Une dérivation exacte de l'équation indépendante du temps de Schrödinger de la théorie de la stabilité des mouvements dans la mécanique classique

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Une dérivation exacte de l’équation indépendante du temps de Schrödinger de la théorie de la stabilité des

mouvements dans la mécanique classique

Nikola St. Kalitzin

To cite this version:

Nikola St. Kalitzin. Une dérivation exacte de l’équation indépendante du temps de Schrödinger de la

théorie de la stabilité des mouvements dans la mécanique classique. J. Phys. Radium, 1961, 22 (12),

pp.821-823. �10.1051/jphysrad:019610022012082100�. �jpa-00236585�

821.

UNE DÉRIVATION EXACTE DE L’ÉQUATION INDÉPENDANTE DU TEMPS DE SCHRÖDINGER

DE LA THÉORIE DE LA STABILITÉ DES MOUVEMENTS DANS LA MÉCANIQUE CLASSIQUE Par NIKOLA ST. KALITZIN,

Institut de Physique ^de l’Académie Bulgare ^{des Sciences.}

Résumé.

A partir ^de l’équation ondulatoire de Tchétaéff, ^{donnée dans son article} [1], qui

détermine les mouvements stables des systèmes mécanique conservatifs, ^nous déduisons, ^{dans le}

cas stationnaire, l’équation indépendante ^de Schrôdinger pour n points ^matériels.

Astract.

^From the Tchétaéff waves equation [1], ^which gives ^{the stable motion of conser-}

vative mechanical systems, ^we deduce, ^{in the} stationary ^{case, the} Schrôdinger equation, ^inde- pendent ^of time, ^{for n material} points.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ^{ET LE RADIUM TOME} 22, ^DÉCEMBRE 1961,

Dans cet article ^nous déduirons rigoureusement l’équation indépendante ^du temps ^de Schrôdinger

pour n points ^{matériels de} la théorie de la stabilité des systèmes mécaniques ^{dans la} mécanique ^clas- sique, laquelle ^{théorie a été crée} par Poincaré, Liapounoff ^et Tchétaéff. Nous nous servirons essen-

tiellement de l’article de Tchétaéff [1] ^{où il donne} l’équation ondulatoire fondamentale du mouve- ment stable. Selon Hmélévski [2] nous avons

l’image approximative ^suivante pour le ^mouvement ondulatoire autour des trajectoires ^{stables :}

Tchétaéff a montré qu’au voisinage ^{du mouvement}

stable d’un système mécanique conservatif, ^les petits mouvements perturbés ^{oscillent autour des} trajectoires ^{stables comme un} pendule, qui, déplacé

de sa position d’équilibre, ^{oscille autour de sa} posi-

tion stable.

Sur chaque corps, ^en plus ^{des forces connues}

introduites dans les équations ^du mouvement, agis-

sent aussi de petites ^forces perturbatrices qui ^nous

sont inconnues. Suivant ^le principe ^{de la} stabilité,

ces forces détruisent chaque ^mouvement instable,

ne conservant que les mouvements stables. Tché- taéff a trouvé l’équation ^à laquelle ^{doivent être}

soumis les mouvements stables des systèmes ^conser-

vatifs. Cette équation ^est identique ^à l’équation

ondulatoire.

Dans la nature, le ^{mouvement ne s’effectue} jamais ^{sur une} trajectoire stable. A cause des

petites perturbations ^{il existe} toujours ^{des dévia-}

tions insignifiantes ^{et le} |mouvement s’effectue dans

une région ^étroite enveloppant ^la trajectoire ^stable.

C’est pourquoi ^les trajectoires ^{réelles doivent oscil-}

ler autour d’elle (on obtient ainsi une onde parti- culière.)

L’idée directrice de cet article sera que les phéno-

mènes quantiques ^{ne sont} que le résultat de la stabilité des phénomènes mécaniques ^{dans des sys-}

tèmes de dimensions suffisamment petites. ^Cette conception s’appuie ^{aussi sur le} principe ^{suivant de}

Tchétaéff : tous les phénomènes qui ^{se réalisent}

effectivement dans la nature sont stable.

Considérons selon Tchétaéff [1] ^un système ^méca- nique, qui ^{consiste en n} points matériels, qui peuvent ^se mouvoir librement dans l’espace. ^Dési-

gnons par S

3n le nombre des degrés ^{de liberté} du système par qi, i = 1 , 2,

S ; qj

(xl, y,,

xn, yn, zn) ^ses coordonnées indépendantes. ^Soient (xi, yz, Zi) ^les coordonnées cartésiennes du i-ème

point ( px, pt, p’) ^les composantes ^{de sa} quantité ^de

mouvement, mi

^{sa masse. Nous} introduisons aussi les composantes ^{de la} quantité ^{de mouvement}

pi

( px, py, ... , p") correspondant ^aux degrés ^de

liberté. Nous supposons que les forces agissant

dans le système ^{ont une} fonction de force qui ^ne dépend pas du temps

Par

nous désignerons ^la force vive double du système

matériel considéré.

L’équation d’Hamilton aux dérivées partielles prend ^{la forme :}

où E désigne ^{la constante des forces} vives, ^{V est}

une fonction de ql, q2, ... qs indépendante ^{de t.}

L’intégrale complète ^de l’équation d’Hamilton(1)

est donnée par la ^fonction

qui ^{satisfait à} l’équation (1) ^et dépend ^{des cons-}

tantes _03B11,

_as. Dans ce cas la constante des forces vives est une fonction quelconque ^{des cons-}

tantes 03B1j ;

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019610022012082100

822

Suivant le théorème d’Hamilton-Jacobi la solu- tion générale ^des équations ^du mouvement est donnée par les formules

où les Py ^{sont des} constantes quelconques.

Les mouvements perturbés ^du système ^méca- nique ^se déterminent _{par les} différentes valeurs des constantes 03B1j et 03B2j.

Pour distinguer, ^{entre les} mouvements possibles

du système mécanique, ^les mouvements qui ^sont

stables par rapport aux variables ^{en cas de} pertur- bation seulement dans les données initiales, ^{on con-}

sidère les équations différentielles aux variations de Poincaré

où §,, 1)r sont les variations dès coordonnées qr ^et

des composantes ^{de la} quantité ^de mouvement pr et H

T + ^’11.

Pour le mouvement stable non perturbé ^les équa-

tions aux variations de Poincaré représentent ^un système d’équations différentielles linéaires qui ^se

réduit par ^une transformation non singulière ^liné-

aire des variables en un système d’équations ^diffé-

rentielles linéaires avec des coefficients constants,

où tous les nombres caractéristiques (nombres ^de Liapounoff) ^du système ^{des solutions} indépen-

dantes doivent être égaux ^{à zéro.} (Théorème ^de Poincaré, Liapounoff, Tchétaéff.)

Supposons que le mouvement perturbé n’est pro- duit _que par la variation des constantes 03B2l,

03B2s,

en fixant les valeurs des constantes _ocl,

ocs. La stabilité du mouvement non perturbé ^{dans cette} hypothèse ^{sera aussi une} condition nécessaire _pour la stabilité dans la variation de toutes les cons-

tantes ai et 03B2j.

Les variations ^des coordonnées et des compo- santes de la quantité ^{de mouvement dans cette} hypothèse ^auront des nombres caractéristiques ^zéro

si le mouvement non perturbé ^{est stable.}

Avec l’aide des équations différentielles de Poin- caré (3) ^{et de} la détermination des nombres caracté-

ristiques, ^Tchétaéff [1] ^{arrive à} l’équation ^suivante

pour le ^mouvement stable non perturbé :

L’équation (4) ^{est une} équation différentielle

elliptique. ^Nous introduisons une fonction double- ment différentiable .p(- Et ⁺ V ) dépendante ^de l’intégrale complète

^{Et + V de} l’équation ^aux

dérivées partielles d’ Hamilton-Jacobi.

Pour le mouvement stable non perturbé, ^à partir

de (4), (1) ^et (2) ^{nous avons :}

et par conséquence

L’équation ondulatoire (5) ^donnée par Tchétaéff dans son article [1] ^établit l’analogie ^{entre la théorie} mathématique de la lumière de Cauchy ^{et les mou-}

vements stables des systèmes conservatifs.

Puisque ^nous considérons des phénomènes ^st’a- tionnaires, ^nous pouvons poser

oc est une constante indépendante ^de 03B21, .., .

03B2s. ^Alors nous aurons

Ainsi oc ne dépend pas de l’espèce ^des pertur-

bations du mouvement stable, ^{ni des} paramètres ^du mouvement, ^{et nous} pouvons admettre que c’est

une constante générale pour ^tous les mouvements et toutes les perturbations.

Nous _posons

où h est la constante universelle de Planck. Alors

l’équation (7) ^obtient l’aspect

où

est l’opérateur ^de Laplace. L’équation (9) ^est l’équation indépendante ^du temps ^de Schrôdinger

pour ^un système ^{de n} particules.

A ma connaissance, ^ce qui précède donne la pre- mière dérivation exacte de l’équation indépendante

du temps ^de Schrôdinger ^des principes ^{de la méca-} nique classique, ^sans l’usage de certains paramètres cachés, ^{ou de} champs cachés, ^ce qui ^la différencie essentiellement de la théorie de Bohm.

Cette dérivation donne une nouvelle signifi-

823 cation de la mécanique quantique, ^{tout à fait dans}

l’esprit des idées de Louis de Broglie [3].

L’auteur est persuadé que la mécanique quan-

tique pourra ^être dérivée à partir de la considéra-

tion des mouvements stables dans le cadre de la

mécanique classique.

Manuscrit reçu le ² juin ^1961.

BIBLIOGRAPHIE

[1] ^TCHÉTAÉFF (N. G.), Prikladnaja mathematika i mecha-

nika, Moscou, 1958, 22, ^487.

[2] ^HMÉLÉVSKI (I. L.), Nauka i jisn, Moscou,1961, 3,12.

[3] ^{DE BROGLIE} (L.), ^La physique quantique restera-t-elle indéterministe ?, Paris,1953.

REVUE DES LIVRES

DICKE (R. H.) ^{et WITTKE} (J. P.), Introduction à la méca- nique quantique. (Introduction ^to Quantum Mechanics.)

1 vol. relié de 369 p., 15 ^x 23 _cm, Addison-Wexley, Reading, ^{Mass., U. S. A. et Londres,} 1960, prix $8,75 (en langue anglaise).

Un bon cours de mécanique ondulatoire à une fonction d’onde avec spin (mais ^non relativiste). Comprend ^un chapitre ^{sur les} statistiques quantiques, ^avec définitions de la matrice densité.

J. WINTER.

Relations de dispersion ^et particules élémentaires. (École

d’été de physique théorique ^des Houches.) 1, vol. relié de 672 p., 18 ^{x 25 cm,} Paris, Herman, 1960, ^en français

et en anglais, prix ^{84 NF.}

Cet ensemble de cours concerne les bases de la théorie

quahtique ^des champs ^{et celle des} particules élémentaires.

Le point ^{de vue est le} plus ^{élevé : on cherche à fonder la}

théorie des champs ^sur des bases solides et pour cela ^on fait, appel ^à la théorie des distributions, ^{due à M.} Schwartz, qui généralise ^{la notion de} fonction. Le lecteur devra avoir

une excellente culture en analyse, ^et qui plus ^{est une}

culture moderne. Il devra aussi, pour apprécier ^les chapitres

de la fin, connaître les faits expérimentaux ^{de la} physique

moderne concernant les particules élémentaires. Les auteurs

dq ^{ces cours sont des} spécialistes réputés. ^{Voici un sommaire}

des chapitres.

1. GOLDBERGER (M. L.), Introduction et application ^des

relations de dispersion (cas non-relativiste et relativiste, diffusion pion-nucléon, etc...) (anglais).

II. WIGHTMAN

(A. S.), L’invariance dans la mécanique quantique ^relati-

viste (français).

^{III. WIGHTMAN} (A. S.), ^{Fonctions ana-} lytique ^de plusieurs ^variables complexes (anglais).

IV. OMNÈS (R.), Démonstration des relations de dispersion (français). ^{- V. KALLEN} (A. ^0. G.), Propriétés des ^valeurs

propres dans le vide des opérateurs ^de champ (anglais).

VI. CHEW (G. F.), Relations de double dispersion ^{et uni-} tarité comme base d’une théorie dynamique ^des interactions fortes (représentation ^de Mandelstam, ^divers types ^{de dis-} persion, ^structure électromagnétique ^du nucléon) (anglais).

-

VII. TREIMAN (S. B.), Les interactions faibles (neutrino,,

radiation bêta, capture ^{du méson mu,} etc...) (anglais).

VIII. YAMAGUCHI (Y.), Interactions fortes des particules étranges (isospin, étrangeté, isosymétrie, parités ^de spin,

collision et diffusion K - N, ^{If -} N, ^etc... (anglais).

J. WINTER.

DEMERS (Pierre) (Professeur ^à la Faculté des Sciences de l’Université de Montréal), Ionographie. Les émulsions nucléaires. (1 vol., ⁸³⁴ pages relié toile bleue, ^Presses Universitairçs ^de Montréal.)

Bien connu comme pionnier ^{de la} photographie corpus- culaire, l’auteur présente ^{une vue} d’ensemble des problèmes

concernant les émulsions destinées à la physique ^nucléaire.

Les plaques photographiques spécialement préparées, ^ou

émulsions ionographiques, ^{sont l’un des} plus puissants ^des

moyers d’analyse ^des phénomènes corpusculaires.

L’auteur étudie d’abord en détail dans les deux premières parties ^le processus photographique, ^la préparation ^des émulsions, ^et leurs propriétés. La troisième partie ^{de l’ou-}

vrage est consacrée à ^un exposé complet des conditions

d’emploi ^{de ces émulsions et de la} technique ^{des mesures} (dénombrement, ^mesures de parcours, diffusion angu-

laire, etc...).

Dans les trois dernières parties, l’auteur traite des appli-

cations de cette technique ^aux mesures de radioactivité,

aux réactions de faible ou de grande énergie, ^{et à} l’étude des _rayons cosmiques.

Cet _ouvrage peut être considéré comme un traité de pho- tographie corpusculaire. ^{Il faut} particulièrement ^louer l’auteur d’avoir joint ^aux aspects théoriques ^des questions traitées ^de nombreux détails expérimentaux ^et pratiques.

La présentation agréable ^de l’ouvrage, abondamment illustré, ^{en rend} la lecture facile.

ZELLER.

SY N G E J. L.), Relativité. Théorie générale. ^{(1 vol.} relié,

16 X 23 cm, de _{505 p.,} North-Holland publishing ^Co,

Amsterdam, ^{1960. En} langue anglaise), prix ^{55 florins.}

Ce livre est celui d’un géomètre qui ^{se réclame} prin_ci- palement ^de l’inspiration ^de Minskowski. La notion de

principe d’équivalence ^lui paraît ^{obscure et mal} fondés, ^et

doit être écartée, ^{même si elle} a joué un rôle historique : ^L’exis-

tence d’un champ ^de gravitation ^{est une} propriété ^absolue.

Le premier chapitre ^{est une} introduction générale ^{de calcul} tensoriel ; ^{à côté du} déplacement parallèle, ^on introduit le

déplacement ^de Fermi, qui constitue la généralisation ^cor-

recte de la notion newtonienne de système ^{d’axes non-}

tournant. Au chap. II, ^{on introduit} la fonction uni- verselle 0, égale (à 1/2 près) ^{au carré} de la distance géo-

désique ^{de deux} points d’univers. Au chap. I I I, ^on traite la chronométrie dans l’espace ^{de Riemann.} Chap. IV, Le continuum matériel. Chap. V, Quelques propriétés ^des champs d’Einstein (notamment les ondes de choc gravi- fiques). Chap. VI, Lois de conservation intégrales, ^et équa-

tions du mouvement. Chap. VII, Champs ^de symétrie sphé- riques (champ ^de Schwarzschild, orbites et rayons du

champ solaire, déplacement spectroscopique). Chap. VIII, Quelques ^univers spéciaux. Chap. I X, ^{Ondes de} gravitation.

Chap. X, Électromagnétisme (notamment univers élec- trovac, ^avec champ électromagnétique ^{et sans} matière).

Chap. XI, Optique géométrique. ^Tout l’ouvrage ^est clair,

illustré de nombreuses figures, ^{et fait} appel ^à l’esprit géo- métrique. ^Il n’est pas (ce qui mérite d’être dit) ^{alourdi de}

nombreux développements de théorie des ensembles.

.

J. WINTER.