THEME : L es opérateurs élémentaires et l’algèbre de Boole (2) FICHE LOGIQUE COMBINATOIRE THEME :

FICHE LOGIQUE COMBINATOIRE

THEME : Les opérateurs élémentaires et l’algèbre de Boole (1) Définitions :

Variables binaires (entrée) : A, B, C ... Fonctions logiques (sorties) : W, X, Y... Vrai, oui = 1 Faux, non = 0

Table de vérité : elle comporte, 2ⁿ lignes (n = nombre de variables). Elle donne toutes les possibilités du système logique.

Dans la table de vérité : si A, B, Y ...= 1, alors forme directe : A, B, Y ... Si A, B, Y ... = 0, alors forme inverse, , ,...

Mise en équation directe Y : on prend les équations (ET) des lignes de la table de vérité séparées par des (OU) quant la fonction vaut 1.

Mise en équation inverse : on prend les équations (ET) des lignes de la table de vérité séparées par des (OU) quant la fonction vaut 0.

Simplification algébrique : on utilise les théorèmes.

Logigramme : schéma construit à partir de l’équation logique à l’aide des symboles des opérateurs.

Propriétés générales : Commutativité : AB = BA ; A+B = B+A Associativité : (AB)C = A(BC) ; (A+B)+C = A+(B+C) Distributivité : (AB)+C = (A+C)(B+C) ; (A+B)C = AC+BC

Axiomes Théorèmes (permettent les simplifications algébriques )

OU ET NON OU ET NON Transformation de de Morgan

0+0 = 0 0.0 = 0 = 1 A+A = A A .A = A = A =...

0+1 = 1 0.1 = 0 = 0 A+ = 1 A. = 0 = +++ ...

1+0 = 1 1.0 = 0 A+1 = 1 A .1 = A Transformation valable quelque soit

1+1 = 1 1.1 = 1 A+0 = A A .0 = 0 le nombre de variables

Opérateurs fondamentaux

Opérateur Signe Symbole AFNOR Nb de var. (n) Table de vérité Equation Commentaires

N°

A Y

^Equation_des

lignes

Y est vrai pour NON

(Inverseur) ( ) n = 1 0 0

()

1

( Y )

Y = Y est l’inverse de A

1 1

( A )

0

()

A

Y = A barre

N°

B A Y

_{des lignes}^Equation (Y est faux si toutes

les variables sont

n, de 2 à  ^{0 0 0 0 .}

^fausses)

(inclusif)

OU (+) 1 0 1 1 . A Y = A+B Y est vrai dès

2 1 0 1 B . Y = A OU B qu’une variables

3 1 1 1 B . A est vraie

N°

B A Y

_{des lignes}^Equation

0 0 0 0 . Y n’est vrai que si

A ET B

(Y est faux dès qu’une variables

ET (.) n, de 2 à  ^{1 0 1 0 . A} sont vraies en

même temps

est fausses)

2 1 0 0 B . Y = AB Y est vrai si toute les

3 1 1 1 B . A Y = A ET B variables sont

vraies Exemple de mise en équation puis de simplification algébrique : voir la table de vérité du OU logique.

Mise en équation directe : Y =

.

^{A+ B}

.

^{+ B}

.

A (lignes 1, 2, 3 de la table ) Mise en équation inverse : =

.

(ligne 0 de la table ) Traitement algébrique Commentaires des simplifications Traitement algébrique Commentaires Y =

.

A+ B

.

(+ A)

Y =

.

A+ B

.

1 Y =

.

A+ B Y = (+B)

.

( A+B ) Y = 1

.

(B+A) Y = A + B

Factorisation par B

d’après le théorème : + A = 1 d’après le théorème : B

.

1 = B

Distributivité en OU (N’est valable uniquement qu’en

algèbre de Boole).

d’après le théorème : +B = 1 d’après le théorème : 1(B+A) = A+B

= Y = A + B

Transformation de de Morgan

Suppression des barres de part et d’autre du signe égal.

Remarque

Pour la mise en équation, on choisie la forme utilisant le moins de termes.

Ici c’est la mise en équation inverse.

FICHE LOGIQUE COMBINATOIRE

THEME : L es opérateurs élémentaires et l’algèbre de Boole (2) Opérateurs simples

Opérateur Signe Symbole AFNOR Nb de var (n) Table de vérité (n=2) Equation Commentaires

N

°

B A Y

_{des lignes}^Equation

Y =

NOR () 0 0 0 1  Y = A OU B le

tout barré Le NOR est l’inverse du OU

A

=1

Y

A B

1

Y

A B

& Y

A B

1

Y

(OU-NON) n, de 2 à  1 0 1 0 A

2 1 0 0 B

3 1 1 0 BA

N

°

B A Y

_{des lignes}^Equation

NAND () 0 0 0 1  Y = Le NAND est

(ET-NON) n, de 2 à  1 0 1 1 A Y = A ET B le

tout barré l’inverse du

2 1 0 1 B ET

3 1 1 0 BA

N

°

B A Y

_{des lignes}^Equation

OU

exclusif () n = 2 0 0 0 0  Y n’est vrai

que si 1 0 1 1 A Y = (A )+( B ) exclusivement

A OU si

2 1 0 1 B Y = A  B exclusivement

B est vrai

3 1 1 0 BA Y = A OU

exclusif B Exemple de logigramme :

Logigramme Table de vérité (avec calculs intermédiaires)

Fonction réalisée par le logigramme :

Le logigramme comporte : deux entrées (à gauche du schéma), les variables A et B . Une sortie (à droite) la fonction Y.

Il est constitué des opérateurs logiques suivants : 2 Inverseurs, 2 ET à 2 entrées, 1 NOR à 2 entrées.

La recherche de l’équation se fait directement sur le logigrammes, on place les résultats des opérations réalisée en sortie de chaque opérateur, en allant des entrées vers la sortie.

Remarque : il est plus facile de compléter la table de vérité, lorsque celle-ci contient les calculs intermédiaires.

Mise en équation d’après la table de vérité Remarques Directe : Y = + BA Inverse : = B+ A

Y = = (OU exclusif barre)

Le logigramme aurait pu être construit en utilisant : Un OU exclusif et un inverseur 2 inverseurs, 2 ET à 2 entrées, 1 OU à 2 entrées.

N°

B A B A Y=

Equation des lignes

0 0 0 1 1 0 0 1 

1 0 1 1 0 0 1 0 A

2 1 0 0 1 1 0 0 B

3 1 1 0 0 0 0 1 BA

Y=

+ A)

A

⁼¹

B

⁼¹

B

&

B

A

&

1

A

A B

& Y

A B

Y

=1