Établir la formule de Poincaré suivante : SiA1

Problème : Formule de Poincaré et applications.

Dans ce problème, on établit la formule de Poincaré et on donne diverses applications.

Partie N^o1 : La formule de Poincaré Dans cette partie, on fixe E un ensemble fini et nun entier naturel non nul.

1. Donner la formule de Poincaré pour deux sous-ensembles deE.

2. SoitI une partie non vide de {1,· · ·, n+ 1}. Montrer que

— soit, I est une partie non vide de{1,· · · , n},

— soit, I ={n+ 1},

— soit, I =J∪ {n+ 1}, où J désigne une partie non vide de{1,· · · , n}.

3. Établir la formule de Poincaré suivante :

SiA1,· · · , Ansont des sous-ensembles de E alors

n

[

i=1

A_i

= X

I⊂{1,···,n}

I6=∅

(−1)^|I|+1×

\

i∈I

A_i .

4. En déduire que

n

[

i=1

A_i

=

n

X

k=1

(−1)^k+1×







 X

I⊂{1,···,n}

|I|=k

\

i∈I

A_i







 .

Partie N^o2 : Nombre de dérangements Soientn∈N^? etS_n l’ensemble des permutation de[[1, n]].

On appelle dérangement d’ordren, toute application deS_n ne possédant aucun point fixe.

On noteD_n l’ensemble des dérangement d’ordre netdn son cardinal.

1. Rappeler le cardinal deS_n. 2. Donner les valeurs de d1,d2 etd3.

Soit16k6net posons

A_k ={σ∈ S_n / σ(k) =k}.

3. Donner le lien entre D_n et les A_k pour16k6n.

4. SoitI ⊂ {1,· · · , n}et non vide. Donner

\

i∈I

Ai

.

5. Á l’aide de la formule de Poincaré, en déduire que dn=n!×

n

X

k=0

(−1)^k k! .

6. Application :ncouples vont au bal. Chaque femme choisit à l’aveugle un danseur parmi les n hommes.

(a) Quelle est la probabilité qu’aucune femme ne danse avec son propre mari ? 1

(b) Pour k∈ N^?, quelle est la probabilité qu’il y exactement k femmes qui dansent avec leur propre mari ?

Partie N^o3 : Nombre de surjections Soientp, n∈N^?,E = [[1, p]] etF = [[1, n]].

On noteF_pⁿ l’ensemble des application deE dansF,S_pⁿ l’ensemble des applications surjectives deE dansF etsⁿ_p son cardinal.

1. Rappeler le cardinal deF_pⁿ.

2. Donner les valeurs s¹_n,sⁿ_netsⁿ_p lorsque p < n.

3. En s’aidant du complémentaire, calculers²_p pour p>2.

Soit16k6net posons

A_k ={f ∈ F_pⁿ / k n’admet pas d’antécédant parf}.

4. Donner le lien entre S_pⁿ et lesA_k pour16k6n.

5. SoitI ⊂ {1,· · · , n}et non vide. Donner

\

i∈I

Ai

.

6. Á l’aide de la formule de Poincaré, en déduire que sⁿ_p = (−1)ⁿ×

n

X

k=0

(−1)^k n

k

k^p.

7. Application :p personnes monte au rez-de chaussée d’un immeuble denétages (sans compter le rez-de-chaussée). Elles descendent toutes à un étage.

(a) Quelle est la probabilité qu’à chaque étage, au moins, une personne soit descendue ? (b) Pour k∈N^?, quelle est la probabilité qu’il y aitk étages auxquels personne ne descend, et

n−k étages auxquels au moins une personne est descendue ?

* * * FIN DU SUJET * * *

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