1 Somme totale

(1)

Chapitre 1

—

Séries numériques

Introduction :

Rappelons qu’une suite numérique est une suite à valeurs dans R ou dans C. Pour toute suite numérique (un)n>N, on peut donc construire une nouvelle suite (Sn)n>N définie par

S_n =

n

X

k=N

u_k

Ce chapitre consiste à étudier ce type de suites, appelées "séries", qui seront ensuite utilisées dans le but de définir la théorie sur les "probabilités discrètes".

I Convergence d’une série

1 Somme totale

Définition :

Une suite(Sn)n>N est appeléeséries’il existe une suite(un)n>N telle que

∀n∈N, n>N Sn =

n

X

k=N

uk

Dans ce cas, on appelle

u_n leterme généralde la série(S_n)_n_>_N,

S_n lasomme partielle d’ordrende la série(S_n)_n_>_N et on note de manière équivalente

Xun

n>N

ou X

n>N

un

pour désigner la série(S_n)_n_>_N.

Exemple :

Sn=

n

P

k=1

k²

|{z}

uk

. On a S1= 1

|{z}

u1

, S2= 1

|{z}

u1

+ 2²

|{z}

u2

, , . . . , Sn= 1

|{z}

u1

+ 2²

|{z}

u2

+. . .+ n²

|{z}

un

Contre exemple :

i An =

2n

P

k=n+1

uk n’est pas une somme partielle, puisque les deux bornes dé- pendent den. En revanche, on peut exprimerAn grâce à des sommes partielles :

A_n=S_2n−S_n, oùS_n=

n

P

k=N

u_k oùN est fixé.

ii B_n=

n

P

k=0

1

n+k n’est a priori pas une somme partielle, puisque le terme gé- néral dépend aussi den. Néanmoins, dans cet exemple, on peut également exprimerBn grâce à des sommes partielles :

B_n=

n

X

k=0

1 n+k =

2n

X

k=n

1

k =S_2n−S_n−1

oùS_n=

n

P

k=1

1 k.

Définition :

On dit que la série P

n>N

un converge (resp.diverge) si la suite (Sn)_n_>_N converge (resp.diverge.), oùS_n =

n

P

k=N

u_k pour toutn>N.

En cas de convergence, la limite sera notée lim

n→+∞

n

P

k=N

uk =

+∞

P

k=N

uk et sera appelée somme totalede la série P

n>N

u_n.

Exemples :

1 La série P

n>0

1 est divergente. En effet,

n

P

k=0

1 =n+ 1−−−−−→

n→+∞ +∞

2 La série P

n>0

nest divergente. En effet,

n

P

k=0

k=n(n+ 1)

2 −−−−−→

n→+∞ +∞.

3 Si |q|<1, la série P

n>0

qⁿ est convergente. En effet,

n

X

k=0

q^k =1−qⁿ⁺¹

1−q −−−−−→

n→+∞

1

1−q, d’où

+∞

X

k=0

q^k = 1 1−q

Remarque :

S’il n’y a aucune ambiguïté sur la borne de départN de la série (ou si elle n’a pas d’importance), on notera le plus souventX

un pour désigner la série X

n>N

un. 1

(2)

Il ne faut pas confondre la notation P

n>N

un, qui désigne la série, avec la notation

+∞

P

k=N

u_kqui désigne la somme totale de la série. Si la série est divergente, ce nombre n’existe pas.

Exemple :

On peut dire que

+∞

P

n=0 1 2ⁿ = ₁₋¹1

2

= 2, mais P

n>0 1

2ⁿ ne vautpas₁₋¹1 2

. C’est une suite.

On a X

n>0

1

2ⁿ = (S_n) =





 1

|{z}

S0

, 1 +1 2

| {z }

S₁

, 1 + 1 2+ 1

2²

| {z }

S₂

, . . .







(infinité de termes)

Remarque :

Si la limite de la série est ±∞, on s’autorise toutefois souvent par abus de notation à écrire

+∞

P

k=N

u_k = ±∞, mais dans ce cas, on ne parle pas de somme totale, puisque ce nombre n’existe pas. (Oui, on rappelle en effet que∞n’est pas un nombre. . . )

Exemple :

Comme2>1, on a

+∞

P

n=0

2ⁿ = +∞.

Définition :

De même que pour une suite, on appellenaturede la série le caractère convergeant ou divergeant de la série.

Remarque :

Tout comme les suites, il existe des séries qui divergent autrement que vers±∞!

Exemple :

Siun= (−1)ⁿ pour toutn∈N. Alors S_n=

n

X

k=0

u_k=

(0 sinest impair 1 sinon

Les sous-suites de(S_n)d’indices pairs et impairs convergent donc vers des limites différentes. Autrement dit, la sériePu_n diverge.

Ne pas confondre la convergence de la suite(un)et celle de la sériePun.

Exemple :

Si un = 1, on a

n

P

k=1

1 = n −−−−−→

n→+∞ +∞, alors que lim

n→+∞un = 1. La suite (un) converge, alors que P

n∈N

un diverge.

Pour la somme totale, il faut faire attention à la "borne de départ" de la somme.

Exemple :

Si|q|<1, la série P

n> 2

qⁿ est convergente. En effet,

n

X

k=2

q^k =

n

X

k=0

q^k−(q⁰+q¹) =1−qⁿ⁺¹

1−q −(1 +q)−−−−−→

n→+∞

1

1−q−(1 +q) = q² 1−q D’où

+∞

P

n=0

qⁿ= 1

1−q et

+∞

P

n=2

qⁿ= q² 1−q 6=

+∞

P

n=0

qⁿ

Commentaires :

Le but de ce chapitre est d’étudier la convergence et la somme totale de certaines séries usuelles, ainsi que de donner quelques outils élémentaires d’étude. parmi ceux-ci, un outil de base dans le calcul d’une somme totale est le téléscopage.

Méthode 1 - Calcul de la somme totale par téléscopage

Le téléscopage est une méthode utilisée (dans des cas limités) pour aboutir au calcul explicite de la somme partielle puis de la somme totale. Il consiste à écrire le terme généralun sous la forme d’une somme d’éléments de même type :

un=vn+1−vn, (exemple 1

n et 1

n+ 1), qui, par changement d’indices, produiront l’élimination pro- gressive de la plupart des termes.

Exemple :

Calcul de la somme de la série P

n>1

1 n(n+ 1) : pourun= 1

n(n+ 1), on écritun= 1 n

|{z}

v_n

− 1 n+ 1

| {z }

v_n+1

. Ainsi, par téléscopage :

n

X

k=1

1 k(k+ 1) =

n

X

k=1

vk−

n

X

k=1

vk+1=

n

X

k=1

vk−

n+1

X

k=2

vk=v1−vn+1= 1− 1 n+ 1

Autrement dit, la série est convergente et

+∞

P

k=1

1

k(k+ 1) = 1.

2 —Séries numériques—

(3)

Propriété (Combinaisons linéaires de séries)

Soient P

n>N

un et P

n>N

vn deux séries etλ∈C.

i Si P

n>N

un converge, alors la suite P

n>N

λun converge versλ

+∞

P

n=N

(un).

ii Si P

n>N

un et P

n>N

vn convergent, alors la série P

n>N

(un+vn)converge vers

+∞

P

n=N

u_n+

+∞

P

n=N

v_n. iii Si P

n>N

u_n convergeet P

n>N

v_n diverge, alors P

n>N

(u_n+v_n) diverge.

iv Si P

n>N

un diverge et P

n>N

vn diverge, alors on ne peut rien dire sur P

n>N

(un+vn).

Démonstration :

C’est tout simplement une conséquence directe des propriétés sur les suites.

Remarque :

En cas de divergence vers l’infini, les principe des limites usuelles s’applique toutefois. Par exemple, si

+∞

P

n=N

u_n= +∞et

+∞

P

n=N

v_n= +∞, alors ^+∞P

n=N

(u_n+v_n) = +∞.

En revanche, si les deux limites infinies sont de signe opposé, alors c’est une forme indéterminée.

Exemples :

1 La série P

n>0 1 2

n+1

converge : En effet, on peut par exemple écrire que

X

n>0

1 2

ⁿ⁺¹

=1 2

X

n>0

1 2

n

et comme ¹₂

<1, on sait que P

n>0 1 2

n converge.

2 La série P

n>0

1

6+ ¹₂ⁿ⁺¹

diverge : On voit pour commencer que :

X

n>0

1 6 = 1

6 X

n>0

1

O a déjà vue que la série P

n>0

1diverge et que P

n>0 1 2

n+1

converge. Par combinaison linéaire de séries, on sait donc que la somme va diverger.

2 Reste

Définition :

En cas de convergence de la série P

n≥N

u_n, on appelle reste de la série la suite (Rn)_n≥N telle queRn =

+∞

P

k=N

uk−

n

P

k=N

uk=

+∞

P

k=n+ 1

uk. Le termeRn est appelé reste d’ordren.

Exemple :

Le reste d’ordrende la sérieP

qⁿ est Rn= ^q_1−qⁿ⁺¹. Démonstration :

On poseSn=

n

P

k=0

q^k. AlorsRn=

+∞

P

k=0

q^k−

n

P

k=0

q^k= _1−q¹ −^1−q_1−qⁿ⁺¹ =^q_1−qⁿ⁺¹

Le reste n’est défini que si la série est convergente. Sinon,

+∞

P

k=n+1

uk n’existe pas.

(ce résultat sera démontré dans la partie "critères de convergence ; résultats pré- liminaires")

Propriété

Pour toute sériePun convergente, on a lim

n→+∞Rn= 0.

Démonstration :

Comme la série converge, la somme totaleS existe, on peut écrireRn=S−Sn. Or

n→+∞lim S−Sn=S−S = 0.

On en déduit que lim

n→+∞R_n= 0.

3 Divergence grossière

Proposition

SiPu_n converge, alors lim

n→+∞u_n= 0

Démonstration : SiP

unconverge, on noteS la somme totale de la série etSn la somme partielle d’ordren. On a alors

un=Sn−S_n−1−−−−−→

n→+∞ S−S= 0.

(4)

Conséquence :

Si la suite(un)ne tend pas vers0, alorsP

un ne peut être convergente.

Exemples :

1 P

n∈N^∗

ln(2 + 1

n)ne peut être convergente, car lim

n→+∞ln(2 + 1

n) = ln 2.

2 P

n∈N

sinn^π₂ ne peut être convergente, car(sinn^π₂)est une suite divergente.

La réciproque de la proposition est fausse ! Il existe des séries diver- gentes, dont le terme général tend vers 0 :

Proposition

La série P

n>1

1

n est divergente.

Démonstration : On poseSn=

n

P

k=1

1 k. Alors

S_2n−S_n=

2n

X

k=n+1

1 k

|{z}

>_2n¹

>n 1 2n= 1

2

Si (S_n)était convergente, par passage à la limite des deux cotés de l’inégalité, on obtiendraitS−S

| {z }

0

>1

2, ce qui est absurde.

Définition :

Si une sériePu_n est telle que(u_n) ne tend pas vers0, on dit que la sériediverge grossièrement.

II Critères de convergence

1 Résultats préliminaires

Lemme

Pour une suite(u_n)_n_>_N et pour toutM ∈N, M >N, les séries P

n>N

u_n et P

n>M

u_n sont de même nature.

Démonstration : Pour toutn>M, on a

n

X

k=N

uk=

M−1

X

k=N

uk

| {z }

indépendant de n

+

n

X

k=M

uk

Le terme

M−1

X

k=N

uk étant constant par rapport àn, la convergence de

n

X

k=N

uk

!

est donc équivalente à la convergence de

n

X

k=M

uk

! .

Conséquence :

C’est cette propriété qui nous assure que si la série Pu_n diverge, alors le reste n’existe pas (quelquesoit son ordre d’ailleurs.)

Même nature ne veut pas dire même somme totale, par exemple, si|q|<1, on a

+∞

X

k=0

q^k= 1 1−q et

+∞

X

k=2

q^k= q² 1−q

Propriété

Si (un)et (vn)ne diffèrent que d’un nombre fini de termes, alors P

un etP vn

sont de même nature.

Démonstration :

Sachant que la convergence ne dépend pas de la borne de départ, pour des raisons de facilité d’écriture, on pourra supposer que la suite est indexée sur N. On poseΩ ={n∈N|un 6=vn}.Ωest un sous ensemble majoré deN. Il possède donc une borne supérieure, notéeM.

Par définition de M, on a (X

un)n>M+1= (X

vn)n>M+1.

Par le lemme précédent, on sait que P

n∈N

un est de même nature que (Pun)n>M+1.

De même, P

n∈N

vn est de même nature que(Pvn)n>M+1. Par transitivité, on en déduit que P

n∈N

u_n et P

n∈N

v_n sont de même nature.

(5)

2 Séries à termes positifs

Commentaires :

Comme on ne sait pas toujours calculer facilement les sommes partielles, pour déterminer la convergence d’une série dans le cas où elle ne diverge pas grossière- ment, on peut être en proie à certaines difficultés. Néanmoins (et heureusement), il existe un certain nombre de critères nous permettant de faciliter cette étude.

Les critères de base consistent à se ramener à des séries dont la convergence est déjà connue.

Lemme

On se donne Pun une série à termes positifs au moins à partir d’un certain rang. On a alors :

i La série Pun est croissante.

ii La sériePu_n converge si et seulement si elle est majorée.(et s’il y a convergence, sa somme totale est inférieure à son majorant.)

iii La série Pu_n diverge vers+∞ssi elle n’est pas majorée.

Démonstration :

SoitPu_n une série à terme positifs. On peut supposer quePu_n= P

n∈N

u_n. i On poseS_n =

n

P

k=0

u_k. Alors S_n+1−S_n =u_n >0. La suite(S_n) est donc croissante.

ii Comme(S_n)est croissante, les critères de convergence sur les suites croissantes nous indiquent que P

n∈N

u_nest convergente si et seulement si elle est majorée. Les critère de majoration de la limite s’appliquent également.

iii De même que pour la partie précédente, les critères de convergence sur les suites croissantes nous indiquent que si Pu_n n’est pas majorée, elle diverge vers+∞.

Exemple :

Montrons que la série P

n>1 1

n3ⁿ converge.

————–

Solution

————–

Notons

S_n=

n

X

k=1

1 k3^k

Remarquons que la série est à termes positifs. Elle est donc croissante. De plus, pour toutk>1, on a

1 k3^k 6 1

3^k

Ainsi, on a Sn 6

n

X

k=1

1 3^k = 1

3

n−1

X

i=0

1 3ⁱ =1

3

1− ¹₃ⁿ 1−¹₃ =1

2

1− 1

3 ⁿ

61 2

Ainsi, au total, on a pour toutn∈N^∗ : S_n6 1

2

C’est donc une suite croissante et majorée, donc convergente, avec même 06

+∞

X

n=1

1 n3ⁿ 61

2

Remarque :

En réalité, ce théorème n’est pas du tout optimal dans l’exemple précédent. On se servira plutôt du théorème qui suit :

Théorème de comparaison des séries à termes positifs (TCSTP)

On se donne deux suites (un)et(vn)telles que, à partir d’un certain rangN, H1 (u_n)et(u_n) sontpositives

H2 un6vn.

Alors

i Si Pv_n converge, alorsPu_n converge et

+∞

P

n=N

u_n6

+∞

P

n=N

v_n. ii Si Pu_n diverge, alorsPv_n diverge.

Démonstration : Les sériesPu_net P

n≥N

u_n( resp.Pv_n et P

n>N

v_n) sont de même nature. Il suffit donc d’étudier la convergence de P

n≥N

un et P

n>N

vn. Clairement, on obtient

06

n

X

k=N

uk 6

n

X

k=N

uk

De plus, d’après le lemme précédent, comme tous les termes de rang plus grand que N sont positifs, les séries X

un

n>N et X vn

n>N sont toutes deux croissantes.

(6)

i Supposons que la série P

n∈N

v_n converge.

On a Pv_n converge ⇔ P

n≥N

v_n converge

⇔ P

n≥N

vn est majorée

⇒ P

n≥N

un est majorée

⇔ P

n≥N

u_n est convergente

⇔ P

un est convergente En cas de convergence, le passage à la limite donne le reste.

ii Supposons que la série P

n∈N

u_n diverge.

On a P

un diverge ⇔ P

n≥N

un diverge

⇔ P

n≥N

u_n n’est est majorée

⇔ P

n≥N

vn diverge vers+∞

⇒ Pvn diverge vers +∞

Exemples :

1 La série

P n+1 n(n−1)

n>2

diverge : On constate aisément que n+ 1

n(n−1) > 1

n >0pour tout entiern>2. La divergence de la série P1

n

n>2, permet de conclure.

2 La série P 1 n

ⁿ

n>2converge : On observe que pour toutn>2,06 n¹

ⁿ 6 ¹2

ⁿ

. Or la sérieP 1 2

ⁿ

est convergente (comme vu sur un exemple précédent.) Ainsi, par théorème de comparaison des séries à termes positifs, P 1

n

ⁿ

n>2converge.

Remarque :

Les critères énoncés pour les séries à termes positifs peuvent se transposer aux séries à termes négatifs. En effet, si Pv_n est à termes négatifs, en posant u_n = −v_n > 0 pour tout entier n, on peut se ramener à l’étude de la série Pu_n à termes positifs.

3 Convergence absolue

Commentaires :

S’il est souvent utile de pouvoir se ramener à l’étude d’une série déjà connue, le paragraphe précédent ne permet de le faire que pour des séries à termes tous positifs (ou tous négatifs) à partir d’un certain rang. Or, en général, les séries sont beaucoup plus diversifiées. Malgré tout, un des critères de convergence, ap- pelé convergence absolue, va permettre de se ramener, dans beaucoup de cas, à l’étude d’une série à termes positifs.

Proposition

On se donne une série quelconquePun. Sila sérieX

|un|

converge,alorsla série P

n∈N

un converge.

On appelle cecila convergence absolue.

Démonstration :

On ne perd rien à supposer que Pun = P

n∈N

un (c’est-à-dire que la série est indexée surNtout entier.)

On pose u⁺_n = max(un,0) =

(un siun>0 0 sinon et u⁻_n =−min(un,0) =

(−un siun60

0 sinon

de sorte que u_n =u⁺_n −u⁻_n avec

06u⁺_n 6|un| et 06u⁻_n 6|un| pour toutn∈N.

Ainsi,

n

X

k=0

(u⁺_n −u⁻_n) =

n

X

k=0

u⁺_n −

n

X

k=0

u⁻_n. (∗)

La série X

(u⁺_n)_n∈_N est à termes positifs et u⁺_n est majoré par |u_n|, qui est, par hypothèse, le terme général d’une série convergente. La sérieX

(u⁺_n)n∈Nest donc convergente. De même, la série X

(u⁻_n)_n∈_Nest convergente.

Comme lim

n→+∞

n

X

k=0

u⁺_n et lim

n→+∞

n

X

k=0

u⁻_n existent, on en déduit l’existance de leur différence grâce à l’égalité (*), autrement dit, P

n∈N

u_n converge.

Attention, la réciproque est fausse !

(7)

Exemple :

Soit la série harmonique alternée :

P(−1)ⁿ⁺¹ n

n≥1

. Elle n’est pas absolument convergente, mais est convergente. (non démontré ici, mais cf. fin de chapitre pour une observation graphique.)

Méthode 2 - Détermination d’une convergence

Si le terme général de la série est de signe quelconque, on pourra chercher à prouver sa convergence absolue ou à décomposer en somme des séries dont on connait la convergence.

III Exemples fondamentaux

1 Séries de Riemann

Remarque :

Pour la culture(HP), on appelle généralement série de Riemann toute série de typeP 1

n^α.

Au programme deux sont à connaître : les sériesP1

n et P 1 n².

Proposition

Rappel : La sérieP1

n est divergente.

Démonstration :

Cette démonstration a déjà été effectuée dans la partie "divergence grossière".

Proposition

La série P 1

n² est convergente.

Démonstration :

Soitn∈N^∗,n >1. On an>n−1, d’où n²>n(n−1)

Ainsi, par décroissance de la fonction inverse sur]0; +∞[, on a

0< 1

n² 6 1 n(n−1) Or, la série P

n>2 1

n(n−1) est convergente (déjà démontré par télescopage.) Ainsi, par critère de comparaison des séries à termes positifs, on obtient la convergence de la série P

n>2 1

n² et donc celle deP 1 n². Exercice

Montrer que toute série de typeP 1 n^α est : - convergente siα>2.

- divergente siα61.

Remarque :

Les résultats précédents ne permettent pas de conclure sur la convergence ou la divergence des séries de typeP 1

n^α si1 < α <2. Ces résultats existent mais ne sont pas à notre programme.

Exercice

SoitPun une série réelle. Montrer que silimn²|un|existe, alorsPun est (absolument) convergente.

————–

Solution

————–

Notons`= limn²|un|. Il existe alors N tel que, pour toutn>N, on a n²|un|62`

i.e.

|un|6 2`

n² ∀n>N

Or, _n¹2 est le terme général d’une série convergente. Par théorème de majoration des séries, la sérieP

un est donc absolument convergente.

Remarque :

L’exercice précédent permet, dans beaucoup de cas, de se sortir d’une situation inextricable de démonstration de convergence de certaines séries, si on ne trouve pas de comparaison simple avec d’autres séries connues. Néanmoins, ce résultat n’est pas un résultat de cours. C’est donc à redémontrer systématiquement à chaque utilisation.

(8)

2 Séries géométriques

Définition :

On appellesérie géométrique toute série X

n>N

qⁿ, oùq∈C.

Théorème

i P

n∈N

qⁿ est convergente si et seulement si|q|<1.

ii Si |q|<1 la somme totale existe et vaut

+∞

P

k=0

q^k= 1 1−q. Démonstration :

• Tout d’abord, si|q|>1, la série est grossièrement divergente puisque qⁿ 6→0.

• Si|q|<1: On sait que

n

P

k=0

q^k= 1−qⁿ⁺¹

1−q Or, comme|q|<1, on a qⁿ⁺¹−−−−−→

n→+∞ 0

On en déduit donc la proposition directement par considération de limite sur la formule.

3 Série ( P

nq

ⁿ

)

_n∈

N

Théorème

i P

n∈N

nqⁿ⁻¹ est convergente si et seulement si |q|<1.

ii Si|q|<1 la somme totale existe et vaut

+∞

P

k=0

kq^k−1=

+∞

P

k=1

kq^k−1= 1 (1−q)².

Moyen mnémotechnique :

Pour retenir ce résultat, on "dérive" terme à terme par rapport àq" l’expression 1

1−q =

+∞

P

k=0

q^k, pour obtenir 1 (1−q)² =

+∞

P

k=1

kq^k−1.

Ne pas voir dans ce moyen mnémotechnique un quelconque résultat sur les dérivées de séries !

Démonstration :

i Supposons que |q| ≥1. Alorsn|q|ⁿ≥net donc n|q|ⁿ−−−−−→

n→+∞ +∞

ce qui signifie que

nqⁿ6−−−−−→

n→+∞ 0 Il y a divergence grossière de la série.

ii Supposons maintenant que |q|<1. Montrons que la série converge.

Méthode 1 : (par dérivée) On posefn(q) =

n

P

k=0

q^k, alorsf_n⁰(q) =

n

P

k=1

kq^k−1

Comme on sait quefn(q) = 1−qⁿ⁺¹

1−q , on obtient f_n⁰(q) =

1−qⁿ⁺¹ 1−q

⁰

= −(n+ 1)qⁿ(1−q)−(1−qⁿ⁺¹)(−1) (1−q)²

= −(n+ 1)qⁿ+ (n+ 1)qⁿ⁺¹+ 1−qⁿ⁺¹ (1−q)²

= nqⁿ⁺¹−(n+ 1)qⁿ+ 1 (1−q)² On en déduit que

n

P

k=1

kq^k−1 = nqⁿ⁺¹−(n+ 1)qⁿ+ 1

(1−q)² −−−−−→

n→+∞

1 (1−q)², ce qui montre la proposition.

Méthode 2 : par considération combinatoire 1+ q+ q²+ q³+ . . . +qⁿ⁻¹ =

n−1

P

k=0

q^k= 1−qⁿ⁻¹ 1−q q+ q²+ q³+ . . . +qⁿ⁻¹ =

n−1

P

k=1

q^k=q1−qⁿ⁻² 1−q . . .

q^N+ . . . +qⁿ⁻¹ =

n−1

P

k=N

q^k=q^N1−q^n−N 1−q . . .

qⁿ⁻¹ =

n−1

P

k=n−1

q^k=qⁿ⁻¹1−q 1−q Par sommation sur les colonnes, on obtient la somme partielle

n

X

k=1

kq^k−1=

n

X

N=0

q^N1−q^n−N 1−q = 1

1−q

n

X

N=0

(q^N −qⁿ) = 1 1−q

n

X

N=0

q^N −nqⁿ

!

Par passage à la limite, on obtient la convergence de la série et la somme totale.

(9)

Méthode 3 : par introduction du "1"

On poseSn=

n

P

k=0

q^k etS_n⁰ =

n

P

k=0

kq^k−1. Alors

S_n⁰ =

n

P

k=1

kq^k−1=

n

P

k=1

(k−1 + 1)q^k−1

=

n

P

k=1

(k−1)q^k−1+

n

P

k=1

q^k−1

= qS_n−1⁰ +S_n−1=q(S_n⁰ −nqⁿ⁻¹) +S_n−1 D’où

S_n⁰ = S_n−1−nqⁿ 1−q

Par passage à la limite, on trouve encore une fois le résultat annoncé.

Corollaire

P

n∈N

nqⁿ estconvergente si et seulement si|q|<1.

Dans ce cas, la somme totale vaut

+∞

P

n=0

nqⁿ = q (1−q)².

Démonstration : On a P

n>0

nqⁿ=q P

n>0

nqⁿ⁻¹pour tout réelq.

Le reste n’est qu’un simple passage à la limite : P

n>0

nqⁿ⁻¹étant convergente, on a que P

n>0

nqⁿ est convergente et

+∞

X

n>0

nqⁿ=q

+∞

X

n>0

nqⁿ⁻¹= q (1−q)²

4 Série P

n

²

q

ⁿ

n∈N

Théorème

i

Xn(n−1)qⁿ⁻²

n∈Nest convergente si et seulement si |q|<1.

ii Si |q|<1 la somme totale existe et vaut

+∞

X

k=2

k(k−1)q^k−2= 2 (1−q)³

Moyen mnémotechnique :

Pour retenir ce résultat, comme pourPnqⁿ⁻¹, on "dé- rive" terme à terme par rapport àq" l’expression 1

(1−q)² =

+∞

P

k=0

kq^k−1, Démonstration :

i Supposons maintenant que |q| ≥1. Alors, pour toutn∈N, n≥2, n(n−1)|q|ⁿ⁻²>1 ce qui entraîne la divergence grossière.

ii Supposons maintenant que |q|<1. Montrons que la série converge.

Méthode 1 : par dérivée On posegn(q) =

n

P

k=1

kq^k−1, alors

g_n⁰(q) =

n

X

k=0

k(k−1)q^k−2

Dans la démonstration de la partie précédente, on a obtenu gn(q) =

n

X

k=1

kq^k−1=nqⁿ⁺¹−(n+ 1)qⁿ+ 1 (1−q)² .

Autrement dit, on obtient g⁰_n(q) =

nqⁿ⁺¹−(n+ 1)qⁿ+ 1 (1−q)²

⁰

= (n(n+ 1)qⁿ−n(n+ 1)qⁿ⁻¹)(1−q)²+ 2(1−q)(nqⁿ⁺¹−(n+ 1)qⁿ+ 1) (1−q)⁴

= (n(n+ 1)qⁿ−n(n+ 1)qⁿ⁻¹)(1−q) + 2(nqⁿ⁺¹−(n+ 1)qⁿ+ 1) (1−q)³

Par passage à la limite, on obtient lim

n→+∞g⁰_n(q) = 2

(1−q)³. Ainsi, on en déduit la convergence de la série, ainsi que sa somme totale

+∞

X

k=0

k(k−1)q^k−2= 2 (1−q)³

Méthode 2 : par introduction du "1"... ou d’un "2" ...

On poseS_n=

n

P

k=0

q^k,S_n⁰ =

n

P

k=0

kq^k−1et S_n⁰⁰=

n

P

k=0

k(k−1)q^k−2. On a

(10)

S_n⁰⁰ =

n

P

k=0

k(k−1)q^k−2=

n

P

k=2

k(k−1)q^k−2

=

n

P

k=2

(k−2 + 2)(k−1)q^k−2=

n

P

k=2

(k−1)(k−2)q^k−2+ 2

n

P

k=2

(k−1)q^k−2

=

n−1

P

k=1

k(k−1)q^k−1+ 2

n−1

P

k=1

kq^k−1

= qS_n−1⁰⁰ + 2S_n−1⁰ =q(S_n⁰⁰−n(n−1)qⁿ⁻²) + 2S_n−1⁰ On en déduit que

(1−q)S_n⁰⁰= 2S_n−1⁰ −n(n−1)qⁿ⁻¹−−−−−→

n→+∞

2 (1−q)² D’où le résultat annoncé.

Corollaire

Xn²qⁿ

n∈N

est convergente si et seulement si |q|<1. Dans ce cas, la somme totale vaut

+∞

P

n=0

n²qⁿ= q(1 +q) (1−q)³. Démonstration :

On poseSn(q) =

n

P

k=0

k²q^k.

• Si|q|>1, alors il y a divergence grossière.

• Si|q|<1, on a Sn(q) =

n

X

k=0

k(k−1 + 1)q^k=

n

X

k=0

k(k−1)q^k+

n

X

k=0

kq^k=q²

n

X

k=0

k(k−1)q^k−2+

n

X

k=0

kq^k

Or, on sait que

n

P

k=0

k(k−1)q^k et

n

P

k=0

kq^k sont toutes deux convergentes, d’où

+∞

P

k=0

k²q^k = q² 2

(1−q)³ + q (1−q)²

= q 2q

(1−q)³ + 1−q (1−q)³

= q 1 +q (1−q)³

Exercice

De manière générale, poura∈N, si|q|<1, la série P

n∈N

n(n−1). . .(n−a+ 1)q^n−a est convergente et

+∞

X

n=0

n!

(n−a)!q^n−a=

+∞

X

n=0

n(n−1). . .(n−a+ 1)q^n−a= a!

(1−q)^a+1

————–

Solution

————–

Cette démonstration peut se faire par récurrence sur Nen utilisant les méthodes d’introduction déjà vues. Notamment, par

+∞

X

n=0

n(n−1). . .(n−a+ 1)q^n−a=

+∞

X

n=0

(n−a+a)(n−1). . .(n−a+ 1)q^n−a

5 Série exponentielle

Définition :

On appellesérie exponentielletoute sérieXxⁿ n!

n∈N

, oùx∈R.

Proposition

i Pour tout x∈R, la série Xxⁿ n!

n∈N

est convergente.

ii

+∞

P

k=0

x^k k! =e^x

Démonstration :

Cette démonstration est hors programme et ne figure ici qu’à titre "culturel"

On poseSn=

n

P

k=0

x^k

k!. On montre facilement par récurrence que e^x=

n

X

k=0

x^k k! +

Z x

0

(x−t)ⁿ n! e^tdt

ce qui donne

Sn=e^x− Z x

0

(x−t)ⁿ n! e^tdt.

On pose I(x) = Z x

0

(x−t)ⁿ

n! e^tdt. Par changement de variablet= t

u, on obtient I(x) =xⁿ⁺¹

Z 1

0

(1−t)ⁿ n! e^xudu

(11)

Ainsi,

|I(x)| 6 |xⁿ⁺¹| Z 1

0

|(1−t)ⁿ n! e^xu|du 6 |xⁿ⁺¹|

n!

Z 1

0

e^xudu

| {z }

constant par-rapport àn

−−−−−→

n→+∞ 0

6 Application

Méthode 3 - Calcul explicite de la somme totale

Pour déterminer la convergence puis la somme totale d’une série P

n∈N

un, on peut chercher à décomposer en somme de séries connues.

Exercice

Déterminer la convergence et la somme totale de X

n∈N

n+ 4 3ⁿ

IV Et si on change l’ordre des termes ?

Dans une somme finie de nombres réels, on sait (commutativité dansR) que l’on peut additionner les nombres dans n’importe quel ordre. Plus précisément, pour toute per- mutationϕ:{1, . . . , n} → {1, . . . , n} d’indices, on sait que

a1+. . .+an=a_ϕ(1)+. . .+a_ϕ(n)

La question ici est de savoir si oui ou non le même raisonnement est vrai dans le cas d’une somme infinie de termes. Nous allons tenter de nous convaincre graphiquement que la réponse est NON !

Considérons la "série harmonique alternée" S = P

n≥1 (−1)^k+1

k convergente (vers ln 2).

C’est la somme, "de gauche à droite", des éléments 1, −1

2, 1 3, −1

4, 1 5, −1

6, 1 7, . . .

Tentons maintenant d’additionner les termes d’une autre manière. Nous prendrons 2 positifs pour un négatif. "De gauche à droite" :

1, 1 3, −1

2, 1 5, 1

7, −1 4, . . . Nous admettrons que cette série converge également.

Ces deux séries (série harmonique en bas ... en rouge, l’autre en haut ... en bleu) sont représentées sur le graphique suivant :

Si on veut bien admettre que nous pouvons faire confiance au graphique en ce qui concerne le comportement asymptotique, nous constaterons que les sommes totales sont nettement différentes, ce qui devrait nous convaincre qu’en cas de somme infinie, en général, il fait faire attention à l’ordre dans lequel on somme les éléments !

Toutefois, la majorité des cas raisonnables que nous aurons à étudier ne poseront pas ce type de problèmes. En effet :

Théorème

Si une série X un

n∈N

est absolument convergente, alors la somme des un peut se faire dans n’importe quel ordre.

Démonstration :admise.

Corollaire

Si une suite (u_n)_n∈_N positive est telle que X u_n

n∈N

converge, alors, alors la somme desu_n peut se faire dans n’importe quel ordre.

11 — —