Sur les déformations isomonodromiques et la stabilité des équations différentielles

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Submitted on 10 Jun 2011

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Sur les déformations isomonodromiques et la stabilité des équations différentielles

Bassem Ben Hamed

To cite this version:

Bassem Ben Hamed. Sur les déformations isomonodromiques et la stabilité des équations différen- tielles. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III; Faculté des Sciences de Sfax, 2006. Français. �tel-00599446�

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❇✐❜❧✐♦❣r❛♣❤✐❡ ✾✶

✽

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

▲✬✉♥ ❞❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ✐♠♣♦rt❛♥ts ❞✬❛♥❛❧②s❡ ❞❡♣✉✐s ❧❡ 19^è♠❡ s✐è❝❧❡ ét❛✐t ❞❡ ❝❤❡r❝❤❡r ❞❡ ✧❜♦♥♥❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s tr❛♥✲

s❝❡♥❞❛♥t❡s✧ ❞é✜♥✐❡s ♣❛r ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❛❧❣é❜r✐q✉❡s ♥♦♥✲❧✐♥é❛✐r❡s✳ ❙✐ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ❡st ♥♦♥✲❧✐♥é❛✐r❡✱ ♦♥

♥❡ ♣❡✉t ♣❛s ❡♥ ❣é♥ér❛❧ ♣ré✈♦✐r ❧❛ ♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡s s✐♥❣✉❧❛r✐tés✳ ❯♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ♥♦♥✲❧✐♥é❛✐r❡

❡st ❞✐t❡ s❛♥s s✐♥❣✉❧❛r✐tés ♠♦❜✐❧❡s✱ s✐ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♥❡ ♣♦ssè❞❡ ♣❛s ❞❡s ♣♦✐♥ts ❞❡ r❛♠✐✜❝❛t✐♦♥s ✭r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t ❞❡s s✐♥❣✉❧❛r✐tés ❡ss❡♥t✐❡❧❧❡s✮ q✉✐ ❝❤❛♥❣❡♥t ❞❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ❧♦rsq✉✬♦♥ ✈❛r✐❡ ❧❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✐♥✐t✐❛❧❡s✳ ❆✐♥s✐✱ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡st

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❚r♦✉✈❡r t♦✉t❡s ❧❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❛❧❣é❜r✐q✉❡s ♥♦♥✲❧✐♥é❛✐r❡s ♥❡ ♣♦ssè❞❛♥t ♣❛s ❞❡ s✐♥❣✉❧❛r✐tés ♠♦❜✐❧❡s✳

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❉❛♥s ❧❡ ❝❛s ♦ù ❧✬♦r❞r❡ ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥n= 1✱ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❛ été ét✉❞✐é ❡t rés♦❧✉ ♣❛r ▲✳ ❋✉❝❤s ❡t ❍✳ P♦✐♥❝❛ré✳ ❚♦✉t❡

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♠♦r♣❤❡s ❡♥t❡t ❢r❛❝t✐♦♥♥❡❧ ❧✐♥é❛✐r❡ ❡♥ ❧❛ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥✱ ❡♥ ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ❲❡✐❡rstr❛ss

℘♦✉ ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❞❡ ❘✐❝❝❛t✐✳

❊♠✐❧❡ P✐❝❛r❞ ❛ ❡①♣r✐♠é ❞❛♥s s❛ ❧❡ttr❡ ❡♥✈♦②é❡ à ▼✐tt❛❣✲▲❡✤❡r ❡♥ ✶✽✾✸✱ s♦♥ ♦♣✐♥✐♦♥ ♣❡ss✐♠✐st❡ ❞❡ tr♦✉✈❡r ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s ❛❧❣é❜r✐q✉❡s ♥♦♥✲❧✐♥é❛✐r❡s ❞✬♦r❞r❡n≥2❡t s❛t✐s❢❛✐s❛♥t ❧❛ ♣r♦♣r✐été ❞❡ P❛✐♥❧❡✈é✳ ❆✐♥s✐✱

P✳ P❛✐♥❧❡✈é ❛ ❛tt❛q✉é ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❛✈❡❝ ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s r❛t✐♦♥♥❡❧❧❡s ❡t ❛ ❞é♠♦♥tré q✉❡ ❞❡ t❡❧❧❡s éq✉❛t✐♦♥s s❛t✐s❢❛✐s❛♥t s❛ ♣r♦♣r✐été s❡ ré❞✉✐s❡♥t✱ ♣❛r ❞❡s tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❝♦♥✈❡♥❛❜❧❡s à ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s s✬✐♥té❣r❛♥t

♣❛r q✉❛❞r❛t✉r❡✱ à ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s ❧✐♥é❛✐r❡s✱ ♦✉ ❛ ❧❛ ❢❛♠❡✉s❡ ❧✐st❡ ❞❡ s❡s s✐① éq✉❛t✐♦♥s✳

❈♦♥s✐❞ér♦♥s ❧❛ s✐①✐è♠❡ éq✉❛t✐♦♥ ❞❡ P❛✐♥❧❡✈é ✭P❱■α✮ d²λ

dt² = 1 2(1

λ+ 1

λ−1 + 1 λ−t)(dλ

dt)²−(1 t + 1

t−1 + 1 λ−t)dλ

dt ✭✵✳✶✮

+λ(λ−1)(λ−t)

t²(t−1)² [α0−α1

t λ²+α2

t−1 (λ−1)²+ (1

2−α3)t(t−1) (λ−t)²].

♣❛r❛♠étr✐sé❡ ♣❛rα= (α0, α1, α2, α3)∈C⁴✳ ❇✐❡♥ q✉❡ t♦✉t❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ P❱■α✱ ♣♦✉r ❞❡s ✈❛❧❡✉rs ❣é♥ér✐q✉❡sαi✱ s♦✐t tr❛♥s❝❡♥❞❛♥t❡ ✭❡❧❧❡ ❞♦♥♥❡ ♠ê♠❡ ✉♥❡ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ tr❛♥s❝❡♥❞❛♥t❡✮✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ très ❣r❛♥❞ ♥♦♠❜r❡ ❞❡

s♦❧✉t✐♦♥s q✉✐ s♦♥t ❛❧❣é❜r✐q✉❡s ❡♥ t✳ ▲❡✉r ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥✱ à ❧✬❡①❝❡♣t✐♦♥ ❞✉ ❝❛s ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r α0= 1

2(2µ−1)², α1=α2=α3= 0, µ∈R

✭✈♦✐r ✭✶✾✱ ❉✉❜r♦✈✐♥✱ ▼❛③③♦❝❝♦✮ ❡t ✭✺✷✱ ▼❛③③♦❝❝♦✮✮✱ r❡st❡ ❡♥❝♦r❡ ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ♦✉✈❡rt ✭✈♦✐r ✭✺✵✱ ▼❛♥✐♥✮✮✳

❉❛♥s ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ♣❛rt✐❡ ❞❡ ❝❡tt❡ t❤ès❡✱ ♥♦✉s ❛❧❧♦♥s ♣rés❡♥t❡r ✉♥ ❝❛s ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ❝❧❛ss✐✜❝❛✲

t✐♦♥ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❛❧❣é❜r✐q✉❡s✳ ❈❡ ❝❛s s✐♠♣❧❡ s❡ ♣r♦❞✉✐t q✉❛♥❞ ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ ❞♦♥♥é❡ s❛t✐s❢❛✐t ❝❤❛q✉❡

♠❡♠❜r❡ ❞✬✉♥❡ ❢❛♠✐❧❧❡ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧❡ ❞❡ P❱■α✳ ❯♥❡ t❡❧❧❡ ❢❛♠✐❧❧❡ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧❡ ❞✬éq✉❛t✐♦♥s ❞❡ P❱■α ❝♦♥t❡♥❛♥t ❛✉

❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞ ✾

■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆

♠♦✐♥s ❞❡✉① é❧é♠❡♥ts ❞✐st✐♥❝tsα^′ ❡t α^′′✱ s❡r❛ ♥♦té❡{P❱■α}^α✳ ❙✐ ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❛❧❣é❜r✐q✉❡ s❛t✐s❢❛✐t à ❧❛ ❢♦✐s ❧❡s éq✉❛t✐♦♥s P❱■α^′ ❡t P❱■α^′′ ❛❧♦rs ❡❧❧❡ s❛t✐s❢❛✐t t♦✉t❡ ❧❛ ❢❛♠✐❧❧❡ ❞✬éq✉❛t✐♦♥s{P❱■α}α❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t❡ à ❧❛ ❞r♦✐t❡

❛✣♥❡ ❝♦♥t❡♥❛♥tα^′ ❡t α^′′✳ ❆✐♥s✐✱ t♦✉t❡ ❢❛♠✐❧❧❡ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧❡ ❞é✜♥✐❡ ❝♦♠♠❡ ♣ré❝é❞❡♥t❡✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛♥t à ✉♥ ♣❧❛♥

❛✣♥❡ ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡ ❞❡s ♣❛r❛♠ètr❡sC⁴{α}✳ ❉❛♥s ❝❡tt❡ ♣❛rt✐❡✱ ♥♦✉s ❞♦♥♥♦♥s ✉♥❡ ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ❞❡ t♦✉s ❝❡s ❡s♣❛❝❡s

❛✣♥❡s ❛✈❡❝ ❧❡✉rs s♦❧✉t✐♦♥s ❛❧❣é❜r✐q✉❡s ❛ss♦❝✐é❡s✳ ❖♥ ♣♦✉rr❛ ❝♦♥st❛t❡r q✉❡ ❧❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❝♦ï♥❝✐❞❡♥t ❛✈❡❝ ❧❡s s♦✲

❧✉t✐♦♥s ♦❜t❡♥✉❡s ré❝❡♠♠❡♥t ♣❛r ❉♦r❛♥ ✭✈♦✐r ✭✶✽✮✮ q✉✐ ❛ ✉t✐❧✐sé ❞❡s ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥s ❞❡s s✉r❢❛❝❡s ❡❧❧✐♣t✐q✉❡s ❛✈❡❝

q✉❛tr❡s ✜❜r❡s s✐♥❣✉❧✐èr❡s ❡t ❧❡✉rs éq✉❛t✐♦♥s ❞❡ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❛ss♦❝✐é❡s✳ P❛r ❝♦♥tr❡✱ ❧❛ ♣r❡✉✈❡ ❞❡ ♥♦tr❡ t❤é♦rè♠❡

♥✬✉t✐❧✐s❡ ♣❛s ❧❛ ♥♦t✐♦♥ ❞✬éq✉❛t✐♦♥s ❞❡ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s✳

❉❛♥s ❧❛ s✉✐t❡✱ ♦♥ ✈❛ ❡ss❛②❡r ❞❡ ❞♦♥♥❡r ✉♥❡ ❡①♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♣❛rt✐❡❧❧❡ ❞❡ ❝❡tt❡ ❝♦ï♥❝✐❞❡♥❝❡✳ ❘❛♣♣❡❧♦♥s q✉❡ ❝❤❛q✉❡

s♦❧✉t✐♦♥ (λ(t), α) ❞✬✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ P❱■α ❞♦♥♥é❡ ❡st ❣♦✉✈❡r♥é❡ ♣❛r ✉♥❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐q✉❡ ❞✬✉♥

2×2 s②stè♠❡ ❋✉❝❤s✐❛♥ ❛♣♣r♦♣r✐é ♣♦ssé❞❛♥t q✉❛tr❡ ♣♦✐♥ts s✐♥❣✉❧✐❡rs✳ ◆♦✉s ❞✐s♦♥s q✉✬✉♥❡ t❡❧❧❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥

❡st ❣é♦♠étr✐q✉❡ s✐ ❧❡ s②stè♠❡ ❢♦♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❞❡ s♦❧✉t✐♦♥s ❡st ❡♥t✐èr❡♠❡♥t ❝♦♥st✐t✉té ❞✬✐♥té❣r❛❧❡s ❆❜é❧✐❡♥♥❡s✱ q✉✐

❞é♣❡♥❞❡♥t ❛❧❣é❜r✐q✉❡♠❡♥t ❞✉ ♣❛r❛♠ètr❡ ❞❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❯♥❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥ ❣é♦♠étr✐q✉❡ ❞✬✉♥ s②stè♠❡ ❋✉❝❤s✐❡♥

❡st ✐s♦♠♦♥♦❞♦r♠✐q✉❡ ❡t ❞é✜♥✐t ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❛❧❣é❜r✐q✉❡(λ(t), α)❞✬✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ P❱■α❛♣♣r♦♣r✐é❡✳ ◗✉❛♥❞ ❝❡❝✐

❡st ✈r❛✐✱ ♥♦✉s ❞✐s♦♥s q✉❡ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❛❧❣é❜r✐q✉❡(λ(t), α) ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ P❱■α ❡st ❞✬♦r✐❣✐♥❡ ❣é♦♠étr✐q✉❡✳ ◆♦✉s

♠♦♥tr♦♥s q✉❡ ❧♦rsq✉❡ λ(t) s❛t✐s❢❛✐t ✉♥❡ ❢❛♠✐❧❧❡ ❞✬éq✉❛t✐♦♥s P❱■α✱ ❛❧♦rs ✐❧s ❡①✐st❡♥t α^′, α^′′ ❛♣♣❛rt❡♥❛♥t à ❧❛

♠ê♠❡ ❢❛♠✐❧❧❡✱ t❡❧❧❡s q✉❡(λ(t), α^′)❡t (λ(t), α^′′)s♦♥t ❞✬♦r✐❣✐♥❡ ❣é♦♠étr✐q✉❡✳

▲❛ ❞❡✉①✐è♠❡ ♣❛rt✐❡ ❞❡ ❝❡tt❡ t❤ès❡ ♣♦rt❡ s✉r ❧❛ st❛❜✐❧✐té ❡t ❧❛ st❛❜✐❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡s s②stè♠❡s ❞②♥❛♠✐q✉❡s à r❡t❛r❞✳ ❈❡s s②stè♠❡s ❞②♥❛♠✐q✉❡s à r❡t❛r❞ ❝♦♥st✐t✉❡♥t ❞❡s ♠♦❞è❧❡s ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡s ❜❛s✐q✉❡s ❞❡ ♣❤é♥♦♠è♥❡s ré❡❧s ❝♦♠♠❡

❧❡s ré❛❝t❡✉rs ♥✉❝❧é❛✐r❡s✱ ❧❡s s②stè♠❡s ❞✬✐♥❣é♥✐❡r✐❡ ❝❤✐♠✐q✉❡s✱ ❧❡s s②stè♠❡s ❜✐♦❧♦❣✐q✉❡s✱ ❧❡s ♠♦❞è❧❡s ❞②♥❛♠✐q✉❡s

❞❡ ♣♦♣✉❧❛t✐♦♥✱ ❡t ❜✐❡♥ ❞✬❛✉tr❡s✳ ■❧s s♦♥t s♦✉✈❡♥t ✉♥❡ s♦✉r❝❡ ❞✬✐♥st❛❜✐❧✐té ❡t ❞❡ ❞é❣r❛❞❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡

❞❛♥s ❜❡❛✉❝♦✉♣ ❞❡ ♣r♦❜❧è♠❡s ❞❡ ❝♦♥trô❧❡✳

P❡♥❞❛♥t ❝❡s ❞❡r♥✐èr❡s ❞é❝❡♥♥✐❡s✱ ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ st❛❜✐❧✐té ❞❡s s②stè♠❡s ❧✐♥é❛✐r❡s à r❡t❛r❞ ❛ été s♦✉♠✐s à ♣❧✉s✐❡✉rs r❡❝❤❡r❝❤❡s ❝♦♥s✐❞ér❛❜❧❡s✳ ❇❡❛✉❝♦✉♣ ❞❡ rés✉❧t❛ts s✐❣♥✐✜❛♥ts ♦♥t été r❛♣♣♦rté ❞❛♥s ❧❛ ❧✐ttér❛t✉r❡✳ ▲❡ ❧❡❝t❡✉r ♣♦✉rr❛

❝♦♥s✉❧t❡r ❧❛ ré❢ér❡♥❝❡ s✉✐✈❛♥t❡ ✿ ✭✷✶✱ ●✉ ❛♥❞ ❛❧✳✮✳

❉❛♥s ❧❡ tr♦✐s✐è♠❡ ❝❤❛♣✐tr❡✱ ♦♥ ✈❛ ♣rés❡♥t❡r q✉❡❧q✉❡s ❞é✜♥✐t✐♦♥s ❡t ♥♦t✐♦♥s ❞❡ ❜❛s❡ s✉r ❧❡s s②stè♠❡s à r❡t❛r❞✳

▲❡ ♠♦❞è❧❡ ❝❤♦✐s✐ s❡r❛ ♣rés❡♥té✱ ❛✐♥s✐ q✉❡ ❧✬❡①✐st❡♥❝❡ ❡t ❧✬✉♥✐❝✐té ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ♣♦✉r ❧❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞✐✛ér❡♥t✐❡❧❧❡s

❢♦♥❝t✐♦♥♥❡❧❧❡s ✭❊❉❋❘✮ ❛ss♦❝✐é❡s✳ ❖♥ ✐♥tr♦❞✉✐t ❧❡s ♠ét❤♦❞❡s ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡❧❧❡s ❞❡ ▲②❛♣✉♥♦✈✲❑r❛s♦✈s❦✐✐ ❡t ❞❡

❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ❘❛③✉♠✐❦❤✐♥✱ q✉✐ ❞♦♥♥❡♥t ❞❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s s✉✣s❛♥t❡s ♣♦✉r ❛ss✉r❡r ❧❛ st❛❜✐❧✐té ❞❡ ❝❡s s②stè♠❡s à r❡t❛r❞✳ P✉✐s✱ ♦♥ ❝♦♥s✐❞èr❡ ❞❡s ❝❧❛ss❡s ❞❡ s②stè♠❡s ✐♥❝❡rt❛✐♥s à r❡t❛r❞ ❞❛♥s ❧✬ét❛t ❡t ❞❛♥s ❧❛ ❝♦♠♠❛♥❞❡✳ ❊♥

✉t✐❧✐s❛♥t ❞❡s t❡❝❤♥✐q✉❡s ❞❡ ▲②❛♣✉♥♦✈✱ ♦♥ ♣r♦♣♦s❡ ❞❡s ❝❧❛ss❡s ❞❡ ❝♦♥trô❧❡✉rs ❝♦♥t✐♥✉s✱ q✉✐ ❛ss✉r❡♥t ❧❛ st❛❜✐❧✐té

❣❧♦❜❛❧❡ ✉♥✐❢♦r♠❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❡❧❧❡ ❞❡ ❝❡s s②stè♠❡s ❡♥ ❜♦✉❝❧❡ ❢❡r♠é❡✱ ❡♥ ✐♠♣♦s❛♥t q✉❡❧q✉❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛ss♦rt✐❡s s✉r ❧❡s ✐♥❝❡rt✐t✉❞❡s✳ ▲❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ▲❛②♣✉♥♦✈ q✉❛❞r❛t✐q✉❡ ❞✉ s②stè♠❡ ♥♦♠✐♥❛❧ st❛❜❧❡ ✭❝✬❡st✲à✲❞✐r❡✱ ❧❡ s②stè♠❡

❛ss♦s✐é ❡♥ ❧✬❛❜s❡♥❝❡ ❞❡s ✐♥❝❡rt✐t✉❞❡s ❡t ❞✉ r❡t❛r❞✮ ❡st ✉t✐❧✐sé ❝♦♠♠❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❝❛♥❞✐❞❛t❡ ❞✉ s②stè♠❡

❣❧♦❜❛❧✳ ❉❡s ❡①❡♠♣❧❡s ♥✉♠ér✐q✉❡s s❡r♦♥t ❞♦♥♥és ♣♦✉r ✐❧❧✉str❡r ❧✬❛♣♣❧✐❝❛❜✐❧✐té ❞❡s rés✉❧t❛ts ♦❜t❡♥✉s✳

❉❛♥s ❧❡ q✉❛tr✐è♠❡ ❝❤❛♣✐tr❡✱ ♦♥ ✈❛ ét✉❞✐❡r ❧❛ st❛❜✐❧✐té ❛❜s♦❧✉❡ ❞✬✉♥❡ ❝❧❛ss❡ ❞❡ s②stè♠❡s à r❡t❛r❞ ❞❡ t②♣❡ ❞❡

▲✉r✐❡✳ ❈❡tt❡ ❝❧❛ss❡ ❡st ♣rés❡♥té❡ ❝♦♠♠❡ ✉♥❡ ✐♥t❡r❝♦♥♥❡①✐♦♥ ❞✉ ❢❡❡❞✲❜❛❝❦ ❞✬✉♥ s②stè♠❡ ❞②♥❛♠✐q✉❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❡t

❞✬✉♥❡ ♥♦♥✲❧✐♥é❛r✐té st❛✐s❢❛✐s❛♥t ❧❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❞✉ s❡❝t❡✉r✳ ❊♥ ✉t✐❧✐s❛♥t q✉❡❧q✉❡s ✐♥é❣❛❧✐tés ✐♥té❣r❛❧❡s✱ ♦♥ ♦❜t✐❡♥t ✉♥❡

♥♦✉✈❡❧❧❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ s✉✣s❛♥t❡ ❞❡ st❛❜✐❧✐té ❛❜s♦❧✉❡ ♣rés❡♥té❡ s♦✉s ❢♦r♠❡ ❞✬✐♥é❣❛❧✐tés ♠❛tr✐❝✐❡❧❧❡s ❧✐♥é❛✐r❡s ✭▲▼■✮✳

❈❡tt❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❛♠é❧✐♦r❡ ❝❡❧❧❡ ❞♦♥♥é❡ ❞❛♥s ✭✷✻✱ ❍❛♥✮✳ P❛r ❧❛ s✉✐t❡✱ ♦♥ ✉t✐❧✐s❡r❛ ❝❡tt❡ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♣♦✉r

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❝♦♥str✉✐r❡ ✉♥ ❝♦♥trô❧❡✉r ❜❛sé s✉r ✉♥ ♦❜s❡r✈❛t❡✉r ❞é♣❡♥❞❛♥t ❞✉ r❡t❛r❞✱ t❡❧ q✉❡ ❧❡ s②stè♠❡ ❡rr❡✉r s♦✐t ♣rés❡♥té

❝♦♠♠❡ ✉♥❡ ✐♥t❡r❝♦♥♥❡①✐♦♥ ❞✉ ❢❡❡❞✲❜❛❝❦ ❞✬✉♥ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛✐r❡ ❡t ❞✬✉♥❡ ♥♦♥✲❧✐♥é❛r✐té ♠✉❧t✐♣❧❡ ❞é♣❡♥❞❛♥t❡ ❛✉ss✐

❞✉ r❡t❛r❞ ❡t s❛t✐s❢❛✐s❛♥t ❧❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❞✉ s❡❝t❡✉r✳ ❉❛♥s ❧❛ ❝♦♥❝❡♣t✐♦♥ ❞❡ ❧✬♦❜s❡r✈❛t❡✉r✱ ♦♥ ✈❛ ét❡♥❞r❡ ❧❡s tr❛✈❛✉①

❞❡ ✭✷❀ ✸✱ ❆r❝❛❦ ❡t ❑♦❦♦t♦✈✐❝✮ ❡t ✭✶✺✱ ❋❛♥ ❡t ❆r❝❛❦✮ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❛✈❡❝ r❡t❛r❞✳ ❋✐♥❛❧❡♠❡♥t✱ q✉❡❧q✉❡s ❡①❡♠♣❧❡s

♥✉♠ér✐q✉❡s s❡r♦♥t ❞♦♥♥és ♣♦✉r ✐❧❧✉str❡r ❧✬❛♣♣❧✐❝❛❜✐❧✐té ❞❡s rés✉❧t❛ts ♦❜t❡♥✉s✳

❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞ ✶✶

P❛rt✐❡ ■

❉é❢♦r♠❛t✐♦♥s ■s♦♠♦♥♦❞♦r♠✐q✉❡s ❞❡s ❙②stè♠❡s

❋✉❝❤s✐❡♥s ❡t ❙♦❧✉t✐♦♥s ❆❧❣é❜r✐q✉❡s ❞❡s ❊q✉❛t✐♦♥s

❞❡ P❛✐♥❧❡✈é

❇✳ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞✱ ▲✳ ●❛✈r✐❧♦✈✳ ❖♥ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ s✐①t❤ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥ r❡❧❛t❡❞ t♦ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r P✐❝❛r❞✲

❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥s✱ Pré♣✉❜❧✐❝❛t✐♦♥ ♥♦ ✷✽✺ ❞✉ ▲❛❜♦r❛t♦✐r❡ ❞❡ ▼❛t❤é♠❛t✐q✉❡s ❊♠✐❧❡ P✐❝❛r❞✱ ❛r❳✐✈ ✿♠❛t❤✳❈❆✴✵✹✵✺✸✵✽✱ ✷✵✵✹✳

❇✳ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞✱ ▲✳ ●❛✈r✐❧♦✈✳ ❋❛♠✐❧✐❡s ♦❢ P❛✐♥❧❡✈é ❱■ ❡q✉❛t✐♦♥s ❤❛✈✐♥❣ ❛ ❝♦♠♠♦♥ s♦❧✉t✐♦♥✱ ■♥t✳ ▼❛t❤✳ ❘❡s✳ ◆♦t✳

✷✵✵✺ ◆♦ ✻✵ ♣♣✳ ✸✼✷✼✲✸✼✺✷✳

❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞ ✶✸

❈❤❛♣✐tr❡ ✶

❙♦♠❡ ❜❛s✐❝ ❢❛❝ts ♦♥ t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é

❡q✉❛t✐♦♥s

❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s✐① P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥s ✿ P■ : d²λ

dt² = 6λ²+t, P■■ : d²λ

dt² = 2λ³+tλ+α0, P■■■ : d²λ

dt² = 1 λ(dλ

dt)²−1 t

dλ dt +1

t(α0λ²+α1) +α2λ³+α3

λ, P■❱ : d²λ

dt² = 1 2λ(dλ

dt)²+3

2λ³+ 4tλ²+ 2(t²−α0)λ+α1

λ, P❱ : d²λ

dt² = ( 1 2λ+ 1

λ−1)(dλ dt)²−1

t dλ

dt +(λ−1)²

t (α0λ+α1

λ) +α2

λ t +α3

λ(λ+ 1) λ−1 , P❱■ : d²λ

dt² = 1 2(1

λ+ 1

λ−1 + 1 λ−t)(dλ

dt)²−(1 t + 1

t−1+ 1 λ−t)dλ

dt +λ(λ−1)(λ−t)

t²(t−1)² [α0−α1

t λ² +α2

t−1 (λ−1)² + (1

2 −α3)t(t−1) (λ−t)²]

✇❤❡r❡ α0, α1, α2, α3 ❛r❡ ❝♦♠♣❧❡① ❝♦♥st❛♥ts✱ ❛r❡ ❦♥♦✇♥ t♦ ❛♣♣❡❛r ✐♥ ❛♥ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✇❛② ✐♥ ♠❛♥② ❞✐✛❡r❡♥t

❜r❛♥❝❤❡s ♦❢ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s✳ ❲❡ ♥♦t❡ t❤❛t ❡❛❝❤ ❡q✉❛t✐♦♥s P❏ ❞❡♣❡♥❞s ❛♥ ✵✱ ✶✱ ✸✱ ✷✱ ✹✱ ✹ ♣❛r❛♠❡t❡rs αi r❡s♣❡❝✲

t✐✈❡❧②✳ ■♥ ✇❤❛t ❢♦❧❧♦✇s✱ ✇❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ♦♥❧② ✐♥ t❤❡ s✐①t❤ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥ ❜❡❝❛✉s❡ ❡❛❝❤ P❏✱ ■✱✳✳✳✱❱ ❛r❡

♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ P❱■ ❜② t❤❡ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❧✐♠✐t ♣r♦❝❡ss✱ s❡❡ ✭✸✽✱ Pr♣♦s♦t✐♦♥ ✶✳✷✳✶✱ ♣✳✶✷✺✮✳

❚❤❡ ♣✉r♣♦s❡ ♦❢ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✐s t♦ s❡r✈❡ ❛s ❛♥ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❝❤❛♣t❡r ✷✳ ▼♦r❡ ❞❡t❛✐❧s✱ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ♣r♦♦❢s

❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ ✭✺✱ ❆♥♦s♦✈ ❛♥❞ ❇♦❧✐❜r✉❝❤✮✱ ✭✸✼✱ ■♥❝❡✮✱ ✭✸✽✱ ■✇❛s❛❦✐ ❛♥❞ ❛❧✳✮✱ ✭✻✹✱ ❙❛❜❜❛❤✮✳ ❋✐rst✱ ✇❡ ❞❡s❝r✐❜❡

t❤❡ t✇♦ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♠❡t❤♦❞s ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞ t♦ t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ✜rst ♦♥❡ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ s♦ ❝❛❧❧❡❞

P❛✐♥❧❡✈é ♣r♦♣❡rt② ✭❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ♠♦✈❛❜❧❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts✮✱ s❡❡ ✭✻✵✱ P❛✐♥❧❡✈é✮✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦♥❡✱ ❞✉❡ t♦ ❘✳ ❋✉❝❤s

✭✷✶✮✱ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ◆❡①t✱ ✇❡ ❞❡s❝r✐❜❡ s♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ t❤❡

s✐①t❤ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ t♦ ✭✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝✮ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♦r❞❡r t✇♦✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ ♠♦♥♦❞r♦♠② ♣r❡s❡r✈✐♥❣ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ●❛r♥✐❡r s②st❡♠ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡

❢♦r♠ ♦❢ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ s②st❡♠✱ ✇❤✐❝❤ ❣♦✈❡r♥s s✉❝❤ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❋✉❝❤s✐❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✇✐t❤ n+ 3 s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s✳ ❲❤❡♥ n= 1✱ t❤❡ ●❛r♥✐❡r s②st❡♠ t✉r♥s ♦✉t t♦ ❜❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ s✐①t❤ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❚❤❡

❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞ ✶✺

❙❖▼❊ ❇❆❙■❈ ❋❆❈❚❙ ❖◆ ❚❍❊ P❆■◆▲❊❱➱ ❊◗❯❆❚■❖◆❙

s②st❡♠ t❤✉s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐s ❢r❡❡ ♦❢ ♠♦✈❛❜❧❡ ❜r❛♥❝❤ ♣♦✐♥ts✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ●❛r♥✐❡r s②st❡♠ ❛♥❞ P❱■

❡q✉❛t✐♦♥✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ s♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s r❡❧❛t❡❞ t♦ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t②η²+ζ⁴

♦❢ t②♣❡A3✱ s❡❡ ✭✷✱ ❆r♥♦❧❞ ❛♥❞ ❛❧✳✮✳

✶✳✶ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥s

❖♥❡ ♦❢ t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥t ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ ❛♥❛❧②s✐s ✐♥ t❤❡ ✶✾t❤ ❝❡♥t✉r② ✇❛s t♦ ✜♥❞ ❣♦♦❞ tr❛♥s❝❡♥❞❡♥t❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞

❜② ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❆ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥

F(t, y,dy

dt, ...,dⁿy

dtⁿ) = 0 ✭✶✳✶✮

❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❞♦♠❛✐♥D ⊂C✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✐❢ F =F(t, y0, y1, ..., yn) ✐s ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐♥ ②= (y0, y1, ..., yn)

✇✐t❤ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ✐♥t∈D✱ r❛t✐♦♥❛❧ ✐❢ ✐t ✐s ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❛♥❞ ✐s ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ♦♥❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦yn✱ ❛♥❞

❧✐♥❡❛r ✐❢ ✐t ✐s ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❛♥❞F ✐s ❛ ❧✐♥❡❛r ②✳

❚❛❦❡ c := (c0, ..., cn) ∈ Cⁿ⁺¹ ❛♥❞ t0 ∈ D s♦ t❤❛t F(t0, c0, ..., cn) = 0✱ ❛♥❞ ❞❡♥♦t❡ ❜② ϕ(t) = ϕ(t;t0, c) t❤❡

❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ s♦❧✉t✐♦♥ s✉❝❤ t❤❛t

dⁱϕ

dtⁱ(t0) =ci, i= 0, ..., n.

❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❛♥ ❛♥❛❧②t✐❝ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ϕ(t)✐s ❛❧s♦ ❞❡♥t❡❞ ❜②ϕ(t)✳

■❢ ❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r✱ ✇❡ ❝❛♥ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ♣r❡❞✐❝t ♥❡✐t❤❡r ✇❤❡r❡ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ❛♣♣❡❛r ♥♦r

♦❢ ✇❤❛t ❦✐♥❞ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ❛r❡✳ ■♥ s✉❝❤ ❛ ❝❛s❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ❤❛r❞❧② s❛② t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢

t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ❜② t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡s s❤♦✇ t❤❛t s♦❧✉t✐♦♥s ♠❛② ❤❛✈❡

❜r❛♥❝❤ ♣♦✐♥ts ♦r ❡ss❡♥t✐❛❧ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥ts ✇❤✐❝❤ ❝❤❛♥❣❡ t❤❡✐r ♣♦s✐t✐♦♥ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥ts✳

❊①❛♠♣❧❡ ✶✳✶✳✶

my^′y^m−1= 1, m∈N.

❙♦❧✉t✐♦♥ ✿y(t) = (t−c)^1/m, c∈C❜❡✐♥❣ ❛♥ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t✳ y(t)❤❛s ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❜r❛♥❝❤ ♣♦✐♥t ♦✈❡rt=c✳

❊①❛♠♣❧❡ ✶✳✶✳✷

y^′′+ (y^′)²= 0.

❙♦❧✉t✐♦♥ ✿y(t) =log(t−c1) +c2, c1, c2∈C✳

❊①❛♠♣❧❡ ✶✳✶✳✸

yy^′′+ (y^′)²(2y

y^′ −1) = 0.

❙♦❧✉t✐♦♥ ✿y(t) =c1exp(−1/(t−c2)), c1, c2∈C✳

❚❤✉s ✇❡ ❢❛❝❡ t♦ s❡❡❦✐♥❣ ❛ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ✭❡①❝❡♣t ♣♦❧❡s✮ ♦❢ t❤❡ s♦✲

❧✉t✐♦♥s ❛r❡ ♣r❡❞✐❝t❛❜❧❡✳

❆♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✶✮ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❢r❡❡ ♦❢ ♠♦✈❛❜❧❡ ❜r❛♥❝❤ ✭r❡s♣✳ ❡ss❡♥t✐❛❧ s✐♥❣✉❧❛r✮ ♣♦✐♥ts ✐❢

t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ϕ(t;t0, c) ❤❛s ♥♦ ❜r❛♥❝❤ ✭r❡s♣✳ ❡ss❡♥t✐❛❧ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥t ✇❤✐❝❤ ❝❤❛♥❣❡s ✐ts ♣♦s✐t✐♦♥ ✇❤❡♥ ✇❡ ✈❛r② (t0, c)✉♥❞❡r t❤❡ r❡str✐❝t✐♦♥F(t0, c) = 0✳

✶✻

✶✳✶ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥s

Pr♦❜❧❡♠ ✶✳✶✳✹ ❋✐♥❞ ❛❧❧ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢r❡❡ ♦❢ ♠♦✈❛❜❧❡ ❜r❛♥❝❤ ♣♦✐♥ts ❛♥❞ ♠♦✈❛❜❧❡ ❡ss❡♥t✐❛❧

s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥ts✳

❲❡ s❛② t❤❛t ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ❡♥❥♦②s t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é ♣r♦♣❡rt② ✐❢ ✭✶✳✶✮ ✐s ❢r❡❡ ♦❢ ♠♦✈❛❜❧❡ ❜r❛♥❝❤

♣♦✐♥ts ❛♥❞ ♠♦✈❛❜❧❡ ❡ss❡♥t✐❛❧ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥ts✳

❊q✉✐✈❛❧❡♥t❧②✱ t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é ♣r♦♣❡rt② ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s ✿

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✶✳✺ ❲❡ s❛② t❤❛t ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✶✮ ❡♥❥♦②s t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é ♣r♦♣❡rt② ✐❢ t❤❡r❡ ✐s

❛ ✜♥✐t❡ s❡t ∆ ⊂ C s✉❝❤ t❤❛t ❛♥② ❣❡r♠ ♦❢ ❛♥❛❧②t✐❝ s♦❧✉t✐♦♥ ✐♥ ❛ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ ❛♥② ♣♦✐♥t t0 ∈ C\∆ ❛❧❧♦✇s

❛ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ❛❧♦♥❣ ❛♥② ♣❛t❤ γ⊂C\∆ st❛rt✐♥❣ ❛t t0✳ ✭♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜②

❛♥❛❧♦❣ t♦ ❛♥❛❧②t✐❝ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥✮

❲❤❡♥n= 1✱ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✇❛s st✉❞✐❡❞ ❛♥❞ s♦❧✈❡❞ ❜② ▲✳ ❋✉❝❤s ❛♥❞ ❍✳ P♦✐♥❝❛ré ❀ ❛♥② ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t②♣❡ ✭✶✳✶✮ ✇✐t❤

t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é ♣r♦♣❡rt② ❝❛♥ ❜❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞✱ ❜② ❛ ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡t❛♥❞ ❜② ❛ ❧✐♥❡❛r ❢r❛❝t✐♦♥❛❧

❝❤❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ✇✐t❤ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥O(D)✱ ✐♥t♦ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❲❡✐❡rstr❛ss℘❢✉♥❝t✐♦♥ ✿ (dy

dt)²= 4y³−g2y−g3, g2, g3∈C,

♦r ✐♥t♦ t❤❡ ❘✐❝❝❛t✐ ❡q✉❛t✐♦♥ ✿ dy

dt =a(t)y²+b(t)y+c(t), a(t), b(t), c(t)∈ O(D),

✇❤❡r❡O(D)st❛♥❞s ❢♦r t❤❡ r✐♥❣ ♦❢ ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥D✳

❲❤❡♥ t❤❡ ♦r❞❡r n ♦❢ ✭✶✳✶✮ ✐s ♦♥❡✱ ♦♥❧② ♠♦✈❛❜❧❡ ❜r❛♥❝❤ ♣♦✐♥ts ❛♣♣❡❛r✱ ✇❤❡r❡❛s ✇❤❡♥ n ≥ 2✱ ♠♦✈❛❜❧❡ ❡s✲

s❡♥t✐❛❧ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥ts ♠❛② ❛♣♣❡❛r✳ ❊✳ P✐❝❛r❞ ♣♦✐♥t❡❞ ♦✉t t❤✐s ❢❛❝t ✐♥ ❤✐s ❧❡tt❡r t♦ ▼✐tt❛❣✲▲❡✤❡r ✭✶✽✾✸✮✱ ❛♥❞

❡①♣r❡ss❡❞ ❤✐s ♣❡ss✐♠✐st✐❝ ♦♣✐♥✐♦♥ t❤❛t t❤❡r❡ ♠✐❣❤t ❜❡ ✈❡r② ❧✐tt❧❡ ❤♦♣❡ ♦❢ s✉❝❝❡ss t♦ ✜♥❞ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧

❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é ♣r♦♣❡rt② ✐♥ ❝❛s❡ n≥2✳ ❉❡s♣✐t❡ ♦❢ t❤❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ ♣r♦s♣❡❝t ♦❢ ❊✳ P✐❝❛r❞✱ P✳ P❛✐♥❧❡✈é

❛tt❛❝❦❡❞ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r r❛t✐♦♥❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠

d²y

dt² =R(t, y,dy dt),

❛♥❞ s❤♦✇❡❞ ❜② ❛ ❤✉❣❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ t❤❛t ❛♥② ❡q✉❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é ♣r♦♣❡rt② r❡❞✉❝❡s✱ ❜② ❛♥

❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ t♦ ❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡❣r❛t❡❞ ❜② q✉❛❞r❛t✉r❡✱ ♦r t♦ ❛

❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥✱ ♦r t♦ P❏✱ ❏❂■✱✳✳✳✱❱■✳ Pr❡❝✐s❡❧② s♣❡❛❦✐♥❣✱ P✳ P❛✐♥❧❡✈é ❢♦♥❞ ♦♥❧② P■✱ P■■✱ P■■■ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢

❡rr♦rs ✐♥ ❤✐s ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s✳ ❍✐s st✉❞❡♥t✱ ❇✳❖✳ ●❛♠❜✐❡r✱ ❛❞❞❡❞ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s P■❱✱ P❱✱ P❱■ t♦ t❤❡ ❧✐st✳ ❙❡❡

✭✷✷✱ ●❛♠❜✐❡r✮ ❛♥❞ ✭✻✵✱ P❛✐♥❧❡✈é✮✳

◆♦✇✱ ✇❡ ♣r❡s❡♥t ❛ s❡❝♦♥❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✭❞✉❡ t♦ ❘✳ ❋✉❝❤s ✭✷✶✮✮ t♦ t❤❡ P❛✐♥❧❡✈é ❡q✉❛t✐♦♥s ❜❛s❡❞ ♦♥ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝

❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦❢ ❋✉❝❤s✐❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭♦r s②st❡♠s✮✳

❈♦♥s✐❞❡r ❛ ❧✐♥❡❛r ♦r❞✐♥❛r② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s

x^′′+p1(s)x^′+p2(s)x= 0, ^′= d

ds ✭✶✳✷✮

✇❤❡r❡ t❤❡pj✬s ❛r❡ ❛♥❛❧②t✐❝ ✐♥ ❛ ❞♦♠❛✐♥C\∆✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✶✳✻ ✭❆ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❋✉❝❤s✐❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✮ ❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✷✮ ✐s ❋✉❝❤s✐❛♥ ✇✐t❤ r❡❣✉✲

❧❛r s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ❛tt1, . . . , tm, tm+1=∞✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts pj✬s ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r♠ ✿ pj(s) = aj(s)

Qm

i=1(s−ti)^j, j= 1,2,

❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞ ✶✼

❙❖▼❊ ❇❆❙■❈ ❋❆❈❚❙ ❖◆ ❚❍❊ P❆■◆▲❊❱➱ ❊◗❯❆❚■❖◆❙

✇❤❡r❡ ❡❛❝❤aj(s) ✐s ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ❛t ♠♦stj(m−1)✳

❚♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ♠✉❧t✐✲✈❛❧✉❡❞♥❡ss ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ✭✶✳✷✮✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛ss♦❝✐❛t❡ t♦ ✭✶✳✷✮ t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛❝② ❝❧❛ss ♦❢ ❛ s✉❜❣r♦✉♣

♦❢GL(2,C)✱ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ♠♦♥♦❞r♦♠② ♦❢ ✭✶✳✷✮✳

❘❡❝❛❧❧ t❤❛t ✐❢Y(x, t)✱ ✇❤❡r❡t = (t1, . . . , tm)✱ ✐s ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s②st❡♠ ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ✭✶✳✷✮ ✐♥ ❛ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞

♦❢t0∈C\∆ ❛♥❞γ∈π1(C\∆, t0)t❤❡♥ t❤❡ ❛♥❛❧②t✐❝ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥γ∗Y(x, t)♦❢Y(x, t)❛❧♦♥❣ t❤❡ ♣❛t❤γ ✐s ❛❧s♦ ❛

❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s②st❡♠ ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ✭✶✳✷✮✱ ❛♥❞ ✇❡ ❤❛✈❡γ∗Y(x, t) =Y(x, t)ρ(t, γ)✱ ✇❤❡r❡

ρ(t, .) : π1(C\∆, t0)−→GL(2,C) γ7−→ρ(t, γ)

✐s ❛ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❣r♦✉♣s✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✶✳✼ ❚❤❡ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ρ(t, .)✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ✭✶✳✷✮ ❛♥❞Im(π1(C\∆, t0))⊂ GL(2,C)✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ♠♦♥♦❞r♦♠② ❣r♦✉♣ ♦❢ ✭✶✳✷✮✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳✶✳✽ ❚❤❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✷✮ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ ✐❢ ✇❡ ❝❛♥ ❝❤♦♦s❡ ❛ ❢✉♥✲

❞❛♠❡♥t❛❧ s②st❡♠ ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s Y(x, t) ❧♦❝❛❧❧② ❛♥❛❧②t✐❝ ✐♥ t ❛♥❞ ✐♥ x s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥

ρ(t, .)✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t✳

❈♦♥s✐❞❡r ❛ ❋✉❝❤s✐❛♥ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥

x^′′+p1(s)x^′+p2(s)x= 0, ^′= d

ds (1.2)

✇✐t❤ ✜✈❡ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥ts✱ ❡①❛❝t❧② ♦♥❡ ♦❢ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛♣♣❛r❡♥t✳ ❆❢t❡r ❛ ❜✐✲r❛t✐♦♥❛❧ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ✈❛r✐❛❜❧❡

s❛♥❞ ❛ ❧✐♥❡❛r ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥t ✈❛r✐❛❜❧❡ x✭✐♥✈♦❧✈✐♥❣s✮ ✇❡ ♠❛② s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥ts ❛r❡

0,1, t, λ,∞✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t②λ✐s ❛♣♣❛r❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❘✐❡♠❛♥♥ s❝❤❡♠❡ ✐s





0 1 t λ ∞

0 0 0 0 α

θ0 θ1 θt n α+θ∞



, n∈N,2α+ X

i∈{0,1,t,∞}

θi+n= 3

■♥ ✇❤❛t ❢♦❧❧♦✇s ✇❡ s❤❛❧❧ ❛❧✇❛②s s✉♣♣♦s❡ t❤❛tn= 2✭✇❤✐❝❤ ✐s s❛t✐s✜❡❞ ❣❡♥❡r✐❝❛❧❧②✮✮✳

❚❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥tsp1, p2 ❛r❡ ❡❛s✐❧② ❝♦♠♣✉t❡❞ t♦ ❜❡

p1(s) = 1−θ0

s +1−θ1

s−1 +1−θt

s−t − 1 t−λ p2(s) = k

s(s−1)− t(t−1)K

s(s−1)(s−t)+ λ(λ−1)µ s(s−1)(s−λ)

✇❤❡r❡µ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t ❛♥❞

k= 1 4{( X

i∈{0,1,t}

θi−1)²−θ_∞² }

❚❤❡ ❝♦♠♣❛t✐❜✐❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥tλt♦ ❜❡ ❛♣♣❛r❡♥t r❡❛❞s K=K(λ, µ, t) = 1

t(t−1)[λ(λ−1)(λ−t)µ²− {θ1(λ−1)(λ−t) +θtλ(λ−t) + (θ0−1)λ(λ−1)}µ+kλ]

❋r♦♠ t❤❡ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ❛❜♦✈❡ ✐t ✐s s❡❡♥ t❤❛t t❤❡ ❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✷✮ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rsθ0, θ1, θt, θ∞, λ, µ, t✳

▲❡t ✉s ❞❡♥♦t❡ t❤✐s ❡q✉❛t✐♦♥ ❜②Eθ(λ, µ, t)✳

✶✽

✶✳✷ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ P❱■ ❛♥❞ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥s

❚❤❡♦r❡♠ ✶✳✶✳✾ ✭✸✽✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶✳✷✱ ♣✳ ✶✼✷✮(λ(t), µ(t))✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ●❛r♥✐❡r s②st❡♠

dλ

dt = ∂K

∂µ dµ

dt = −∂K

∂λ. ✭✶✳✸✮

✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡ ✐♥❞✉❝❡❞ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ Eθ(λ, µ, t)✐s ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝✳

■t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ ❝❤❡❝❦ t❤❛t t❤❡ s✐①t❤ P❛✐♥❧❡✈é s②st❡♠ P❱■ ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs α= (1

2θ_∞² ,1 2θ²₀,1

2θ₁²,1

2θ_t²) ✭✶✳✹✮

✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ●❛r♥✐❡r s②st❡♠✳ ❲❡ ❣❡t t❤❡r❡❢♦r❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✳

❈♦r♦❧❧❛r② ✶✳✶✳✶✵ ■❢

(t, λ, µ)→(t, λ(t), µ(t))

✐s ❛♥ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢Eθ(λ, µ, t)✱ t❤❡♥λ(t)✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ P❱■ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❣✐✈❡♥

❜② ✭✶✳✹✮✳

✶✳✷ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ P❱■ ❛♥❞ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥s

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♦❢ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ s♣❡❝✐❛❧ t②♣❡✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t t❤❡ P❱■ ❡q✉❛t✐♦♥ ❣♦✈❡r♥s t❤❡ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ ❞❡❢♦r♠❛✲

t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❋✉❝❤s✐❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✶✳✷✮ ✇✐t❤ ✺ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦✐♥ts✱ ♦♥❡ ♦❢ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛♣♣❛r❡♥t ✭✸✽✱ ■✇❛s❛❦✐

❛♥❞ ❛❧✳✮✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❋✉❝❤s✐❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✷✮ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❛♥ ❆❜❡❧✐❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧

x(s) = Z

γs

ω

✇❤❡r❡ ω ✐s ❛ r❛t✐♦♥❛❧ ♦♥❡✲❢♦r♠ ♦♥ C²✱ Γs ⊂C² ✐s ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❝✉r✈❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ r❛t✐♦♥❛❧❧② ♦♥s✱ ❛♥❞

γs⊂Γs✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❝❧♦s❡❞ ❧♦♦♣s✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✳✷✮ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ♦❢ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s t②♣❡ ❛♥❞ ✐ts

♠♦♥♦❞r♦♠② ❣r♦✉♣ ✐s ❝♦♥❥✉❣❛t❡❞ t♦ ❛ s✉❜❣r♦✉♣ ♦❢Gl₂(Q)✭❣❡♥❡r✐❝❛❧❧②Gl₂(Z)✮✳ ❋♦r t❤✐s r❡❛s♦♥ ❛♥② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s

❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥

a→Γs,a

♦❢ t❤❡ ❢❛♠✐❧② Γs ✐♥❞✉❝❡s ❛♥ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠✐❝ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✭✶✳✷✮✳ ■❢ ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ Γs,a ❞❡♣❡♥❞s ❛❧❣❡❜r❛✐❝❛❧❧② ✐♥

a✱ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ ✭✶✳✷✮ ❛r❡ ❛❧s♦ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥a✱ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ t❤❡② ♣r♦✈✐❞❡ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ P❱■✳

▼♦r❡ ♣r❡❝✐s❡❧②✱ ❧❡t λ = λ(a)✱ t = t(a)✱ ❜❡ t❤❡ ❛♣♣❛r❡♥t ❛♥❞ ♥♦♥✲❛♣♣❛r❡♥t s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ♦❢ ✭✶✳✷✮✳ ❚❤✐s ❞❡t❡r✲

♠✐♥❡ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥t→λ(t)✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ P❱■✳ ■t ✐s s✐♠♣❧❡r✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ t♦ r❡♣r❡s❡♥t λ=λ(t)

✐♥ ❛ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❡❞ ❢♦r♠λ=λ(a)✱ t=t(a)✳

❚❤❡♦r❡♠ ✶✳✷✳✶ ❚❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❧✐st❡❞ ✐♥ ❚❛❜❧❡ ✶✳✶ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ P❱■✳

❇❛ss❡♠ ❇❡♥ ❍❛♠❡❞ ✶✾

❙❖▼❊ ❇❆❙■❈ ❋❆❈❚❙ ❖◆ ❚❍❊ P❆■◆▲❊❱➱ ❊◗❯❆❚■❖◆❙

❙♦❧✬♥ t(a) λ(a) P❱■

✶ ^a3_2a−1^{(2−a) a}_a²2^(2−a)−a+1 (¹₈,^s₈,^s₈,^s₈)

✷ ^a3_2a−1^{(2−a) a(a−2)(2a}_a2−7a+1^2+a+2) (¹₈,¹₂,0,0)

✸ ^a3_2a−1^(2−a) _25a6−75a^a52+42a^(2−a)(a4+41a^2−7a+1)3+42a²²−75a+25 (⁹₈,0,0,0)

✹ ^a3_2a−1^(2−a) −_5a^a(a−2)2_−5a−1² (¹₈,0,0,¹₂)

✺ ^a3_2a−1^{(2−a) a2}(2−a)(2a−1)

a²+5a−5 (¹₈,0,¹₂,0)

❚❛❜❧❡ ✶✳✶ ✕ ▲✐st ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❡❞ s♦❧✉t✐♦♥sλ(t)♦❢ P❱■ ❡q✉❛t✐♦♥s

❚❤❡ ♠❡❛♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡s❡ s♦❧✉t✐♦♥s ✐s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝✉r✈❡s

Γs={(ξ, η)∈C²:fa(ξ, η) =s} ✭✶✳✺✮

✇❤❡r❡

fa(ξ, η) =η²+ 3

2a−1ξ⁴−4(a+ 1)

2a−1 ξ³+ 6a 2a−1ξ²

✐s ❛ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t②η²+ξ⁴♦❢ t②♣❡A3✱ s❡❡ ✭✷✱ ❆r♥♦❧❞ ❛♥❞ ❛❧✳✮✳ ❚❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ✈❛❧✉❡s ♦❢fa(ξ, η)❛r❡

0,1, t= a³(2−a) 2a−1 .

▲❡tγ(s)∈H1(Γs,Z)❜❡ ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❝②❝❧❡s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ♦♥s∈C✳ ❚❤❡ ❆❜❡❧✐❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦❢ ✜rst ❦✐♥❞

Z

γ(s)

dξ η

s❛t✐s✜❡s ❛ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ❛ ♣❛r❛♠❡t❡r a✱ ❞❡✜♥✐♥❣ ❛♥ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠②

❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❚❤✐s ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t❤❡♥ t♦ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ P❱■ ❣✐✈❡♥ ❜②

❙♦❧✬✶✳ ■♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ✇❛②✱ t❤❡ ❆❜❡❧✐❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦❢ s❡❝♦♥❞ ❦✐♥❞

Z

γ(s)

(3ξ²−2(a+ 1)ξ)dξ η

s❛t✐s✜❡s ❛ P✐❝❛r❞✲❋✉❝❤s ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r✳ ❚❤✐s ❆❜❡❧✐❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ✐s ♦❢ s❡❝♦♥❞ ❦✐♥❞ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ t❤❛t t❤❡

❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❢♦r♠ ❤❛s ♥♦ r❡s✐❞✉❡s✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ✐❢ ✇❡ ♣✉tξ=¹_z ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣♦✇❡r s❡r✐❡ ✿ dξ

η =−√

−1

r2a−1

3 [1 +2(a+ 1)

3 z+2a²+a+ 2

3 z²+o(z³)]

❙♦✱

(3ξ²−2(a+ 1)ξ)dξ

η =−√

−1

r2a−1 3 [3

z²+2a²−5a−1

3 +o(z)]

❚❤❡ ✐s♦♠♦♥♦❞r♦♠② ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ❡q✉❛t✐♦♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦a✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② t❤❡ ❙♦❧✬✷ ♦❢ P❱■ ❡q✉❛t✐♦♥✳

✷✵