HAL Id: jpa-00241840
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00241840
Submitted on 1 Jan 1913
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Production des grandes vitesses angulaires
Maurice Leblanc
To cite this version:
Maurice Leblanc. Production des grandes vitesses angulaires. J. Phys. Theor. Appl., 1913, 3 (1),
pp.282-291. �10.1051/jphystap:019130030028201�. �jpa-00241840�
282
Cette conséquence peut aussi être déduite de l’hypothèse des quanta de lumiére ; mais puisque, pour des raisons bien connues, on ne peut
se servir de cette hypothèse qu’avec beaucoup de prudence et même
de méfiance, il me semble important que cette conséquence puisse
être établie sur une base plus solide. Le contrôle de ce résultat, soit
au moyen du rayonnement lumineux, soit au moyen des rayons
Rôntgen de fluorescence, serait désirable.
PRODUCTION DES GRANDES VITESSES ANGULAIRES (1);
par M. MAURICE LEBLANC.
Nous ne nous occuperons, dans ce qui va suivre, que de rotors assimilables à un corps de révolution autour d’un axe tiv. Le plus grand ou le plus petit des axes de son ellipsoïde d’inertie central devra toujours, sinon se confondre avec l’axe uv, du moins en être
extrêmement voisin.
Vitesses critiques propres d’un rotor. Considérons un semblable rotor A.
Àous pouvons le rendre .le siège de vibrations transversales, en
émettant un son de fréquence ~ dans son voisinage. Pour certaines valeurs ~3~~,... de cette fréquence, il y a résonance, et l’amplitude
des mouvements vibratoires n’est plus limitée que par la viscosité du corps qui le constitue et celle du milieu ambiant. A égalité d’in-
tensité des sons émis, cette amplitude passe par des maxima et les déformations subies par le rotor peuvent devenir dangereuses pour
sa conservation.
Supposons maintenant que deux sources sonores de même inten-
sité, de même fréquence ~3, mais dont les vibrations présentent uue
1 différence de phases de i/4de période, agissent simultanément sur
le rotor A, suivant deux plans passant par l’axe uv et perpendicu-
laires entre eux.
Les deux mouvements vibratoires communiqués à chaque point
de l’axe neutre du rotor se combinent en un mouvement de rotation.
(1) Communication faite à la Société française de Physique : Séance du 20 dé- cembre 1912.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019130030028201
283 Celui-ci se transforme en une lig ne sinueuse, dont la figure demeure
invariable, tant que la fréquence 6 ne change pas, mais tourne autour de l’axe lt’r, en faisant ~ tours par seconde. Il y a toujours résonance
et ses déformations passent par des maxima, pour p == = ~2"’.
Supposons d’abord le rotor A parfaitement équilibré autour de
l’axe ur et faisons-lui faire il tours par seconde, autour de cet axe,
pendant que nous continuons à émettre deux sons de fréquence ~
dans son voisinage, comme il vient d’être dit. Rien n’est changé aux
déformations de l’axe neutre, sauf qu’elles ne sont plus limitées que par la viscosité du milieu ambiant. Les résonances se produisent toujours pour = V ~2’’’. mais l’axe neutre ne se déplace plus
par rapport au rotor A, qui tourne avec lui.
L’axe neutre est alors déformé par des pressions extérieures exer-
cées sur le rotor A, de grandeur constante, mais dont la direction tourne avec lui.
,
L’action de ces forces pourrait donc être remplacée par celle de forces centrifuges développées sur des masses additionnelles, con-
venablement disposées, que l’on ajouterait au rotor.
C’est ce qui pourrait arriver naturellement si le rotor A, au repos, n’était pas parfaitement équilibré par rapport à l’axe 2w.
Le défaut d’équilibrage du rotor A pourrait donc amener des dé-
formations dangereuses pour sa conservation, lorsque sa vitesse de
rotation deviendrait égale à l’une des fréquences ~~ , ~2’.’. C’est pour-
quoi on appelle vitesses critiques propres du rotor A des vitesses
qui, exprimées en tours par seconde, sont égales aux fréquences ~~ , 3,... La pl’e1nière vitesse critique propre est égale il la plus petite
de ces fréquences.
’Les déformations d’un rotor, sous l’influence des forces centri-
fuges développées par la rotation et son défaut d’équilibrage initial,
sont toujours très petites et ne font subir aucune fatigue dangereuse
à ses matériaux, tant que la vitesse p est sensiblement inférieure à la vitesse )j . Si l’on a toujours ~ ~0,75 fij , par exemple, on peut considérer le rotor comme parfaitement rigide et ses matériaux n’ont
à subir aucune contrainte exagérée.
La vitesse ~, très difficile à déterminer a priori, sauf dans des cas
simples, dépend non seulement de la figure du rotor et de la nature
de ses matériaux, mais aussi de la manière dont il est supporté.
.
Un rotor A (fig. ~~ sera toujours supporté par deux tourillons B, B
concentriques à son axe de figure qui reposeront dans des coussi-
284
nets C, C. Suivant les cas, on pourra considérer l’axe neutre du
rotor comme reposant librement sur deux points d’appui ou encastré
à ses deux extrémités ou enfin comme libre, à ces mêmes extrémités,
si les coussinets C, C sont suspendus par des ressorts très souples
et 2) et si la masse totale des coussinets et des ressorts est
négligeable par rapport à celle du rotor.
FIG. L
’
FIG. 2.
Dans le premier cas, la déformation correspondant à la première
vitesse critique ~, est représentée sur la figure 3. Le rotor prend ses points d’appui sur les coussinets.
La figure 4 représente cette déformation dans le second cas. Le rotor s’appuie toujours sur les coussinets, mais son axe neutre doit
FIG. 3. FIG. 4. FIG. 5.
rester tangent à l’axe 00’des coussinets. Cela augmente son module d’élasticité, et la première vitesse critique propre est plus élevée que tout à l’heure.
Enfin, dans le troisième cas, le rotor ne trouvant plus de point d’appui sur les coussinets, ne peut se déformer qu’en prenant point d’appui sur lui-même, sans déplacer son centre de gravité. La
déformation de l’axe neutre est représentée sur la figure 5. Le
module d’élasticité des parties fléchies augmente encore et c’est dans
ces conditions que la première vitesse critique propres est la plus
élevée.
On trouve qu’elle est alors suffisamment grande pour que l’on n’ait jamais à communiquer, en pratique, à un rotor une vitesse qui, exprimée en tours par seconde, doive être supérieure à 0,75 pj .
D’autre part, si on considère des rotors géométriquement sem-
blables et constitués avec les mêmes matériaux, leurs vitesses cri-
285
tiques propre sont inversement proportionnelles à leurs dimensions
linéaires, d’où les conclusions suivantes :
1. On peut co>?i»117eiquer à un rotor Hne vitesse de rotation égale
aux 75 0/0 de sa vitesse critique Tant que cette vi- tesse n’est pas dépassée, il se comporte comme un corps par(aitentent rigide et ses 1natériaux n’ont à subir contrainte exagérée.
II. Si le rotor repose sur des coussinets sU1Jportés par des ressorts très souples, la masse totale des coussinets et des ressorts étant très hetite, par à celle du rotor : cette liiîîite de vitesse est suffisante pour tous les besoins de la
III. Si l’on considère des rotors géo771étriqie771e7zt semblables, cons-
titués avec les 1nêmes 1natér.iaux, on peut leur communiquer les 1nêmes
vitesses tangentielles. Les contraintes subies par les 1natériaux ont alors les mêmes aux points homologues de ces rotors.
t Cette dernière conclusion est très importante, car elle permet de
réaliser des machines rotatives de petite puissance, mais tournant
très vite, ayant le même rendement que des machines de grande puissance à vitesse relativement lente.
Nous supposerons désormais que la vitesse maxima à imprimer à
nos rotors ne soit jamais supérieure aux 75 0/0 de leur première
vitesse critique propre.
Mais, si la vitesse de rotation doit être de plusieurs centaines de
tours par seconde, on sait qu’il est pratiquement impossible d’équili-
brer suffisamment bien un rotor, par rapport à son axe de figure,
pour éviter de très vives réactions sur ses coussinets, dues à l’action
de la force centrifuge. Il faut permettre au rotor de tourner, sinon
autour de son axe naturel de rotation, du moins autour d’un axe
extrêmement voisin.
Si l’on peut associer, sur un même arbre rigide, deux rotors, l’un moteur, l’autre mû, il suffit, pour cela, de donner des portées très petites au rotor résultant et de les faire reposer dans des coussinets à ressorts, tels que ceux représentés sur les figures 1 et ~.
L’action de ces ressorts tend toujours à faire coïncider l’axe de
figure du rotor avec l’axe de figure du stator de la machine, qui est
l’axe îzorîncil de rotation.
L’axe de figure du rotor décrit alors un hyperboloïde de révolu-
tion autour de l’axe réel de rotation. Il communique ainsi des mou-
vements vibratoires aux coussinets et aux extrémités des ressorts,
286
mais les réactions exercées sur les coussinets sont à celles qui
l’auraient été, si le rotor avait été assujetti à tourner autour de
son axe de figure, dans le rapport des masses remuées à celles du
rotor. Il convient naturellement de réduire autant que possible l’amplitude de ces vibrations. Nous verrons plus tard comment
nous pourrons y parvenir dans tous les cas.
I’itesse critique (1).
-Mais, en suspendant ainsi une masse 311
avec des ressorts ayant un module d’élasticité a, nous lui donnons la faculté d’osciller autour de sa position d’équilibre.
E lle a une fréquence naturelle d’oscillation :
Si le rotor n’est pas parfaitement équilibré autour de son axe de figure, lorsque sa vitesse de rotation exprimée en tours par seconde devient égale à m, l’axe de rotation subit de violents soubresauts.
Nous devons faire des ressorts très souples, pour que le rotor puisse
choisir aussi librement que possible son axe de rotation. La vitesse
critique ü) sera donc très petite, par rapport à la première vitesse critique propre du rotor, dont elle sera complètement indépendante.
Il sera nécessaire de la franchir, si l’on veut communiquer au rotor
une vitesse de rotation f2 voisine des 75 0j’0 de sa première vitesse critique propre. Nous montrerons plus loin comment ce résultat peut être obtenu, en évitant la production de tout mouvement oscil- latoire.
FIG. 6.
Mais, le plus souvent, il faudra transmettre au rotor A 6) un couple développé autour d’un axe rigide F tournant dans des coussi- nets fixes G, G, dont l’axe 00’ coïncidera avec celui du stator.
Cette transmission ne pourra être effectuée que par l’intermédiaire
287 d’un arbre flexible H, reliant l’arbre précédent à celui du rotor. La
réaction élastique de l’arbre flexible tendra, comme celle des res-
sorts, à ramener l’axe de figure du rotor en coïncidence avec
l’axe 0 0’.
La première vitesse critique propre de l’arbre devra aussi être
supérieure à la plus grande vitesse de rotation qu’il devra ac- quérir.
En calculant cette première vitesse critique propres de l’arbre, on
devra tenir compte de ce qu’il pourra prendre des points d’appui sur
ses deux extrémités.
Cela ne nous empêchera pas de le rendre suffisamment souple,
surtout en le faisant creux, pour que le module d’élasticité a du sys- tème constitué par cet arbre et les ressorts de suspension des cous-
sinets soit très petit.
Si nous appelons toujours lBlla masse des pièces vibrantes, nous
aurons encore affaire à une vitesse critique co = ~~, que nous
nous appliquerons à rendre égale, par exemple, @au 1 de la vitesse 10
de rotation maxima à communiquer au rotor. De vives oscillations des masses seront encore à craindre, lorsqu’on passera par cette vitesse w. Nous les éviterons comme dans le premier cas et comme il
sera dit plus loin.
Les phénomènes qui accompagnent la rotation d’un rotor conduit par un arbre flexible sont des plus remarquables. Les diverses expli-
cations que nous en avons trouvées dans les livres nous ont paru inexactes ou incomplètes. C’est pourquoi nous avons cherché, à
notre tour, à en faire la théorie.
Théorie de l’arbre flexible.
-L’arbre flexible reçoit à son extré-
mité 0 (fig. 7’ une vitesse de rotation Q, autour de l’axe Oo’. Il peut,
en tournant lui-mème autour de son axe neutre déformé, transmettre
au rotor A une vitesse de rotation (2
-ce,., autour d’un axe diffé- rent de l’axe 00’, à la condition que l’axe ey prenne lui-même une
vitesse de rotation «, dite de précession, autour de l’axe 00’. Telle est la propriété fondamentale de l’arbre flexible.
Mais il ne suffit pas que cette décomposition soit possible, il faut
encore qu’elle soit déterminée.
’
288
Supposons, pour faciliter l’explication, que le centre de figure y du
système se trouve sur l’axe xy et décrive une circonférence de rayon ? autour de l’axe 00’.
FIG. 7.
,
°
.
L’arbre flexible ne peut tourner autour de son axe neutre déformé
sans avoir à surmonter des frottements moléculaires. Un certain tra- vail j t est ainsi perdu par hystérésis. Il est proportionnel à la vitesse (Q
-a) et à une certaine fonction ~ (p) de la flèche p du point y. Ce
travail devant être fourni par l’arbre rigide G, il faut qu’un couple égal à ~ (p) soit développé autour de lui.
D’autre part, si l’axe ~y tourne avec la vitesse a autour de l’axe 00’,
le centre de figure y du rotor doit se frayer un chemin, avec la vi-
tesse 2p, à travers le milieu ambiant, malgré sa viscosité. Si nous
désignons par q un coefficient d’amortissement, il y a ainsi un tra- vail absorbé T~, et l’on a, d’après les hypothèses habituelles : 1"2 = Ce travail doit être également fourni par l’arbre G, d’on un nouveau couple égal à développé autour de cet arbre.
Le couple o (p) tend à accélérer le mouvement de précession, le couple tend à le ralentir. La condition d’équilibre dynamique
est :
Le travail T fourni par l’arbre G est égal à :
Il se décompose en un travail T, f _ (Q
-2) cp (p) absorbé par l’hys-
térésis de l’arbre et en un travail T = qz’c,3 = «p (p) absorbé par la viscosité du milieu.
Donc, po ur que le i-otoî- pitisse tourner autour d’un axe di fférent de 00’, il faut que le soit visqueux.
Cette condition nécessaire n’est pas suffisante. En effet :
Le couple d’hystérésis est produit par des forces de frottement.
289 Elles sont d’abord indéterminées et égales et opposées à celles qui
tendent à faire glisser, les unes par rapport aux autres, les parties
en contact, jusqu’à ce que ces dernières forces soient venues assez
grandes pour déterminer le glissement. Ce n’est qu’à partir de ce
moment que le couple d’hystérésis se développe.
Donc, tant que nous aurons (p), les tensions moléculaires feront équilibre au couple et empêcheront le glissement. Tant qu’il en sera ainsi, nous aurons a = Q, et tout le système tournera
autour de l’axe 00’, avec la vitesse Q.
L’expérience montre que le travail absorbé par l’hystérésis croît
moins vite, avec la flèche p, que celui absorbé par la viscosité.
Pour une valeur donnée de la vitesse Q, la flèche p ne pourra donc
grandir indéfiniment sans que la condition = , (p) soit satis-
faite. A partir de ce moment, la décomposition de la vitesse Q en
une vitesse de rotation
-ce) et une vitesse de précession a se pro- duira.
FIG. 8.
Si l’on trace les courbes y == p (p) et y’ = qQ2p3 fg. 8), en faisant
~ == ~2, la seconde se relèvera d’autant plus vite que la vitesse Q
sera plus grande et coupera la première en des points dont les abs- cisses seront d’autant plus petites. Il en résulte que les valeurs de la flèche p nécessaires pour assurer la décomposition de la vitesse 0., seront d’autant plus petites que la vitesse il sera plus grande et
le coefficient d’amortissement q plus élevé.
Donc, pour que le rotor puisse tourner autour d’un axe différent
de l’axe 00’, il faut cc2cssi que l’arbre flexible ait subi une déforma-
tîon ’Fninima, d’autant plus petite que la vitesse s~ est plus grande
et le coe f ficient d’arnortissernent q plus élevé.
290
Nous avons ainsi deux phases à considérer dans la rotation d’un rotor monté sur un arbre flexible, suivant que le rotor tourne au-
tour de l’axe 00’ ou d’un axe différent.
-_
Le centre de figure ",’ est toujours sur l’axe
de figure i1 du rotor ¡/ig. 9). et celui-ci est tangent à l’axe neutre déformé de l’arbre au point 2~.
Admettons que le centre de gravité soit toujours situé dans un
plan passant par l’axe 00’ et le point ~’. Soit g la distance du point -
,à l’axe OO’ et 6 une longueur constante. Les déformations à consi- dérer étant très petites, les cosinus des angles pourront être consi- dérés comme égaux à 1 et la distance du centre de gravité r, à l’axe
00’ pourra être représenté par p + ~.
Fie. 9.
.
La force de rappel développée par l’arbre sera égale à ap. La force centrifuge exercée sur le centre de gravité sera égale
à M02 (p + a). La condition d’équilibre dynamique sera :
d’ où :
ou, en posant, comme nous l’avons fait plus haut,
La flèche p tend vers l’infini, lorsque la vitesse e tend vers la vitesse critique (1).
On s’assure facilement de la stabilité du régime ainsi défini, tant
que la vitesse ~? est inférieure à la vitesse critique oj.
La formule précédente donne encore une vitesse finie pour la
flèche -,, lorsque la vitesse il est plus grande que la vitesse ~,~, mains
’
