3-Le système Terre-Soleil

(1)

Version 2021 3 – Le système Terre-Soleil 1

1.

La force est

( )

2

11 ² 24 22

²

8 2

20

,674 10 5,97 10 7,34 10 3,844 10

1,979 10

Terre Lune

Nm kg

GM M

F r

kg kg

m N

−

=

6 × ⋅ × ⋅ ×

=

×

= ×

2.

a) La période est

( )

3

8 3

11 ² 24

² 6

2

3,844 10

2 , 674 10 5,97 10

2,37 10 27,5

Terre

Nm kg

T r

GM

m

kg s

jours π

π ₋

=

= ⋅ ×

6 × ⋅ ×

= ×

= b) La vitesse est

11 ² 24

² 8

,674 10 5,97 10 3,844 10

1018

Terre

Nm kg

m s

v GM r

kg m

−

=

6 × ⋅ ×

= ×

=

3.

On trouve la masse avec la formule de la période.

(2)

( )

3

11 3

11 ²

² 31

2

2, 2 10 159,5 24 60 60 2

, 674 10 3,3166 10

Terre

Nm c kg c

T r

GM

m

s M

M kg

π

π ₋

=

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ×

6 × ⋅

= ×

En masse solaire, on a

31 30

3,3166 10 1,9885 10 16, 7

kg M

M kg

M

= ×

×

=

⊙

4.

L’énergie mécanique est

11 ² 30 24

²

11 33

2

,674 10 1,9885 10 5,97 10 2 1, 496 10

2,65 10

Terre Soleil mec

Nm kg

GM M

E r

kg kg

m J

−

= −

6 × ⋅ × ⋅ ×

= − ⋅ ×

= − ×

5.

L’énergie mécanique initiale est

2

GM M

E = − r

Si on amène la Terre à une autre distance (appelons la r’), l’énergie sera

2

GM M E′ = − r

′ La variation d’énergie est donc

(3)

11 ² 30 24

²

11 11

32

2 2

1 1 2

,674 10 1,9885 10 5,97 10 1 1

2 1, 496 10 1,596 10

1,66 10

mec mec mec

Terre Soleil Terre Soleil

Terre Soleil

Nm kg

E E E

GM M GM M

r r

GM M

r r

kg kg

m m

J

−

∆ = ′ −

= − −

′

 

=  − 

 ′

6 × ⋅ × ⋅ ×  

= ⋅ − 

× ×

 

= ×

6.

a) L’excentricité est

( )

2

2 10

11 ² 30

²

1

70 000 5 10 6,674 10 1,9885 10 1 0,8460

p p c

m s Nm

kg

e v r GM

m

− kg

= −

= ⋅ × −

× ⋅ ×

= b) La distance est

10

1 1 cos

1 0,8460 5 10 1 0,8460 cos90 9, 230 10

p

r r e e

m m θ

= + +

= × ⋅ +

+ ⋅ °

= ×

Ce qui est 92,30 millions de km.

c) La distance est

10

11

1 1 cos

1 0,8460 5 10 1 0,8460 cos180 5,99 10

p

r r e e

m m θ

= + +

= × ⋅ +

+ ⋅ °

= ×

Ce qui est 599 millions de km.

(4)

7.

La distance est

( )

1

1,523 679 1 0, 093 315 1,381 497

rp a e UA UA

= −

= ⋅ −

=

8.

La distance est

( )

1

1,523 679 1 0, 093 315 1, 665 861

ra a e UA UA

= +

= ⋅ +

=

9.

La vitesse est donnée par la formule suivante.

2

11 ² 30

²

11 8 ²

²

1 1

,674 10 1,9885 10 1 0,093 315 1,523 679 1, 496 10 1 0,093 315 7,0206 10

26 496

c P

Nm kg

m s m

p s

GM e

v a e

kg m v

−

= +

−

6 × ⋅ × +

= ⋅

⋅ × −

= ×

=

10.

La vitesse angulaire est

11 7

7

26 496

1,381 497 1, 496 10 1, 282 10

360 24 60 60 1, 282 10

2 1

0, 6347

p p

p

m s

rad s rad

s

j

v r

UA m

s

rad j

ω

π

−

°

=

= ⋅ ×

= ×

° ⋅ ⋅

= × ⋅ ⋅

=

(5)

11.

La vitesse est donnée par la formule suivante.

2

11 ² 30

²

11 8 ²

²

1 1

,674 10 1,9885 10 1 0,093 315 1,523 679 1, 496 10 1 0,093 315 4,8283 10

21973

c a

Nm kg

m s m

a s

GM e

v a e

kg m v

−

= −

+

6 × ⋅ × −

= ⋅

⋅ × +

= ×

=

12.

La vitesse angulaire est

11 8

8

21973 1,665 861 1, 496 10 8,817 10

360 24 60 60 8,817 10

2 1

0, 4365

a a

p

m s

rad s rad

s

j

v r

m

s

rad j

ω

π

−

°

=

= ⋅ ×

= ×

° ⋅ ⋅

= × ⋅ ⋅

=

13.

La période est

( )

3

11 3

11 ² 30

² 7

2

1,523 679 1, 496 10

2 , 674 10 1,9885 10

5,93556 10 686,99

c

Nm kg

T a

GM

m kg s

j π

π ₋

=

⋅ ×

= ⋅

6 × ⋅ ×

= ×

=

14.

L’énergie mécanique est

(6)

11 ² 30 23

²

11 32

2

,674 10 1,9885 10 6, 4185 10 2 1,523 679 1, 496 10

1,868 10

c mec

Nm kg

E GM m a

kg kg

m J

−

= −

6 × ⋅ × ⋅ ×

= − ⋅ ⋅ ×

= − ×

15.

Le moment cinétique est

( )

23 11

39

6, 42 10 26 496 1,381 497 1, 496 10 3,516 10

p p

m s kgm

s

L mv r

kg m

=

= × ⋅ ⋅ ⋅ ×

= ×

16.

a) La distance est

( )

2

1 1 cos

1,523 679 1 0,093 315 1 0,093 315 cos 90 1,510 411

a e

r e

UA UA θ

= − +

⋅ −

= + ⋅ °

= b) La vitesse est

2

11 ² 30

²

11 11

11 ² 30

² 11 8 ²

²

2 1

, 674 10 1,9885 10

2 1

1,510 411 1, 496 10 1,523 679 1, 496 10

,674 10 1,9885 10 2 1

1, 496 10 1,510 411 1,523 679

5,9245 10 24,34

c

Nm kg

m s km

s

v GM

r a

kg

m m

kg m

v

−

 

=  − 

 

= 6 × ⋅ ×

 

⋅ − 

⋅ × ⋅ ×

 

6 × ⋅ ×  

= ⋅ − 

×  

= ×

=

c) Avec le moment cinétique (que l’on a calculé à l’exercice 15), on a

(7)

( )

39 23 11

sin

3,516 10 6, 42 10 24 340 1,510411 1, 496 10 sin sin 0,99567

84,7 ou 95,3

kgm m

s s

L mvr

kg m

ψ

ψ ψ

ψ

=

× = × ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅

=

= ° °

Selon la figure, il est clair que c’est l’angle supérieur à 90° qui est bon.

d) On trouve le temps avec la deuxième loi de Kepler.

2 v rp p

A= t Pour l’aire entre θ = 0° et θ = 90°, on a

2arctan 1 tan

1 2

1 0,093 315 90

2arctan tan

1 0,093 315 2 1, 477

E e

e

rad

 − θ 

=  + 

 − °

=  + ⋅ 

= L’aire est donc

( )

( ) ( ) ( )

2 2

11

22

1 1 sin

2

1 1,523679 1, 496 10 1 0, 093 315 1, 4773 0, 093 315 sin1, 4773 2

3,581 10 ²

A a e E e E

m m

= − −

= ⋅ ⋅ × ⋅ − ⋅ − ⋅

= ×

Le temps est donc

(

¹¹

)

22 2

22 2 15 ²

7

2

26 496 1,381 497 1, 496 10 3,581 10

2 3,581 10 2, 738 10

1,3078 10 151, 4

p p

m s

A r v t

m m t

m t

t s

t j

=

⋅ ⋅ ×

× = ⋅

× = × ⋅

= ×

=

(8)

Version 2021 3 – Le système Terre-Soleil 8 e) On trouve le temps avec la deuxième loi de Kepler.

2 v rp p

A= t Pour l’aire entre θ = 0° et θ = 120°, on a

2arctan 1 tan

1 2

1 0,093 315 120

2arctan tan

1 0,093 315 2 2,012

E e

e

rad

 − θ 

=  + 

 − °

=  + ⋅ 

= L’aire est donc

( )

( ) ( ) ( )

2 2

11

22

1 1 sin

2

1 1,523679 1, 496 10 1 0, 093 315 2, 0115 0, 093 315 sin 2, 0115 2

4,9846 10 ²

A a e E e E

m m

= − −

= ⋅ ⋅ × ⋅ − ⋅ − ⋅

= ×

Le temps pour arriver à θ = 120° est donc

22 2 15 ²

7

2

4,9846 10 2,738 10 1,8205 10

210,7

p p

m s

A v r t

m t

t s

t j

=

× = × ⋅

= ×

=

Puisqu’il faut 151,4 jours pour passer de 0° à 90° et 210,7 jours pour passer de 0°

à 120°, le temps pour passer de 90° à 120° est

210,7 151, 4 59,3

t j j j

∆ = − =

17.

a) La période est

(9)

( )

3

7 3

11 ² 24

²

2 2 2 10

,674 10 5,97 10

28154,3 469, 24 min

Terre

Nm kg

T r

GM

m

kg s

π

π ₋

=

= ⋅ ×

6 × ⋅ ×

=

b) La nouvelle période doit donc être de 459,24 minutes. Ainsi la valeur de a est

3

11 ² 24

²

2 27554,3 2

, 674 10 5,97 10 19714,8

Terre

Nm kg

T a

GM s a

kg

a km

π

π ₋

=

= ⋅

6 × ⋅ ×

=

c) Puisque a est plus petit que 20 000 km, cela signifie que l’orbite ressemble à ceci.

(L’excentricité est exagérée sur la figure.)

La valeur de r_a est donc de 20 000 km. Cela signifie que r_p est

2 20 000 19 714,8

2 19429, 7

a p

p

r r a

km r km

r km

= +

=

(10)

Version 2021 3 – Le système Terre-Soleil 10 d) L’excentricité est

20000 19429,7 20000 19429,7 0,01446

a p

r r e r r

km km

= − +

= −

+

=

e) Pour passer sur une orbite elliptique plus petite que l’orbite circulaire, il faut diminuer la vitesse. Ce résultat est donc contre-intuitif : pour rattraper le satellite qui a de l’avance, il faut diminuer la vitesse du satellite qui est derrière !

f) La vitesse sur l’orbite circulaire est de

11 ² 24

² 7

,674 10 5,97 10 2 10

4463,394

Terre

Nm kg

m s

v GM r

kg m

−

=

6 × ⋅ ×

= ×

=

La vitesse à l’apogée de l’orbite elliptique est

2

11 ² 24

² 7 7 ²

²

1 1

,674 10 5,97 10 1 0,01446 1,97148 10 1 0,01446 1,9634 10

4430,996

Terre a

Nm kg

m s m

a s

GM e

v a e

kg m

v

−

= −

+

6 × ⋅ × −

= ⋅

× +

= ×

=

La différence de vitesse est donc de

4463,394 4430,996 32,398

m m

s s

m s

∆ =v −

=

g) La masse du satellite après l’expulsion est

(11)

0 exp

exp

ln ln ln 32,398 500 ln 4000

3749, 03

m m

s s

v v v M

M v v v M

M v v M

M

kg M

M kg

 

= +  

 ′

 

− =  

 ′

 

∆ =  

 ′

 

=  

 ′ 

′ = On doit donc éjecter 250,97 kg de gaz.

18.

_{a) On a}

( )

2

11 2

11

11 11

1 1 cos

1, 496 10 1 0, 01671 1,5 10

1 0, 01671 cos 1, 49558 10 1,5 10

1 0, 01671 cos 1, 00295 1

1 0,01671 cos 1 0, 01671 cos 0,997054

0, 01671 cos 0, 002945 cos 0,1762

100,1 a e

r e

m m m m

θ

θ θ θ θ

θ θ θ

= − +

× ⋅ −

× =

+ ⋅

× = ×

+ ⋅

= + ⋅

+ ⋅ =

⋅ = −

= −

= °

b) Pour l’aire entre θ = 0° et θ = 100,1°, on a 2arctan 1 tan

1 2

1 0,01671 100,1

2arctan tan

1 0,01671 2

1,7306 E e

e

rad

 − θ 

=  + 

 − °

=  + ⋅ 

= L’aire est donc

(12)

( )

( ) ⁽ ^{) (} ⁾

2 2

11

22

1 1 sin

2

1 1, 496 10 1 0,01671 1, 7306 0, 01671 sin1, 7306 2

1,918 10 ²

A a e E e E

m m

= − −

= ⋅ × ⋅ − ⋅ − ⋅

= ×

Le temps est donc

11 22 2

22 2 15 ²

6

2

30 286 1, 496 10 1,918 10

2 1,918 10 2, 265 10

8, 466 10 98, 0

p p

m s

A v r t

m m t

m t

t s

t j

=

⋅ ×

× = ⋅

× = × ⋅

= ×

=

19.

_a)

Au pérhélie, la distance est 147 100 000 km et la vitesse est de 32 km/s.

L’excentricité est donc

( )

2

2 11

11 ² 30

²

1

32 000 1, 471 10 6, 674 10 1,9885 10 1 0,1350

p p c

m s

Nm kg

e v r GM

m

− kg

= −

⋅ ×

= −

× ⋅ ×

= et le demi grand axe est

( )

11

1

1, 471 10 1 0,1350

1, 701 10 rp a e

m a

a m

= −

× = ⋅ −

= ×

b) À l’aphélie, la distance est maintenant de

(13)

( )

11 11

1

1, 701 10 1 0,1350 1,930 10

ra a e m m

= +

= × ⋅ +

= ×

Elle a donc augmenté de 40,9 millions de km.

c) La période est maintenant

( )

3

11 3

11 ² 30

² 7

2

1, 701 10

2 6,674 10 1,9885 10

3,826 10 442,86

c

Nm kg

T a

GM

m

kg s

jours π

π ₋

=

= ⋅ ×

× ⋅ ×

= ×

=

d) Initialement, l’énergie était de

11 ² 30 25

²

11 33

2

,674 10 1,9885 10 5,97 10 2 1, 496 10

2,648 10

c mec

Nm kg

E GM m a

kg kg

m J

−

= −

6 × ⋅ × ⋅ ×

= − ⋅ ×

= − ×

Après la collision, l’énergie est

11 ² 30 25

²

11 33

2

,674 10 1,9885 10 5,97 10 2 1,701 10

2,329 10

c mec

Nm kg

E GM m a

kg kg

m J

−

′ = −

6 × ⋅ × ⋅ ×

= − ⋅ ×

= − ×

La différence d’énergie est donc

33 33

32

2,329 10 2,648 10 3,19 10

mec mec mec

E E E

J J

J

∆ = ′ −

= − × − − ×

= ×

(14)

Version 2021 3 – Le système Terre-Soleil 14 L’énergie a donc augmenté de 3,19 x 10³² J.

Autre version : On peut aussi simplement calculer la variation d’énergie cinétique de la Terre lors de la collision

mec k g

E E U

∆ = ∆ + ∆

( )

( ) ( )

( )

2 2

24

32

1 1

2 2

1 2

1 5,97 10 32000 30286 2

3,19 10

k k

m m

s s

E E

Mv Mv

M v v kg J

= ′−

= ′ −

= ⋅ × ⋅ −

= ×

20.

Comme le périhélie décale de 0,30264° par siècle, le temps qu’il faut pour faire 30°

(qui est 1/12 de 360°) est

30 0,30264 99,13 9913

siècle

t

siècles ans

°

= °

=

21.

L’écart entre les deux années est

365, 259636 365, 2565654

t j j

∆ = −

Voyons l’angle de déplacement de la Terre pendant ce temps. La vitesse angulaire moyenne de la Terre en 1 jour est de

360 365, 2565654j

ω = ^°

Ainsi l’angle de déplacement en un an est

(15)

( )

6

360 365, 259636 365, 2565654 365, 2565654

365, 259636

360 1

365, 2565654 360 8, 4067 10 0,0030264

t

j j

j θ ω

−

= ∆

= ° ⋅ −

 

= ° ⋅ − 

 

= ° ⋅ × °

= °

Le décalage est donc de 0,0030264° par an, donc de 0,30264° par siècle.

22.

Si l’énergie reste identique, alors a reste identique puisque l’énergie dépend uniquement de a (Les masses sont constantes).

2

c mec

E GM m

= − a La distance au périhélie sera donc de

( )

11

1 1 0,04

0,96

1, 43616 10 rp UA

UA

m

= ⋅ −

=

= ×

C’est 143,6 millions de km.

La distance à l’aphélie sera donc de

( )

11

1 1 0,04

1,04

1,55584 10 ra UA

UA

m

= ⋅ +

=

= ×

C’est 155,6 millions de km.

23.

Le jour solaire est

(16)

1 1 1

24,6229 686,971 24 24,6597 24 39 min 35

sid sol planète

sol sol

J J T

h J h

J h h s

= +

⋅

= =

24.

Le jour solaire est

1 1 1

24,6229 686,971 24 24,5862 24 35min10

sid sol planète

sol sol

J J T

h J h

J h h s

= −

⋅

= =

25.

a) L’intensité est

( )

2

26 11 2

²

4

3,828 10 4 1,523679 1, 496 10 586,3^W_m

I L

D

W m π

π

=

= ×

⋅ ×

= b) La magnitude est

0,4 8

²

0,4 8

² ²

2,518 10 10

586,3 2,518 10 10

25,92

bol

W m m

W W m

m m

bol

I

m

− −

−

= × ⋅

= −

26.

Au plus près, la distance de la Terre est

( )

1

1 1 0, 01671 0,98329

rp a e UA

UA

= −

= ⋅ −

= La température est donc de

(17)

( )

2 4

278,3 1 1

1

1 1

278,3 1 0,35

1 0,98329

278,3 1 0,65

0,98329 252,0

étoile

L UA

T K A

L D

L UA

K L UA

K K

   

= ⋅     −

 

   

= ⋅   ⋅  ⋅ −

 

 

= ⋅   ⋅

 

=

⊙

Au plus loin, la distance est

( )

1

1 1 0, 01671 1, 01671

ra a e UA

UA

= +

= ⋅ +

= La température est donc de

( )

2 4

278,3 1 1

1

1 1

278,3 1 0,35

1 1,01671

278,3 1 0,65

1,01671 247,8

étoile

L UA

T K A

L D

L UA

K L UA

K K

   

= ⋅     −

 

   

= ⋅   ⋅  ⋅ −

 

 

= ⋅   ⋅

 

=

⊙

La différence de température moyenne est donc de 4,2 °C.

27.

La température est

(18)

( )

2 4

278,3 1 1

1

1 1

278,3 1 0, 25

1 1,523659

278,3 1 0, 75

1,523659 209,8

63,3

étoile

L UA

T K A

L D

L UA

K L UA

K K C

   

= ⋅     −

 

   

= ⋅   ⋅  ⋅ −

 

 

= ⋅   ⋅

 

=

= − °

⊙

28.

a) Sans effet de serre, la température de Vénus serait

( )

2 4

278,3 1 1

1

1 1

278,3 1 0, 77

1 0, 723

278,3 1 0, 23

0, 723 226, 6

46,5

étoile

L UA

T K A

L D

L UA

K L UA

K K C

   

= ⋅     −

 

   

= ⋅   ⋅  ⋅ −

 

 

= ⋅   ⋅

 

=

= − °

⊙

b) Puisque la température est de 462°C, cela veut dire que l’effet de serre augmente la température de 508,5 °C!

29.

Puisque l’effet de serre ajoute 38°C, la température de la Terre sans l’effet de serre serait de 80 °C – 38 °C = 42 °C = 315,15 K. On peut alors trouver la distance avec la formule suivante.

(19)

( )

2 4

2

278,3 1 1

1

1 1

315,15 278,3 1 0,35

1

315,15 278,3 1 0, 65

1,132 1 0, 65

1 2,53

0,629

étoile

L UA

T K A

L D

L UA

K K

L D

K K UA

D UA

D

D UA

   

= ⋅     −

 

   

= ⋅   ⋅  ⋅ −

 

 

= ⋅   ⋅

 

 

=   ⋅

 

 

  =

 

=

⊙

30.

_a)

On va refaire le formule de la température, mais en changeant la formule de la puissance émise, par

2 4

émise 4 planète

P = fσ πR T

où f est une fraction qui représente la fraction du rayonnement qui peut s’échapper.

Par exemple, si f est de 0,6, cela signifie que 60% du rayonnement de corps chaud de la planète parvient à s’échapper dans l’espace.

Si l’énergie reçue est égale à l’énergie reçue, on a

( )

2

2 4

2

1 4

4

recue émise étoile planète

planète

P P

L R A

f R T

D σ π

=

− =

Ce qui donne

( )

4

2

1 4

4

étoile

L A

f T

D⁻ = σ π

Puisque la température de la Terre est de 15°C = 288 K, on a

(20)

( )

⁴

⁽ ⁾

26 8 4

2 ²

11

3,828 10 1 0,35

5, 67 10 4 288

4 1, 496 10

2779,5 4901,9 0,567

W m K

W f K

m

f f

− π

× ⋅ −

= ⋅ × ⋅ ⋅

×

= ⋅

=

Puisque 56,7% du rayonnement se rend dans l’espace, 43,3 % du rayonnement est bloqué.

b) Si ce pourcentage augmente de 1%, alors on a

( )

⁴

4

4 2

26

8 4

2 ²

11

7 1 4

1 4

4 3,828 10 1 0,35

0,557 5,67 10 4 4 1, 496 10

2779,5 3,9687 10 289,3 16,1

étoile

W m K

K

L A

f T

D

W T

m

T

T K

T C

σ π

− π

−

− =

× ⋅ −

= ⋅ × ⋅ ⋅

×

= ×

=

= °

Puisque la temérature actuelle est de 15°C, cela ferait augmenter la température de 1,1 °C.