Etude de stabilité d'une méthode Galerkin discontinu pour la résolution numérique des équations de Maxwell 2D en domaine temporel sur des maillages triangulaires non-conformes

(1)

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pour la résolution numérique des équations de Maxwell

2D en domaine temporel sur des maillages triangulaires

non-conformes

Hassan Fahs, Stephane Lanteri, Francesca Rapetti

To cite this version:

Hassan Fahs, Stephane Lanteri, Francesca Rapetti. Etude de stabilité d’une méthode Galerkin

discon-tinu pour la résolution numérique des équations de Maxwell 2D en domaine temporel sur des maillages

triangulaires non-conformes. [Rapport de recherche] RR-6023, INRIA. 2006, pp.46. �inria-00114537v3�

(2)

a p p o r t

d e r e c h e r c h e

9 -6

3

9

9 IS

R

N

IN

R

IA

/R

R

--6

0

2

3 --F

R

+

E

N

G

Thème NUM

Etude de stabilité d’une méthode Galerkin discontinu

pour la résolution numérique des équations

de Maxwell 2D en domaine temporel

sur des maillages triangulaires non-conformes

Hassan Fahs — Stéphane Lanteri — Francesca Rapetti

N° 6023

(3)

(4)

de Maxwell 2D en domaine temporel

sur des maillages triangulaires non- onformes

Hassan Fahs

∗

, Stéphane Lanteri

∗

, Fran es a Rapetti

†

ThèmeNUMSystèmesnumériques ProjetCaiman

Rapportdere her he n°6023Juillet200646pages

Résumé:Onétudielastabilité d'uneméthodeGalerkin dis ontinupourlarésolution nu-mériquedeséquationsdeMaxwell2Dendomainetemporelsurdes maillagestriangulaires non- onformes.Cetteméthode ombinel'utilisationd'uneapproximation entréepour l'éva-luationdesuxauxinterfa esentreélémentsvoisinsdumaillage,àuns hémad'intégration entempsdetypesaute-mouton.Laméthodereposesurunebase defon tionspolynomiales nodales

P

k

et on onsidère i i les s hémas obtenus pour k

= 0, · · · , 3

. L'obje tif de ette étudeest d'exhiberdes onditionssouslesquelles les s hémas orrespondantssontstables, etde omparer es onditionsà ellesobtenuesdansle asdemaillages onformes.

Mots- lés : équations de Maxwell, domaine temporel, méthode Galerkin dis ontinu, maillagestriangulairesnon- onformes,stabilité

L

2

.

∗

INRIASophiaAntipolis,projetCaiman,Hassan.Fahssophia.inria.fr

†

(5)

on non- onforming triangular meshes

Abstra t: We study the stability of a dis ontinuous Galerkin for the numeri al resolu-tionofthe2Dtime-domainMaxwell'sequationsonnon- onformingtriangularmeshes.This method ombinesa enteredapproximationfortheevaluationofuxesatinterfa esbetween neighboring elements of the mesh, with a leap-frog time integration s heme. The method relies ona

P

k

Lagrange typepolynomialbasis andwe onsider herethes hemes obtained

fork

= 0, · · · , 3

.The obje tiveofthis study is toexhibit onditionsunder whi h the

or-respondings hemes arestable andto ompare these onditionswiththose obtainedinthe aseof onformingmeshes.

Key-words: Maxwell's equations, time domain, dis ontinuous Galerkin method, non- onformingtriangularmeshes,

L

2

(6)

Table des matières

1 Introdu tion 4

2 Etude du s héma Galerkindis ontinu(GD-

P

k

) 6

2.1 Conservationd'uneénergiedis rète . . . 10

2.2 Stabilitédus héma. . . 12

3 Etude de as parti uliers 16 3.1 Casd'unmaillage onforme . . . 16

3.1.1 S hémaGD-

P

0

(méthodedevolumeni) . . . 16

3.1.2 S hémaGD-

P

1

. . . 17

3.2 Casd'unmaillagenon- onforme . . . 18

3.3 Ranementlo al non- onforme . . . 20

4 Validationnumérique 23 4.1 Maillage onforme . . . 23 4.2 Maillagenon- onforme . . . 24 5 Con lusion 28 6 Annexes 40 6.1 Inégalitégénéralisée . . . 40 6.2 Problèmed'optimisation . . . 41 6.3 Formulationdus hémaGD-

P

k . . . 42

(7)

1 Introdu tion

PourlarésolutiondeséquationsdeMaxwellendomainetemporel,laméthodenumérique la plus onnue et la plus ouramment utilisée est la méthode DFDT (diéren e nie en domainetemporel)proposéeparYeeen1966[29℄.C'estuneméthodede on eptionsimpleet fa ileàmettreen÷uvre.Toutelaphysiquené essaireauxsimulationsnumériques omplexes enéle tromagnétisme(matériauxdispersifs,modèlesdels min es,plaquesmin es, fentes, et .) a été introduite durant les dernières dé ennies. Sur des maillages artésiens, ette méthode est la plus e a e en termes de temps de al ul et lorque la dis rétisation est uniformelaméthodeDFDTest pré iseause ondordreenespa eetentemps.Cependant, il est malaisé de dis rétiser des formes irrégulières ave de tels maillages. En parti ulier, toute surfa e ourbe est appro hée par une surfa e dis rète en mar hes d'es alier, e qui peut être préjudi iableàlapré ision du al ul lorsque ette surfa erevêt une importan e parti ulière omme par exemple l'interfa e entre deux tissus biologiques dans les études dosimétriques du rayonnement éle tromagnétique issu d'un téléphone mobile. De plus, la modélisation de petits détails (fentes min es, plaques min es) impose une taille de maille troppetite,rendantle al ulprohibitifsilemaillagesous-ja entestuniforme.Sil'onutilise unmaillage artésiennon-uniformemais onformepourprendre en ompte es détails,on a roîtl'erreurdedispersiondus hémadanslesmaillesplusgrossières.

Unesolutionélégantepourprendreen omptedesélémentsgéométriquesdeforme om-plexetout en préservant l'utilisation de maillages onformesest proposée parla méthode desdomaines tifs [12℄-[11℄-[3℄.L'in onvénientd'unetelle méthodeestquelataille dupas de dis rétisation de l'objet est liée à elui dumaillage et don , si l'objet est dis rétisé -nement, onest denouveau ontraintàutiliser un maillage ndans tout le domaine. Une autre appro he onsiste àavoir re oursà unranement lo al du maillage. Il existe deux typesderanement: onformeetnon- onforme.Ons'intéressedans etravailaux dis réti-sationsnon- onformesquisontàprioriplusintéressantes arellespermettentderéduirede manièrespe ta ulairelevolumedesdonnéesàtraiter.Plusieurstravauxontétémenéspour étendrelaméthode DFDTde Yee[29℄ à etypedemaillage (ranementspatio-temporel) quiutilisentdesformulesd'interpolationportantsurlesdeux hamps[19℄-[22℄,ousurunseul hamp(le hampmagnétique ou le hampéle trique) [6℄-[30℄. Onpeut iter deux on lu-sionsde estravaux.Lapremièreestqueleranementspatio-temporelasurtoutétéabordé d'un pointde vue heuristiqueet étudiéd'un point de vueexpérimental (analyse de résul-tats d'expérien es numériques). La deuxième est que des instabilités fortes (explosion au boutdequelquespasdetemps)oufaibles(explosionàlasuitedemultiplesaller-retoursde l'ondeàl'intérieur de laboîte de al ul) ontété signaléespar ertainsauteurs sans qu'au- uneanalysemathématiquen'aitétédonnée.Collinoetal.[10℄ontré emmentproposéune nouvelleméthode de ranement spatio-temporel entrois dimensiond'espa e garantissant unra ordstable entre lessous-maillages,basée sur la onservation d'uneénergie éle tro-magnétiquedis rète.Cependant, etteméthodeestdenatureimpli iteauxinterfa esentre sous-maillageset né essite don la résolution d'un système linéaire pourl'obtention dela solution.

(8)

Un maillage non-stru turé(non-orthogonalet non-uniforme)donne lasouplesse voulue pourappro her orre tement des frontières ourbes et des détails géométriques. Deux fa-millesdeméthodesnumériquestravaillentave etypedemaillage:laméthodedeséléments niset laméthode desvolumesnis. Ces méthodeset en parti ulier ellesreposantsurle formalismevolumeniontfaitl'objetdenombreuxtravaux esdernièresannées pourleur appli ation àlarésolution deséquationsde Maxwell instationnaires[7℄.Les méthodes ini-tialement proposées s'appuient sur des s hémas de type MUSCL

1

pour obtenir une plus grandepré isionenespa eet,éventuellement,dess hémasde typeRunge-Kuttapourune plusgrande pré isionentemps. Malheureusement, es s hémasproduisentune dissipation numériquenonnégligeable,quirendles al ulsentempslongirréalistes.Cesméthodesont aussides oûts relativementélevéspar rapport auxméthodes de diéren esnies lesplus e a es.Cesdernièresannéesontvul'apparitiondenouvellesméthodesnumériquesd'ordre élevéen maillages non-stru turéspourla résolution deséquations de Maxwelldans le do-mainetemporel quel'onpeutregroupersousleformalismedesméthodesdetypeGalerkin dis ontinu[8℄.

LaméthodeGalerkindis ontinuresposesurunebasedefon tionsdis ontinuesd'un élé-ment dumaillage àun autre. L'ordred'interpolation peut être hoisi arbitrairementdans haqueélément.Laméthode peutêtrevue ommeune appro heélémentnipourlaquelle au une ontinuité n'estimposée entre élément, ouune appro he volume nid'ordreélevé. Parailleurs,ladis ontinuitédel'approximationpermetden'imposerau une ontraintesur lemaillage et les dis rétisationsnon- onformessontdon autorisées.Deplus, lesmatri es de masse obtenues sont lo ales à unélément e qui permet de s'aran hir de la question ru ialedel'inversiond'unematri edemasseglobaletypiquedesméthodesd'élémentsnis lassiques.CespropriétésfontdesméthodesGalerkindis ontinudes andidatesidéalespour mettreaupointdesstratégiesderésolution

hp

-adaptatives.LaméthodeGalerkindis ontinu estfréquemmentutiliséepourrésoudrelessystèmesdiérentielshyperboliquesnon-linéaires delamé aniquedesuides ompressibles[28℄maissonappli ationàlarésolutiondes équa-tions de Maxwell instationnaires est en revan he plus ré ente [18℄-[13℄-[20℄-[17℄. Pour es équations,desméthodesGalerkindis ontinud'ordreélevéontétédéveloppéesenmaillages tétraédriques[15℄ et en maillages hexaédriques [9℄.Enn, laméthode Galerkin dis ontinu estparti ulièrementbienadaptéeauxar hite turesde al ulparallèles[14℄-[2℄.

Con ernantlaméthodeGalerkindis ontinuendomainetemporel(GDDT), lestravaux sur des maillages non- onformessonttrès rares, surtoutpour les systèmes hyperboliques. Uneétudeenmé aniquedesuidesaétépubliéeen2003parRema leetal.[23℄.Lesauteurs présententuneméthode

hp

-adaptativeave uns hémadeRung-Kuttapourl'intégrationen temps.Ilsexploitentaussiunestratégiedepasdetempslo al[24℄pouraméliorerla perfor-man edus hémad'intégration.Anoterquelesauteurssesontfo aliséssurlaquestiondes limiteursdansle a luldesuxauxinterfa esentreélémentsvoisinssansaborderlaquestion delastabilitédus héma.Ilesttrèsdi iledejugerdelaqualitédeleursrésultatsvules as tests hoisisoùdesinstabilitésphysiquessontnaturellementprésentes.Canouetetal.[5℄ont proposéunenouvelleméthodedetypeGalerkindis ontinupourlarésolutiondusystèmede

1

(9)

Maxwell,baséesurunespa ed'approximationlo al

P

1 div

,uns hémasaute-moutonpour

l'in-tégrationentempsetuns héma entrépondérépourle al uldesux.Malheureusement e s hémapeutdans ertains as onduireàdessolutionsin orre tesdansle asd'unmaillage lo alementranédefaçonnon- onforme.Pourpalier eproblème,lesauteursproposentun s hémahybride

P

1 div

/P

2 div

.Lesrésultatsnumériquesmontrent lairementl'intérêtde etype deméthodeenmaillagenon- onformepourla on eptiond'antennes.Néanmoins,bienque vériéenumériquement,lastabilitédelaméthoden'estpasétudiée théoriquement.

Ons'intéressei iàlarésolutionnumériquedeséquationsdeMaxwellbidimensionnellesen domainetemporelparuneméthodedetypeGalerkindis ontinusurunmaillagetriangulaire non- onforme.Le pointde départ denotre étudeest laméthodeGalerkin dis ontinu non-dissipativeproposéedans[13℄pourlarésolutiondeséquationsdeMaxwelltridimensionnelles en maillages tétraédriques non-stru turés onformes. Cette méthode ombine l'utilisation d'uneapproximation entréepourl'évaluationdesuxauxinterfa esentreélémentsvoisins dumaillage, àuns hémad'intégrationentempsdetypesaute-mouton.L'obje tifde ette étudeestd'exhiberles onditionssouslesquellesless hémas orrespondantsontstables,etde omparer es onditionsà ellesobtenuesdansle asdemaillages onformes.Cerapportest organisé ommesuit.Danslase tion2,onformulelaméthodeGalerkindis ontinud'ordrek etonétablitune onditionsusantedestabilitésurunmaillagetriangulairenon- onforme. Dans la se tion 3, on sepla e dans le as de fon tions de bases nodales

(toutefois,tout equisuitrestevalidedansle asdelapolarisationTM

z

).Nousavons hoisi i iladire tion

O

z

ommedire tionprivilégiéeetle hampéle tromagnétiquenedépendque desdeuxvariablesd'espa e

x

et

y

.Lesystèmerésultants'é rit:











µ

∂H

z

∂t

+

∂E

y

∂x

−

∂E

x

∂y

= 0,

ǫ

∂E

x

∂t

−

∂H

z

∂y

= 0,

ǫ

∂E

y

∂t

+

∂H

z

∂x

= 0.

(2.1)

(10)

Ces équations sont dénies dans un domaine borné

Ω

de

R

2

. On initialise le hamp éle tromagnétiqueàl'instant

t = 0

pour

(x, y) ∈ Ω

par:











E

x

(t = 0, x, y)

=

E

0x

(x, y),

E

y

(t = 0, x, y)

=

E

0 y

(x, y),

H

z

(t = 0, x, y) =

H

0z

(x, y).

(2.2)

Onsedonneunmaillagetriangulairenon- onformede

Ω

(voirlagure2.1).Pour haque élément

T

i

,ondésignepar

|T

i

c

a

ik

),par

~en

ik

leve teurunitaireasso iéetpar

V

d

i

est le nombrede degrésde libertédansla ellule

T

i

.Onsupposeque esfon tionsdebasesn'assurentau une ontinuité d'une elluleàuneautre.Ondénitl'espa e

P

d'approximationpar:

P :=

W

_{∈ L}

2 _{(Ω) | ∀i, W}

_|T

_i

_{∈ P}

k

,

où

P

k

estl'espa edespolynmesdedegrék.Onmultiplielesystème(2.1)parlafon tionde base

ϕ

ij

puisonintègresur

T

i

.Onobtientaprèsintégrationparpartieslesystèmesuivant:











µ

i

Z

T

i

∂H

z

∂t

ϕ

ij

−

Z

T

i

E

y

∂ϕ

ij

∂x

+

Z

T

i

E

x

∂ϕ

ij

∂y

+

Z

∂T

i

E

y

ϕ

ij

e

n

ikx

−

Z

∂T

i

E

x

ϕ

ij

n

e

iky

= 0,

ǫ

i

Z

T

i

∂E

x

∂t

ϕ

ij

+

Z

T

i

H

z

∂ϕ

ij

∂y

−

Z

∂T

i

H

z

ϕ

ij

n

e

iky

= 0,

ǫ

i

Z

T

i

∂E

y

∂t

ϕ

ij

−

Z

T

i

H

z

∂ϕ

ij

∂y

+

Z

∂T

i

H

z

ϕ

ij

n

e

ikx

= 0.

(2.3)

Pourtout hamp

X

∈ {E

x

, E

y

, H

z

}

onnotepar

X

i

laproje tion

L

2

-orthogonalede

X

sur l'espa eve torielVe t

{ϕ

ij

, 1 ≤ j ≤ d

i

}

dutriangle

T

i

.Onalapropriété lassiquesuivante:

∀ϕ ∈

Ve t

{ϕ

ij

, 1 ≤ j ≤ d

i

},

Z

T

i

X

_i

_{.ϕ =}

Z

T

i

X

_.ϕ

(2.4)

(11)

Globalement,onalareprésentationdis ontinuesuivantedes hamps:

X

_≃

X

i

X

_i

_{(t, x, y) =}

X

i

d

i

X

j=1

X

ij

(t)ϕ

ik

, X(x, y) ≈

X

_i

_{(x, y) + X}

_k

_{(x, y)}

2 .

(2.6)

Con ernantladis rétisationtemporelle,onutiliseuns hémasaute-mouton ommedans [21℄-[13℄. Les degrés de liberté asso iés au hampéle trique

E

x

1

2 )∆t

etsontnotés

H

n+

1

2 zij

.

Τ

_i

a

_Τ

n

k

ik

Fig.2.1Maillagetriangulairenon- onformede

Ω

Ilrestepour ompléterle adredenotre étudeàdénirles onditionsauxlimites.Soit une ellule

T

i

au bord du domaine. On onsidère une ellule tive

T

k

et on note par

a

ik

l'interfa efrontière. Les onditionsaux limites sontobtenues àpartir desrelations de passageàtraversleborddudomaine

Ω

,don en imposantdesvaleursaux hamps surles ellules tives

T

k

.Pourl'analysedestabilitéréaliséedanslasuite,onselimiteàl'utilisation de onditionsde réexion totale (parexemple, autour d'un objet métalliqueparfaitement

(12)

ondu teur) qui se traduisent par la ontinuité de la omposante tangentielle des hamps

E

x

et

E

y

etdela omposantenormalede

H

z

.Ces onditionss'é rivent:

∀(x, y) ∈ a

ik

:







E

n

xk

(x, y) = −E

xi

n

(x, y), E

yk

n

(x, y) = −E

yi

n

(x, y),

H

n+

1

2 zk

(x, y) = H

n+

1

2 zi

(x, y).

(2.7)

Onaparailleurslespropriétésgéométriques suivantes :

1. X

k∈V

i

~n

ik

= 0

et

2. ~n

ik

= −~n

ki

.

(2.8)

Pour

x

= {x, y}

,onnote par

P

x

i

=

X

k∈V

i

|n

ikx

|

lepérimètresuivant

x

(respe tivement

y

) dutriangle

T

i

.Les hémaGalerkindis ontinus'é rit(voirl'annexe6.3pourplusdedétails):











µ

i

M

i

H

n+

1

2 zi

− H

n−

1

2 zi

∆t

!

=

M

x

i

E

yi

n

− M

y

i

E

xi

n

−

X

k∈V

i

F

xik

n

− F

yik

n

,

ǫ

i

M

i

E

xi

n+1

− E

xi

n

∆t

=

−M

i

y

H

n+

1

2 zi

+

X

k∈V

i

G

n+

1

2 yik

,

ǫ

i

M

i

E

yi

n+1

− E

yi

n

∆t

!

=

M

x

i

H

n+

1

2 zi

−

X

k∈V

i

G

n+

1

2 xik

,

(2.9) où:







F

n

xik

= S

ik

x

E

yk

n

,

F

yik

n

= S

y

ik

E

xk

n

,

G

n+

1

2 yik

= S

y

ik

H

n+

1

2 zk

, G

n+

1

2 xik

= S

x

ik

H

n+

1

2 zk

.

(2.10)

La matri ede masse

M

i

d

i

)sontantisymétriques.La matri e

S

ik

est d'ordre

d

i

× d

k

. Cesmatri essontdéniesparlesrelationssuivantes:











(M

i

)

jl

=

Z

T

i

ϕ

ij

ϕ

il

,

(S

x

ik

)

jl

=

1

2 n

e

ikx

Z

a

ik

ϕ

ij

ϕ

kl

pour

x

= {x, y},

(M

x

i

)

jl

=

1

2 Z

T

i

∂ϕ

ij

∂x

ϕ

il

− ϕ

ij

∂ϕ

il

∂x

,

(M

i

y

)

jl

=

1

2 Z

T

i

∂ϕ

ij

∂y

ϕ

il

− ϕ

ij

∂ϕ

il

∂y

.

(2.11)

(13)

Danslasuite,poursimplierl'é riture,onutiliselesnotationssuivantes :

F

n+

1

2 x

_ik

=

F

x

n+1

ik

+ F

x

n

_ik

2 , E

n+

1

2 x

i

=

E

x

n+1

i

+ E

x

n

_i

2

où

x

= {x, y}.

(2.12)

Remarque1 Onalespropriétéssuivantes, pour

x

= {x, y}

: si

a

ik

est uneinterfa e interne alors

t

_S

x

ik

= −S

x

ki

,

si

a

ik

est uneinterfa e métallique alors

t

_S

x

ik

= S

x

ik

.

2.1 Conservation d'une énergie dis rète

Onintroduitl'énergiedis rètesuivante:

E

n

₌

1

2 X

i

ǫ

i

t

E

xi

n

M

i

E

xi

n

+ ǫ

i

t

E

yi

n

M

i

E

yi

n

+ µ

i

t

H

n−

1

2 zi

M

i

H

n+

1

2 zi

.

(2.13)

Onévaluemaintenantlavariationd'énergieau ours d'unpasdetemps:

∆E = E

n+1

− E

n

=

X

i

h

t

_E

n+

1

2 xi

ǫ

i

M

i

(E

n+1

xi

− E

xi

n

) + E

n+

1

2 yi

ǫ

i

M

i

(E

yi

n+1

− E

n

yi

)

+

t

H

n+

1

2 zi

(

µ

i

2 )M

i

(H

n+

3

2 zi

− H

n−

1

2 zi

)

i

= ∆t

X

i

h

−

t

_E

n+

1

2 xi

M

y

i

H

n+

1

2 zi

+

t

E

n+

1

2 xi

X

k∈V

i

G

n+

1

2 yik

+

t

E

n+

1

2 yi

M

i

x

H

n+

1

2 zi

−

t

E

n+

1

2 xi

X

k∈V

i

G

n+

1

2 yik

+

t

_H

n+

1

2 zi

M

x

i

E

n+

1

2 yi

−

t

_H

n+

1

2 zi

M

y

i

E

n+

1

2 xi

+

t

H

n+

1

2 zi

X

k∈V

i

(F

n+

1

2 yik

− F

n+

1

2 xik

)

i

= ∆t

X

i

X

k∈V

i

h

t

_E

n+

1

2 xi

G

n+

1

2 yik

−

t

_E

n+

1

2 yi

G

n+

1

2 xik

+

t

_H

n+

1

2 zi

(F

n+

1

2 yik

− F

n+

1

2 xik

)

i

.

Danslatroisièmeégalité,touslestermesqui ontiennent

M

x

i

et

M

y

i

s'éliminent ar es

matri essontantisymétriqueset,danslaquatrième égalité,touslestermes dansladouble sommation orrespondentauxinterfa esdeséléments.Onadon :

∆E = ∆t(A + B),

(14)

A =

internes

_X

interf aces

h

t

_E

n+

1

2 xi

G

n+

1

2 yik

+

t

_E

n+

1

2 xk

G

n+

1

2 yki

−

t

_E

n+

1

2 yi

G

n+

1

2 xik

−

t

_E

n+

1

2 yk

G

n+

1

2 xki

+

t

_H

n+

1

2 zi

(F

n+

1

2 yik

− F

n+

1

2 xik

) +

t

_H

n+

1

2 zk

(F

n+

1

2 yki

− F

n+

1

2 xki

)

i

,

B

=

metalliques

_X

interf aces

h

t

_E

n+

1

2 xi

G

n+

1

2 yik

−

t

_E

n+

1

2 yi

G

n+

1

2 xik

+

t

_H

n+

1

2 zi

(F

n+

1

2 yik

− F

n+

1

2 xik

)

i

.

Onutilise(2.10),(2.12)etlaremarque1pour al uler

A

etontrouve:

A =

internes

_X

interf aces

h

t

_E

n+

1

2 xi

S

y

ik

H

n+

1

2 zk

+

t

_E

n+

1

2 xk

S

y

ki

H

n+

1

2 zi

−

t

_E

n+

1

2 yi

S

ik

x

H

n+

1

2 zk

−

t

_E

n+

1

2 yk

S

x

ki

H

n+

1

2 zi

+

t

_H

n+

1

2 zi

S

y

ik

E

n+

1

2 xk

−

t

H

n+

1

2 zi

S

ik

x

E

n+

1

2 yk

+

t

_H

n+

1

2 zk

S

y

ki

E

n+

1

2 xi

−

t

_H

n+

1

2 zk

S

x

ki

E

n+

1

2 yi

i

= 0.

Pour al uler

B

, onutilise(2.10),(2.12),(2.7)etlaremarque1.Ontrouve:

B

=

metalliques

_X

interf aces

h

t

_E

n+

1

2 xi

S

y

ik

H

n+

1

2 zk

−

t

_E

n+

1

2 yi

S

x

ik

H

n+

1

2 zk

+

t

_H

n+

1

2 zi

S

y

ik

E

n+

1

2 xk

−

t

_H

n+

1

2 zi

S

x

ik

E

n+

1

2 yk

i

= 0.

Don , pourdes onditionsauxlimites detypemétalliqueseulement,l'énergie est exa -tement onservée. Ce résultat est ohérentave lethéorème dePoynting.On rappelleque l'énergieéle tromagnétiqueentroisdimensionsd'espa e,danslevide,enabsen ede harge etde ourant,vérielethéorèmedePoynting:

Z

V

∂E

∂t

dv +

Z

∂V

~

P .~e

nds = 0.

pourtout volume

V

fermé defrontière

∂V

régulier, où

E

estl'énergieéle tromagnétiqueet

~

P

est leve teurdePoyntingdénispar:

(15)

Pourdes onditionsauxlimitesdetypemétallique

E ∧ ~e

~

n = 0

etlethéorèmedePoynting montrequel'énergieestexa tement onservée.

2.2 Stabilité du s héma

On her he maintenant à exhiber une ondition susante de stabilité de la méthode Galerkin dis ontinu (2.9)-(2.10)-(2.11)lorsque les onditionsaux limites sont données par (2.7).Pour ela, onveutdémontrerquel'énergiedis rète(2.13)estune formequadratique déniepositivesousune onditiondetypeCFLsur

∆t

quipourraitjouerlerledefon tion deLyapunovdetouteslesin onnuesnumériques[27℄.Onpourraalors on lurequeles héma est onditionnellementstable.

Hypothèse1 Onsupposequepourtouttriangle

T

i

,il existeune onstante

α

i

telleque:

∀X ∈

Ve t

{ϕ

ij

, 1 ≤ j ≤ d

i

}, k

∂X

∂x

k

T

i

≤

α

i

P

i

x

|T

i

|

kXk

T

i

,

∀X ∈

Ve t

{ϕ

ij

, 1 ≤ j ≤ d

i

}, k

∂X

∂y

k

T

i

≤

α

i

P

i

y

|T

i

|

kXk

T

i

.

(2.14)

On note par

kXk

T

_i

la norme

L

2

du hamp

X

sur

T

i

,i.e.

kXk

T

_i

=

Z

T

i

|X|

2

.On utilise

aussi lamême notation pour dénirla norme

L

2

du hamp

X

surl'interfa e

a

ik

.

Hypothèse2 On suppose que pour tout triangle

T

i

de voisin

T

k

(

k ∈ V

i

), il existe des onstantes

β

ik

et

β

ki

,tellesque :

∀X ∈

Ve t

{ϕ

ij

, 1 ≤ j ≤ d

i

},

kXk

2 a

ik

≤ β

ik

k~n

ik

k

|T

i

|

kXk

2 T

i

,

∀Y ∈

Ve t

{ϕ

kj

, 1 ≤ j ≤ d

k

}, kY k

2 a

ik

≤ β

ki

k~n

ik

k

|T

k

|

kY k

2 T

k

.

(2.15)

Notonsi iquela onstante

α

i

estdiérenteetmoins ontraignanteque elleutiliséedans [13℄. Cela vient du fait que les périmètres suivant

x

et

et desinégalitésélémentaires,ona:

|

t

XS

ik

x

Y | ≤

|e

n

ikx

|

2 kXk

a

ik

kY k

a

ik

≤

|e

n

ikx

|

4 √µ

i

√

_ǫ

i

kXk

2 a

ik

+

√

_ǫ

i

√

_µ

i

kY k

2 a

ik

.

(16)

|

t

_XS

x

ik

Y | ≤

|n

ikx

|

4 β

ik

|T

i

|

√

_µ

i

√

_ǫ

i

kXk

2 T

i

+

β

ki

|T

k

|

√

_ǫ

i

√

_µ

i

kY k

2 T

k

ave

x

= {x, y}.

Onaparailleursque:

2E

n

₌

X

i

h

ǫ

i

t

E

xi

n

M

i

E

n

xi

+ ǫ

i

t

E

yi

n

M

i

E

yi

n

+ µ

i

t

H

n−

1

2 zi

M

i

H

n+

1

2 zi

i

=

X

i

h

ǫ

i

kE

xi

n

k

2 T

i

+ ǫ

i

kE

n

yi

k

2 T

i

+ µ

i

kH

n−

1

2 zi

k

2 T

i

− ∆tX

n

i

,

ave :

|X

n

i

| =

t

H

n−

1

2 zi

h

− M

i

x

E

yi

n

+ M

y

i

E

xi

n

+

X

k∈V

i

F

xik

n

− F

yik

n

i

≤

1

2 k

∂H

zi

∂x

k

T

i

kE

yi

k

T

i

+

1

2 k

∂E

yi

∂x

k

T

i

kH

zi

k

T

i

+

1

2 k

∂H

zi

∂y

k

T

i

kE

xi

k

T

i

+

1

2 k

∂E

xi

∂y

k

T

i

kH

zi

k

T

i

+

X

k∈V

i

t

H

n−

1

2 zi

S

ik

x

E

yk

+

t

H

n−

1

2 zi

S

y

ik

E

xk

≤

X

k∈V

i

h α

i

|n

ikx

|

|T

i

|

kH

zi

k

T

i

kE

yi

k

T

i

+

α

i

|n

iky

|

|T

i

|

kH

zi

k

T

i

kE

xi

k

T

i

+

|n

ikx

|

4 β

ik

|T

i

|

√

_µ

i

√

_ǫ

i

kH

zi

k

2 T

i

+

β

ki

|T

k

|

√

_ǫ

i

√

_µ

i

kE

yk

k

2 T

k

+

|n

iky

|

4 β

ik

|T

i

|

√

_µ

i

√

_ǫ

i

kH

zi

k

2 T

i

+

β

ki

|T

k

|

√

_ǫ

i

√

_µ

i

kE

xk

k

2 T

k

i

≤

X

k∈V

i

h α

i

|n

ikx

|

2|T

i

|

√

_µ

i

√

_ǫ

i

kH

zi

k

2 T

i

+

α

i

|n

ikx

|

2|T

i

|

√

_ǫ

i

√

_µ

i

kE

yi

k

2 T

i

+

α

i

|n

iky

|

2|T

i

|

√

_µ

i

√

_ǫ

i

kH

zi

k

2 T

i

+

α

i

|n

iky

|

2|T

i

|

√

_ǫ

i

√

_µ

i

kE

xi

k

2 T

i

+

|n

ikx

|β

ik

4|T

i

|

√

_µ

i

√

_ǫ

i

kH

zi

k

2 T

i

+

|n

ikx

|β

ki

4|T

k

|

√

_ǫ

i

√

_µ

i

kE

yk

k

2 T

k

+

|n

iky

|β

ik

4|T

i

|

√

_µ

i

√

_ǫ

i

kH

zi

k

2 T

i

+

|n

iky

|β

ki

4|T

k

|

√

_ǫ

i

√

_µ

i

kE

xk

k

2 T

k

i

.

Parsuite:

(17)

2E

n

≥

X

i

X

k∈V

i

h

|n

iky

|

ǫ

i

P

_i

y

− ∆t

α

i

2|T

i

|

√

_ǫ

i

√

_µ

i

kE

xi

k

2 T

i

+

|n

ikx

|

ǫ

i

P

x

i

− ∆t

α

i

2|T

i

|

√

_ǫ

i

√

_µ

i

kE

yi

k

2 T

i

+

|n

iky

|

µ

i

2P

i

y

− ∆t

α

i

2|T

i

|

√

_µ

i

√

_ǫ

i

− ∆t

β

ik

4|T

i

|

√

_µ

i

√

_ǫ

i

kH

zi

k

2 T

i

+

|n

ikx

|

µ

i

2P

x

i

− ∆t

α

i

2|T

i

|

√

_µ

i

√

_ǫ

i

−∆t

β

ik

4|T

i

|

√

_µ

i

√

_ǫ

i

kH

zi

k

2 T

i

−

∆t

|n

iky

|β

ki

4|T

k

|

√

_ǫ

i

√

_µ

i

kE

xk

k

2 T

k

− ∆t

|n

ikx

|β

ki

4|T

k

|

√

_ǫ

i

√

_µ

i

kE

yk

k

2 T

k

i

.

Poursimplierl'é rituredel'énergieonutiliselesnotationssuivantes,pour

x

= {x, y}

:

N

x

ik

=

ǫ

i

P

x

i

− ∆t

α

i

2|T

i

|

√

_ǫ

i

√

_µ

i

− ∆t

β

ik

4|T

i

|

√

_ǫ

i

√

_µ

i

|n

ikx

|,

Z

x

ik

=

µ

i

P

x

i

− ∆t

α

i

2|T

i

|

√

_µ

i

√

_ǫ

i

− ∆t

β

ik

4|T

i

|

√

_µ

i

√

_ǫ

i

|n

ikx

|,

d'où:

2E

n

≥

internes

_X

interf aces

h

N

_ik

y

kE

xi

k

2 T

i

+ N

x

ik

kE

yi

k

2 T

i

+ Z

y

ik

kH

zi

k

2 T

i

+

Z

ik

x

kH

zi

k

2 T

i

+ N

y

ki

kE

xk

k

2 T

k

+ N

x

ki

kE

yk

k

2 T

k

+

Z

_ki

y

kH

zk

k

2 T

k

+ Z

x

ki

kH

zk

k

2 T

k

i

+

metalliques

_X

interf aces

h

N

_ik

y

kE

xi

k

2 T

i

+ N

x

ik

kE

yi

k

2 T

i

+ Z

y

ik

kH

zi

k

2 T

i

+ Z

x

ik

kH

zi

k

2 T

i

.

Pourque

E

n

soit une formequadratique dénie positive,ilsut que les oe ientsde touslestermesdel'expression i-dessussoientpositifs.Don ,pourlesinterfa esinterneson doitavoir:

c

i

∆t(2α

i

+ β

ik

) ≤

4|T

i

|

P

x

i

et

c

i

∆t(2α

i

+ β

ik

) ≤

4|T

i

|

P

i

y

,

(2.16)

c

k

∆t(2α

k

+ β

ki

) ≤

4|T

k

|

P

x

k

et

c

k

∆t(2α

k

+ β

ki

) ≤

4|T

k

|

P

_k

y

.

(2.17)

(18)

L'équation(2.16)donne:

c

i

∆t

1 (2α

i

+ β

ik

) ≤ 4 min

|T

i

|

P

x

i

,

|T

i

|

P

i

y

.

(2.18) L'équation(2.17)donne:

c

k

∆t

2 (2α

k

+ β

ki

) ≤ 4 min

|T

k

|

P

x

k

,

|T

k

|

P

_k

y

.

(2.19)

Pourlesinterfa esmétalliquesondoitavoir:

c

i

∆t(2α

i

+ β

ik

) ≤

4|T

i

|

P

x

i

et

c

i

∆t(2α

i

+ β

ik

) ≤

4|T

i

|

P

i

y

.

(2.20) L'équation(2.20) onduità:

c

i

∆t(2α

i

+ β

ik

) ≤ 4 min(

|T

i

|

P

x

i

,

|T

i

|

P

_i

y

).

(2.21)

Utilisonslesrelations(2.18)et (2.19)pourdénirla onditiondestabilité surles inter-fa es internes et (2.21) pour les interfa es métalliques.Ainsi, la ondition de stabilité est dénitpar:







∀

interfa einterne

a

ik

,

∆t ≤ min(∆t

1 , ∆t

2 ),

∀

interfa emétallique

a

ik

, c

i

∆t(2α

i

+ β

ik

) ≤ 4 min(

|T

i

|

P

x

i

,

|T

i

|

P

i

P

l

dansdeux ellulesdiérentes.

Remarque2 Dans le as d'un maillage orthogonal onforme ou non- onforme, haque

k∈V

i

|n

iky

| = 2∆x

i

.

(2.23)

La onditionde stabilité s'é rit dans e as:

(

∀

interfa einterne

a

ik

,

∆t ≤ min(∆t

1 , ∆t

2 ),

∀

interfa emétallique

a

ik

, c

i

∆t(2α

i

+ β

ik

) ≤ min(∆x

i

, ∆y

i

),

(2.24)

où

∆t

1

et

∆t

2

sontdénis par :

(19)

dépendseulementdu hoixdefontionsdebaselo ales. Autrement dit, si on hoisit le même espa e des fon tions de base dans toutes les ellules,alors

α

i

estune onstanteglobale(mêmedansle asnon- onforme).Dansles autres as(parexemple,le asd'uns héma

P

k

/P

l

)la onstante

α

i

devient onstante par ellule(lo ale).

3 Etude de as parti uliers

OnaimplémentélaméthodeGD-

P

k

pourk={0,1,2,3,4}surunmaillagetriangulaire ave des fon tions de base nodales. On onsidère plus parti ulièrement dans la suite les s hémas GD-

P

0

et GD-

P

1

et on her he à évalueranalytiquement les ritères de stabilité orrespondant. On distingue deux as : on ommen e d'abord par le as d'un maillage onformepuisonétudiele asnon- onforme.

3.1 Cas d'un maillage onforme

3.1.1 S héma GD-

P

0

(méthode de volumeni)

Pourunmaillage triangulaire,les hémaGD-

P

0

est exa tementuns hémavolumeni lassique. Dans e as

d

i

= 0

, i.e. haquein onnue né essiteun seul degréde liberté. Les onditions(2.14)et(2.15)sontvériéeset ona

∀i, α

i

= 0

et

∀i, ∀k ∈ V

i

, β

ik

= β

ki

= 1

.La onditiondestabilité s'é ritalorspourtouteinterfa einterne

a

ik

:

max(c

i

, c

k

)∆t ≤ 4 min

min(

|T

i

|

P

x

i

,

|T

i

|

P

i

y

), min(

|T

k

|

P

x

k

,

|T

k

|

P

k

y

)

.

(3.25) Dansle asd'unmaillagetriangulaireorthogonalrégulier(i.e.

∆x

l

et

∆y

l

sont onstants

∀l

)la onditiondestabilitédus hémaGD-

P

0

s'é ritpourtouteinterfa einterne:

max(c

i

, c

k

)∆t ≤ min(∆x

i

, ∆y

i

).

(3.26)

OnnoteparCFLlavaleurmaximalequepeutprendrelerapport

max(c

i

)∆t

min(∆x

i

, ∆y

i

)

.Dans

le asprésent,laCFLest égaleà1.

Remarque3 Ces héma volumeni estétudiédans[13 ℄et[21 ℄.Lele teurpourravérier quepourunmaillageorthogonalla onditiondestabilitéobtenuei iestmoins ontraignante que elles obtenues dans [13 ℄ et [21℄. Par exemple, dans le as homogène (i.e.

ǫ

i

=

te et

(20)

µ

i

=

te

, ∀i

) etpourunmaillage régulier uniforme, la onditionCFLobtenue i iest plus grande d'unfa teur 1.7que ellesobtenuesdans[13 ℄ et[21 ℄.

3.1.2 S héma GD-

P

1

Dansle asdefon tionsdebasenodaleslinéaires, haque omposantedu hamp éle tro-magnétiquené essitetroisdegrésdeliberté, i.e.

∀i, d

i

= 3

.Pourunmaillage onforme,on alelemmesuivant.

Lemme1 Pourdesfon tions debasenodaleslinéaires,leshypothèses(2.14)et(2.15)sont vériéeseton a:

1.

∀i, α

i

= 3

,

Z

a

ik

ϕ

ij

ϕ

ij

′

=

k~n

ik

k

6 (1 + δ

jj

′

)(1 − δ

jk

)(1 − δ

j

′

k

).

(3.28) 1. Ona:

X =

X

j∈V

i

X

ij

ϕ

ij

(i i,

|V

i

| = d

i

),alors

kXk

2 T

i

≥

|T

i

|

12 X

j∈V

i

|X

ij

|

2

. Pour

x

= {x, y}

:

k

∂X

_∂x

k

2 T

i

≤

3 4|T

i

|

(

X

j∈V

i

|n

ijx

X

ij

|)

2 ≤

3(P

x

i

)

2 4|T

i

|

X

j∈V

i

|X

ij

|

2 ≤

9(P

x

i

)

2 |T

i

|

2 kXk

2 T

i

don

α

i

= 3.

Pour unmaillage onforme,

∀i, ∀k ∈ V

i

on a

β

ik

= β

ki

. On utilise (3.27) et (3.28) pour al uler

β

ik

qui vérieleproblèmedeminimisation:





2

1 1 0

2 0

0 0 0





β

ik

2 



2 1

1 2

1

1 1 1

2 

 ,

où"

"désigneuneinégalité généraliséedéniedans l'annexe(6.1). Onobtientainsi

(21)

La onditiondestabilitédus hémaGD-

P

1

s'é ritpourunmaillage onformequel onque:

∀

interfa einterne

a

ik

, max(c

i

, c

k

)∆t ≤

4

9 min min(

|T

i

|

P

x

i

,

|T

i

|

P

i

y

), min(

|T

k

|

P

x

k

,

|T

k

|

P

_k

y

).

(3.29)

Pour un maillage orthogonal régulier et en utilisant (2.23), la ondition de stabilité s'é rit:

∀

interfa einterne

a

ik

, max(c

i

, c

k

)∆t ≤ 0.11 min(∆x

i

, ∆y

i

).

(3.30) 3.2 Cas d'un maillage non- onforme

Lebutde ettese tionestd'étudieretd'expli iterune onditiondestabilitédess hémas GD-

P

i

.Par ontre,danslasituation(b),

T

k

, k ∈ V

i

tou he

T

i

parunseulsommetetlanon- onformitéestdelapartde

T

i

et

T

k

.

T

_i

a

i

ik

T

k

(a)

T

_i

k2

T

_k1

(b)

k

respe tivement,tellesque

a

ik

= T

i

T

k

= a

i

∩ a

k

.Onnotepar

ℓ

1 =

|a

i

|

|a

ik

|

et

ℓ

2 =

|a

k

|

|a

ik

|

deux

(22)

onstantespositivestellesque

ℓ

1 , ℓ

ℓ

1 < ℓ

2

alors

β

ik

≤ β

ki

.

(3.31)

Preuve :Onselimite dansladémonstrationàdesfon tionsdebasenodaleslinéaires.On peutnéanmoinsutiliserlesmêmeste hniquespourd'autresfon tionsdebase.Toutd'abord, onnotepar

A

i

1

et

A

i

2

lesmatri essymétriquespositivestellesque:

(A

i

1 )

jj

′

=

Z

a

ik

ϕ

ij

ϕ

ij

′

et

(A

i

2 )

jj

′

=

Z

a

i

ϕ

ij

ϕ

ij

′

.

(3.32)

Puisque lesfon tions de bases nodales dutriangle

T

i

sonttoujours positivesou nulles sur

T

i

,ona:

1 |a

ik

|

A

i

1 χ

1 ℓ

1

1 |a

i

|

A

i

2

ave

χ

1 ≤ 1,

1 |a

ik

|

A

k

1 χ

2 ℓ

2

1 |a

k

|

A

k

2

ave

χ

2 ≤ 1.

(3.33)

Pourobtenir(3.33), ommençons parremarquer quela omparaison entre lesmatri es

A

i

1

et

A

i

2

,

∀i

nesefaitdire tementpasparle ritèredel'annexe6.1puisque esmatri esne sontpasdénies,sontsingulièreset possèdenttoujoursuneligneet une olonnenulles. En eet,pourdes fon tionsdesbases nodales

P

1

lesdiérentes formes desmatri es

A

i

1

et

A

i

2

sont:





0 0

0 0 ∗ ∗

0 ∗ ∗



 ,





∗ 0 ∗

0 0

0 ∗ 0 ∗





et





∗ ∗ 0

0 0

0 

 .

(3.34)

Don , esmatri espossèdentunevaleurproprenulle.Ondénitalorslesmatri es

B

i

1

B

i

1 λB

i

2 ,

alors

A

i

1 λA

i

2 ,

où

λ

est une onstante.Don :

1 |a

ik

|

A

i

1 ℓ

1

1 |a

i

|

A

i

2 ℓ

1 β

onf

ik

B

i

|T

i

|

,

1 |a

ik

|

A

k

1 ℓ

2

1 |a

k

|

A

k

2 ℓ

2 β

onf

ki

B

k

|T

k

|

,

(23)

oùpourtout indi e

i

,

B

i

estlamatri e demasseasso iée autriangle

T

i

dénie par(3.27). Les onstantes

β

onf

ik

et

β

onf

ki

sontégales(l'indi e " onf"signieque es onstantessontles

mêmes que elles qui sont dénies dans le as onforme). Ainsi, si

ℓ

1 = ℓ

2

et en prenant

β

ik

= ℓ

1 β

onf

ik

et

β

ki

= ℓ

2 β

onf

ki

, lapremière propriété dulemme est démontrée.On suit la mêmedémar hepourdémontrerlesdeuxautrespropriétés.

Remarque4

•

Les propriétés du lemme 2 sont des onditions né essaires seulement. Par exemple pour un maillage du type de la gure 3.2(b), on peut avoir

β

ik

= β

ki

mais

ℓ

1 6= ℓ

2

.Par ontre, dans le as d'un maillage du type de la gure 3.2(a), es onditions deviennentsusantesaussi (voirexemple 1dansl'annexe 6.4 ).

•

Lelemme2montre lairement (pourunmaillagenon- onforme seulement)l'inuen e des onstantes

β

ik

et

β

ki

par

ℓ

1

et

ℓ

2

respe tivement.Celavientdufaitquelesmatri es

A

i

1

et

A

A

i

1

orrespondantessontdiérentes. Onobserve ettesituationdansle asd'unranementdemaillage.

•

Lelemme2permetde diéren ier lesinterfa es onformesdesinterfa es non- onfor-mes.Ilpourrait aussipermettred'identierletypedenon- onformité (voirlesgures 3.2,(a)et(b)) de fa iliteraussi le al ul duCFL.

Danslapratique,onutilise ladémar hesuivante pour al ulerlaplusgrande valeurde

β

ik

∀i, ∀k ∈ V

i

(voirexemple2dansl'annexe6.4):

1. On her hetouteslesinterfa esnon- onformes.

2.

∀i, ∀k ∈ V

i

,on al ule toutesleslongueurs

ℓ

1

et

ℓ

2

qui orrespondentauxinterfa es

non- onformes.

3. On her he à al uler

∀i, ∀k ∈ V

i

1 , ℓ

max

2 )

.Ilsepeutqu'onaitplusieurs

L

max

;soit

L

max

l'ensembledesvaleurs

{L

max

1 , . . . , L

max

m

}

,où

m

estunentiernaturel.Dans e ason al uletouteslesvaleurs de

β

ik

et

β

ki

,puisonprendlesmaximumdetouteslesvaleurs

β

ik

et

β

ki

al ulées.

3.3 Ranement lo al non- onforme

Un as trèsintéressantàétudierest le as d'unranementnon- onforme.Lemodede dé oupage (deranement) d'untriangle dé rit i-dessous (voirla gure3.3 ) aété hoisi pournepasdétériorerlaqualitédumaillage.Soituntriangle

T

i

;lesnouveauxsommetssont générésauxmilieuxdes tésetsontutilisésave lessommetsoriginauxpour réerquatre nouveauxtriangles.Lequatrièmetriangleestsituéau entredutriangleoriginaletutiliseles troisnouveauxsommets.Pour emodededé oupage,l'airede haquenouveautrianglevaut lequart de l'airedutriangleinitial. L'avantagede ette subdivision est lapréservation de

l'anisotropiedutriangleinitial.Onnotepar

ℓ =

|a

i

|

|a

ik

|

(24)

T

_i

(a)Etape0

0

1

0

1

0

1

2

3

4

(b)Etape1

0

1

0

1

0

1

( )Etape2

Fig.3.3Lesétapesdesubdivision d'untriangle

etl'arêtelapluspetite)letauxderanement,

ℓ

estunentiernaturel.Lesgures3.4(a)et (b)représententdon desexemplesderanementdetaux

ℓ = 4

et

ℓ = 8

respe tivement.

En utilisantles mêmes notationsque pré édemment,on a

ℓ

1 ≥ ℓ

2 = 1

, et don

β

ik

≥

β

ki

, ∀i, ∀k ∈ V

i

. Si les valeurs de

β

ik

pouvaient être al ulées analytiquement alors une

onditiondestabilitéexa te(CFLthéorique)pourraitêtreobtenue.C'est equenousallons fairei idansle asd'unmaillagetriangulaireorthogonal.Ondonnedanslestableaux1et2 lesvaleursdes onstantes