« le sonar indique l’existence d’un banc de poissons » et S l’évènement contraire de S . 1. Donner P

Un chalutier se rend sur sa zone de pêche. La probabilité qu’un banc de poissons soit sur cette zone est de 0, 7. Le chalutier est équipé d’un sonar pour détecter la présence d’un banc de poissons. Si un banc est présent, le sonar indique la présence du banc dans 80 % des cas. S’il n’y pas de banc de poissons dans la zone de pêche, le sonar indique néanmoins la présence d’un banc dans 5 % des cas.

On note :

B l’évènement : « il y a un banc de poissons sur zone » et B l’évènement contraire de B, S l’évènement :

« le sonar indique l’existence d’un banc de poissons » et S l’évènement contraire de S . 1. Donner P

(S ).

2. Représenter la situation par un arbre de probabilités.

3. Déterminer la probabilité P( B S ) et l interpréter par une phrase.

4. Montrer que la probabilité que le sonar indique la présence d’un banc de poissons (réel ou fictif ) est 0, 575.

5. Le sonar détecte un banc de poisson. Déterminer la probabilité qu il y en ait effectivement un dans la zone.

6. Le pêcheur prévoit d’effectuer huit sorties successives sur la zone de pêche.

Déterminer la probabilité que, lors de quatre sorties parmi les huit, le sonar reste muet, c’est- à-dire

n’indique pas la présence d’un banc de poissons. On donnera la valeur approchée arrondie au millième de ce

résultat.

CORRECTION

1. D après l énoncé, P

(S) 0,8 2.

3. P( B S ) P( B) P

(S ) 0,7 0,8 0,56. La probabilité qu il y ait un banc de poissons et que le sonar le détecte est 0,56.

4. P( S) P( B S ) P ( ^{B S} ) ^{0,56 P} ( ) ^{B P}

B

( S) 0,56 0,3 0,05 0,575. La probabilité que le sonar détecte un banc de poissons est 0,575.

5. P

(B ) P( B S ) P( S)

0,56 0,575

112

115 0,974. Lorsque le sonar détecte un banc de poissons, la probabilité qu il y en ait effectivement un est 112

115 .

6. On répète huit fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli qui consiste à effectuer une sortie et à noter si le sonar reste muet. A chaque sortie, la probabilité que le sonar reste muet est

1 0,575 0,425.

La variable aléatoire X qui compte le nombre de sorties pendant lesquelles le sonar reste muet suit la loi binomiale de paramètres 8 et 0,425.

On a P (X 5)

 8

5

0,425

(1 0,425)

0,148

La probabilité que, lors de cinq sorties parmi les huit, le sonar reste muet est environ 0,148.

B

0,7

S 0,8

S 0,2

B

0,3 S

0,05

S 0,95