Simulation et analyse d’une structure non-linéaire à symétrie cyclique

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Simulation et analyse d’une structure non-linéaire à symétrie cyclique

Aurélien Grolet, Fabrice Thouverez, Pierrick Jean

To cite this version:

Aurélien Grolet, Fabrice Thouverez, Pierrick Jean. Simulation et analyse d’une structure non- linéaire à symétrie cyclique. Mécanique et Industries, Elsevier, 2010, 11 (6), pp.453-463.

�10.1051/meca/2010047�. �hal-02424289�

Simulation et analyse d’une structure non-lin´ eaire ` a sym´ etrie cyclique

Aur´elien Grolet

, Fabrice Thouverez

et Pierrick Jean

1

Ecole Centrale de Lyon, Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Syst` ´ emes, 36 avenue Guy de Collongue, 69134 ´ Ecully Cedex, France

2

Snecma – Safran group, 77550 Moissy-Cramayel, France

R´esum´e –

Cet article est d´ edi´ e ` a l’´ etude des vibrations libres et forc´ ees d’une structure ` a sym´ etrie cyclique, soumise ` a des non-lin´ earit´ es g´ eom´ etriques, par la m´ ethode de la balance harmonique (HBM). Dans le but d’´ etudier l’influence des non-lin´ earit´ es un mod` ele simplifi´ e a ´ et´ e d´ evelopp´ e. Apr` es ajustement des param` etres du mod` ele, les ´ equations du mouvement se pr´ esentent sous la forme d’´ equations diff´ erentielles du second ordre, lin´ eairement coupl´ ees, o` u les non-lin´ earit´ es se traduisent par des termes polynomiaux d’ordre deux et trois. Les solutions p´ eriodiques de ces ´ equations sont recherch´ ees grˆ ace ` a la m´ ethode de la balance harmonique coupl´ ee avec une proc´ edure de continuation. Dans le cas libre, en plus des modes non-lin´ eaires similaires et non similaires, on met en ´ evidence des modes non-lin´ eaires localis´ es. Dans le cas forc´ e, plusieurs types d’excitations sont consid´ er´ ees (excitation sur le premier mode propre lin´ eaire et excitation detun´ ee) et on ´ etudie particuli` erement l’influence du niveau d’excitation sur la structure des r´ eponses dynamiques. Pour une excitation suffisamment perturb´ ee, on montre que plusieurs solutions peuvent coexister, certaines d’entre elles ´ etant repr´ esent´ ees par des courbes ferm´ ees dans le plan fr´ equence- amplitude.

Mots cl´es :

Non-lin´ earit´ e g´ eom´ etrique / mode non-lin´ eaire / bifurcation / localisation

Abstract – Simulation and analysis of a nonlinear structure with cyclic symmetry.

This paper is intented to study both free and forced vibration of a nonlinear structure with cyclic symmetry, under geometric nonlinearity, through use of the harmonic balance method (HBM). In order to study the influ- ence of nonlinearity due to the large deflection of blades, a simplified model has been developed. After adjusting the model parameters, this approach leads to a system of linearly-coupled, second-order nonlinear differential equations, in which nonlinearity appears via quadratic and cubic terms. Periodic solutions, are sought by applying HBM coupled with an arc length continuation method. In the free case, in addition to featuring similar and nonsimilar nonlinear modes, the unforced system is shown to contain localized non- linear modes. In the forced case, several cases of excitation have been analyzed (low-engine-order excitation and detuned excitation) and we study the influence of the excitation level on the structure of dynamical response. For a sufficiently-detuned excitation, we show that several solutions can coexist, some of them being represented by closed curves in the frequency-amplitude domain.

Key words:

Geometric non-linearity / nonlinear normal mode / bifurcation / localization

1 Introduction

Cet article a pour objet l’´ etude des vibrations non- lin´ eaires libres et forc´ ees d’une structure ` a sym´ etrie cy- clique compos´ ee de sous-structures identiques, soumises ` a

a

Auteur pour correspondance :

aurelien.grolet@ecl2009.ec-lyon.fr

de grandes d´ eformations. Cette classe de syst` eme apparaˆıt en particulier dans la mod´ elisation des roues aubag´ ees [1].

La mise en ´ equation de telles structures, conduit ` a un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles coupl´ ees, d’ordre 2, avec des termes non-lin´ eaires polynomiaux.

Dans le cas lin´ eaire, en raison de la sym´ etrie parfaite

du probl` eme, l’´ etude de ces ´ equations fait apparaˆıtre en

Nomenclature

Ak

,

Coefficients de la HBM

F

(t) Forces externes dans le domaine temporel.

G(Y, ω) Syst`

eme d’´ equation alg´ ebrique issu de la HBM

Matrice jacobienne de

par rapport ` a

Matrices de masse et de raideur

X

(

) Vecteur des d.d.l. dans le domaine temporel

Vecteur des coefficients de la HBM

np

Nombre de secteurs

wj

D´ eplacement transverse du secteur

(

)

Coordonn´ ee de Ritz pour le secteur

(d.d.l.) (m)

Coefficient d’amortissement

Φ^c_i

,

Forme propre lin´ eaire

Φ

Fonction d’interpolation de Ritz

ω

,

Fr´ equence libre, fr´ equence d’excitation (rad.s

) majorit´ e des fr´ equences propres doubles correspondant ` a des formes propres distinctes associ´ ees ` a des modes de vibration ` a diam` etre [2].

Dans le cas non-lin´ eaire, l’´ etude des vibrations libres repose sur la d´ efinition des modes non-lin´ eaires (MNL) [3, 4]. Contrairement au syst` eme lin´ eaire, le nombre de modes non-lin´ eaires peut ˆ etre sup´ erieur au nombre de degr´ es de libert´ e du syst` eme, les modes suppl´ ementaires prenant naissance au travers de bifurca- tions. Dans [1, 5], Peeters utilise une m´ ethode de tir pour calculer les modes normaux non-lin´ eaires d’un syst` eme ` a sym´ etrie cyclique et met en ´ evidence des modes similaires et non similaires et montre l’existence d’interactions mo- dales.

Dans le cas libre ou forc´ e, si le couplage entre les sous- structures est suffisamment faible ou si la non-lin´ earit´ e est suffisamment forte, Vakakis [6] a montr´ e que des ph´ enom` enes de localisation sont possibles pour des struc- tures cycliques parfaitement sym´ etriques. Lorsque le ra- tio entre coefficient de couplage et coefficient de non- lin´ earit´ e augmente, des bifurcations apparaissent et les ph´ enom` enes de localisation se dissipent.

Dans le cadre de cet article, nous nous proposons d’´ etudier la r´ eponse libre et forc´ ee d’un mod` ele simplifi´ e de roue aubag´ ee en s’appuyant sur une approche de type balance harmonique coupl´ ee ` a une proc´ edure de continua- tion. Une attention particuli` ere sera port´ ee sur l’influence du niveau de chargement sur la r´ eponse forc´ ee.

2 Mise en ´ equation

2.1 Mod` ele simplifi´ e de roue aubag´ ee

Dans un premier temps, on consid` ere une structure de type roue aubag´ ee dont les n

= 6 secteurs sont mod´ elis´ es par des plaques minces rectangulaires iden- tiques (Fig. 1). Cette structure nous permettra d’obtenir une forme g´ en´ erale des ´ equations du mouvement pour des structures ` a sym´ etrie cyclique.

Fig. 1.

Mod` ele de roue aubag´ ee utilis´ e pour la mise en

´ equation.

Chaque secteur est soumis ` a des non-lin´ earit´ es g´ eom´ etriques [7, 8]. On suppose de plus l’existence d’un couplage entre chaque secteur r´ ealis´ e par une raideur lin´ eaire qui agit entre deux secteurs cons´ ecutifs. En uti- lisant les hypoth` eses de Love Kirchhoff, on ne retient comme inconnu que le d´ eplacement transverse de chaque secteur j not´ e w

(1 ≤ j ≤ n

). L’expression de la non- lin´ earit´ e est donn´ ee par la relation de Von Karman en sup- posant que le mat´ eriau suit une loi de Hooke standard [7].

La mise en ´ equation du syst` eme est r´ ealis´ ee grˆ ace aux

´ equations de Lagrange. Apr` es avoir calcul´ e une expression du lagrangien en fonction des d´ eplacements transverses de chaque secteur, on discr´ etise le syst` eme en s’appuyant sur une approche de Ritz [9]. On ne retient qu’une seule fonc- tion pour interpoler les d´ eplacements de telle mani` ere que l’on ait w

= x

Φ ( x ) o` u Φ ( x ) = (

x

)

est la fonction de Ritz choisie, avec L

la longueur de la plaque. Dans ce cas la variable x

correspond ` a la fl` eche en bout de pale pour le secteur j et les ´ equations du mouvement dans le domaine temporel s’´ ecrivent alors :

X ¨ + KX + bX

= F (t) (1) avec X = ( x

)

, la convention d’´ ecriture X

= (x

)

, et K une matrice circulante, caract´ eristique des syst` emes ` a sym´ etrie cyclique, d´ efinie par :

K =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎝

a + 2c −c 0 0 0 −c

−c a + 2c −c 0 0 0

0 −c a + 2 c −c 0 0

0 0 −c a + 2c −c 0

0 0 0 −c a + 2c −c

−c 0 0 0 −c a + 2 c

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎠ (2)

o` u les coefficients a, c et b, ainsi que le vecteur F sont d´ efinis en annexe.

2.2 Ajustement des param` etres de l’´ equation

Une ´ etude des param` etres de l’´ equation (1) nous

montre que le syst` eme obtenu est fortement non-lin´ eaire.

Fig. 2.

Mod` ele ´ el´ ements-finis d’un secteur.

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

−10

−5 0 5 10

Deplacement (m)

Pression (Mpa)

Points calculés par MECANO interpolation cubique sans constante

Fig. 3.

Point de calcul et interpolation de la relation entre pression et d´ eplacement transverse.

Cette forte non-lin´ earit´ e est due ` a la fonction de Ritz Φ choisie pour interpoler les d´ eplacements. De plus, ces

´

equations ne sont valables que dans le cas o` u les sec- teurs sont parfaitement sym´ etriques (pas de terme qua- dratique).

On souhaite ajuster les param` etres de l’´ equation (1) en se basant sur une structure r´ eelle dont on dispose d’un mod` ele ´ el´ ements finis (Fig. 2). La m´ ethode d’ajustement consiste ` a rechercher une relation simplifi´ ee entre force et d´ eplacement qui conduira ` a une ´ equation approch´ ee pour le premier mode de flexion d’un secteur. Les autres sec- teurs seront ensuite pris en compte au travers d’un coeffi- cient de couplage pour finalement obtenir les ´ equations du mouvement d’une structure ` a sym´ etrie cyclique compos´ ee de secteurs r´ eels (non sym´ etriques) vibrant selon leur pre- mier mode de flexion. ´ Etant donn´ e que la structure r´ eelle n’est pas parfaitement sym´ etrique, on s’attend ` a obtenir des termes quadratiques dans l’´ equation du mouvement.

Pour d´ eterminer la relation simplifi´ ee entre force et d´ eplacement pour la pale r´ eelle, on applique un champ de pression statique uniforme sur toute la structure selon la direction transverse, et on rel` eve le d´ eplacement en bout de pale selon cette mˆ eme direction. On obtient un nuage de points, qui est ensuite interpol´ e par un polynˆ ome de degr´ e 3 (Fig. 3). La relation obtenue entre la pression P (en MPa) et le d´ eplacement en bout de pale x (en m) est de la forme :

P (x) = a

x

+ a

x

+ a

x (3) avec a

= 254,90, a

= −66,30, a

= 40,54.

En ne consid´ erant qu’une seule pale et en prenant en compte la relation de l’´ equation (3), on suppose que l’´ equation du mouvement pour le premier mode de flexion est de la forme suivante :

x ¨ + αx + γx

+ βx

= f (t) ⇔ x ¨ + F (x) = f (t) (4) avec x le d´ eplacement transverse en bout de pale, f (t) la force d’excitation, α = ω

et ω

la fr´ equence propre du premier mode de flexion calcul´ e par le module dynam de Samcef.

On transforme la relation entre pression et d´ eplacement de l’´ equation (3) en une relation entre force et d´ eplacement en utilisant la valeur de la fr´ equence du premier mode de flexion. On suppose que la force li´ ee au d´ eplacement est de la forme F(x) = χP (x) avec χ une constante. En identifiant les termes de l’´ equation (4) on obtient :

χ = α

a

, γ = χa

, β = χa

(5) Les ´ equations du mouvement pour chaque secteur j (j = 1 ` a 6) sont alors donn´ ees par :

x ¨

+(α+2c)x

−c x

−c x

+γ x

+β x

= f

(t) (6) o` u c repr´ esente la valeur du coefficient de couplage et f

la force d’excitation sur le secteur j.

En rempla¸cant a par α dans la d´ efinition de la matrice K (´ Eq. (2)), l’´ equation (6) peut se r´ e´ ecrire sous forme matricielle :

X ¨ + KX + γX

+ βX

= F (t) (7) Les valeurs num´ eriques des param` etres obtenues apr` es l’op´ eration d’ajustement sont donn´ ees par :

α = ω

= 14 298 rad

.s

γ = −23 300 m

.s

β = 89 898 m

.s

(8)

Le coefficient de couplage est choisi arbitrairement ` a c = 150 rad

.s

.

3 M´ ethode de r´ esolution : (( harmonic balance method ))

La m´ ethode de la balance harmonique est une tech- nique tr` es utilis´ ee pour ´ etudier les syst` emes non-lin´ eaires et ses exemples d’application sont nombreux. Cette m´ ethode permet de traiter le cas de syst` emes fortement non-lin´ eaires avec par exemple du frottement [10, 11], ou des non-lin´ earit´ es g´ eom´ etriques [12, 13].

La m´ ethode de la balance harmonique consiste ` a re- chercher les solutions p´ eriodiques X de l’´ equation (7) sous forme de s´ eries de Fourier tronqu´ ees :

X (t) = A

+

Nh

k=1

A

cos(kωt) + B

sin(kωt) (9)

En rempla¸cant l’approximation de l’´ equation (9) dans les

´ equations du mouvement (7), et en identifiant les termes en sinus et cosinus, on obtient un syst` eme d’´ equations alg´ ebriques non-lin´ eaires ` a (2N

+ 1)n

+ 1 inconnues A

B

et ω . Dans le cas o` u l’amplitude de la force d’excita- tion est p´ eriodique de pulsation Ω, on prendra ω = Ω.

Le param` etre le plus important de cette m´ ethode est le nombre d’harmoniques retenues (N

). Ce nombre n’est g´ en´ eralement pas connu a priori, ce qui n´ ecessite des

´ etudes de convergence pour assurer une bonne estima- tion de la solution. Cependant, dans un nombre impor- tant de cas, il s’av` ere que la solution converge vite en termes d’harmoniques ce qui permet d’avoir des syst` emes de dimension raisonnable.

Le syst` eme obtenu apr` es l’application de la HBM peut se r´ e´ ecrire sous la forme suivante :

G ( Y , ω ) = 0 (10)

o` u Y est un vecteur correspondant aux inconnues de la HBM et G une fonction non-lin´ eaire d´ efinissant les

´ equations alg´ ebriques.

L’´ equation (10) sera r´ esolue par une technique de continuation par longueur d’arc [14]. La stabilit´ e des solutions obtenues sera ´ evalu´ ee par une m´ ethode de Floquet [14] et la d´ etection des bifurcations s’op´ erera en observant le d´ eterminant de la matrice jacobienne J

=

[14, 15].

4 R´ eponse libre du syst` eme ` a six degr´ es de libert´ e

Notre premier objectif est d’estimer les solutions p´ eriodiques libres du syst` eme (7). L’approche naturelle est donc l’utilisation des modes non-lin´ eaires (MNL) [3, 4, 16].

Les fr´ equences propres et les formes propres du syst` eme lin´ eaire sont donn´ ees par (les fr´ equences sont donn´ ees en rad.s

) :

ω

= √

α = 119 , 5742 Φ

= [1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1]

ω

= √

α + c = 120,1998 Φ

= [1, 1, 0, −1, −1, 0]

Φ

= 1, 1 2 , − 1

2 , −1, − 1 2 , 1

2 ω

= √

α + 3c = 121,4413 Φ

= [1, −1, 0, 1, −1, 0]

Φ

= 1, − 1 2 , − 1

2 , 1 − 1 2 , − 1

2 ω

= √

α + 4 c = 122 , 0574 Φ

= [1 , − 1 , 1 , − 1 , 1 , − 1]

(11) Les formes propres de l’´ equation (11) sont repr´ esent´ ees sur la figure 4.

4.1 Modes non-lin´ eaires

On recherche maintenant les modes non-lin´ eaires du syst` eme (7). Les branches de solutions libres sont calcul´ ees

1 2 3 4 5 6

0 0.5 1

Secteur

Amplitude

Forme propre linéaire Φ0

1 2 3 4 5 6

−1

−0.5 0 0.5 1

Secteur

Amplitude

Forme propre linéaire Φ1c

1 2 3 4 5 6

−1

−0.5 0 0.5 1

Secteur

Amplitude

Forme propre linéaire Φ1s

1 2 3 4 5 6

−1

−0.5 0 0.5 1

Secteur

Amplitude

Forme propre linéaire Φ2c

1 2 3 4 5 6

−0.5 0 0.5 1

Secteur

Amplitude

Forme propre linéaire Φ2s

1 2 3 4 5 6

−1

−0.5 0 0.5 1

Secteur

Amplitude

Forme propre linéaire Φ3

Fig. 4.

Formes propres du syst` eme lin´ eaire.

en choisissant comme point de d´ epart un mode lin´ eaire

`

a basse amplitude de vibration. Les backbones curves, courbes pr´ esentant l’´ evolution de la fr´ equence de vibra- tion en fonction de l’amplitude, seront repr´ esent´ ees dans le plan ´ energie-fr´ equence [1]. L’´ energie consid´ er´ ee ici est d´ efinie par :

E(X) =

A

+

Nh

k=1

(A

+ B

) (12)

o` u A

et B

sont les coefficients de la HBM d´ efinis ` a l’´ equation(9).

En choisissant une condition de phase dans laquelle toute les vitesses initiales sont nulles, les modes non- lin´ eaires du syst` eme (7) sont recherch´ es sous la forme suivante :

X (t) = A

+ A

cos ωt + A

cos 2ωt + A

cos 3ωt (13)

4.2 Modes non-lin´ eaires (( naturels ))

Les modes non-lin´ eaires issus des modes lin´ eaires sont repr´ esent´ es dans le plan ´ energie-fr´ equence sur les figures 5 et 6. On observe bien qu’ils sont tangents aux modes propres lin´ eaires et que la non-lin´ earit´ e ` a un effet dur- cissant.

Les modes non-lin´ eaires associ´ es aux formes Φ

(i = 0, 1, 2, ou 3) sont des modes similaires, leur forme propre ne varie pas avec l’amplitude de vibration. En revanche les modes associ´ es aux formes Φ

et Φ

ne sont pas similaires et le premier tend vers un mode de vibration o` u toutes les amplitudes sont les mˆ emes, alors que le second tend vers un mode de vibration qui localise le mouvement sur deux pales seulement (Fig. 6).

4.3 Modes non-lin´ eaires localis´ es

Apr` es ´ etude du jacobien pour le mode non-lin´ eaire

`

a 3 diam` etres, on met en ´ evidence des bifurcations de

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 115

120 125 130 135 140

log(E) Frequence (rad.s−1)

1 2 3 4 5 6 0

5x 10⁻⁴

Secteur

1 2 3 4 5 6 0

0.2

Secteur

(a) MNL 0 diam` etre

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

115 120 125 130 135 140

log(E) Frequence (rad.s−1)

1 2 3 4 5 6

−5 0 5x 10⁻⁴

Secteur

1 2 3 4 5 6

−0.2 0 0.2

Secteur

(b) MNL 3 diam` etres

Fig. 5.

Backbone curves et formes propres pour les modes ` a 0 et 3 diam` etres.

type point d’embranchement. Les r´ esultats sont donn´ es sur la figure 7 o` u la backbone curve du mode non-lin´ eaire

`

a 3 diam` etres est repr´ esent´ ee en trait continu et les bi- furcations en traits pointill´ es. Les formes propres de ces diff´ erents modes de vibrations localis´ es sont repr´ esent´ ees sur la figure 8 pour une pulsation d’environ 135 rad.s

. On peut en conclure que les solutions localis´ ees sur 1, 2, 3 ou 4 pales prennent naissance ` a partir du mode

`

a 3 diam` etres au travers de bifurcations de type point d’embranchement.

5 R´ eponse forc´ ee

Les r´ esultats de la partie pr´ ec´ edente (solutions libres), ont permis de retrouver les diff´ erents modes de vibra- tion pr´ esent´ es dans la litt´ erature pour des structures

`

a sym´ etrie cyclique soumises ` a des non-lin´ earit´ es [6].

Ces r´ esultats ont montr´ e une grande complexit´ e dans le comportement vibratoire libre de telles structures. Bien

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

115 120 125 130 135 140

log(E) Frequence (rad.s−1)

1 2 3 4 5 6

−5 0 5

x 10⁻⁴

Secteur

1 2 3 4 5 6

−0.2 0 0.2

Secteur 1 2 3 4 5 6

−5 0 5

x 10⁻⁴

Secteur

1 2 3 4 5 6

−0.2 0 0.2

Secteur

(a) MNL 1 diam` etre

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

115 120 125 130 135 140

log(E) Frequence (rad.s−1)

1 2 3 4 5 6

−20246 x 10⁻⁴

Secteur

1 2 3 4 5 6 0

0.1 0.2

Secteur 1 2 3 4 5 6

−5 0 5

x 10⁻⁴

Secteur

1 2 3 4 5 6

−0.2 0 0.2

Secteur

(b) MNL 2 diam` etres

Fig. 6.

Backbone curves et formes propres pour les modes ` a 1 et 2 diam` etres.

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

115 120 125 130 135 140

log(E) Frequence (rad.s−1)

−2 −1.5 −1 −0.5 125

130

135 a b cd

Fig. 7.

Backbone curve du mode ` a 3 diam` etres (−) et ses bifurcations localis´ ees (

)(a : 1 secteur, b : 2 secteurs, c : 3 secteurs, d : 4 secteurs).

´ evidemment, cette complexit´ e va ressurgir dans le cas

du r´ egime forc´ e. Nous nous proposons d’´ etudier l’impact

des diff´ erents types de chargement sur la structure de

ces r´ eponses. On s’int´ eresse donc ` a la r´ eponse forc´ ee du

syst` eme ` a 6 degr´ es de libert´ e. Les param` etres num´ eriques

utilis´ es pour le calcul de la r´ eponse forc´ ee sont ceux qui

ont ´ et´ e d´ efinis ` a l’´ equation (8). Dans le but d’obtenir des

1 2 3 4 5 6 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Secteur

Amplitude Maximum

(a) Mode localis´ e sur 1 secteur

1 2 3 4 5 6

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2

Secteur

Amplitude Maximum

(b) Mode localis´ e sur 2 secteurs

1 2 3 4 5 6

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Secteur

Amplitude Maximum

(c) Mode localis´ e sur 3 secteurs

1 2 3 4 5 6

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2

Secteur

Amplitude Maximum

(d) Mode localis´ e sur 4 secteurs

Fig. 8.

Forme propres des bifurcations du mode ` a 3 diam` etres pour une pulsation

= 135 rad

s

.

courbes d’amplitudes finies, on ajoute un terme d’amor- tissement au syst` eme (1) qui devient alors :

X ¨ + δ X ˙ + KX + γX

+ βX

= F ( t ) (14) avec δ une constante d´ efinie par δ = ω

/200.

On consid` ere que le second membre F ( t ) se met sous la forme :

F (t) = A

cos(Ωt) (15) o` u le vecteur A

repr´ esente la forme et l’amplitude de la force.

Une ´ etude de la convergence des solutions et de leurs stabilit´ es, montre que nous obtenons de bonnes approxi- mations en ne retenant que 3 harmoniques, les solutions forc´ ees du syst` eme (14) seront donc recherch´ ees sous la forme suivante :

X(t) = A

+ A

cos(Ωt) + B

sin(Ωt) + A

cos(2Ωt) + B

sin(2Ωt)

+ A

cos(3Ωt) + B

cos(3Ωt) (16) Pour l’´ etude du syst` eme forc´ e, on consid´ erera deux types d’excitation : une excitation sur le premier mode lin´ eaire et une excitation detun´ ee sur le premier mode propre lin´ eaire. Pour ces deux cas, on ´ etudie l’influence du ni- veau d’excitation sur la r´ eponse du syst` eme.

5.1 Excitation sur le premier mode propre lin´ eaire On ´ etudie dans cette section la r´ eponse forc´ ee du syst` eme lorsque celui-ci est excit´ e par une force harmo- nique qui prend la forme du premier mode propre lin´ eaire, c’est-` a-dire que l’on consid` ere une force d’excitation du type :

F (t) = A

cos(Ωt) avec A

= A

Φ

(17) o` u Φ

correspond ` a la forme propre du mode de vibration

`

a z´ ero diam` etre d´ efinie ` a l’´ equation (11).

Pour de tr` es faibles amplitudes d’excitation (A

= 1), la r´ eponse non-lin´ eaire est analogue ` a la r´ eponse lin´ eaire (Fig. 9a) et les solutions sont stables pour toutes les fr´ equences d’excitation.

En augmentant l’amplitude de la force (A

= 5), on fait apparaˆıtre une zone d’instabilit´ e entre deux points de retournement (Fig. 9b).

Pour des amplitudes de force ´ elev´ ees ( A

= 10), une

deuxi` eme zone d’instabilit´ e est g´ en´ er´ ee apr` es le second

point de retournement (Fig. 10). Cette deuxi` eme zone

instable prend naissance au travers d’une bifurcation de

type point d’embranchement. On peut alors calculer une

branche bifurqu´ ee (Fig. 11) dont l’´ evolution temporelle

et la forme de la solution au pic de la branche bifurqu´ ee

sont repr´ esent´ ees sur la figure 12. Notons que la solution

bifurqu´ ee poss` ede des zones stables.

116 117 118 119 120 121 122 123 124 0

0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016

Frequence ω rad/s

Amplitude

secteur n°1

(a)

= 1

1160 117 118 119 120 121 122 123 124

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Frequence ω rad/s

Amplitude

secteur n°1

(b)

= 5

Fig. 9.

R´ eponse forc´ ee non-lin´ eaire pour une excitation sur le mode ` a z´ ero diam` etre avec

= 1 et

= 5 (− : stable,

· · ·

: instable,

: r´ eponse lin´ eaire).

5.2 Excitation detun´ ee sur le mode ` a z´ ero diam` etre Il convient de garder ` a l’esprit que les sollicitations r´ eelles sont souvent imparfaites et correspondent plus ` a des excitations ` a diam` etre perturb´ e plutˆ ot qu’` a diam` etre parfait. Dans cette section, notre ´ etude porte sur le mode de vibration ` a z´ ero diam` etre, cependant des r´ esultats

´

equivalents pourront ˆ etre obtenus pour les autres modes de vibration. Nous consid´ erons que seule la premi` ere com- posante de la force est perturb´ ee. Dans ce cas la force d’excitation est donn´ ee par :

F ( t ) = A

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎝ 1 +

1 1 1 1 1

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎠

cos( Ωt ) (18)

o` u

repr´ esente le pourcentage de detuning de la force ` a 0 diam` etre. Dans toute la suite on consid` ere que A

= 10.

On commence les simulations avec un detuning de 1 %. En raison des produits scalaires (projections) utilis´ es dans la HBM, perturber la force d’excitation d’une telle mani` ere revient ` a ajouter une perturbation ` a la fonction G ( Y , ω ) (´ Eq. (10)) comme dans le cas d’une recherche de bifurcation par la m´ ethode de perturbation [14]. La perturbation permet alors de d´ etruire les points d’em- branchement qui sont structurellement instables. Ainsi les

´ eventuelles bifurcations d’un cas d’excitation ` a diam` etre parfait vont se transformer en des parties de la solution qui seront accessibles par continuation. Cette remarque est v´ erifi´ ee sur la figure 13, o` u on observe que la bifurca- tion du cas

= 0 (Fig. 11) fait d´ esormais partie de la courbe obtenue par continuation.

En augmentant le detuning, les amplitudes des so- lutions augmentent et, ` a partir d’un d´ etuning d’environ 40 %, il est possible de mettre en ´ evidence une solution sous forme de courbes ferm´ ees non raccord´ ees ` a la solu- tion principale. Ces courbes ferm´ ees sont repr´ esent´ ees sur la figure 14 pour un detuning de 50 %. Cette deuxi` eme fa- mille de solution correspond ` a un mode de vibration forte- ment localis´ e. Ces solutions secondaires se raccordent ` a la solution principale pour un detuning au voisinage de 70 % (Fig. 15). Etant donn´ e que ces courbes ferm´ ees poss` edent des zones stables qui correspondent ` a une amplitude de vibration cons´ equente (au moins ´ egale ` a l’amplitude du cas

= 0), elles doivent ˆ etre prises en compte lors du dimensionnement des structures. En effet un changement dans les conditions initiales ou un choc en fonctionne- ment pourraient permettre d’accrocher de telles solutions et solliciter fortement une des sous-structures.

Pour obtenir les courbes ferm´ ees, on choisit un point de d´ epart sur la branche de la FRF localis´ ee pour

= 70 %, puis on r´ ealise une continuation s´ equentielle ` a fr´ equence fix´ ee en faisant d´ ecroitre

de 70 ` a 50 %. On ap- plique ensuite l’algorithme de continuation par longueur d’arc sur le point obtenu, on obtient ainsi les solutions secondaires pour le cas = 50 %. Cette m´ ethode de d´ etection des solutions secondaires est limit´ ee puisqu’elle n´ ecessite le calcul d’une solution pour laquelle les courbes ferm´ ees se sont d´ ej` a raccord´ ees ` a la FRF classique dans le but d’obtenir un point d’initialisation pour la continua- tion d´ ecroissante en detuning (pour un detuning de 70 % dans cet exemple). De plus, on ne dispose pas d’informa- tions permettant d’estimer les valeurs de detuning pour lesquelles les courbes ferm´ ees vont se raccorder : ces va- leurs sont obtenues par essais successifs. Enfin dans le cas o` u les solutions secondaires ne se racordent jamais ` a la solution principale cette m´ ethode est inadapt´ ee et ineffi- cace. Une strat´ egie pour pallier ` a ces limitations serait de consid´ erer la r´ esolution du syst` eme (10) par une m´ ethode d’homotopie [17], ce qui permettrait d’obtenir toutes les solutions pour un cas de chargement.

Dans notre exemple, les solutions sous forme de

courbes ferm´ ees apparaissent pour un detuning d’en-

viron 40 %, cette valeur est relativement ´ elev´ ee. Ce-

pendant, l’apparition des courbes ferm´ ees est fortement

conditionn´ ee par l’amortissement, plus l’amortissement

est grand, plus il faut un niveau ´ elev´ e de d´ etuning pour

116 0 118 120 122 124 0.05

0.1 0.15

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°1

116 0 118 120 122 124 0.05

0.1 0.15

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°2

116 0 118 120 122 124 0.05

0.1 0.15

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°3

116 0 118 120 122 124 0.05

0.1 0.15

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°4

Fig. 10.

R´ eponse forc´ ee non-lin´ eaire pour une excitation sur le mode ` a z´ ero diam` etre avec

= 10 (

: stable,

: instable,

− · −

: r´ eponse lin´ eaire).

120.7 120.8 120.9 0.03

0.04 0.05 0.06 0.07

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°1

120.7 120.8 120.9 0.04

0.05 0.06

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°2

120.7 120.8 120.9 0.04

0.05 0.06

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°3

120.7 120.8 120.9 0.03

0.04 0.05 0.06 0.07

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°4 Point de

retournement

Bifurcation

Fig. 11.

Branche bifurqu´ ee pour une excitation sur le mode ` a z´ ero diam` etre avec

= 10 (

: stable,

: instable,

: r´ eponse lin´ eaire).

avoir apparition des courbes ferm´ ees et plus leur (( temps de vie )) est court puisqu’elles vont rapidement se raccor- der ` a la solution non-lin´ eaire classique.

6 Conclusion

Dans ces travaux, on a calcul´ e la r´ eponse libre et forc´ ee d’une structure ` a sym´ etrie cyclique soumise ` a des non-

lin´ earit´ es g´ eom´ etriques. La mise en ´ equation, discr´ etis´ ee

par la m´ ethode de Ritz, conduit ` a un syst` eme d’´ equations

non-lin´ eaires dont les param` etres ont ´ et´ e ajust´ es ` a partir

d’une structure r´ eelle. Les modes non-lin´ eaires ainsi que

les r´ eponses forc´ ees du syst` eme ont ´ et´ e calcul´ es par la

m´ ethode de la balance harmonique et la stabilit´ e des so-

lutions par la th´ eorie de Floquet. En plus des modes non-

lin´ eaires issues des modes propres lin´ eaires, on a mis en

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 1

2 3 4 5 6 7

Temps (s)

Secte u r

−0.06

−0.04

−0.02 0 0.02 0.04 0.06

(a) Evolution temporelle

1 2 3 4 5 6

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

Secteur

Amplit u de M a xim u m

(b) Amplitude maximum

Evolution temporelle et forme de la solution au pic de la branche bifurqu´ ´ ee.

115 120 125

0 0.05 0.1

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°1

115 120 125

0 0.05 0.1

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°2

115 120 125

0 0.05 0.1

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°3

115 120 125

0 0.05 0.1

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°4

120.6 120.8 0.05

0.06 0.07

120.7 120.8 120.9 0.05

0.06 0.07

120.8120.9 121 0.03

0.04 0.05 0.06

120.8 121 0.03

0.04 0.05

Fig. 13.

R´ eponse forc´ ee non-lin´ eaire pour une excitation sur le mode ` a z´ ero diam` etre d´ etun´ ee ` a 1 % (− : stable,

: instable,

− · −

: r´ eponse lin´ eaire).

´

evidence d’autres modes de vibration possibles qui sont is- sus des modes non-lin´ eaires naturels par bifurcation. Cer- tains de ces modes bifurqu´ es correspondent ` a des modes de vibration plus ou moins localis´ es. Pour une excitation sur le mode ` a z´ ero diam` etre, on a mis en ´ evidence des bifurcations de type point d’embranchement qui peuvent

´

egalement correspondre ` a des modes de vibration stables.

Dans le cas d’une excitation detun´ ee, en plus des r´ eponses

classiques, on a mis en ´ evidence un type de solution qui se pr´ esente sous la forme de courbes ferm´ ees. Ces courbes ferm´ ees viennent se coller aux solutions classiques lorsque l’amplitude de la force augmente, engendrant ainsi le ph´ enom` ene de localisation forc´ ee.

Les simulations sont bas´ ees sur un mod` ele simplifi´ e

et les r´ esultats restent donc ` a un niveau th´ eorique. Ce-

pendant, cette ´ etude a permis de mettre en valeur la

115 0 120 125 0.05

0.1 0.15

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°1

115 120 125

0 0.05 0.1 0.15

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°2

115 0 120 125

0.05 0.1 0.15

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°3

115 120 125

0 0.05 0.1 0.15

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°4

Fig. 14.

R´ eponse forc´ ee non-lin´ eaire pour une excitation sur le mode ` a z´ ero diam` etre d´ etun´ ee ` a 40 % (− : stable,

: instable,

− · −

: r´ eponse lin´ eaire).

115 0 120 125 130

0.05 0.1 0.15 0.2

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°1

115 0 120 125 130

0.05 0.1 0.15 0.2

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°2

115 0 120 125 130

0.05 0.1 0.15 0.2

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°3

115 0 120 125 130

0.05 0.1 0.15 0.2

Frequence ω rad/s

Amplit u de

secteur n°4

Fig. 15.

R´ eponse forc´ ee non-lin´ eaire pour une excitation sur le mode ` a z´ ero diam` etre d´ etun´ ee ` a 70 % (

: stable,

: instable,

− · −

: r´ eponse lin´ eaire).

complexit´ e des r´ eponses des structures ` a sym´ etrie cyclique soumise ` a des non-lin´ earit´ es g´ eom´ etriques. En particu- lier, nous avons montr´ e l’existence de poches de solution stables qui peuvent jouer un rˆ ole important lors de la conception de ces syst` emes m´ ecaniques. L’estimation de ces solutions obtenues au travers d’une analyse en niveau de chargement des diff´ erentes FRF non-lin´ eaires pour- rait ˆ etre am´ elior´ ee ` a l’aide d’une recherche syst´ ematique

de l’ensemble des solutions par exemple par homotopie.

Cette strat´ egie fera l’objet de nos ´ etudes ` a venir.

Remerciements.

Des remerciements sont adress´ es ` a Snecma,

pour son support technique et financier. Cette ´ etude prend

place dans le cadre du programme de recherche MAIA financ´ e

par le CNRS, l’ONERA et le groupe SAFRAN.

Annexe : Param` etres de l’´ equation du mouvement

Dans cet annexe, on donne l’expression des param` etres de l’´ equation du mouvement pour des secteurs mod´ elis´ es par des plaques rectangulaires (´ Eq. (1)). On note ρ la masse volumique, E le module de Young et ν le ratio de Poisson du mat´ eriau. La constante de raideur du cou- plage lin´ eaire est not´ ee k . Les dimensions de la plaque sont not´ ees L

pour la longueur L

pour la largeur et h pour l’´ epaisseur. Dans ce cas on a :

m = ρhL

L

5 a = 5

3

Eh

ρL

(1 − ν

) b = 8E

ρL

(1 − ν

) c = 1

256 k m F

= f

(t)

m (A.1)

R´ ef´ erences

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