

dérive alors de l’énergie potentielle d’interaction Ep =− K

r et

E^e_p^ff= µC² 2r² − K

r . On a.

r²=2 (E0−E^e_p^ff)/µ. Les seules valeurs derpossibles sont donc celles pour lesquellesE^e_p^ff(r)6E0. Distinguons les cas suivants :

1. K>0.

On a limr→0E^e_p^ff= +∞et limr→∞E^e_p^ff=0⁻. La fonctionE^e_p^ffa un minimum négatif unique en r0=µC²/K.

a. E0 >0.

L’équationE0−E^eff_p (r)=0 n’a qu’une seule racine,rmin. On a alorsr>rmin: la trajectoire s’étend jusqu’à l’infini.

b. E0 <0.

L’équationE0−E^eff_p (r)=0 a deux racines,rmin etrmax (rmax>rmin). On a alorsrmin6 r6rmax: la distance entreM1 etM2 est bornée.

2. K<0.

On a limr→0E^e_p^ff = +∞ et limr→∞E^e_p^ff = 0⁺. La fonction E^e_p^ff est strictement décroissante.

Comme dans le cas 1.a,E0>0 et l’équationE0−E^e_p^ff(r)=0 n’a qu’une seule racine, rmin. On a alorsr>rmin : la trajectoire s’étend jusqu’à l’infini.

Les pointsP etA correspondant àr =rmin etr = rmax s’appellent respectivement le péricentre et l’apocentre. Dans le cas particulier d’un corps tournant autour de la Terre, on parle plutôt de périgée et d’apogée ; autour du Soleil, de périhélie et d’aphélie ; autour d’une autre étoile, enfin, de périastre et d’apoastre.

VII.  . Coniques

VII.  .1. Généralités

Considérons un cercleCet un pointSsitué hors du plan deC, sur la droite passant par le centre deCperpendiculaire au plan deC. L’ensemble des droites passant parSet s’appuyant surCforme un cône,K, de sommetS.

Les coniques sont les courbes correspondant à l’intersection d’un planP avecK :

• Si Pest peu incliné par rapport au plan deC, on obtient une courbe fermée, l’ellipse.

Le cercle est un cas particulier d’ellipse obtenu siPest parallèle àC.

• Inclinons un peu plusP. À un certain moment,Pdevient parallèle à l’une des droites génératrices du cône ; on a alors une courbe ouverte, la parabole.

• Si nous inclinons encore plus P, le plan coupe le cône de part et d’autre de son sommet. On obtient une courbe ouverte constituée de deux branches, l’hyperbole.

À la limite, si le plan passe parS, on obtient deux droites.

VII.  .2. Foyer, excentricité

On peut également définir les co- niques de la manière suivante : considé- rons une droite∆(la «directrice»), un pointFet un nombree>0.

La conique defoyerF et d’excentricitéeest l’ensemble des pointsMtels que

k−−→ FMk k−−→

HMk =e,

oùHest la projection orthogonale deM sur∆.

Sie < 1, la conique est une ellipse (en particulier un cercle sie = 0) ; si e= 1, c’est une parabole ; sie> 1, une hyperbole.

Si la conique est une ellipse ou une hyperbole, il existe un deuxième foyer, F⁰, et une deuxième directrice,∆⁰, donnant la même courbe.

VII.  .3. Équation en coordonnées polaires

NotonsKla projection orthogonale deFsur∆,h=k−→

FKk,u~x=−→

FK/h(donck~uxk=1) et~uy un vecteur unitaire parallèle à∆.

Dans le repère orthonormé (F, ~ux, ~uy), l’équation en coordonnées polaires de la conique est

r= p

1+ecosφ , oùrBk−−→

FMk,φB(~uxb,−−→

FM) etpBe h.

Dans le cas de l’hyperbole, il s’agit de l’équation de la branche située en deçà de la directrice par rapport àF. L’équation de la branche située au-delà est

r= p

ecosφ−1 .

Dans un autre repère orthonormé (F, ~ux⁰, ~uy⁰), tourné de−φ0par rapport à (F, ~ux, ~uy) (c.-à-d. (~ux⁰b, ~ux)

=φ0), l’équation de la conique est

r= p

1+ecos(φ⁰−φ0), oùφ⁰B(~ux⁰b,−−→

FM). De même, l’équation de la branche de l’hyperbole au-delà de la directrice est

r= p

ecos(φ⁰−φ0)−1 .

VII.  .4. Équation cartésienne VII.  .4.a. Ellipse et hyperbole

Si e,1, la conique a un centre de symétrieOà mi-chemin des foyers. Posons a = p

|1−e²| et b = p

√

|1−e²| .

VII..4.a.i. Ellipse

L’équation de l’ellipse dans le repère (O, ~ux, ~uy) (attention : l’origine n’est plusF) est x²

a² + y² b² =1,

oùa est ledemi-grand axede l’ellipse etb (<a) est ledemi-petit axe.

Pour tout pointMde l’ellipse,

k−−→

FMk+k−−−→ F⁰Mk=2a. L’aire de l’ellipse vaut

A=π a b.

VII..4.a.ii. Hyperbole

L’équation de l’hyperbole dans le repère (O, ~ux, ~uy) est x²

a² − y² b² =1.

Pour tout pointMde l’hyperbole, k−−→

FMk − k

−−−→ F⁰Mk

=2a.

L’hyperbole a par ailleurs deux droites asymptotiques, d’équations yasymp=±(b/a)x.

VII.  .4.b. Parabole

SoitSlesommetde la parabole, c.-à-d. le point de la parabole le plus proche de∆. Posons~uX=~uy

et~uY=−~ux. L’équation de la parabole dans le repère (S, ~uX, ~uY) est Y= X²

2p .

VII.  . Trajectoire

VII.  .1. Formules de Binet

Exprimonsv² en fonction deu=1/r. On a .

φ=C/r²=C u², donc v²=.

r²+r² . φ²=

d[1/u]

dt 2

+ φ.² u² =

−du/dt u²

2

+ φ.² u² =

−du/dφ u²

φ. 2

+ φ.²

u² , d’où

v² =C²· du

dφ 2

+u²

! .

De même,

~

a= d²(~ur/u) dt² = d

dt

−du/dt u² u~r+ 1

u φ ~. u_φ

= d

dt − du dφ

" . φ u²

#

| {z }

C

~ ur+u

" . φ u²

#

| {z }

C

~ u_φ

!

=− d²u dφ²

φ.²

u² u~r− du dφ

φ.²

u² ~u_φ+ du dφ

φ.² u² u~_φ−

φ.²

u u~r, d’où

~

a=−C² u²· d²u

dφ² +u

~ ur.

Ces deux formules s’appellent lesformules de Binet; elles sont valables pour toute force centrale (pas uniquement en 1/r²).

VII.  .2. Force en 1 /r

Nous supposerons désormais que la force est en 1 /r

.

VII.  .2.a. Équation de la trajectoire. 1

loi de Kepler

Comme~F1→2=µ ~a, on obtient à partir de la 2^eformule de Binet l’équation différentielle linéaire du second ordre

d²u

dφ² +u= K µC² . Les solutions sont de la forme

u= K µC² + 1

h cos(φ−φ0),

oùhetφ0dépendent des conditions particulières (φ0est défini àπprès ; on choisit la valeur telle que h>0).

Posonsp=µC²/|K|ete=p/h.

SiK>0,

r= p

1+ecos(φ−φ0) (ellipse, parabole ou 1^rebranche de l’hyperbole).

Si K<0,

r= p

ecos(φ−φ0)−1 (2^ebranche de l’hyperbole).

La trajectoire deMest donc dans tous les cas une conique de foyerG(1^reloi de Keplergénéralisée).

Application au Système solaire

La masse du Soleil est très supérieure à celle de tous les autres corps du Système solaire réunis. On peut donc, en première approximation, confondre le centre d’inertie du système {Soleil (M1), planète (M2)} et le centre du Soleil, d’une part, et négliger l’attraction surM2 des autres planètes devant celle exercée par le Soleil, d’autre part. On retrouve bien ainsi que « les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil est l’un des foyers » (énoncé traditionnel de la1^reloi de Kepler)^(∗3).

VII.  .2.b. Énergie

Exprimons E0 à l’aide de la 1^re formule de Binet. On a

E0= 1

2 µv²− K r = 1

2 µC²· du

dφ 2

+u²

!

−K u.

En utilisant l’expression deutrouvée précédemment, on obtient E0= K²

2µC² ·(e²−1).

Le signe de E0 dépend de la nature de la conique.

VII..2.b.i. Ellipse

e<1, doncE0 <0. En utilisant le fait quea =p/(1−e²), on peut montrer que E0 =− K

2a .

On obtient bien une énergie mécanique négative car K est nécessairement positif dans le cas d’une ellipse. La distancek−−→

GMk=k−−−−→

M1M2kest donc bornée : le système{M1,M2} estlié(ou dans un « état lié »).

VII..2.b.ii. Parabole

e=1, doncE0 =0. La distancek−−→

GMk=k−−−−→

M1M2kn’admet pas de borne supérieure : le système{M1, M2}estlibre(ou dans un « état libre » ; on parle aussi d’« état de diffusion »).

VII..2.b.iii. Hyperbole

e>1, doncE0 >0. La distancek−−→

GMk=k−−−−→

M1M2kn’admet pas de borne supérieure : le système{M1, M2}estlibre.

Si K>0, le mouvement est attractif. SiK<0, le mouvement est répulsif. Dans tous les cas, E0 = |K|

2 a .

3. On peut décrire l’effet des autres planètes et des satellites sur la trajectoire comme une perturbation de l’ellipse.

VII.  .2.c. Propriétés de la trajectoire

VII..2.c.i. Ellipse

VII..2.c.i.α. Période. 3^eloi de Kepler

Pour calculer la périodeTde révolution deMautour deG, on peut utiliser la loi des aires. On a πa b =A=Z T

t=0dA=Z T t=0

|C|

2 dt= |C|T 2 . Sachant que, pour une ellipse,|C|=p

K p/µ,p=a·(1−e²) etb =a

√

1−e², on obtient πa²

√

1−e² =

pK a·(1−e²)/µ T

2 ,

soit, en simplifiant et en mettant au carré, a³

T² = K

4 π² µ (3^eloi de Kepler généralisée).

Dans le cas de la gravitation, a³/T² = G ·(m1+m2)/(4 π²). Sim1 m2 (p. ex. la masse du Soleil devant celle des planètes), ce rapport vaut

a³

T² ≈ Gm1

4π²

et est donc à peu près le même pour tous les corps du système solaire tournant autour du Soleil. C’est l’énoncé traditionnel de la3^eloi de Kepler.

VII..2.c.i.β. Trajectoire circulaire

On a vu ci-dessus que le rapporta³/T²ne dépendait que deKetµ, mais pas des autres propriétés de l’ellipse, notamment son excentricité. On peut donc retrouver sa valeur à l’aide d’un cas simple : le cercle.

Considérons une trajectoire circulaire de rayon (c.-à-d. de demi-grand axe)a. On a F~1→2 =− K

a² ~ur=µ ~a=µ·(−a .

φ²u~r+a ..

φ ~u_φ).

On en déduit que ..

φ=0 et que la vitesse

v=a . φ=

s K µa

est constante. En multipliant la vitesse par la période, on obtient le périmètre du cercle, soit s K

µ a T=2πa,

d’où a³

T² = K 4π² µ. VII..2.c.i.γ. Vitesse de satellisation

Considérons un corps de massemà la surface d’un astre, p. ex. la Terre, de masse MT met de rayonR. En négligeant la vitesse due à la rotation de la Terre, la vitesse de satellisation est la vitesse la plus basse qu’il faut lui donner pour qu’il décrive une orbite proche de la surface terrestre, donc quasi-circulaire de rayonr≈R. Cette vitesse vaut

vsat≈

rGMT

R =7,9 km·s⁻¹.

VII..2.c.ii. Parabole. Vitesse de libération

La vitesse de libération est la vitesse la plus basse qu’il faut donner à un corps à la surface terrestre pour qu’il échappe à l’attraction terrestre, donc pour qu’il ait une orbite parabolique. On a

E0= 1

2 m v²_lib−GMT m R =0, soit

vlib≈

r2GMT

R =√

2 vsat=11,2 km·s⁻¹.

‡ VII..2.c.iii. Hyperbole. Diffusion de Rutherford entre deux noyaux

Étudions l’interaction entre deux noyaux atomiques. Leurs chargesq1etq2sont positives, doncK=−q1q2/(4π 0)<0 : l’interaction est répulsive. La trajectoire du mobile fictifM(et donc aussi deM1 etM2) est dans un plan passant par le centre d’inertieG. En l’absence d’interaction, cette trajectoire serait une droite parcourue à une vitesse~v0constante. Notons M0la projection orthogonale deGsur cette droite. On appelleparamètre d’impactla distanceDentreGetM0. Posons v0=k~v0k,~ux=~v0/v0,u~y=−−−→

GM0/Det choisissonsu~zde telle sorte que (~ux, ~uy, ~uz) soit une base orthonormée directe.

La trajectoire du mobile fictif dans le référentiel barycentrique est une hyperbole d’équation

r= p

ecos(φ−φ0)−1.

Les deux asymptotes de cette hyperbole correspondent aux anglesφ=πetφ=δ. De limφ→πr=lim_φ^→_δr=∞, on déduit que cos(π−φ0)=cos(δ−φ0)=1/e, soitφ0=arccos(−1/e) etδ=2φ0−π.

Quandφ→π,r→ ∞. Or limr→∞Ep(r)=0, donc E0= 1

2 µv²₀. En coordonnées cartésiennes,~LG·~uz =µ·(x .

y−y.

x). On a lim_φ^→_πy .

x= (lim_φ^→_πy)·(lim_φ^→_π.

x)=D v0. On peut également montrer que lim_φ^→_πx .

y=0^(∗4), donc

C=−v0D.

4. On a lim_φ^→_πx=−∞et lim_φ^→_πy. =0, donc lim_φ^→_πxy. est une forme indéterminée. Orxy.=x y⁰x, où. y⁰=dy/dx, et lim_φ^→_π.

x=v0. Il suffit donc de montrer que limx→−∞x y⁰=0.

La force étant répulsive,x7→y⁰(x) est une fonction croissante dexau voisinage de−∞, donc

y

“x 2

”

−y(x)= Z _x/2

ξ=x y⁰(ξ) dξ>y⁰(x)·

“x 2−x

”=−1

2x y⁰(x)>0.

Quandx→ −∞,y→D, donc∀ >0,∃X<0,∀ξ,ξ <X=⇒˛

˛y(ξ)−D˛

˛< . Pour toutxtel quex/2<X,

˛

˛y(x/2)−y(x)˛

˛=˛

˛(y[x/2]−D)+(D−y[x])˛

˛6˛

˛y(x/2)−D˛

˛+˛

˛D−y(x)˛

˛<2, donc˛

˛x y⁰(x)˛

˛64:x y⁰tend bien vers 0 quandx→ −∞.

Z

Cherchons les caractéristiques (aete) de l’hyperbole en fonction dev0etD. On a E0=− K

2a =1 2 µv²₀, soit

a=− K µv²₀.

Par ailleurs, la distance minimale d’approcherminentre les deux noyaux correspond àφ=φ0. On a alorsr(φ. 0)=0, soit

E0=1

2 µv²₀=E^eff_p (rmin)=− K rmin +1

2 µ C² r²_min. La distance minimale est donc solution de l’équation

1

2 µv²₀r²_min+K r_min−1

2 µv²₀D²=0, dont la seule racine positive est

rmin=

−K+q

K²+µ²v⁴₀D²

µv²₀ .

On a

r_min

a = p/(e−1)

p/(e²−1)=1+e=1+ s

1+µ²v⁴₀D² K² , soit

e= s

1+µ²v⁴₀D² K² .

Z

Cherchons à calculer l’angle de déviation (ou « angle de diffusion »)δentre les directions initiale et finale deMen fonction du paramètre d’impact. Comme cosφ0=−1/e,

tanφ0=−

√ e²−1. On aδ=2φ0−π, soit

tanφ0=tan

„δ 2+π

2

«

=− 1 tan(δ/2), d’où finalement

tan

„δ 2

«

= |K| µv²₀D.