1.3 La loi hypergéométrique

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1.3 La loi hypergéométrique

1.3.1 Contexte

La loi hypergéométrique découle du point précédent, dans le cas particulier où l’ensemble initial est partitionné en seulement deux sous-ensembles A et B. Tirer un élément de A sera appelé « succès » et tirer un élément de B sera appelé « échec ».

Considérons un ensemble initial comportant N éléments. Le sous-ensemble A contient a éléments et le sous-ensemble B en contient alors N – a. La représentation par un arbre du tirage aléatoire d’un élément est donc un schéma de Bernoulli à un niveau. Les probabilités de succès et d’échec présentes sur les deux branches sont variables : elles dépendent des nombres d’éléments restants dans A et B au fil des tirages (nous sommes dans une succession de tirages sans remises de n éléments).

La loi hypergéométrique H (n, a, N) donne la distribution des probabilités de k succès au bout des n tirages.

( )

min , k≤ n a

On pourra noter a

p= N la probabilité de succès au premier essai. (et 1 a q= −N ) p est donc la proportion d’éléments succès présents au départ dans l’ensemble initial.

On note la loi de probabilité de X :

H

H

( )

C C

k n k

k n k

pN qN

a N a

n n

N N

p X k

− −

− ×

= = × =

1.3.3 Paramètres et résultats

Son espérance mathématique est : ^{E X}

( )

= × =N et sa variance est :

( )

1 N n V X npq

N

= × −

− ^. Sa médiane est : x_m =  a si p 0,5 et x_m = +a 1 si p > 0,5 où    désigne la partie entière.

Son mode est :

(

)

2 Mo a n

N +

 

= + × +  ^.

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JF.Ferraris – Mathématiques – Stats/Proba – Lois discrètes - Page 6 sur 24 1.3.4 Exemple

On prend au hasard, en même temps, trois ampoules dans un lot de 15 dont 5 sont défectueuses.

Calculer l’espérance et l’écart type du nombre d’ampoules défectueuses sur les trois sélectionnées, puis la probabilité des événements :

A : au moins une ampoule est défectueuse B : les 3 ampoules sont défectueuses

C : exactement une ampoule est défectueuse

* Pour une ampoule choisie, il y a deux issues : défectueuse (succès) ou pas (échec). a = 5, N = 15 On effectue un tirage sans remise de trois ampoules. n = 3.

X compte les succès au bout de 3 essais. La loi de X est donc

H

*

( )

15 E X n a

= ×N = × = ;

( )

1 15 15 14 21

N n V X npq

N

= × − = × × × =

− .

( ) ( ) ( )

C C 120 335

p A p 0 1 p 0 1 1 0,7352

C 455 455

X X ×

= > = − = = − = − = ≈

( ) ( )

C C 10

p B p 3 0,02198

C 455

X ×

= = = = ≈

( ) ( )

C C 225

p C p 1 0,4945

C 455

X ×

= = = = ≈