CORRIGES DES EXERCICES

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DU assistant clientèle

MATHEMATIQUES

________ Remise à niveau ________

CORRIGES DES EXERCICES

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1 Notions élémentaires : langage, nombres, rigueur

1.1 Logique

Exercice 1. Tous les psychopathes aiment sortir la nuit. Certains étudiants aiment sortir la nuit. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont sûres ?

a. Certains étudiants sont psychopathes b. Certains psychopathes sont étudiants c. La nuit, un étudiant et un psychopathe peuvent se croiser

Exercice 2. Tous les chats aiment sortir la nuit. Certains animaux gris aiment sortir la nuit. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont sûres ?

a. Certains chats sont gris b. Certains animaux gris sont des chats c. Tous les animaux gris sont des chats

d. Les animaux qui ne sont pas gris n’aiment pas sortir la nuit e. Si un animal n’aime pas sortir la nuit, alors ce n’est pas un chat f. Si un animal n’aime pas sortir la nuit, alors il n’est pas gris

Exercice 3. Tous les enfants aiment les bonbons. Aucun bonbon n’est liquide. On peut en déduire que : a. Les enfants n’aiment pas ce qui est liquide b. Les adultes n’aiment pas les bonbons c. Certains adultes aiment les bonbons d. Tout bonbon est apprécié par tout enfant

Exercice 4. Les étudiants se répartissent en trois catégories : premier cycle, deuxième cycle, troisième cycle. Les étudiants du premier cycle sont plus nombreux que ceux de chaque autre catégorie, alors que ceux du troisième cycle sont deux fois moins nombreux que ceux du deuxième cycle. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont sûres ?

a. La répartition suivante est possible : 1er cycle : 58%, 2e cycle : 28%, 3e cycle : 14%

Oui cette répartition est possible : les étudiants du 1^er cycle sont plus nombreux que ceux du 2^ème et 3^ème cycle, et ceux du 3^ème cycle représentent la moitié de ceux du 2^ème cycle.

b. Les étudiants du premier cycle représentent plus de 50% du total des étudiants

Non pas forcément ; il peut y avoir 49 % en 1er cycle, 34 % en 2ème cycle et 17 % en 3ème cycle.

c. La répartition suivante est possible : 1er cycle : 46%, 2e cycle : 36%, 3e cycle : 18%

Oui c’est possible : 46 > 36 > 18 et 18 est bien la moitié de 36. Enfin, 46+36+18 = 100.

d. Les étudiants du premier cycle représentent plus du double des étudiants du troisième cycle Oui c’est exact ; si on note x les étudiants du 1er cycle, y ceux du 2ème cycle, et z ceux du 3ème cycle, alors x > y > z ; or on sait que y = 2z donc x > 2z.

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1.2 Nombres

1.2.1 Ensembles de nombres, intervalles 1.2.2 Comparaison, encadrement, signe

Exercice 5. Différentes manières de s’exprimer. Compléter le tableau suivant :

inégalités intervalle représentation graphique

-2 ≤ x ≤ 3 ∈ [−2; 3] -2 3

≤ 4 x∈ ]-∞ ; 4] -∞ 4

−12 ≤ ≤ −6 ∈ [−12; −6] -12 -6

x ≥ -2 ∈ [−2; +∞[ -2 +∞

> 3 x∈ ]3 ; +∞[ 3 +∞

Exercice 6.

La somme de deux nombres négatifs est

positive négative indéterminée inférieure à ces nombres supérieure à ces nombres La somme d’un nombre positif et d’un nombre négatif est…

positive négative indéterminée inférieure à ces nombres supérieure à ces nombres Si la somme de deux nombres est négative, alors…

tous deux sont tous deux sont on ne peut l’un d’eux est l’un d’eux est positifs négatifs pas savoir négatif positif

Exercice 7.

a. Trouver un encadrement pour x + y sachant que x ∈ [4 ; 6] et y ∈ [1 ; 2].

x + y est minimal lorsque x est minimal et y minimal : 4 + 1 = 5

x + y est maximal lorsque x est maximal et y maximal : 6 + 2 = 8 5 ≤ x + y ≤ 8

b. Trouver un encadrement pour x − y sachant que x ∈ [4 ; 6] et y ∈ [1 ; 2].

x − y est minimal lorsque x est minimal et y maximal : 4 – 2 = 2

x − y est maximal lorsque x est maximal et y minimal : 6 – 1 = 5 2 ≤ x − y ≤ 5

Exercice 8. Vrai ou faux ?

1) x étant un nombre réel, si x≥2^{, alors :} a. 1 1

2 x ≥

b. 1 1 2

x≤ − c. 1 1

0< ≤x 2 d. 1 1 2 x< . 2) x étant un nombre réel, si x≤ −4^{, alors :}

a. x² ≤16 b. x²≤ −16 c. x² ≥16 d. 0≤x² ≤16^.

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Exercice 9. Un agriculteur possède un champ rectangulaire dont il décide de mesurer la longueur L et la largeur l. Il sait que pour chacune de ces deux mesures il aura une incertitude de 1m.

Ainsi, il sait que L est comprise entre 245 et 246 mètres, et que l est comprise entre 82 et 83 mètres.

a) Donner un encadrement pour la valeur du périmètre de ce champ (somme des longueurs des quatre côtés).

au minimum : 245+245+82+82 = 654 m ; au maximum : 246+246+83+83 = 658 m b) Quelle est la valeur de l'incertitude sur la mesure de ce périmètre ?

l’incertitude est donc de 4 m.

c) Donner un encadrement pour la valeur de l'aire de ce champ, et en déduire la valeur de l'incertitude sur celle-ci.

au minimum : 245×82 = 20090 m² ; au maximum : 246×83 = 20418 m² l’incertitude est ici de 328 m²

1.2.3 Arrondis, chiffres significatifs Exercice 10. Soit le rapport 12/7

Donner le résultat affiché par la calculatrice : 12/7 ≈ 1,7142857142857…

Compléter le tableau suivant :

v.a. par défaut arrondi v.a. par excès

à l’unité 1 2 2

à 0,1 près 1,7 1,7 1,8

à 0,01 près 1,71 1,71 1,72

à 0,001 près 1,714 1,714 1,715

Exercice 11. Quelles sont les valeurs approchées à 0,01 près de 11/15 ? a. 0,72 b. 0,733 c. 0,734 d. 1 e. 0,73

Exercice 12. Encadrer les réels a, b, c sachant que :

5,784 approche a par défaut à 10^-3 près. 5,784 ≤ a ≤ 5,785 3,20 approche b par défaut à 5.10^-3 près. 3,200 ≤ b ≤ 3,205 2,156 approche c par excès à 4.10^-4 près. 2,1556 ≤ c ≤ 2,1560 Exercice 13. Soit le nombre 2,7091. Donnez sa valeur approchée ...

a. Par défaut à 0,001 près b. Par excès à 0,01 près c. Par défaut à 0,1 près

2,709 2,71 2,7

Exercice 14. Vrai ou faux ? Le nombre 2

3 ^:

a. est égal à 0,666666666 b. est égal à 0,666666667 c. peut s’arrondir à 0,66 d. peut s’arrondir à 0,67

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2 Calcul

2.1 Les fractions

Exercice 15. Compléter le tableau suivant, à l’image de sa première ligne.

littérale décimale fractionnaire pourcentage

un dixième un cinquième

un quart un demi deux tiers trois quarts

un cinq quarts

0,1 0,2 0,25

0,5 0,66666…

0,75 1 1,25

1 10 1 4 2 3 5 4

1 5 1 2 3 4

10 % 20 % 25 % 50 % 66,67%

75 % 100 % 125 %

Exercice 16. Effectuer les calculs proposés ci-dessous (réduire le résultat s’il y a lieu) – les fractions apparaissant en première ligne seront dans un deuxième temps traduites en pourcentages.

; , ; , ; ;

,

% % % ; % % % % , ;

% % % , ; % % % ; % % %

1 3 4 1 3 5 9 1 1 2 1 3 3 1 2

1 0 9 0 75 1

4 4 4 10 10 10 10 2 4 4 4 4 2 2 2

2 1 4 1 5

5 10 10 10 10 0 5

1 3 1 3 5

25 75 100 1 10 30 50 90 0 9

4 4 10 10 10

1 1 3 1 2 1

50 25 75 0 75 150 50 100 1 40 10 50

2 4 2 2 5 10

+ = = + + = = + = + = = − = =

+ = + = =

+ = + = = + + = + + = =

+ = + = = − = − = = + = + = ,

; ; ; ; ;

; ; ; ; ;

0 5

2 6 2 3 6 2 3 27 9 27 2 18 9 18

3 2 9 3 9 6 2 6

9 9 3 9 9 3 2 2 2 2 3 3 3 3

1 5 3

1 1 2 2 1 1 5 5 4 20 1 5 3 3 9 27 2 3 1 3 1

1 1 2 2 1 1 4 4 2 2 2 9 2 9 18 6

2 4 9

=

× = = × = = × = × = × = = × = =

= × = = = × = = = × = = × = =

Exercice 17. Un père donne en héritage à ses trois enfants toute sa fortune. Le quart de cette somme va à son premier enfant. Le tiers va à son deuxième enfant. Le reste, d'une valeur de 20 000 €, est

attribué à son troisième enfant. Quelle est la valeur du total de l'héritage ?

La part du troisième enfant est, en fraction du tout : 1 1 12 3 4 5 1− − =4 3 12 12 12− − =12^. Les cinq douzièmes de l’héritage (notons-le x) valent donc 20 000 €.

Traduction : 5

20000

12x= , ce qui donne : 12

20000 48000 €

x= × 5 = ^.

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2.2 Proportion

2.2.1 Listes proportionnelles 2.2.2 Formules rectangulaires

Exercice 18. Compléter le tableau suivant constitué de deux listes proportionnelles

14 35 49 42 1 7/5 63

10 25 35 30 5/7 1 45

calculs menés par produits en croix ; exemple : 10×35÷14 = 25 Exercice 19. Lesquels sont des tableaux de proportionnalité ?

a. 2 20 b. 20 1 c. 8,5 5,5

5 50 10 2 34 22

d. 2 5 e. 2 4 10 20 50

20 50 14 28 70 140 350

Pour les tableaux à quatre cases, on vérifiera si les produits en croix sont égaux.

a. 5×20 = 2×50 = 100 OK b. 2×20 ≠ 1×10 NON c. 34×5,5 = 22×8,5 = 187 OK d. 2×50 = 5×20 = 100 OK

Pour le dernier tableau, on préférera vérifier l’égalité des rapports:

e. 14÷2 = 28÷4 = 70÷10 = 140÷20 = 350÷50 = 7 OK

Exercice 20. On veut réaliser une maquette de la ville de Paris avec ses monuments principaux.

On dispose d'une maquette de la Tour Eiffel de 30 cm de haut (hauteur réelle : 300 m).

a) Quelle sera l'échelle de la maquette ?

0,30 m / 300 m = 1 m / 1000 m. Echelle : 1/1000e

b) Sachant que Paris mesure d'est en ouest 12 km, quelle sera la taille de la maquette de la ville ? 12 km / 1000 = 12 m

c) Quelles seront les dimensions de la maquette de l'Arc de Triomphe sachant qu'elles sont en réalité de 55m × 50m × 20m ?

En divisant par 1000, on obtient 5,5 cm x 5 cm x 2 cm.

d) La place de l'Etoile est circulaire et mesure 200 m de diamètre. Les aires des places réelles et maquette respectent-elles le facteur d'échelle ? Pourquoi ?

Réalité : diamètre = 200 m ; aire = πxr² ≈ 3,14 x 100² = 31 400 m² Maquette : diamètre = 0,2 m ; aire = πxr² ≈ 3,14 x 0,1² = 0,0314 m²

Si les dimensions de la maquettes sont 1 000 fois plus petites que la réalité, on constate que l’aire est un million de fois plus faible. Cela est dû au fait que le calcul d’une aire implique le produit d’une dimension par une dimension (ici : r² = r x r). Le facteur 1 000 est donc lui aussi multiplié par lui- même, et 1 000 x 1 000 = 1 000 000 !

Exercice 21. Le prix d'un diamant est proportionnel au carré de son poids.

Un diamant de 0,45 g vaut 3 000 €.

a) Combien coûte un diamant de 0,693 g ? Construisons un tableau pour plus de sécurité :

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masse (g) 0,45 0,693

carré de la masse (g²) 0,2025 0,48025

prix (€) 3 000 7114,8

Les deux dernières lignes étant proportionnelles, un produit en croix donne la valeur inconnue.

b) Quel est la masse d'un diamant valant 30 000 € ?

Là encore : un tableau, qui donnera par produit en croix le carré de la masse, puis par une racine carrée la masse demandée.

masse (g) 0,45 1,423

carré de la masse (g²) 0,2025 2,025

prix (€) 3 000 30 000

Exercice 22.

Dire que deux grandeurs x et y sont proportionnelles, c'est dire que le rapport y/x est constant.

Notons donc y/x = K. Nous avons ainsi la possibilité de calculer y pour chaque valeur de x : y = Kx.

Graphiquement, l'ensemble des points (x, y) obtenus est une droite qui contient l'origine.

Placer les points correspondant au tableau de l’exercice 18, puis en déduire un tracé de la droite :

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2.3 Interpolation/extrapolation linéaire

Interpolation

Exercice 23. Le barème de l'impôt sur le revenu pour une famille composée de 2 adultes et de 2 enfants est défini de la façon suivante :

impôt de 0 € pour la tranche de revenu comprise entre 0 € et 7500 €. Puis, pour un revenu allant de 7500 € à 20000 €, croissance linéaire de l'impôt de 0 € à 2500 €. Puis, pour un revenu allant de 20000

€ à 40000 €, croissance linéaire de l'impôt de 2500 € à 8000 €.

(ce barème n'est pas réel, il a été simplifié pour la clarté de l'exercice)

1) Représentez graphiquement l'impôt I (en ordonnées) en fonction du revenu x (en abscisses).

2) Par lecture graphique, donnez le montant de l'impôt pour une famille dont le revenu se monte à 15000 €, donc I(15000), puis pour une famille dont le revenu se monte à 30000 €, donc I(30000).

I(15000) = 1000 € et I(30000) = 5000 €.

3) On souhaiterait obtenir les résultats demandés dans la question précédente sans avoir à tracer de graphique, et de manière plus précise (et même exacte).

a. Sachant que dans la tranche de revenus [10000 ; 20000], la différence I(x) - I(10000) est proportionnelle à la différence x - 10000, complétez le tableau de proportion suivant :

pour x = 15000 pour x = 20000

x - 10000 5000 10000

I(x) - I(10000) 1000 2000

Donnez alors la valeur de l'impôt I(15000).

Grâce à un produit en croix, on obtient I(15000) – I(10000) = 1000.

Ainsi, I(15000) = 1000 + I(10000) = 1000 + 0 = 1000

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b. Reprenez les mêmes étapes que ci-dessus pour le calcul de I(30000).

pour x = 30000 pour x = 40000

x - 20000 10000 20000

I(x) - I(20000) 3000 6000

Grâce à un produit en croix, on obtient I(30000) – I(20000) = 3000.

Ainsi, I(30000) = 3000 + I(20000) = 3000 + 2000 = 5000

Dire que la représentation graphique d'une grandeur y (ici : l’impôt) en fonction d'une autre x (ici le revenu) se traduit par une portion de droite, c'est dire que la variation de y est proportionnelle à la variation de x.

extrapolation

Exercice 24. Laëtitia Assamémèr a reçu deux factures téléphoniques :

une première facture se montant à 45 € pour 10 heures de communications ; une deuxième facture se montant à 85 € pour 30 heures de communications ;

Elle sait que depuis, elle a téléphoné 40 heures en tout et voudrait connaître le montant de sa future facture.

1) Le montant de la facture est-il proportionnel au temps passé en communications téléphoniques ? Non, les listes (10, 30) et (45, 85) ne sont pas proportionnelles. Plus concrètement : elle a passé trois fois plus de temps dans la seconde période que dans la première, mais elle n’a pas payé trois fois plus cher.

2) Représentez graphiquement (ci-dessous) les informations données par les deux premières factures. On appellera x - en abscisses - les temps de communication, en heures ; échelle : 1 cm pour 4 heures. On appellera f(x) - en ordonnées - les montants des factures, en € ; échelle : 1 cm pour 10 €.

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3) Soit l'information suivante : l'augmentation du montant de la facture est proportionnelle à l'augmentation du temps de communications. Compte tenu de cette information et de ce qui a été énoncé dans la conclusion de la partie A, de quelle façon pouvez-vous compléter la

représentation graphique de la fonction f ?

Les fonctions qui présentent des variations proportionnelles sont les fonctions affines, d’expressions f(x) = ax + b, et dont les représentations graphiques sont des droites. On peut donc relier les points (10, 45) et (30, 85) par une droite.

4) Lisez sur le graphique le montant de la future facture de Laëtitia.

L’abscisse 40 (h) conduit à l’ordonnée 105 (€).

5) Proposez une méthode pour calculer ce montant.

Analysons les différences entre les deux premières factures : de l’une à l’autre, elle a utilisé son téléphone pendant 20 heures de plus, et elle a payé 40 € de plus. On en déduit que le coût de la communication se monte à 2 € / heure.

Pour 40 heures de communication, 10 h à partir de la deuxième facture, donc 20 €.

2.4 Indices

Exercice 25. Coût d’achat moyen du coton : 1,84 €/kg en 2006, 2,12 €/kg en 2007, 1,53 €/kg en 2008. En fixant l’indice initial du cours du coton à 1000 en 2006, calculer les indices du cours en 2007 et 2008.

On réalise un tableau de proportion, en plaçant la valeur 1000 en face de 1,84 ; ensuite, on calcule les autres indices par produits en croix :

coût (€) 1,84 2,12 1,53

indice 1000 1152,2 831,5

Exercice 26. Une usine de métallurgie produit les quantités d'acier ci-dessous (en kilotonnes) : 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

850 920 1100 1000 1020 1200 1250 1350 1300 1170

1) Donner les indices de production en prenant pour base 100 celle de 2007.

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 quantité (kt) 850 920 1100 1000 1020 1200 1250 1350 1300 1170 indice 100,0 108,2 129,4 117,6 120,0 141,2 147,1 158,8 152,9 137,6

2) Quels sont les pourcentages de variation de 2007 à 2010 ? de 2010 à 2015 ?

De 2007 à 2010, l’indice a augmenté de 100 à 117,6, soit 17,6% d’augmentation.

De 2010 à 2015, la quantité a augmenté de 1000 à 1300, soit 30% d’augmentation.

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2.5 Pourcentages

2.5.1 Pourcentage fixe

2.5.2 Pourcentage de variation

Exercice 27. Trouver les valeurs manquantes, en considérant un taux donné (1ère ligne) d'une valeur donnée (1ère colonne).

1% 5% 25% 50% 150%

40 0,4 2 10 20 60

80 0,8 4 20 40 120

100 1 5 25 50 150

300 3 15 75 150 450

800 8 40 200 400 1200

Exercice 28. Un grand hebdomadaire publie chaque année une grande enquête intitulée "Quel est le meilleur Lycée???". il a réalisé cette enquête auprès d'une classe de terminale, afin de connaitre l'évolution du taux de réussite dans ce lycée :

année 2013 année 2014

inscrits reçus inscrits reçus

non redoublants 22 12 15 8

redoublants 3 3 10 9

Voici, à la suite de ce tableau, les commentaires du proviseur et d'un élève :

Le proviseur : "L'année 2003 marque une progression de plus de 13% de la réussite au bac dans cette classe - Je félicite les professeurs !"

Un élève : "Que l'on soit redoublant ou pas, cette année cela a moins bien marché. Bravo les profs !"

Ces avis sont pour le moins contradictoires... Et pourtant ils sont tous les deux justifiés!

Justifiez-les à votre tour et faites-vous une opinion sur les progrès de ce lycée.

Le proviseur raisonne globalement :

En 2013, 15 reçus sur 25 inscrits, 15/25 = 0,60 donc 60% de réussite au bac.

En 2014, 17 reçus sur 25 inscrits, 17/25 = 0,68 donc 68% de réussite au bac.

Passer de 60 à 68 (en %), comme de 15 à 17 (élèves reçus) représente une augmentation de 13% :

, , %

− = − ≈ =

68 60 17 15

0 1333 13 33

60 15 ^.

En effet, le taux de réussite au bac a augmenté de 13% environ.

On dira aussi que ce taux a augmenté de 8 points (puisqu’il est passé de 60% à 68%).

L’élève raisonne sur des parties de la population :

En 2013, pour les non redoublants : 12 reçus sur 22 inscrits, soit 54,55% de réussite au bac.

En 2014, pour les non redoublants : 8 reçus sur 15 inscrits, soit 53,33% de réussite au bac.

Le taux de réussite a baissé pour les non redoublants.

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En 2013, pour les redoublants : 3 reçus sur 3 inscrits, soit 100% de réussite au bac.

En 2014, pour les redoublants : 9 reçus sur 10 inscrits, soit 90% de réussite au bac.

Le taux de réussite a baissé pour les redoublants.

Ces résultats sont paradoxaux (« paradoxe de Simpson ») : comment une tendance globale peut-elle être contraire à la tendance de chaque partie ?

La réponse se trouve dans les barycentres (donc dans le cas de valeurs coefficientées) :

le poids de chaque partie n’est pas le même en 2013 et en 2014. En effet, les redoublants représentent 12% de l’effectif en 2013 et 40% de l’effectif en 2014. Leur taux de 90% de réussite en 2014 pèse pour 40% dans le taux de réussite global de 2014, alors que leur taux de 100% en 2013 ne pèse que pour 12%

dans le taux de réussite global de 2013, ce qui est suffisant pour que ce dernier soit plus faible qu’en 2014.

Plus simplement : imaginons deux notes de mathématiques par semestre, sur deux semestres successifs.

Semestre 1 : note 1 : 12 (coef 4) et note 2 : 16 (coef 1) – moyenne : 12,8 Semestre 2 : note 1 : 11 (coef 2) et note 2 : 15 (coef 3) – moyenne : 13,4

Du semestre 1 vers le semestre 2, les notes ont baissé, mais la moyenne a augmenté !

On peut cependant dire que les résultats ont été moins bons au semestre 2… je vous laisse donc vous faire un avis pour le lycée dont les résultats 2013 et 2014 sont donnés plus haut.

Exercice 29. Une entreprise employait 1 365 personnes travaillant 39 h par semaine. Combien de personnes supplémentaires doit - elle engager si elle décide de réduire le temps de travail de 39 h à 35 h hebdomadaires. (on considère que le rythme de travail reste le même, ainsi que la quantité totale de travail à accomplir)

C’est un problème de proportion, et même de proportion inverse :

Le nombre total d’heures travaillées doit être conservé. Il est de 1365×39 = 53235 heures.

Si chaque employé travaille 35h, il faudra donc 53235/35 = 1521 employés.

Exercice 30. J'ai ramassé des champignons contenant, frais, 90 % d'eau. Une fois séchés, ils ne contenaient plus que 30 % d'eau et pesaient 1,5 kg. Quelle était leur masse lorsqu'ils étaient frais ?

Notons S la masse de matière sèche du champignon, invariable.

Lorsque l’eau ne représente que 30% de la masse, les champignons pèsent 1,5 kg.

Donc S représente 70% de 1,5 kg, soit 1,05 kg.

Lorsque les champignons sont frais, S représente seulement 10% de la masse totale. Cette dernière vaut donc 10 × 1,05 = 10,5 kg.

Exercice 31. Calculer :

a) Le pourcentage de 25 par rapport à 30. 25/30 × 100 = 83,33 b) Le pourcentage de 30 par rapport à 50. 30/50 × 100 = 60

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c) Le pourcentage de 25 par rapport à 50. 25/50 × 100 = 50 d) Le pourcentage de 30 par rapport à 25. 30/25 × 100 = 120

Exercice 32. Lu dans la presse... où tout est relatif...

Le "oui" l'emporte avec 66,3 % (contre 33,7 % pour le "non"), mais la participation des Niçois a été de 22,71 % seulement.

Quel pourcentage de la population niçoise inscrite a effectivement voté pour le "oui" ? 22,71% × 66,3% = 15,06%

Exercice 33. Le prix de revient d'une chemise, pour le fabricant, se décompose de la façon suivante : 60 % pour la main d'œuvre et 40 % pour le tissu et les boutons.

Pour cette nouvelle année, la main d'œuvre augmente de 10 % et les matériaux de 30 %.

a. De quel pourcentage augmente le prix de revient de la chemise ?

L’augmentation totale vaut 10% de 60% de l’ancien prix, plus 30% de 40% de l’ancien prix, soit 6%+12% = 18% de l’ancien prix.

b. Comment se décompose ce nouveau prix de revient ?

Partons d’un prix de base de 100 €, dont 60 € de main d’œuvre et 40 € de matériaux.

Après variation, la main d’œuvre revient à 1,10 × 60 = 66 € et les matériaux à 1,30 × 40 = 52 €, pour un prix total de 66 + 52 = 118 €.

Le nouveau taux de la main d’œuvre est alors 66/118 = 55,93 % et celui des matériaux 44,07 %.

Exercice 34. Un magasin de vêtements propose des « soldes -40% ».

1. Le prix normal d’un jean est 48 € ; quel sera son prix soldé ? 48×0,6 = 28,8 € 2. Un t-shirt de prix normal 25 € est soldé à 15 €. Est-ce conforme ? 15/25 = 60% OK 3. Une veste est soldée à 108 €. Quel était son prix normal ? 108/0,6 = 180 €

Exercice 35. Un magasin, à l'occasion d'une braderie, propose des soldes de 20% sur tous les articles qu'il vend. On donne dans le tableau ci-dessous les prix auxquels sont vendus divers articles avant les soldes.

article sucre baguette huile fromage salade

prix avant soldes (€) 0,85 0,6 1,8 1,4 0,7

prix pendant soldes (€) 0,68 0,48 1,44 1,12 0,56

a) Compléter ce tableau de valeurs compte tenu du pourcentage de diminution pratiqué pour les soldes.

prix avant soldes multiplié par 0,8

b) Le prix pendant soldes est-il proportionnel au prix avant soldes ? Si oui, donner le coefficient de proportionnalité.

Oui, avec un coefficient de 0,8 de la première vers la deuxième ligne

c) Représenter, dans un repère orthogonal, les points dont les coordonnées sont présentes dans ce tableau (abscisses : prix avant soldes ; ordonnées : prix pendant soldes). Relier ces points.

____________________________________________________________________________

d) En utilisant votre graphique (uniquement), donner, avec la meilleure précision, les réponses aux questions suivantes :

d1) Quel est le prix pendant soldes d'un article qui coûte habituellement 1,00 € ? 0,8 € d2) Quel était le prix avant soldes d'un article qui coûte 1,00 € pendant les soldes ? 1,25 €

Exercice 36. Les experts disent que 25% des accidents graves de bicyclette entraînent des blessures à la tête et que, parmi toutes ces blessures à la tête, 80% sont fatales. Quel pourcentage des accidents graves de bicyclette entraînent des blessures mortelles à la tête ? 80% de 25% = 20%

Exercice 37. Calculer les taux de variation dans les cas suivants : prix initial prix après

variation Taux

120 € 114 € -5 %

120 € 126 € +5 %

120 € 60 € -50 %

120 € 240 € +100 %

taux de variation = variation / valeur initiale

Exercice 38. Vrai ou faux :

1) Les prix ont baissé de 15%. Pour connaître les nouveaux prix : a. On multiplie les anciens par 15/100 FAUX b. On soustrait 15/100 aux anciens prix FAUX

____________________________________________________________________________

c. On multiplie les anciens prix par 0,85 VRAI 2) Les prix ont augmenté de 15%. Pour connaître les nouveaux prix :

a. On multiplie les anciens par 15/100 FAUX b. On ajoute 15/100 aux anciens prix FAUX c. On multiplie les anciens prix par 1,15 VRAI

Exercice 39. Un article vaut 79 € TTC. Le taux de TVA s’élève à 19,6 %. Quel est le montant HT ? 79 / 1,196 = 66,05 €

Exercice 40. En France, en dix ans, le nombre de jeunes de moins de vingt ans a été multiplié par 0,955.

Traduire cette information par un pourcentage de variation.

Il est donc passé de 100% à 95,5%. Il y a 4,5% de jeunes en moins.

Exercice 41. Une société de presse propose à ses clients deux types d'abonnement pour un magazine bimensuel (deux éditions par mois) :

Première formule : Abonnement de 6 mois pour 24 €.

Deuxième formule : Abonnement d'1 an pour 43 €.

Sachant que le prix (hors abonnement) d'un magazine est 5 €, calculer les taux de réduction consentis dans ces deux formules.

Première formule : 24 € au lieu de 12x5 = 60 €. taux de remise : -36/60 = -60% (!) Deuxième formule : 43 € au lieu de 24x5 = 120 €. taux de remise : -77/120 = -64,17% (!)

Exercice 42. Un commerçant pratique en fin d'année des soldes de 20 %. Son chiffre d'affaires est sur la période de soldes de 15 000 €. Quel serait celui-ci s'il n'avait pas fait de soldes et avait vendu la même quantité de produits ? Quel serait-il si ses soldes avaient été de 30 % ?

Son chiffre d’affaires sans soldes, multiplié par 0,8, a donné 15 000 €. Donc CA = 15 000 / 0,8 = 18 750 €.

CA avec 30 % de soldes = 18 750 × 0,7 = 13 125 €.

Exercice 43.

Une marchandise dont le prix est 1600 F subit une hausse de 15% puis une nouvelle hausse de 5%.

Quel est le prix final ? Quel est le pourcentage global d'augmentation ?

Prix final : 1 600 × 1,15 × 1,05 = 1 932 €. Taux de variation : 332 / 1 600 = 20,75 %.

Exercice 44. Voici deux affichages, vus chez deux vendeurs pour le même produit.

chez Jules chez TOTO

Ici, 20 % de produit en

plus ! Ici, 20 % de remise !!

Laquelle de ces promotions est la plus avantageuse pour l'acheteur ?

____________________________________________________________________________

On suppose que, hors promotion, les prix pratiqués sont les mêmes d’un magasin à l’autre.

Soit P le prix unitaire (par exemple : au kg) pratiqué hors promotion.

Traduisons ce que disent les affichages :

Chez Jules, pour P €, on peut acheter 1,2 kg. La marchandise revient donc à P/1,2 €/kg.

Chez Toto, 1 kg coûtera 0,8×P €.

Le kg de marchandise sera moins cher chez Toto. En effet : 0,8P < P/1,2 (tout simplement parce que 0,8 < 1/1,2 !).

Exercice 45. Production d'olives

25 kg d'olives fournissent en moyenne 17,5 litres d'huile d'olive.

a) Peut-on dire si la production d'huile d'olive est proportionnelle à la quantité récoltée ? Oui, on peut supposer que le double d’olives donnera le double d’huile d’olive…

b) Calculer la quantité d'huile produite par kg d'olives récoltées. C'est le coefficient de proportionnalité. Pour 1 kg d’olives, on fabrique 17,5 / 25 = 0,7 litre d’huile.

La récolte a été cette année de 125 kg d'olives.

c) Quelle quantité d'huile pourra-t-on produire ? 0,7 × 125 = 87,5 litres

d) Quel facteur d'échelle y a-t-il entre les 25 kg de l'exemple et la production de 125 kg ? 5 e) Retrouve-t-on ce facteur d'échelle entre les quantités d'huile produites ? oui : 87,5 / 17,5 = 5

L'année suivante, la récolte est de 150 kg.

f) Calculer de deux façons différentes la nouvelle production d'huile.

Produit en croix : 17,5 × 150 / 25 = 105 litres ; avec le coefficient : 150 × 0,7 = 105.

g) Combien représente en pourcentage la première récolte par rapport à la seconde ? 125 / 150 = 83,33 %

h) Quel a été le pourcentage d'augmentation des quantités entre la première et la deuxième année ? variation / valeur initiale = 25 / 125 = 20 %

Exercice 46. Un agriculteur produit des pommes de terre. Cette année, il a récolté 40% de plus que l'an dernier, en masse totale ; mais les prix auxquels il peut vendre sa production ont baissé dans la même période de 30%. Son chiffre d'affaires a-t-il augmenté par rapport à celui de l'an dernier ? Quel a été le taux de variation de ce chiffre d’affaires ?

La quantité a été multipliée par 1,4 et le prix unitaire par 0,7. Le CA a donc été multiplié par 1,4×0,7 = 0,98.

Il y a eu une perte de 2 % du chiffre d’affaires.

Exercice 47. Dans un article de presse, on peut lire que le prix du gasoil à la pompe a augmenté successivement de 5%, 8% et 10%, puis a baissé de 15%. Entre les instants initial et final, quel a été le taux de variation du prix du gasoil ?

Le coefficient multiplicateur est 1,05×1,08×1,1×0,85 = 1,06029. Il y a eu une augmentation de 6,029%.

____________________________________________________________________________

2.6 Puissances d’un nombre

2.6.1 Puissances entières positives 2.6.2 Puissances entières négatives 2.6.3 Puissances entières de 10

2.6.4 Formules relatives à la notation puissance 2.6.5 Radicaux et puissances inverses

2.6.6 Puissances fractionnaires

Exercice 48.

2³ × 3³ = 6³ = 216 (2×3)³ = 6³ = 216 4² + 5² = 16 + 25 = 41 (4+5)² = 9² = 81

(2²)³ = 4³ ou encore 2⁶ = 64   ,

= = = = =  =

 

3

5 2 2

2 8 3

2 2

2 5 5

2 2 256 2 8 1 5625

2 4 4

− − −

−

× + +

= = × = × = = =

× = × = × = =

2 4 2 4 2

2

5 3 3

4 2

7 2 7 4 3

3

5 25 5 3 5 3 625 9 634

5 3 5 9 45

2 32 5 5 125 125

2 4

2 4 2 2 2 8

2

Exercice 49. Vrai ou faux : pour tout réel a :

a. a³ + a⁵ = a⁸ FAUX b. a³ × a⁵ = a⁸ VRAI c. a³ × a⁵ = a¹⁵ FAUX d. a³ + a⁵ = 2a⁸ FAUX

Exercice 50. Vrai ou faux : (-3a)² est égal à…

a. -9a² b. (3a)² c. 9a² d. 6a² e. -3a²

Exercice 51.Ecrire en chiffres : 10², 10³, 10⁶, 10^-3, 10^-6.

10² = 100, 10³ = 1 000, 10⁶ = 1 000 000 10^-3 = 0,001, 10^-6 = 0,000001

Exercice 52.Ecrire les nombres 2 300 ; 55 000 ; 0,02 ; 0,00015 en notation scientifique (s’aider de la calculatrice)

2300 = 2,3×10³ 55000 = 5,5×10⁴ 0,02 =2×10^-2 0,00015 =1,5×10^-4

Exercice 53.Calculer : 10⁵×10² ; 10⁵:10² ; 10^-3×10⁶ ; 10^-4×10^-2

10⁵×10² = 10⁷ 10⁵:10² = 10³ 10^-3×10⁶ = 10³ 10^-4×10^-2 = 10^-6

Exercice 54.Faire les calculs suivants et écrire les résultats en notation scientifique : a. 2,5×10³ + 3×10² = 2500 + 300 = 2800 = 2,8×10³

b. (2,5×10³) × (3×10²) = 2,5×3×10⁵ = 7,5×10⁵ c. 2,5×10³ - 3×10² = 2500 - 300 = 2200 = 2,2×10³ d. (2,5×10³):(3×10²) = ,

× ³₂ = × ≈ , 2 5 10 5

10 8 333 3 10 6

____________________________________________________________________________

Exercice 55.La distance Terre-Soleil est environ 150 millions de kilomètres. Ecrire en notation scientifique (puissances de 10) le nombre de mètres correspondant. On appelle ce nombre "a".

Une feuille de papier a une épaisseur de 0,2 mm. Ecrire en notation scientifique cette épaisseur en mètres. On appelle ce nombre "b". Calculer, en utilisant seulement a et b le nombre de feuilles qu'il faudrait empiler pour atteindre le Soleil.

a = 150 000 000 × 1 000 m = 1,5×10¹¹ m ; b = 0,2×10^-3 m = 2×10^-4 m.

Nombre de feuilles : a/b = 1,5×10¹¹÷ 2×10^-4 = 0,75×10¹⁵ = 7,5×10¹⁴ (750 000 milliards).

Exercice 56. La mésaventure du souverain indien Chiram

Ce souverain a promis de verser à l'un de ses compatriotes une quantité de grains de riz acceptable.

L'indien lui montra un échiquier et lui dit : "Versez donc un grain sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en multipliant par deux en utilisant toutes les cases." Le souverain se mit à rire, croyant faire une bonne affaire, et accepta le marché.

Combien de grains dut-il ainsi donner ? Sachant qu'un grain pèse en moyenne 0,01 gramme, quelle masse de riz cela représente-t-il ? (un échiquier comporte 64 cases)

1 grain sur la première case, 2 grains sur la case 2, 4 grains sur la case 3, 8 grains sur la case 4, etc.

Le nombre de grains croît selon une suite géométrique de raison 2 (c’est-à-dire qu’il faut multiplier par deux pour passer d’un terme au suivant).

On se rend compte que sur la case n°k doivent être placés 2^k-1 grains de riz (exemple pour la case 4 : 2³ grains de riz). Sur la dernière case, la 64eme, il faudra donc 2⁶³ grains, soit environ 9 223 372 036 854 780 000 grains (9 milliards de milliards). De plus, il faut ajouter à cela les grains de riz présents sur les autres cases !

Dans la suite du document se trouve un rappel sur les suites géométriques, contenant la formule suivante permettant de calculer la « somme des n+1 premiers termes » d’une suite géométrique :

.

1 0 0

1 1

+

=

= −

∑

k

u u q q Ici, le premier terme u0 vaut 1, n vaut 63 et la raison q vaut 2 :

=

= − = − =

∑

0

2 1

2 1 18 446 744 073709 551615

k 2 1

k

u (18 milliards de milliards)

(pour information, il s’agit de 720 milliards de tonnes, soit environ 1500 ans de production mondiale actuelle de riz)

2.7 Logarithmes

Exercice 57. Simplifier :

a. log10(1000) = log10(10³) = 3 log10(10) = 3 b. log10(0,01) = log10(10^-2) = -2 log10(10) = -2 c. log2(5) + log2(0,6) = log2(5×0,6) = log2(3) d. log10

3 100

 

 

  ^{= log10(3) - log10}(100) = log10(3) - 2 e. log10(0,07) = log10(7) - log10(100) = log10(7) - 2 f. 8×log10

( )

g. 8×ln

( )

____________________________________________________________________________

3 Introduction aux mathématiques financières

3.1 Progressions arithmétiques et géométriques

3.1.1 Généralités

3.1.2 Suites arithmétiques 3.1.3 Suites géométriques

3.2 Intérêts simples 3.3 Intérêts composés

Exercice 58. Lundi, Jean décide de confier un secret à trois personnes. Chaque jour de la semaine, chaque détenteur du secret le confie à trois autres personnes qui ne le connaissaient pas. Dimanche soir, combien de personnes connaîtront le secret ?

Il s’agit d’une suite géométrique de raison 3. En sept jours, le nombre de personnes vaut 3⁷ = 2187.

Exercice 59. Une feuille de papier a une épaisseur de 1 dixième de mm. Calculez l'épaisseur obtenue…

a. Si on la plie en deux trois fois de suite 2³ = 8, donc 0,8 mm b. Si on la plie en deux dix fois de suite 2¹⁰ = 1024, donc 10,24 cm

c. Si on la plie en deux trente fois de suite ! 2³⁰ = 1 073 741 824, donc plus de 107 km…

Exercice 60. On place un capital C0 = 15000 € à intérêts composés au taux annuel t = 5%. Exprimer Cn+1

en fonction de Cn et de t, calculer le capital possédé au bout de 10 ans, et dire au bout de combien de temps on obtiendra le double du capital de départ.

Cn+1 = Cn×(1+t) = Cn×1,05 ; C10 = C0×1,05¹⁰ = 24433,42 €

Cn = 2C0 ssi 1,05ⁿ = 2 ssi ln(1,05ⁿ) = ln(2) ssi n×ln(1,05) = ln(2) ssi n = ln(2)/ln(1,05) = 14,2 ans

Exercice 61. Un capital de 5000 € est déposé à intérêts composés pendant 7 ans. Déterminer le taux d’intérêt annuel sachant que ce capital a produit 3569 € d’intérêts.

C7 = C0×(1+t)⁷ , donc 8569 = 5000×(1+t)⁷ ssi (1+t)⁷ = 1,7138 ssi 1+t = 1,7138^1/7 = 1,08.

Le taux d’intérêts annuel est 8%.

Exercice 62. Vous placez 1000 € le 1er janvier, en intérêts composés, au taux annuel de 6% mais vous désirez retirer votre argent au bout de 6 mois. Combien retirerez-vous ?

C0,5 = C0×(1+t)^0,5 = 1000×1,06^0,5 = 1029,56.

Exercice 63.Un pépiniériste achète de jeunes conifères du Japon, mesurant 20 cm.

Ces conifères ont la particularité de voir leur taille augmenter de 20% tous les ans.

1) Remplir le tableau de valeurs suivant.

____________________________________________________________________________

année année 1 année 2 année 3 année 4

taille (cm) 20 24 28,8 34,56

2) Exprimer, en fonction de n, la taille d'un de ces conifères à l'année n.

Notons Tn la taille à l’année n. On observe que T1 = 20, T2 = 20×1,2, T3 = 20×1,2², T4 = 20×1,2³ et d’une manière générale : Tn = 20×1,2^n-1.

3) Pour que cet arbre soit vendu, il doit mesurer au moins un mètre. A partir de quelle année pourra- t-il vendre ses conifères ?

Il faut trouver n tel que 20×1,2^n-1 > 100 cm, soit 1,2^n-1 > 5 ssi ln(1,2^n-1) > ln(5) ssi (n-1)×ln(1,2) > ln(5) ssi n-1 > ln(5)/ln(1,2) ssi n-1 > 8,83 ssi n > 9,83.

Il faudra attendre l’année 10.

Exercice 64.Un commerçant place 10% de ses bénéfices sur un compte rapportant 7% par an. Les

bénéfices annuels se montent à 36000 €, si bien que le commerçant apporte à chaque fin d'année 3600

€ sur son compte. Il retire également ses intérêts, chaque année à la même date.

Le tableau ci-dessous explique le détail de ses opérations et les relevés de son compte.

année 2012 2013 2014 2015

argent placé 3600 3600 3600 3600

intérêts retirés 0 7% de 3600 7% de 7200 7% de 10800

montant du compte 3600 7200 10800 14400

1) Calculer les intérêts retirés au bout de chacune de ces quatre années.

Les calculs sont indiqués dans le tableau de l’énoncé ; 0, 252, 504, 756.

2) Calculer les intérêts retirés n années après 2012, en fonction de n.

Les intérêts retirés, de même que le montant du compte, sont en progression arithmétique.

Intérêts au bout d’un an : 7% de 3600, au bout de 2 ans : 2 fois 7% de 3600, au bout de trois ans : trois fois 7% de 3600, et ainsi de suite.

Intérêts retirés n années après 2012 : n×7%×3600 = 252n.

3) En utilisant la formule _{1 2 3 ...}

(

)

2 n n n+

+ + + + = , calculer le total des intérêts qu’il aura récupérés entre 2012 et 2030.

Intérêts retirés au total jusqu’à 18 années après 2012 :

252 + 252×2 + 252×3 + … + 252×18 = 252×(1+2+3+ … + 18) = 252×18×(18+1)/2 = 43092 € 4) Combien possédera-t-il sur son compte en 2030 ?

En 2030, il aura déposé 19 fois 3600 €, soit 68400 €.

Exercice 65.

1) M.Prévoist dépose 500 € sur un compte rapportant 6% annuels d’intérêts composés. De quelle somme disposera-t-il cinq ans plus tard ? 500×1,06⁵ = 669,11 €

2) Quelle somme devrait-il déposer aujourd’hui pour pouvoir disposer de 1000 € dans cinq ans ? Cn = C0×(1+t)ⁿ , donc 1000 = C0×1,06⁵ et donc C0 = 1000/1,06⁵ = 747,26.

____________________________________________________________________________

Exercice 66.Au 1/01/2015, un employé a un salaire mensuel de 1550 €. L'entreprise qui l'emploie décide de lui accorder des augmentations au rythme d'une par an, et lui demande de choisir entre deux types de rémunération :

- une augmentation de 170 € au 1er janvier de chaque année (choix 1) - une augmentation de 10 % au 1er janvier de chaque année (choix 2)

1) Remplir le tableau ci-dessous en calculant pour les années citées son nouveau salaire mensuel, considérant les deux types différents.

année 2015 2016 2017 2018

choix 1 1550 1720 1890 2060

choix 2 1550 1705 1875,5 2063,05

2) Donner, pour chaque type d'augmentation, une expression du salaire mensuel de cette personne lorsque n années se sont écoulées après 2015.

choix 1 : Sn = 1550 + 170n ; choix 2 : Sn = 1550×1,1ⁿ

3) Calculer, à l'aide des deux relations précédentes, les deux salaires mensuels différents qu'il pourrait toucher en 2030.

choix 1 : S15 = 1550 + 170×15 = 4100 ; choix 2 : S15 = 1550×1,1¹⁵ = 6474,73

4 Statistiques à une variable

4.1 INTRODUCTION ET HISTORIQUE 4.2 Activité et vocabulaire

4.3 Différents modes de représentation

Exercice 67. Réaliser un diagramme en barres à partir du premier tableau de la page 38.

____________________________________________________________________________

Exercice 68. Réaliser un histogramme à partir du second tableau de la page 38.

Exercice 69. Réaliser un diagramme des ECC à partir du second tableau de la page 38.

Exercice 70. Lectures graphiques

1) L’histogramme suivant a été établi d’après une étude menée sur 70 individus.

a. Combien d’individus ont une modalité comprise entre 6 et 8 ?

Les concentrations peuvent nous aider : c = n/a donne pour l’intervalle [6 ; 8[ 5 = n/2, soit n = 10.

Le graphique est suffisamment simple ici pour nous éviter des calculs : l’histogramme couvre en tout 14 carreaux représentant 70 individus, soit 5 individus par carreau. Le premier rectangle étant constitué de deux carreaux, il représente bien sûr 10 individus.

b. A quelle fréquence a-t-on rencontré des individus de modalité supérieure à 9 ? Au-delà de 9 : 9 carreaux sur 14. 9/14 = 0,6429 = 64,29%. Réponse : dans 64,29% des cas.

____________________________________________________________________________

c. Retrouver le tableau de départ mentionnant les intervalles et les effectifs correspondants.

classes de caractère [6 ; 8[ [8 ; 9[ [9 ; 12[ [12 ; 15[

effectifs 10 15 30 15

2) Le diagramme des FCC suivant a été établi d’après une étude menée sur 250 individus.

a. Combien d’individus ont une modalité comprise entre 30 et 40 ? 30% des individus ont été cumulés dans cet intervalle, soit 75 individus.

b. Combien d’individus ont une modalité comprise entre 37,5 et 47,5 ? FCC(37,5) = 20% et FCC(47,5) = 80%.

80% des individus ont moins de 47,5 mais 20% des individus ont moins de 37,5.

On trouve donc 60% des individus entre ces deux valeurs, soit 150 individus

c. Retrouver le tableau de départ mentionnant les intervalles et les effectifs correspondants.

classes de caractère [30 ; 35[ [35 ; 40[ [40 ; 42,5[ [42,5 ; 45[ [45 ; 50[ [50 ; 55[

effectifs 25 50 63 37 50 25

Exercice 71. Lectures graphiques

Lors d’un sondage, on a demandé leur âge aux personnes interrogées (au total : 200 personnes). Le graphique ci-dessous à droite est le diagramme des fréquences cumulées croissantes de cette série.

1) Quel pourcentage de personnes interrogées ont…

a. moins de 40 ans ? b. Plus de 50 ans ? c. Entre 30 et 50 ans ?

Une fréquence cumulée croissante (FCC) est le taux d’individus dont les modalités sont inférieures ou égales à une valeur donnée. Ici : FCC(x) = p(âge ≤ x), où p est une proportion d’individus.

a. p(âge ≤ 40) = FCC(40) = 60% b. p(âge ≥ 50) = 100% - p(âge ≤ 50) = 100%-90% = 10%

c. p(30 ≤ âge ≤ 50) = p(âge ≤ 50) - p(âge ≤ 30) = 90% - 10% = 80%

2) Grâce aux données de ce diagramme de FCC, construisez à sa gauche l’histogramme des effectifs correspondant. (effectif total : 200 personnes)

____________________________________________________________________________

4.4 Les paramètres de position

Exercice 72. Mode

1) Déterminer le mode de la série

2

1

La classe modale de la série 1 est [100 ; 110[ (concentration la plus élevée).

Exercice 73. Médiane (caractère continu)

A partir du diagramme des FCC donné page 42, faire une lecture graphique du nombre d’employés médian de ces 300 entreprises.

Exercice 74. Moyenne

Calculer l'âge moyen des clients (selon les informations données en page 38), ainsi que le nombre moyen de leurs retraits hebdomadaires.

Age moyen : (4×21,5 + 12×32,5 + 18×47,5 + 9×60 + 7×82,5) / 50 = 48,97 ans Nombre de retraits moyen : (6×0 + 15×1 + 21×2 + 7×3 + 2×4) / 50 = 1,72 retrait

60 40 20 0

____________________________________________________________________________

Exercice 75. Moyenne

1) Calculer la moyenne de la série présentée ci-dessous :

note en maths 8 11 15

nombre d'étudiants 7 14 4

( )

E 10,8

N 7 14 4 25

= × + × + ×

= = = = =

+ +

∑

n x

x X

2) Dans le monde, 30% des gens ont accès à 3000 calories par jour et 70% des gens à 1200 calories par jour. Si l’on pouvait distribuer les ressources alimentaires disponibles de manière équitable à tous les êtres humains, à combien de calories chaque personne aurait-elle accès chaque jour ?

Cela se résume à un calcul de moyenne :

( )

1

E 30 3000 70 1200 900 840 1740

p i i i

x X f x

=

= =

∑

Une redistribution équitable permettrait à chacun d’avoir accès à 1740 calories par jour.

Exercice 76. Moyenne

1) Une liste contient 10 valeurs, dont une inconnue (x) : 2, 7, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 12, x. La moyenne vaut 9,9. Saurez-vous retrouver la valeur de x ?

Une moyenne de 9,9 pour dix valeurs signifie qu’elles totalisent 99 points.

2+7+9+10+10+11+12+12+12+x = 99 donne x = 14.

2) Dans la série suivante, de moyenne 30, il manque également une valeur… à retrouver.

valeurs xi 24 28 33 x

effectifs ni 3 6 5 2

Une moyenne de 30 pour seize valeurs signifie qu’elles totalisent 480 points.

3×24 + 6×28 + 5×33 + 2×x = 480 donne x = 37,5.

Exercice 77. Propriétés de la moyenne Soit le tableau de l'exemple

2

1) Calculer le prix moyen d’un téléphone.

(1×59+6×65+4×68+6×69+3×75)/20 = 68 €

2) Si tous les magasins pratiquaient une remise de 5 €, quelle serait l’incidence sur le prix moyen ? On peut refaire le calcul, mais une propriété de la moyenne est la suivante : E(X+a) = E(X) + a.

Ici : E(X-5) = E(X) – 5, soit en traduisant : le prix moyen des téléphones avec remise de 5 € est égal au prix moyen normal, moins 5 € : le prix moyen aura donc baissé de 5 € et se trouve ici à 63 €.

3) Si tous les magasins pratiquaient une remise de 10 %, quelle serait l’incidence sur le prix moyen ? Chaque téléphone voit ici son prix multiplié par 0,9. Or une propriété de la moyenne est la suivante : E(a×X) = a×E(X). Ici : E(0,9X) = 0,9×E(X), soit en traduisant : le prix moyen des téléphones avec remise de 10% est égal au prix moyen normal, diminué de 10% : le prix moyen aura donc baissé de 6,8 € et se trouve ici à 61,2 €.

4) Quel est le prix moyen de deux téléphones ? et si on ne les achète pas forcément dans le même magasin ?

Si on veut acheter deux téléphones dans le même magasin, ils le seront au même prix tous les deux, et la formule E(2X) = 2E(X) correspond à la situation.

D’une manière plus générale, une dernière formule affirme que E(X+Y) = E(X) + E(Y). X est alors une variable représentant le prix (par exemple) de quelque chose quelque part et Y le prix (par exemple) d’autre chose autre part. Lorsque X et Y sont équivalents (on veut dans cet exercice acheter deux fois le même objet, à partir de la même liste de magasins possibles, mais pas forcément dans le même

magasin, cette formule conduit à E(X+X) = E(X) + E(X), ce qui revient à E(2X) = 2E(X) !

Conclusion : si l’on considère toutes les possibilités pour acheter deux téléphones, le prix moyen attendu est 2×68 = 136 €.

Exercice 78. Mode, médiane, moyenne

24 personnes ont été interrogées sur le nombre de packs de lait achetés ces trente derniers jours. Les résultats sont les suivants : 0-1-4-2-1-2-1-1-3-0-1-0-3-0-2-2-0-2-1-1-3-1-0-4

1) Organiser ces résultats dans un tableau où chaque modalité sera reprise une fois et associée à l’effectif correspondant au nombre de réponses.

modalité 0 1 2 3 4

effectif 6 8 5 3 2

2) Quelle est la réponse modale ? Mode = 1 pack de lait

3) Quel est le nombre médian de packs achetés, dans cet échantillon interrogé ?

Médiane = 1 pack (50% des personnes ont acheté 1 pack ou moins, 50% ont acheté 1 pack ou plus) 4) Quelle est le nombre moyen de packs par personne ?

(6×0 + 8×1 + 5×2 + 3×3 + 2×4) / 24 = 1,458 pack

Exercice 79. A l’issue d’un concours de tir à l’arc, Paul et Virginie comparent leurs résultats. La figure ci-dessous indique les impacts des quinze flèches de chacun.

1) Former un tableau reprenant en six colonnes (une pour chaque score possible) les nombres de tirs obtenus dans chaque zone (séparer les deux candidats).

score 0 10 20 30 50 100

effectif Virginie 2 2 4 4 1 2

effectif Paul 1 3 2 6 2 1

2) Si le vainqueur est celui dont le total est le plus fort, qui a gagné ? Est-ce que ça signifie que son score moyen par flèche est également le plus fort ?

Total Virginie : 470 ; total Paul : 450. Le vainqueur est Virginie.

La moyenne vaut le score total divisé par le nombre de tirs. Comme chacun a effectué 15 tirs, un total plus important correspond à une moyenne plus importante.

3) Si le vainqueur est celui dont le score modal est le plus fort, qui a gagné ?

Modes Virginie : 20 et 30 ; mode Paul : 30. On pourrait considérer que Paul a gagné.

Exercice 80. On donne les nombre d'élèves d'une classe de première, ordonnés selon la valeur de leur moyenne générale et de leur état civil, selon le tableau ci-dessous :

ELEVES

garçons filles

Notes -17ans +17ans -17ans +17ans

10 2 1 0 2

11 3 4 3 3

12 3 5 4 6

13 2 3 2 3

14 4 2 3 1

1) a. Quelle est la moyenne des garçons ?

(3×10 + 7×11 + 8×12 + 5×13 + 6×14) / 29 = 352 / 29 = 12,14 environ b. Quelle est la moyenne des filles ?

(2×10 + 6×11 + 10×12 + 5×13 + 4×14) / 29 = 327 / 27 = 12,11 environ c. Quelle est la moyenne générale ?

(5×10 + 13×11 + 18×12 + 10×13 + 10×14) / 29 = 679 / 56 = 12,125 2) a. Parmi les élèves ayant eu moins de 12, quel est le pourcentage de filles ?

18 élèves ont eu moins de 12, dont 8 filles. 8/18 = 0,4444 environ = 44,44%.

b. Parmi les filles, quel est le pourcentage d’élèves qui ont eu moins de 12 ?

27 élèves sont des filles, parmi lesquelles 8 ont eu moins de 12. 8/27 = 0,2963 environ = 29,63%

Exercice 81. QCM

1) Dans une classe de 30 élèves, la médiane de la série des notes est 10. Le professeur décide d’ajouter 1 point aux trois notes les plus basses, lesquelles restent les plus basses. La médiane…

a. ne change pas b. augmente de 0,1 point c. augmente de 1 point d. augmente, mais on ne peut pas savoir de combien

Réponse a. La médiane est la note qui partage le groupe en deux parts égales : la moitié des élèves a eu moins ou autant que la médiane et l’autre moitié a eu autant ou plus. Si les trois derniers résultats restent les trois derniers, sur un total de 30 élèves, cette note centrale n’est pas modifiée.

2) Dans une classe de 30 élèves, la moyenne trimestrielle des notes est 9,4. Le professeur décide d’ajouter 1 point aux trois notes les plus basses. La moyenne…

a. ne change pas b. augmente de 0,1 point c. augmente de 1 point d. augmente, mais on ne peut pas savoir de combien

Réponse b. La somme de toutes les notes augmente donc de 3 points, et la moyenne, étant la somme divisée par 30, augmente de 3/30, soit 0,1 point.

3) Un même test a été donné dans deux classes. La première, composée de 20 élèves, a obtenu une moyenne de 12,30 ; la seconde, composée de 30 élèves, a obtenu une moyenne de 14,80. Quelle est la moyenne du groupe formé par les 50 élèves de ces deux classes ?

a. 12,55 b. 13,50 c. 13,55 d. 13,8

Réponse d. Dans chaque classe, le produit moyenne effectif donne le total des notes.

Classe 1 : 12,3×20 = 246 points ; classe 2 : 14,8×30 = 444 points.

L’ensemble des 50 élèves a donc obtenu 690 points, soit une moyenne de 690/50 = 13,8.

4.5 Paramètres de dispersion

Exercice 82. On mesure la taille, en cm, de 18 individus. Les résultats sont les suivants :

156, 160, 160, 164, 166, 167, 169, 170, 172, 172, 175, 176, 176, 178, 180, 180, 184, 190 1) Quelle est l’étendue de la série ? e = 190 – 156 = 34 cm

2) Donner les trois quartiles, rappeler leur signification.

Q1 = 166, Q2 = M = 172, Q3 = 178

25% de la population ont une modalité inférieure ou égale à Q1, 50% à M et 75% à Q3.

3) A l’aide de la calculatrice, donner la taille moyenne de ce groupe et son écart type. Expliquer la signification de l’écart type.

moyenne : 171,94 cm ; écart type : 8,676 cm. En moyenne, l’écart entre la taille d’un individu et 171,94 cm vaut 8,676 cm (en plus ou en moins).

4) Si on saisit sur calculatrice uniquement les valeurs en cm au-delà de 100 (la série devient donc 56, 60, 60, 64, …), quel effet cela a-t-il sur la moyenne ? sur l’écart type ? Était-on alors obligé de saisir ce « 1 » au début de chaque valeur pour obtenir les résultats de la question 3 ?

Toutes les valeurs sont diminuées de 100. Si on les repérait par des points sur un axe, ce groupe de points se verrait déplacé en bloc de 100 unités vers la gauche. Leur moyenne subit donc la même transformation. Par contre, les écarts entre les points ne seraient pas modifiés, idem pour leur écart type. Les résultats obtenus avec cette nouvelle série nous auraient donc facilement permis d’en déduire ceux de la liste originale : on n’avait pas besoin de saisir ce chiffre des centaines.

Exercice 83. On observe les résultats des participants à une épreuve. xi représente un score obtenu et la valeur ni est le nombre de concurrents ayant obtenu le score xi.

xi 20 25 30 35 40

ni 1 3 12 5 2 N=23

1) Quelle est l’étendue de la série ? e = 40 – 20 = 20 points

2) Donner les trois quartiles, rappeler leur signification. Q1 = 30, Q2 = M = 30, Q3 = 35 25% de la population ont une modalité inférieure ou égale à Q1, 50% à M et 75% à Q3. 3) A l’aide de la calculatrice, donner le score moyen et son écart type.

moyenne : 30,87 points ; écart type : 4,581 points

Exercice 84. Les deux tableaux ci-dessous montrent des valeurs en première ligne et des effectifs en deuxième ligne. Leur diagramme des effectifs sont donc respectivement ceux qui apparaissent au- dessous.

0 10 20 30 40 0 10 20 30 40

1 2 3 4 5 5 4 3 2 1

Donner la moyenne et l’écart type de chaque série ; commenter la symétrie des résultats.

moyenne : 26,67 ; écart type : 12,47 moyenne : 13,33 ; écart type : 12,47

La liste des valeurs montre une répartition régulière autour de 20, alors que les deux liste d’effectifs sont symétriques l'une de l'autre autour de la valeur 20. Il n’est pas étonnant de constater deux moyennes symétriques par rapport à 20.

Si on dressait, pour chaque tableau, une liste des écarts entre les valeurs et leur moyenne, on trouverait le même liste (toujours par symétrie). Il n’est donc pas étonnant que les deux écart types soient égaux.

Exercice 85. Reprenons l’exemple de l’exercice 71.

1) A partir du diagramme des FCC :

a. Donner l’étendue de la série. e = 60 – 20 = 40 ans

b. Donner la médiane (« âge médian »), ainsi que les deux autres quartiles.

Q1 = 33 ans, Q2 = M = 38 ans, Q3 = 45 ans (pointillés bleus) 2) A partir des effectifs retrouvés dans chaque classe d’âge :

a. Saisir les données statistiques sur la calculatrice.

b. Obtenir alors l’âge moyen des personnes interrogées et l’écart type des âges.

moyenne : 39 ans ; écart type : 8 ans.

c. Interpréter concrètement l’écart type.

Par rapport à 39 ans, l’âge d’un individu diffère en moyenne de 8 ans

d. Grâce à une lecture graphique du diagramme des FCC, dire quel est le pourcentage des personnes interrogées dont l’âge se situe à une distance maximale d’un écart type autour de la moyenne. (pointillés rouges) 39-8 = 31 ans, 39 + 8 = 47 ans. FCC(31) = 15% et FCC(47) = 80% ; ainsi, 65% de la population ont un âge compris entre 31 et 47 ans, soit à un écart type au maximum autour de l’âge moyen.