HAL Id: hal-00001554
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00001554
Submitted on 12 May 2004
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Weyl chamber flow on irreducible quotients of products of PSL(2,R)
Damien Ferte
To cite this version:
Damien Ferte. Weyl chamber flow on irreducible quotients of products of PSL(2,R). Transformation
Groups, Springer Verlag, 2006, 11 (1), pp.17-28. �10.1007/s00031-005-1102-9�. �hal-00001554�
.
/ "!#0'+*12-4365#768:9; <>=
?A@CBEDGFIHKJML(NOPL
QSRUTWVYX[Z\]V_^&`ba&c$defhgdiha)d$j]kljnmoj]pnqsrWt]mfgCut]vqsrWcPj]wdiha&t]rxdqojnuyj]wdiha&fqst:p]jnut]m
cehzp]{jnek|jnu~}Cehj]dqoaudc/U[2 C$"| C$ihaW{aqsct]u|qs{{aferWqszmoa
mst:d$dqsrxa]2mojnc$afEj]{zqodct:{afhacrx{qozlaft]uftSc$aWdj]wkljnqsudcj]wfhauc$aj]{zqodqscax
kmsqsrWqodmsgpnqo]aueriMk{j]k aW{dqoac0t:{aaxCk{acc$afecqsuhpdiaeh{cd$au_zlaW{p)z jneuft:{g
j]wUdiaMc$gCvvAaWd${qsr/c$k+t]rxa/ ¡¢ M
£E¤¥¦#§
XI¨UT]^d$j]kljnmoj]pnqsrWt]mPfgCut]vqsrWcW`baWgmrit]v"zlaW{M©jIM(qo{{aferWqozmsamst:d$dqsrxa]
eh{c$d$auzlaW{pyzljneuft:{g]
ª>«U¬ ^0[®n¯:°l±n²]³]Cl±n²[´2°nC
µ ¶·&¸l¹ºM»y¼½U¸l¾º)·
0aWd¿Àzlat{at]mCrxjnuuharxd$afyc$avyqoÁcqsvAkmsa (qsap]{jnek0nÂÃtvyt[qÄvyt]mrxjnvAkt]rxdcehz
p]{jnehk0_ÅÀt2t:{dt]uAcezp]{jnehkt]ufyÆÇdiharxau_d${t]mÄqoÈWaW{j]w+ÅÀqsuÂAÉÊw qsct/mst:d$dqsrxa
j]wU¿#Cdiha&t]rxdqsjnu~GzCgA{qopnidËÌd${t]ucmst:dqojnu+Pj]w0ÅÃjnudia&rxjnc$aWd2U]¿Í:ÆÎqscdihaÐÏ|ÑxÒ:Ó
ÔxÕCÖ:×Ø
ÑxÙÚ2Û:ÜÝjY]aW{&diha"msjCrWt]msmsgSc$gvyvAaWd${qÄr/c$kt]rxa"]¿MÍ[ÂA`iaudihaMp]{jnehk~¿
qsc C$0diqÄct]rxdqojnuEqscrxjnu:Þ$ehpnt:d$afEd$jydiha/p]aWjfhacqsr©jY1jnudiaeuqoddt]u
p]au_dzeufmoa)j]w(dihaßuqsd$axÌ]jnmsevAai_gCklaW{zljnmsqsrceh{wàt]rxaY MÉËu¢diqscrWt]c$a]dihaW{a
t:{atAmoj]d2j]wfqâálaW{au_dãqsufcj]wUrWmojnc$afÅÁqsu[t:{qst]u_dcehzc$aWdcWP´g¢rxjnu_d${t]cdWihau
diha"fqÄvAaucqojnu¢j]wPdia#2t:{dt]u|cehzp]{jnehkEÅäGdiha{t]uhã¢j]w¿Mqscp]{at:d$aW{dit]uÐC
dihaScqsdet:dqojnuKqscaxCklarxd$afåd$jEzlay]aW{gb{qspnqsfÉËuæçÆÐt:èÌ¿#Å"ÆEt:{pnemsqscMrxjnu:ÞËaré
deh{af¢dit:dWhaxhrWmsefqÄuhp"tcqodet:dqojnuj]wwàt]rxd$j]{qsct:dqsjnu¢zgt"{t]uhãjnuha/t]rxdqojnu0hat]ri
ÅÌj]{z+qod&rWmsjnceh{a#qsc
Ö ÓêCÑ Ø Ù
Ö:ëÔ
qça]&qscdia"j]{z+qodj]wtrWmojnc$af~rxjnuuarxd$afbcehzp]{jnek
j]w¿ìrxjnudt]qsuqsup#Å"Ujnqsu_dc2j]wU]¿í)ihjnc$aj]{zqod2qsc2rWmojnc$afj]{fhauc$a/ct:dqsc$wGgydiqsc
rxjnu[ÞËarxde{a]2mojncaft]uf¢rxjnvAkt]rxdj]{z+qodc2rxjnvAa/wî{jnväeuqoklj]d$audj]{cavyqâÁcqsvykmoa
amoavAaudc/j]wdiaymst:d$dqsrxayÌCaWaEæï`ÀèwGj]{Mtfhacrx{qokdqojnu|j]wrWmojncaf~j]{zqodc/t]uf
æðèwGj]{&tSrxjnufqodqojnuEj]wrxjnvAkt]rxduhaccWñÆEjj]{a]òóc)aW{p]jCfqÄrWqodÁgdihaWj]{avôàcaWa¢æóõ+èG
qsvAkmsqsacMdit:dWPwGj]{dihaSß+uqod$aS¯&t]t:{yvAat]ce{a]t]msvAjnc$dt]msmkljnqsu_d#qsu4U]¿öit]at
j]{zqodcW¢hj]{#dihap]{jnehkc" P$At]ufådihaqo{"k{jferxdcW qsufhaucd${t]ecc/t]uf
´) `baqscc&k{jY]af|dit:d&at]ri|kljnqsu_dihjnc$aÅÌj]{zqod)rWmsjnceh{arxjnudt]qsuctrxjnvAkt]rxd
j]{zqodt]msc$jct:dqscßac/ÆEt:{pnemsqscWò rxjnu[ÞËarxde{a]#CaWaAt]msc$jbæçÆEjnèwîj]{/dihac$defgj]wdiha
p]{jnehkE2¿ C ¿ C
ïiqsct:{dqsrWmoafhat]mscM)qodibdihac$klarWqst]mrWt]c$aj]wdihayp]{jnehk ¿ä2 C$#
C$éïiha#cehzp]{jnehkEÅ>qscdiha"vt[qsvt]m(fqst:p]jnut]m(cehzp]{jnehkÐt]ufa"qÄmsm
t]msc$jrxjnucqsfhaW{dihacavyqâÁcehzp]{jnehk
Å
°
°
°
°
!"$#
&%
÷('*)
ÉÊwdihaymst:d$dqsrxayÀqsuå¿ qscÙÑ+-,

ÓoÑSàehkbd$jß+uqod$aAqsufhaxl0qod/qsc/tk{jCferxdj]wdÊj
mst:d$dqsrxac2j]w(2 C$$éldiqÄcqscdihacqsvykmoac$drWt]ca&j]wwGt]rxd$j]{qsct:dqojnu
#
aW]aW{grWmojnc$af
qsu_:t:{qst]udcehz+c$aWdwîj]{diat]rxdqojnuyj]wlÅÀqÄcdihak{jferxdj]wrWmojnc$afAqsu:t:{qst]udcehzc$aWdc
wîj]{#dihap]aWjfhacqÄry©jIcWEïiaW{aWwîj]{aaScit]mÄmt]ccevyadit:dÀqÄct]u
ë
ÙéÙ$Ñ.+/,
ÔWëÌØ ÓsÑ
mst:d$dqsrxaj]w¿#hj]{qsucdt]urxa]qow10 qsc)tA{at]m}et]f{t:dqsr/ßamÄfåGj]w¿t]mojnqsc)t]ehd$jnvAj]{$
kiqscv32(2t]uf54 qscqodcqÄu_d$aWp]aW{c{qsuhphdihaqÄu[ÞËarxdqsjnu¢j]wdihap]{jnehkE2 C4A2qsu
¿ìpnqo]auzCg
6 7
8 9
!:;<
=6 7
8 9
6?> 7@>
8 > 9 >
"
qsc/t]uKqo{{aferWqozmsamst:d$dqsrxayrWt]msmsafBA
ëÓØ ÑxÙDC
×
ÛE+/,Ó
Ö
ÙÓ
Ö
CFC
ëÔ
Ñt]cc$jrWqst:d$afbd$j*0/hj]{
qo{{aferWqozmoamst:d$dqsrxac"j]w¿#ÆEt:{pnemsqscWò0rxjnu[Þ$arxdeh{arWt]uåzlayc$d${au_d$pnid$auhaf6qsubdiha
wîjnmsmsjYqsup#2tg]
¬"§HG(I¤ \]VKJX ¤LMFLONª ZXQPHJSRTGT/U MWV ÑEC)
Ø Ñ Ö/X ë
ÙÙÑ+-,
ÔëØ ÓoÑÐÓ
Ö
CFC
ëÔ
Ñ~ÛZYS¿[
C$yh C$
Ö/X +MÅ
Ø
Ñ\C
Õ Ñ
×yÖE]nëî×yÖ Ó+
ëÖ êÛ
X+Ö Ó ^@,
Ø
ê]Ù$Û/,K_bÛZY¿a` V ÑbC c
Ø Ñ Ö _Û
ëX
C
ëdX
U]¿e`f
Õ
,(^gC
Õ
ÑÛ:Ù
Øxë Cc Å
ë
^Ñ
ëCÕ ÑxÙ
Ô
ÓâÛQ^Ñ+Û:ÙW+_Ñ
X
^Ñ
ëdX
]¿a`
É ubæ 0èÌCdia}Cehac$dqsjnuj]wUrWmst]ccqoß+rWt:dqojnuj]wUÅÌaW{p]jCfqÄrßuqod$a)vAat]ceh{acjnu¢U]¿
qscc$defqoaf¢t]uf{amst:d$afd$jSth$}Cet]u_devÇeuqÄ}eha&aW{p]jfqsrWqodÊg(irxjnu[ÞËarxde{a]
É uSdiqsct:{dqsrWmoa]Ca)pnqo]a)t]uSaxkmsqsrWqodcaWdj]wkljnqsudcihjncaj]{zqsd)GzgAdia)c$avyqo
p]{jnehkyÅ
qscfhauc$a]Uïiharxjnufqodqojnu#qscUaxCk{acc$afjnu#diha2wàt]rxd$j]{ckj lnm&oQprq
j]wdihaeh{c$d$auzlaW{pzljneuft:{gtsulj ä5j j]wdiha"c$gvyvAaWd${qsrc$k+t]rxa"
t]cc$jrWqst:d$afd$jydiaMp]{jnehk|¿
`baAec$a"iaW{adiha"d$aW{vyqsujnmoj]p]g¢j]w)æóiCèÌÅ&uEamsavAau_d&j]w¿ qscct]qÄfEd$jSz a
Õ
Ò/v
_hÑxÙ
Ø
Û:Ó
ëÔ
G{ack0\_
Ö Ù ÖØ
Û:Ó
ëàÔ
ÑWÓîÓ
ë
_C
ëàÔ
&qowzlj]dibrxjnvAkljnuhaudcMt:{aAigklaW{zljnmsqsrG{ac$k0
kt:{t:zljnmsqsr:amsmsqskdqsrY)amoavAaudc#j]wh C$|GaecaSdiha¢rxjnu]au_dqojnu4dit:ddiha
euqodPamoavyau_dqÄcuhaqodiaW{i_gCklaW{zljnmsqsr:]uhj]{kt:{t:zljnmsqsr:nuhj]{amsmsqokdqsrYÅ uhjnuÌd${qoCqÄt]m
amoavAaudqscct]qsfd$jyzla
×ëw]
Ñ.+MqowUqodcdÁjSrxjnvyk jnuau_dct:{auhj]dj]wdihaMct]vAaãCqsuf
ÅigCk aW{z jnmÄqsramsavAau_dx* dx
Zx
qscct]qsfd$jMzla
Õ
Ò_hÑWÙvÙ$ÑÁê-,Ó
Ö
Ùqow+dihafhjnvqsut]ud
dqojnu~rxjnqsurWqsfhac)qodiEdihafhaWßuqodqsjnuj]wgh$igklaW{$Ì{aWpnemst:{.iSqsu4æðèG/Å&uEaxht]vAkmoa
j]w(uhjnui_gCklaW{$Ì{aWpnemst:{amoavAaudcqÄcpnqo]auSzCgAdiha&rWt]ujnuqsrWt]m qsu[Þ$arxdqojnuyj]wdihacehz
p]{jnehkKh C 2qsu~t¯&qsmozlaW{d)vyjCfemst:{&mÄt:d$dqsrxa]#ïiha"p]{jnehkÝ¿ t]rxdcMut:de{t]msmog
jnu szedyt]msc$jbjnu at]ri wàt]rxd$j]{tj zg4diharxj]{{ac$kljnufqsuhp~rxjnvAkljnuhaudW hj]{
qsuc$dt]urxa]Utkljnqsud
qsu~dihayß{c$d/wGt]rxd$j]{ jh j]w s 3j Çjh qsc/ßhafbzCg|t]u
amoavAaud x >dx
Zx
2qsw x
¤C§ X ¤ LM M V ÑbCA
Ø Ñ Ö/X ë
ÙéÙ$Ñ.+/,
ÔWëÌØ ÓsÑ6Ó
Ö
CFC
ëàÔ
ÑÛ Y~¿ C$2
C$b` V ÑEC
Ø ÑxÓoÛ
X ê CÌÛ CÕ
Ñ¢ênÙËÛ/,K_ ¿
Ö/X
+ c Ø Ñ CÕ Ñ Ô ÓÖ
^.^~ÛZY
ëX
]¿a`ef
Õ Ñ X CÕ Ñ\^Ñ
×ë v$Û:Ù
Øxë C c Å
ë
^g+_Ñ
X
^WÑ
ëdX
U]¿
ë
Y/Û
X
Ñ#ÛZY\C
Õ
ÑkYxÛ]ÓîÓoÛ:Ü
ëX
ê
Ô Û X + ëC ëÛ X ^ Õ Û:Ów+Q^
ÖA×ë] Ñ+¢ÑxÓsÑ
× Ñ X
CÛZY
]
Ñ@^MÛ
X
Ñ"ÛZY&C
Õ Ñ _Û ëdX
C^
p Ö/X
+
p /ÛZY j
ÖÕ Ò_hÑWÙ
Ø
Û:Ó
ëàÔ"Õ
Ò_hÑWÙvÙÑÌê-,Ó
Ö
Ù#ÑWÓoÑ
× Ñ X
CÛ Y2
]
ÑD^MÑ
]_ÖnÔ CàÓñÒÛ
X
Ñ"ÛZY&C
Õ Ñ _hÛ ëdX
C^
p
Ö/X +
p D`
`bat]msc$jyfacrx{qozlarxjnvAkt]rxdj]{zqodc2t]uf{aWd${qoaW]aMrxjnufqodqsjnucj]wUrxjnvAk+t]rxduhacc
j]wæðèÌ
¤C§ X ¤ LMM V ÑbCA
Ø Ñ Ö/X ë
ÙéÙ$Ñ.+/,
ÔWëÌØ ÓsÑ6Ó
Ö
CFC
ëàÔ
ÑÛ Y~¿ C$2
C$b`
V
ÑbC
Ø
ÑxÓoÛ
X ê CÌÛBC
Õ
ÑSênÙËÛ-, _¿
Ö/X + c Ø
Ñ5C
Õ Ñ Ô ÓÖ
^.^EÛZY
ëX
]¿a`
f Õ Ñ X CÕ Ñ YWÛ:ÓGÓâÛ:Ü
ëX
ê _ ÙËÛ_ÑxÙDC
ë
ÑD^
Ö
ÙÑyÑ! E,
ë":Ö ÓoÑ
X
C#
C Õ ÑÛ]Ù
ØWë C c+Å
ë^ Ô Û × _ Ö_Ô
C
C Õ
Ñg^@,
Ø
ê]Ù$Û/,K_
$&%¢Å
ë^ ë
^WÛ
×
Û:Ù _
Õ_ëàÔ
CÌÛ
' CÕ Ñn_Û
ëX
C^( pp
Ö/X
+) à°°_ÛZYs
Ö
Ù$Ñ*
]
Ñ+
Ø Ò Ö¢Õ
Ò._ÑxÙ
Ø
Û:Ó
ëàÔSÕ Ò._ÑxÙ@v
Ù$ÑÁê-,Ó
Ö
ÙÑxÓsÑ
× Ñ X
CÛ Y `
`iau dihaEmÄt:d$dqsrxaÐqscuhj]deuqswîj]{vdihaW{aaxhqsc$dSrWmojnc$af2zehdyujnuÁrxjnvAkt]rxd
j]{zqodcW]rxjnvyqÄuhp)wG{jnv dihakt:{t:zljnmsqsrk jnqÄu_dcjnu s àc$aWakt:{t:p]{t:ki±wGj]{fhaWßuqodqsjnu
j]wrxjnu:Þ$ehpnt:d$aÐkt:{t:zljnmsqsrkljnqsudcÉËu,æï`ÀèÌtbp]auhaW{t]m)c$dt:d$avAaudqÄcApnqo]au qsu
t]mop]aWz{t]qsrd$aW{vycW
¤C§ X ¤ LM,+ M V ÑbC
Ø Ñ Ö-Xë
ÙéÙ$Ñ.+/,
ÔWëÌØ ÓsÑ.-
X Û X v, Xë
YWÛ:Ù
× ÓÖ CFC
ëÔ
ÑKÛZY¢¿
C$/2 C$b` V ÑbC/
Ø
ÑWÓâÛ
X
ê*CÌÛtC
Õ
Ñê]Ù$Û/,K_b¿
Ö/X +Wc
Ø
ÑWC
Õ Ñ Ô ÓÖ
^^"ÛZY0
ëdX
U]¿e`ef
Õ Ñ X CÕ Ñ YWÛ:ÓGÓâÛ:Ü ëX
ê _ ÙËÛ_ÑxÙDC
ë
ÑD^
Ö
ÙÑAÑ! E,
ë"[Ö ÓoÑ
X
C#
C Õ ÑÛ]Ù
ØWë C c+Å
ë^ Ô ÓoÛQ^WÑ.+
Ö/X
+ X Û X v Ô Û × _
ÖnÔ C
C Õ
Ñg^@,
Ø
ê]Ù$Û/,K_
$&%¢Å
ë^ ë
^WÛ
×
Û:Ù _
Õ_ëàÔ CÌÛ
' CÕ Ñ _Û
ëX
C^1 p p
Ö/X
+ à°°_2-ÊÛ:Ù3là°p
Ö/X
+* à°p Ö Ù$Ñ
Ô Û X54
,nê
Ö
CÁÑ
_ Ö Ù
Ö_Ø Û:Ó
ëÔ _Û
ëdX
C^ÛZY s6ÙÑxÓ
Ö C ë"
ÑxÓÒ CÌÛ `
7S¤8 ZX:9T LM; M f Õ Ñ#ÑWÓoÑ
× Ñ X
C1=<?>1@
@ <
ÛZYgC
Õ
Ñ&ênÙËÛ/,K_Eh C$
X
Û:Ù@v
×AÖ
Ó
ëA ÑD^WC
Õ
Ña+
ëàÖ êÛ
X+Ö Ó ^,
Ø
ê]Ù$Û/,K_6ÛZY)2 C$
Ö-X +EÑ
]ÔxÕCÖ-X
êÑD^ CÕ Ñ _Û
ëdX C^°
Ö/X
+
Õ X Õ "Yë Õ × ë" Ôë X Ô X ë ë X X ë
CÕ Ñ Y@,ÓîÓ +
ëÖ ê_Û
X Ö
Ó0ê]Ù$Û/,K_~Å,?^
ëdX ê CÕ
Ñ_Û
ëX C^
à°_
p
à°_
Ö/X +)
p yÛZY
jh `
Y
ÖKÕ Ò._ÑxÙ
Ø
Û:Ó
ëàÔÐÕ
Ò._ÑxÙ@vÊÙÑÌê ,CÓ
Ö
ÙKÑxÓsÑ
× Ñ X
C"ÛZYy ] ÑD^
Ø
Û-C
Õ
_Û
ëdX C^)
p Ö/X
+
p CÕ Ñ X CÕ Ñ ^Ñ
×ë vËÛ:Ù
Øxë C=c Å
ë
^
Ö
^Ò
×
_CÌÛ-C
ëÔ CÌÛ
ÖÔ Û × _
ÖnÔ CÛ:Ù
Øxë
C
Ö/X + Õ Ñ
X Ô
Ñ
ÔÖ/XX Û-C
Ø Ñ +_Ñ
X
^WÑ `
`baj]zdt]qÄudiha/wGjnmsmojY)qsuhpArxj]{jnmsmst:{gSwGj]{euqswîj]{v mst:d$dqÄrxacW
¬"§ X § RRGZX ¥ LM MkV ÑbCh
Ø Ñ Ö , Xë
YWÛ:Ù
×ìë ÙÙÑ+-,
ÔëØ ÓoÑÓ
Ö
CFC
ëàÔ
ÑÛZY¿$ 2 C$
C$b` f Õ Ñ
XbÔ
Û
X54 Ñ Ô C ,CÙÑ
` ë
^gCàÙ@,Ñ YxÛ]Ù#Ñ
"
ÑxÙéÒ&_Û
ëX
CSc $
ëX
]¿u^,
ÔxÕ
C
ÕCÖ CAÛ
X
Ñ|ÛZY CÕ Ñe_Û
ëX C^
à°_
p
à°_
p ÐÛZYj
ë
^
]
Ñ+
Ø Ò Ö X Û X v
CàÙ
ë"YëÖ ÓÑWÓoÑ
× Ñ X
C2ÛZY `
ïiqsct:{dqsrWmsa|qscSj]{pnt]uqsÈWaft]cwGjnmsmojIcWìUt:{t:p]{t:ki ÷ rxjnu_dt]qsucSdia~ec$aWwGem
{acemodct:z jnedqo{{aferWqozmoamst:d$dqsrxac2Å)wGd$aW{)c$jnvAa"{arWt]msmsct:z jneddihaMp]aWjnvAaWd${gj]w
dihaAmojCrWt]mÄmogc$gvyvAaWd${qsr#c$kt]rxayY E Gkt:{t:p]{t:k+iKndihaWj]{avyc
÷ ±¢t]uf
÷
ç®
t:{ak{jI]af qsu6kt:{t:p]{t:ki ±CïiaWj]{av ÷ bt]uf rxj]{jnmsmst:{g ÷ Kt:{ak{jY]af qsu
kt:{t:p]{t:kiå®h¢`baSec$aSrWmst]ccqsrWt]mwGt]rxdc#t:zljnehdMdihap]aWjnvAaWd${gKj]w2dihai_gCklaW{zljnmsqsr
kmst]uha
#
p]aWjfhacqsrWcrxjnvAkt]rxdqoß+rWt:dqojnufhgut]vyqÄrWcj]wPqscjnvAaWd${qoac2jnu¢ t]ufjnudiha
z jneuft:{g j MAÉÊwt]mÄmuhj]dt:dqsjnucrxjnqsurWqsfha"qodiÐdihaehkklaW{&it]mowÄÌk+mst]uhavAjfhamj]w
dihaigklaW{zljnmsqsr)kmst]ua]Caeca/dihafqscr&vyjCfhamlwGj]{dihaßpneh{acW
¹º¹ ¸l¾ìºå¾¹¹»y¼½¾¸+¸l¾½
auj]d$azCg"!$# &%S
÷
CdihaMk{j[ÞËarxdqsjnuc
! # # ¿
;<
2 C$2
:;<
#
jnubat]ribwàt]rxd$j]{AÉ w qÄc/t]ubqo{{aferWqozmoamÄt:d$dqsrxaAj]w¿0dihaycehzp]{jnehkc'!$#$àU&t:{a
fhauc$a#qsuE2 C$t]ufdiaã]aW{uhamÄc) %¢ã]aW{(!)#t:{a#rxaud${t]mUqsuã]aW{*!$#GiqsriEqsc
qsc$jnvAj]{k+iqsr&d$jh C$$/t]ufdihaW{aWwGj]{a/d${qoqst]màc$aWaæðèG
jnurxaW{uqsuhpEdiaSamoavyau_dc#j]wqo{{aferWqoz+moaAmst:d$dqsrxacWPait]a¢dihawîjnmsmsjYqsuph
ÉÊdqÄcamÄmâÌãCujYudit:d)igklaW{zljnmsqsràt]ufÐi_gCklaW{$Ì{aWpnemst:{xamoavAaudcaxhqsc$dqsuceri
tmÄt:d$dqsrxa]ïihafhaucqodÁgj]wdihak{j[Þ$arxdqojnucqsvAk+msqoacdit:dt]u~qo{{aferWqoz+moamst:d$dqsrxa
Ýrxjnudt]qsucamoavAaudcqodit]uEamsmsqokdqsr)rxjnvyk jnuau_dWÉÊwÝqÄctyeuqowGj]{vämst:d$dqÄrxaMj]w
¿#dihauaW]aW{gamoavyau_d2j]w(bqscc$avyqoÁcqsvAkmsa]ïiCec2~fhjacuòçdrxjnudt]qsu¢amoavyau_dc
qodibtkt:{t:z jnmÄqsr"rxjnvyk jnuau_dWAÉ wkx dx
Zx
)zlamojnuhpnc/d$jtE¯)qsmsz aW{d&vAjfemÄt:{
mst:d$dqsrxa]_diauyait]ad${Idx
d${Idx
>
¯)aurxa x
qsckt:{t:zljnmsqÄrqsw t]ufyjnumog"qswx
qsct]mÄc$j"k+t:{t:zljnmsqsr:ïihaW{aWwGj]{a]qow0bqsct"euqowîj]{v>qo{{aferWqozmoamÄt:d$dqsrxa)j]{t#¯)qÄmozlaW{d
mst:d$dqsrxa]diha"uhjnuÌd${qoqst]m amoavAaudcj]w4t:{a/j]wdiha/wîjnmÄmojYqÄuhpãCqsufc
#
amsmsqokdqsrj]wUßuqsd$a/j]{fhaW{"àqowUt]ufjnumsgqowUåqscuj]dd$j]{cqojnuwî{aWaI
vyqâafKGjnuharxjnvAkljnuhaudqscigCk aW{z jnmÄqsr)t]ufdiha/j]dihaW{&qsc2amsmsqokdqsrY
kt:{t:zljnmsqsrAàqowUåqscuhj]deuqowGj]{vS
hj]{p]auhaW{t]muhjnuhÁeuqowGj]{v mÄt:d$dqsrxacWhÅCamsz aW{pMk{jI]afqsu|æóaxèiqsct:{qodivAaWdqsrWqsdÁg
dihaWj]{av
#
¤C§
X
¤ MFL N髤
RGR
¤
XQPU
M
X Û X v , Xë
YWÛ:Ù
×öë ÙéÙ$Ñ.+/,
ÔWëÌØ ÓsÑÓ
Ö
CFC
ëàÔ
Ñ/1ÛZY/¿
ë^
, _CÌÛ
Ô Û X54
,nê
Ö Cë Û XKØ
Ò
Ö/X ÑWÓoÑ
× Ñ X
CÛ Y22¿ C$2S¿ C$ Ô Û
××
Ñ X
^,Ù
ÖØ ÓsÑ
CÌÛ
Ö A ëÓØ ÑWÙ@C
×
ÛE+/,Ó
Ö
Ù"Ó
Ö
CFC
ëÔ Ñ `
¯aurxa"dihak{aWqojnecrWmst]ccqoßrWt:dqojnuEj]wamoavAaudc)qsc[t]mÄqsf¢wîj]{t]ug¢qs{{aferWqszmoa
mst:d$dqsrxaMj]w¿#
ïihawGjnmsmojY)qsuhp{acemod&rWt]u~z ac$aWaubmsqsã]a#t{aWßuavAau_d&j]wdiafaucqodÊgj]wdiha
k{j[Þ$arxdqojnuc&j]wt]u~qo{{aferWqozmsaMmst:d$dqsrxa#jnu~at]ri~wàt]rxd$j]{/j]w2¿#/ïiqÄc)c$dt:d$avyau_dMqsc
uhj]dc$gvyvAaWd${qÄrzehdt]msc$jyd${eha/qoditAklaW{v#ehdt:dqojnu¢j]wPqsufqsrxacW
X §§ T TîVKT§HG MMnV ÑEC
Ø Ñ Ö/Xbë
ÙÙÑ+/,
ÔëØ ÓoÑ#Ó
Ö
CFC
ëÔ
ÑAÛ Y¿a` V ÑbC/
Ø ÑxÓoÛ
X ê CÌÛ
C$
Ö/X
+
Ø
ÑWÓâÛ
X ê CÌÛ jh ` f Õ Ñ X CÕ ÑWÙ$ÑÑ
]në
^DC^
Ö
^WÑ b,Ñ
X+Ô Ñydx
ëdX
CÕ Ñ"Ó
Ö
CFC
ëàÔ Ñr^
Ö Cë
^dYéÒ
ëdX ê
msqÄv
!
dx
YWÛ:ÙÑ
"
ÑWÙÒ _Û
ëdX C
ëdX
msqsv
!
dx
Ö-X + mÄqsv
!
dx
' YxÛ]ÙÑ
"
ÑxÙéÒn_Û
ëX
C Û Y"jh n+
ë
^DC
ëdX Ô CHYÙ$Û
×
mÄqsv
!
dxhx
=
`
Ù$ÛÛZYb`ðarWt]msm]dit:dqod0qsccerWqoaudd$jk{jY]at]ccaW{dqojnu wîj]{(jnuhakljnqsud
U (aWd
z at/uaqopni_zlj]{ijjf#j]w
qsuA C$2t]uf
G{ac$k0
z at/uhaqspni_zlj]{ihjCjf
j]w
G{ac$k(
qsu jh MyïihaW{aaxhqsc$dc&t]u|amoavAaudqsuE ceriÐdit:d !
U)qsc
amsmsqokdqÄrt]uf !
qÄc&igCk aW{z jnmÄqsr:& (aWd(-
G{ac$k(
zla"dia#t:d$d${t]rxdqs]aÐG{ac$k0
{aWkemscqo]aIPßCaf¢kljnqsudj]w)!
ÉÊw2 !qsctt:kk{j]k{qst:d$a/cezc$a}Cehaurxa&j]wdiha
k jncqodqo]akljIaW{c#j]w"Pdihac$a}Cehaurxab!
!$Krxjnu]aW{p]acAd$j~dihak jnqÄu_d"É fÝj]w
C$#t]uf|diha#ca}ehaurxa!
#
ÝG{ack0y!
!
j]wk jnqÄu_dc)j]w
rxjnu]aW{p]acd$jdihakljnqsud1
G{ac$k03
j]w j Mïihak{j[ÞËarxdqojnu !
àUqÄcfhauc$a
qsuE2 C$éPihaurxadihaW{a#axhqsc$dc xbqÄuE6ceriEdit:d'!
dxzlamojnuhpnc)d$j$
)ïia
k jnqÄu_dc*
t]uf
t:{a"fqsc$dqsurxdWhdiap]{jnehkÐ C$Mt]rxdc&d${t]ucqodqo]amogjnudiha
c$aWdj]wfqÄc$dqsurxdkljnqsudcj]wjh ät]ufdiak{j[Þ$arxdqojnu !
àUqÄcfhauc$a"qsuh C$
ïihaW{aWwGj]{a]dihaW{a/axqscdct]uamoavyau_d%qsuÝceridit:d
!
%:
'&
t]uf !
%:
'&
!
dx
)
ïihaMc$a}CehaurxaS %(#)%
xj]wamoavAaudcj]wPåct:dqscßac
msqsv
!
%*#+%
x0 !
dx
&
&
msqsv
!
%(#)%
x
!
dx
!
%:x
&
)
ïiqscSk{jI]ac¢diha~axqscd$aurxa~j]wt6c$a}eaurxa dx
qsudia|mst:d$dqÄrxa~ ct:dqsc$wGgCqsup
t]cc$aW{dqojnuc t]uf
ÉÊd2{avyt]qÄucd$jk{jY]a/t]cc$aW{dqsjnu
'
ïiqÄcqsctrxjnuc$a}Cehaurxaj]w
ïj#k{jY]adiqsc
aMrWt]ujnvqod2dihaMqsufhax h/iAiqsri¢qscuhj]dec$aWwàemjnucqsfhaW{2dihaMc$aWdbj]wUkljnqsu_dc
"qsutjh >ceridit:ddihac$a}CehaurxaAdxln$Sfhjacuhj]d2rxjnu_]aW{p]a&d$j
PÉÊwdiqÄcc$aWd
rxjnu_dt]qsucdÁjyfqsc$dqÄurxdckljnqsudcWdihaWgrWt]uzlaÞ$jnqsuhafzCgSt#p]aWjCfacqsr/msqsua)t]uft]ug
k jnqÄu_d AjnuEdiqsc2p]aWjfhacqsr/rWt]uuhj]dct:dqscßac
msqsv
xW )
¯aurxa|rxjnudt]qsuct:dvAjncdjnuha)k jnqÄu_d1Mt]ufSqod{avt]qsucPd$j#cihjYÀdit:ddiqscPkljnqsud
àqow0qodaxhqsc$dcéPqsc
Å&ccevyadiqscqscwGt]msca)t]ufSmoaWd ízla&tàcvt]msmîuhaqspni_zlj]{ihjCjf
j]w
qsu j M2ïihau]wGj]{S¢mst:{p]aauhjnehpni0/x
(zlamojnuhpncd$j Ant]uf#dihaW{aaxhqsc$dc
tyuhaqopnizlj]{ihjCjCf j]w
qsu5jh ¡ceridit:d x qscrxjnu_dt]qÄuhafEqsu hwGj]{)t]msm P
ïiha2kljnqsu_dc/t]uf
rWt]uzla0Þ$jnqsuhaf#zCgtp]aWjfhacqsr2msqsua]( 0aWdzla2t)kljnqsudUj]wdiqsc
msqsuhat]ufwîj]{t]u_g PCmoaWdk2+#zladihaj]{qoau_d$afSp]aWjfhacqsrmÄqsuhakt]ccqsuhp/dih{jnepni x
t]uf ÝàqÄubdiqscj]{faW{é auhj]d$azCg2+l
; p &t]uf 2 \p&dihayaxd${avyqodqsac/j]w diqscp]aWjCfacqsr:ïiha&kljnqsudcx 2+
; p $t]uf x 2+l\p $t:{adiha&axCd${avyqodqoac j]wdihap]aWjCfhacqsrmsqÄuhaax 2 kt]ccqsuhpEdi{jnehpni Ðt]ufBx àqsuKdiqÄcj]{faW{éÐïia
k jnqÄu_d"xl 2+
; p $z amsjnuhpncd$j yt]uf|diha"wàt]rxddit:dydx)rxjnu]aW{p]acMd$j qsvAkmsqsacdit:d x
2
\p$t]msc$jAzlamojnuhpnc2d$jïiqÄcqÄcqsvAkljnccqoz+moazlarWt]ec$a/diha
p]aWjCfhacqsrMmsqsua"x ?2Srxjnudt]qsucdihak jnqÄu_d h
`baj]zdt]qsu4diha¢wGjnmsmojY)qsuhpErxj]{jnmÄmst:{gKiqsri4t]msmojIc#d$j~cqsvAkmsqswîg|dihac$aWd$dqsuhp
j]wÆEt:{pnemsqscWòrxjnu[Þ$arxdeh{a"t]ufdihak{jCj]wUj]wP qsufhaucd${t]eccËÌ`baqÄccWò{acemsdqsudiqsc
cqodet:dqojnuÝàc$aWaSæUè0wGj]{fhaWdt]qsmscé
¬"§ X § RRGZX ¥ M M V ÑbC"
Ø Ñ Ö/Xìë
ÙÙÑ+/,
ÔëØ ÓoÑÝÓ
Ö
CFC
ëÔ
Ñ ÛZYп C$
C$
Ö/X +b
Ø Ñ Ö Ô ÓoÛQ^Ñ+
Ô Û XX
Ñ Ô CÁÑ.+ ^,
Ø
ê]Ù$Û/,K_ìÛZY¿ ^@CàÙ
ëàÔ CàÓñÒ
Ô Û X C Ö:ëXëX
ê
CÕ
Ñê]Ù$Û/,K_ÐÅW`ef
Õ Ñ X ëX
U]¿2Ñ
"
ÑWÙÒ¢Û:Ù
ØWë C2ÛZY
ë
^g+_Ñ
X
^WÑ `
Ù$ÛÛZYb` 0aWd G{ac$k0
zladihaehkklaW{)G{ac$k(msjYaW{éeuqoklj]d$au_dcehzp]{jnehkSj]w
¿Ãt]ufyÅ
MÅ
t]uf
zladiharWt]ujnuqsrWt]mfharxjnvyk jncqodqojnuj]wÅ
t]uf
qsuE¿$Ã C$/2 C$)ÉÊw6qsctyrxjnuuharxd$afÐcehzp]{jnehkj]w
¿Ãc$d${qÄrxdmog"rxjnudt]qsuqsup/dihap]{jnehkÅ"ndihauqodc (qsa2t]msp]aWz{tMqscPqÄu_:t:{qst]udPeufhaW{Pdiha
t]f[ÞËjnqÄu_dMt]rxdqojnuåj]wÅ"ïiCec/Ãrxjnudt]qsuc/jnuayj]w2dihaAwîjne{euqoklj]d$audd${qst]uhpnemÄt:{
cehzp]{jnekc
j]w¿#É d0qscdiaW{aWwîj]{acerWqoaudàehkMd$jd${t]uc$kljncqodqsjnu
jnuS]¿#`barxjnucqsfhaW{diha h$fet]mi"t]rxdqojnuj]wÐjnu¿MÍ[Å
ïiqscrxjnc$aWdrWt]uzla
qsfhaudqoßaf¢qodi2 C$/ jh MjnuiqÄri¢dihat]rxdqsjnuj]wåqscpnqs]auzg
x
k !
dx
!
dx )
ïihavqsuqsvyt]mÄqodÁg&j]wdihat]rxdqojnuqsc(diaW{aWwîj]{at]u"at]c$grxjnuca}ehaurxaj]wdiak{aWCqojnec
k{j]kljncqodqojnubàt]ccaW{dqojnuc
t]uf
'
¹ Sº¾½º)¾·¸ ·»º¹º
0aWd Ä ) )/zlaydiharWmst]ccqÄrWt]m´2ec$avyt]uuårxjrxgCrWmoaSjnuK ihjnc$acqopnuKqÄcMßhafKzCg
dihaMwGjnmsmojY)qsuhpa}et]msqodÁg
c( msu É v c
ÉËv
wGj]{ c¢qÄu )
`ba&fhaWß+uhajnuA 6M diarxjCrxgrWmoa: ) )t]cdiacev j]w dia´2ec$avyt]uurxjCrxgrWmoac
jnuSat]ri¢wGt]rxd$j]{
#
qow$g
Pzlamojnuhpncd$j s jh jh t]uf W
z amsjnuhpAd$jA ¡ M
] h
I
]
)
`ihaudihaMkljnqsud yqÄcMpp diaMrxjCrxgrWmoaqscdihaupnqo]auzCg
h
mÄu
ÉËv ÉËv
ÉËv
ÉËv
)
¤ G TÄVQT§GM qâSt#kljnqsud qsu y M 0aWd#z at#kljnqsu_dqsuSdihaz jneuft:{g
s jh j t]ufÃzla)t#{at]mPïia
Õ
Û]ÙËÛ
ØÖ
ÓGÓzt]caft:d#t]ufj]wmoaW]amÃqÄcdiha
cehzc$aWd
¯&´M o &
¡
#
n h ! "gq )
ïiha/wGjnmsmojIqsuhpAmoavyvtqsmsm zlaMec$afqsu¢diaMk{jCj]w(j]wdihaWj]{av
÷
ç®h
#¤8 Z MFLM$
ëw] Ö _Û
ëdX
C
ëdX
å g` V ÑbC*
Ø Ñ
ëdX
s6
Ø Ñ ëdX
¿
Ö/X
+ 6
6
6?
Ø Ñ
Ö5X Û X
vZCàÙ
ë"IëàÖ Ó2ÑxÓsÑ
× Ñ X
CÛZYMÅ `
^^,
× Ñ C ÕCÖ
C
ÖSÕ Û]ÙËÛ
ØÖ
ÓGÓl¯&´M
ØÖ
^Ñ+
Ö
C/
Ô Û X C Ö:ëX
^
ëX
Xë CÁÑxÓÒ
×AÖ-X Ò\_hÛ
ëdX C^
6 8Ü
Õ
ÑxÙÑ"
ë^ Ö _hÛQ^
ëC ë"
Ñ
ëX
CÁÑÌêCÑxÙb`ef
Õ Ñ X
.6 ëY
6(
ÉËf -ÌÙÑ@^_ `
b6
ëY 6
ÉËf
Ü Õ ÑxÙÑ
6
#
-ÌÜ
Õ_ëÔxÕ Ñ! b,
Ö Ó^P°Û]Ùp ë^ CÕ Ñ Ö CFCàÙ
ÖnÔ
C
ë"
ÑS_hÛ
ëdX
C
ëdX
jh ¡ÛZY CÕ Ñ Õ Ò_hÑxÙ
Ø
Û:Ó
ëÔ
ë
^WÛ
×
ÑbCàÙéÒ
6
#Z`
6 6
t]ufKdihayca}ehaurxa|
6
|j]w Çp]jCacd$j
6
ihau p]jac"d$jEqsuhß+uqodÁg]y¯)aurxa
6
$¢p]jac&d$j
; p qow
qsc)fqâá aW{au_dwG{jnv
6
ïiakljnqsud
6
yzlamojnupnc2d$j¯)´/+dihaW{aWwGj]{aMait]a
6
6
h
k ]
6
h "
)
jnuc$a}CehaudmogSdiaMkljnqsu_d
qsca}et]m0d$j
6
¤ G TÄVQT§GM Å kljnqsu_d0Aj]wdihaz jneuft:{gsÇqscct]qsfd$jzla_
Ö Ù Ö_Ø
Û]Ó
ëÔ
Gqodi
{ac$klarxdd$jtycehzp]{jnehkåj]w¿2qowqsdqscßhaf¢zgtkt:{t:z jnmÄqsr&amoavAaudj]wU
hj]{/qsuc$dt]urxa]diha"k jnqÄu_d"p p qsckt:{t:zljnmsqsr)qodi{ack arxdd$jt]ug¯)qÄmozlaW{d
vAjCfemst:{mÄt:d$dqsrxa)j]w¿ t]ufSqsdcc$dt:z+qsmsqoÈWaW{qsuSceritmst:d$dqsrxaqscpnqs]auSzCgAdihac$aWd2j]w
vyt:d${qsrxac
6 7
° 6 # 6 &
4(
7 & 4 '*)
ïiha¿t]mojnqsc/rxjnu:Þ$ehpnt:d$a
6 >
j]wt]u~amoavAaud
6
j]wdiaeuqod&p]{jnehk 4
qsc&a}et]mUd$j
6
zlarWt]ec$a
6?6(>
= ÷ ihaurxa#aW]aW{g|i_gCklaW{zljnmsqsramoavAaud&j]wdihac$dt:zqsmÄqoÈWaW{)qsc
rxjnu[Þ$epnt:d$ad$jt]uamsavAau_dj]wUdiaMcehzp]{jnek
Å °
°
°
° # &
'
iqsriSk{ac$aW{]ac2at]riihj]{j]zt]mÄm+z+t]c$af¢jnuKpp t]uf¢t]msm j]wihjnc$a/uhjnuÌd${qoCqÄt]m
amoavAaudMqsc)igCk aW{z jnmÄqsrMzed&uhjnu~igklaW{$Ì{aWpnemst:{/ïihawGjnmsmojIqsuhpS{acemodc)jnubc$dt[
zqsmsqoÈWaW{cj]wkt:{t:z jnmÄqsrkljnqsudct:{a/k{jY]afÐqsuKæóiCèÌ
X §§ T TîVKT§HG M M\V ÑbCP
Ø Ñ Ö-Xåë
ÙÙÑ+/,
ÔëØ ÓoÑAÓ
Ö
CFC
ëÔ
ÑSÛZYM¿1
Ø Ñ Ö _ Ö Ù ÖØ
Û:Ó
ëàÔ
_Û
ëX
C
ëdX
s
Ö-X +# eC
Õ
Ñg^DC
Ö_Øxë
Ó
ëA ÑWÙ#ÛZY*
ëdX
`
vWf
Õ
ÑWÙ$ÑAÑ
]]ë
^@C^
Ö
Ù$Ñ
Ö Ó X ,
×Ø
ÑxÙ ^,
ÔxÕ
C
ÕCÖ C#
x ¯&´/ %¢¯&´M YxÛ]Ù#Ñ
"
ÑxÙéÒ¢ÑxÓsÑ
× Ñ X C x ëX
; )
v Y a pp CÕ ÑW^@C
ÖØxë
Ó
ëA
ÑWÙ& ë^ Ö -,
Xë YWÛ:Ù
× ÓÖ CFC
ëÔ
Ñ
ëdX CÕ
ÑW^xÛ]Ó
":Ö_Ø ÓsÑ
^,
Ø
ênÙËÛ/,K_ Å
` X _ Ö
ÙDC
ëÔ ,Ó
Ö Ù C Õ_ë
^5^,
Ø
ênÙËÛ-, _+nÛYÑ@^
X
Û-C
Ô Û X C Ö:ëX1Õ
Ò._ÑxÙ@v
Ù$ÑÁê-,Ó
Ö
ÙÑxÓsÑ
× Ñ X C Ö-X
+Aê]ÓoÛ
ØÖ
ÓîÓÒ\_ Ù$ÑD^WÑxÙ
"
ÑD^#Ñ
ÖnÔWÕÕ Û:Ù$Û
ØÖ ÓîÓ
ØÖ
^Ñ+Û
X
`
¯aurxatkt:{t:zljnmsqsrk jnqÄu_dqÄcßhafzCgyt#i_gCklaW{zljnmsqsramoavAaudWïj"kt:{t:z jnmÄqsr
k jnqÄu_dct:{a
Ô Û X54
,nê
Ö
CÁÑqowUdihaWg¢t:{aMßhafzCgSdiha"ct]vAaMigklaW{zljnmsqsr)amoavAaudW
ïiha|wîjnmÄmojYqÄuhpKdihaWj]{av àrWt]msmsaf ÙËÛ_ÑxÙDCàÒ -$ qsu æóiCèGA)iqsriqscSj]zqojnec
wîj]{Meuqowîj]{vÇmst:d$dqsrxac/t]ufÐãuhjIu|wîj]{/¯&qsmozlaW{d)vyjCfemst:{)mst:d$dqÄrxac/qsc&d${eha#wîj]{Mt]ug
qo{{aferWqozmoa&mst:d$dqsrxaMj]w¿#ecqsuhp#dihat:{qsdivAaWdqsrWqodÊgSdiaWj]{avÇC
÷