Les postulats de la mécanique classique

Les postulats de la mécanique classique

La mécanique classique repose sur trois axiomes, énoncés

formellement par Newton et connus sous le nom de lois de Newton :

¾

Première loi de Newton (ou principe d'inertie) : un corps au repos tend à rester au repos ou un corps en mouvement tend à rester en mouvement à une vitesse constante, à moins qu'on lui applique une force extérieure.

¾

Seconde loi de Newton : l'accélération produite sur une masse m par une force F est directement proportionnelle à la force et inversement proportionnelle à la masse (a=F/m).

¾

Troisième loi de Newton : pour toute action il existe une

réaction opposée en direction et égale en module.

y Les deux postulats de la relativité restreinte s'énoncent donc ainsi :

y 1 : Les lois de la physique s'expriment de façon équivalente dans tous les référentiels galiléens.

y 2 : Dans le vide, la lumière se propage avec une vitesse

constante c par rapport à n'importe quel référentiel galiléen,

indépendamment du mouvement de la source.

RELATIVITÉ DE LA SIMULTANÉITÉ

y Définition :Deux événements qui se produisent en deux points A et B d'un même référentiel sont simultanés si et

seulement si des signaux émis en A et en B arrivent en même temps au milieu M de [AB].

y Relativité de la simultanéité :

LA NOTION DE LONGUEUR

Naissance de l ’espace-temps

y

Pour préserver les lois physiques d ’un référentiel à un autre, nouvelles lois de

transformation : transformation de Lorentz

CONTRACTION DES LONGUEURS D'UN CORPS EN MOUVEMENT

y

Chaque observateur est muni d'une règle de même longueur. Supposons que la règle L

liée à R soit placée parallèlement à l'axe Ox. Sa longueur est l

= x

- x

(L

est au repos par rapport à R) comme l'illustre ce schéma :

y

l

est la longueur propre. Pour R', L

est animée d'une vitesse v. Pour

mesurer sa longueur, l'observateur de R' doit connaître les coordonnées x'

et x'

des extrémités de L

, prises en un même instant t' dans R'.

y

Nous avons donc les coordonnées x

et x

dans R et nous cherchons les

coordonnées x'

et x'

, dans R' (<=> on veut passer des coordonnées de R

aux coordonnées de R'). On utilise donc cette formule de la transformation

de Lorentz :

y L'observateur de R' trouve donc contraction de la longueur de L

. Il trouve donc que l'observateur de R utilise des

étalons de longueur trop court. Mais cette conclusion doit être réciproque pour pouvoir satisfaire au principe de

relativité (1

postulat d'Einstein) : en effet, R doit observer

une contraction de la règle L

de R' lorsqu'elle possède le

même mouvement.

LA DILATATION DES DURÉES

y Nous avons vu à travers la relativité de la simultanéité et la

transformation de Lorentz qu’il n’y a pas de temps absolu. Et

comme pour les longueurs, nous allons voir que la mesure des

durées est aussi modifiée par le mouvement.

FACTEUR GAMMA ET EFFETS RELATIVISTES

y

nous avons vu aux que les longueurs se contractent et que les durées se

dilatent lors d'un mouvement rectiligne uniforme. Nous avons aussi vu que la simultanéité est relative.

y

Cependant, vous devez vous demandez pourquoi vous n'avez jamais

ressenti et remarqué ceci, dans la vie de tous les jours. Par exemple, si vous faîtes un aller-retour Bruxelles - Paris et que partez votre montre et l'horloge de votre magnétoscope synchronisés, à votre retour, vous n'avez jamais

remarqué (à juste titre) que votre montre avait du retard sur l'horloge de votre magnétoscope (si cela arrivait, je vous rassure, c'est la pile !).

y

La réponse à cette question est toute simple : vous n'allez pas assez vite pour ressentir ces effets relativistes . Il faudrait en effet aller à une vitesse proche de celle de la lumière, c !!!!

y

Vous avez sûrement remarqué un facteur commun qui revient dans la

transformation de Lorentz, puis dans les formules de contraction des

longueurs et de dilatation du temps. Ce facteur est appelé facteur de

Lorentz ou facteur gamma :

y

La clé du problème réside dans β =v²/c² , v étant la vitesse de

l'objet qui se déplace par rapport à un référentiel, et c étant la vitesse de la lumière. Dans le cas des objets courants, v (scooter : 50 Km/h, voiture : 130 Km/h soit 36,1 m/s) est très inférieur à c = 299 792 458 m/s dans le vide. Le rapport v / c est donc très petit ce qui implique que v

/ c

est encore plus petit (en particulier est <<1)!

Ainsi 1 - v²/c² > 0. De plus, 1- v

/ c

<1 car un carré est positif =>

(1/ γ )² < 1 et γ > 0 => γ > 1.

y

Comme nous multiplions (ou divisons) les durées et les longueurs par ce facteur, dans la vie de tous les jours où les vitesses sont

négligeables devant la célérité de la lumière, cela revient à multiplier (ou diviser) par 1 : les durées et les longueurs restent

inchangées.

y

Ceci peut se voir à l'aide de la courbe de la fonction γ = f(v) (sur

l'intervalle D = [0, c]) :

y Bien que f soit toujours croissante, ce n'est

vraiment qu'à partir des 2/3 (sinon plus) que cette croissance est "rapide".

Pour les vitesses courantes, on constate bien que la

courbe est presque

constante

y

On peut faire le même

graphique avec pour abscisse le rapport v / c et on observe la même phénomène .

y

En conclusion, pour observer des effets relativistes, il faut atteindre une vitesse proche de celle de la lumière, ce que l'on arrive aujourd'hui à faire dans les accélérateurs de

particules

Remarque :

Le facteur gamma s'applique aussi à la masse. En effet, un objet de masse m₀ dans son "référentiel propre" R, ce dernier étant en mouvement rectiligne uniforme (comme d'habitude ...) à une vitesse v par rapport à un référentiel R' qui vaudra selon un observateur de R' :

soit m' > m₀. Pour des vitesses relativement faibles, on obtient une bonne approximation avec cette relation (v<<c donc on fait un développement à l'ordre 1 en v/c) :

1/2 mv² est bien sûr l'énergie cinétique ! Il en résulte donc que mc² ainsi que m₀c² sont aussi des formes d'énergie : m₀c² est l'énergie de masse, énergie (très grande) qu'un corps possède au repos. En mouvement, il faut additionner cette forme énergie à l'énergie acquise par la vitesse : l'énergie cinétique. On aboutit alors à la célébrissime formule d'Einstein :

On peut donc dire que masse et énergie sont équivalentes ou encore, ce qui revient au même que l'énergie possède une masse : m = E / c² (Kg).

L'énergie cinétique correspond donc à la masse acquise pendant le mouvement : E = mv² /2 => m = 2 E / v².

LE PARADOXE DES JUMEAUX

y Sans parler du fait que la relativité restreinte n'a pas été comprise et acceptée dès le

début, on découvrit très vite des paradoxes.

Le plus célèbre, l'incontournable, est le paradoxe des jumeaux ou paradoxe de Langevin. Voici ce paradoxe :

y Deux vrais jumeaux, Fabien et Nicolas habitent sur Terre (Non !?!). Le premier, très ambitieux et ayant un avenir très

prometteur, décide de faire un long voyage de plusieurs années dans l'univers afin de mieux le découvrir.

y Le vendredi 13 du 13^èmemois de l'année 3113, il décide donc de partir avec son astronef qui atteint 98 % de la vitesse de la lumière c. Son frère Nicolas reste sur Terre et l'attend. Quand Fabien rentrera, les 2 frères jumeaux auront-ils le même âge ou l'un des deux sera-t-il plus vieux que l'autre

?

On peut tout d'abord se placer du point de vue de Nicolas, sur Terre. Pour lui, Fabien va très vite et son temps se ralentit. Quand il rentrera, Fabien sera plus jeune que lui, tout ridé.

Du point de vue de Fabien, c'est Nicolas qui est en mouvement et qui subit la dilatation des durées. Fabien rentrera donc plus vieux que Nicolas.

PARADOXE ???

Non !!! Il n'y a aucun paradoxe ! En effet, en faisant l'analyse que je viens de faire, j'ai oublié un détail très important ! Ce détail ? : le mouvement : dans la théorie de la relativité restreinte - et je n'est pas cessé de l'écrire - doit être

rectiligne ET uniforme. Or, ces 2 points ne sont pas ici respectés partiellement : - au départ, Fabien accélère pour atteindre les 98 % de c

- à l'arrivée, il décélère pour s'arrêter

- au milieu de son parcours, il décélère quand il fait demi-tour et change de référentiel.

Ce n'est donc pas avec la théorie de la relativité restreinte que l'on peut

résoudre cet apparent paradoxe. La solution est donnée par la relativité générale

En effet, avec la relativité générale, Einstein généralise son principe de relativité à l'ensemble des référentiels (et plus seulement les référentiels

galiléens). Alors est prise en compte la dilatation des durées due à l'accélération,

COMPOSITION DES VITESSES

Si notre mémoire est bonne, la transformation de Galilée induisait la loi classique d'addition des vitesses w = w' + v. Mais des expériences ont montré que cette loi est fausse. De plus la transformation de

Galilée a été remplacée par la transformation de Lorentz : il faut donc trouver une nouvelle loi. (=>

voir animation)

Pour la trouver, considérons une fusée F animée d'une vitesse constante w', w' ayant pour direction et pour sens Ox dans le référentiel R' (O', x', y', z'). Si on considère t₀ = 0 et x₀ = 0, on a x' = w't.

On a w' = la vitesse dans le référentiel R' de la fusée ; w = la vitesse de la fusée par rapport à R ; v : la vitesse de R' par rapport à R.

Dans R, on a aussi x = wt. Quelle est la vitesse w en fonction de w' et v, et w' en fonction de w et v ?

Nous pouvons donc retenir :

Remarque : si w' et v sont des vitesses très petites (par rapport à c), vw' / c² devient négligeable et on retrouve la loi classique de simple additivité.

Exemple : Dans l'exemple de l'animation, on a :

Le radar installé dans la voiture de police qui roule à V₂ = 50 km.h^-1 lit : V₃=100 km.h^-1(vitesse de la voiture 1 par rapport à la voiture 2)

Ø Selon Galilée :

Addition des vitesses : V₁= V₂+V₃

=100+50=150 km.h^-1 Ø Selon Einstein :

On a : V₁=149,999999999999356105291635640245…km.h^-1, ce qui est sensiblement égal à 150 km.h^-1 : Galilée n'avait pas si tort (pour des vitesses faibles).

Exemple : deux particules de lumière (des photons) s'éloignent l'une de l'autre. Le photon A va à la vitesse w' = - c par rapport à R et le photon B à v = + c. Quelle est leur vitesse relative d'éloignement ?

On est tenté de dire que w = c + c = 2c ! Mais non, car il faut appliquer la loi relativiste :

Les deux photons s'éloignent donc avec une vitesse relative de c (et non 2c, on respecte bien le 2^ème postulat !!!).