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Submitted on 1 Jan 1971
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POTENTIEL CREE PAR UNE CHARGE PONCTUELLE PULSANTE DANS UN
ECOULEMENT DU PLASMA
J. Chasseriaux
To cite this version:
J. Chasseriaux. POTENTIEL CREE PAR UNE CHARGE PONCTUELLE PULSANTE DANS UN ECOULEMENT DU PLASMA. Journal de Physique Colloques, 1971, 32 (C5), pp.C5b-195-C5b-197.
�10.1051/jphyscol:19715122�. �jpa-00214698�
POTENTIEL CREE PAR UNE CHARGE PONCTUELLE PULSANTE DANS UN ECOULEMENT DU PLASMA
J . N . C h a s s e r i a u x
G r o u p e d e R e c h e r c h e s I o n o s p h é r i q u e s , 9 4 , S a i n t - M a u r
R é s u m é
Nous c a l c u l o n s l e p o t e n t i e l s c a l a i r e c r é é p a r u n e c h a r g e p o n c t u e l l e p u l s a n t e i m m o b i l e d a n s l ' e s p a c e e t e n t o u r é e d ' u n p l a s m a e n m o u v e m e n t u n i f o r m e . L e p l a s m a e s t f r o i d , i s o t r o p e . ho- m o g è n e e t i l l i m i t é . Nous m o n t r o n s q i i ' i l a p p a r a i t u n " s i l l a g e é l e c t r i q u e " d a n s l e q u e l l e p o t e n t i e l p r é s e n t e d e f o r t e s o s c i l l a t i o n s s p a t i a l e s e t q u e l a f o r m e d e s c o u r b e s d o n n a n t l e m o d u l e e t l a p h a s e d u p o t e n t i e l e n f o n c t i o n d e l a f r é q u e n c e e n u n p o i n t f i x e , e s t p r o f o n d é - m e n t m o d i f i é e .
A b s t r a c t
We c a l c u l a t e t h e p o t e n t i a l c r e a t e d b y a n o s c i l l a t i n g p o i n t c h a r g e , f i x e d i n s p a c e b u t S u r - r o u n d e d b y a p l a s m a t h a t d r i f t s w i t h u n i f o r m v e l o c i t y . T h e p l a s m a i s c o l d , i s o t r o p i c , homo- g e n e o u s a n d u n b o u n d e d . We s h o w t h a t a n " e l e c t r i c w a k e " a p p e a r s , i n w h i c h t h e p o t e n t i a l p r e - s e n t s s t r o n g s p a t i a l o s c i l l a t i o n s , a n d t h a t t h e s h a p e o f t h e c u r v e s t h a t g i v e t h e m o d u l u s a n d t h e p h a s e o f t h e p o t e n t i a l a s f u n c t i o n s o f f r e q u e n c y a t a f i x e d p o i n t i s c o n s i d e r a b l y c h a n g e d
.
C e t t e é t u d e s e s i t u e d a n s l e c a d r e g é n é r a l d e s l e p l a s m a s o i t f r o i d .
t r a v a u x r e l a t i f s a u x s o n d e s '
a
p l a s m a . E l l e a p o u r L e p o t e n t i e l V ( r , t ) s ' o b t i e n t e n p r e n a n t l a + b u t d e t e n t e r d ' e x p l i q u e r c e r t a i n s d é s a c c o r d s q u i t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r i n v e r s e d e ( 1 ) . P o u r c a l c u l e r s o n t a p p a r u s e n t r e l a t h é o r i e e t l ' e x p é r i e n c e l o r s - c e t t e t r a n s f o r m é e , i l f a u t p r é c i s e r l a d i s t r i b u t i o n q u e l e s s o n d e s s o n t e n mouvement p a r r a p p o r t a u p l a * d e c h a r g e s s o u r c e s c h o i s i e . Nous p r e n d r o n s u n e s o u r - ma comme c ' e s t t o u j o u r s l e c a s d a n s l ' e s p a c e e t f r Q - c e p o n c t u e l l e p u l s a n t e , p l a c é e à l ' o r i g i n e O d ' u n-+ + -4
quemment e n l a b o r a t o i r e . s y s t è m e d e c o o r d o n n é e s o r t h o n c r m é Ox, Dy, Oz, e t
C o n s i d é r o n s u n e d i s t r i b u t i o n d e c h a r g e s S o u r - q u i commence à o s c i l l e r à l ' i r s t a n t t = O a v e c u n e c e s q u e l c o n q u e d o n t l a d e n s i t é a u p o i n t e t à
l ' i n s t a n t t e s t p ( r , t ) e t q u i e s t p l a c é e d a n s u n + p l a s m a f r o i d . i s o t r o p e , h o m o g è n e e t a n i m é d ' u n mou- v e m e n t u n i f o r m e d e v i t e s s e v . Nous n o u s p r o p o s o n s + d o c a l c u l e r l e p o t e n t i e l s c a l a i r e V ( r , t l c r é é p a r c e t +
- t e d i s t r . i b u t i o n d e c h a r g e s . S o i t ~ [ x , w ) e t p [ k , w ) + l e s t r a n s f o r m é e s d e F o u r i e r s p a t i o - t e m p o r e l l e s d e
-+ +
V ( r , t ) e t p [ r , t ) . En u t i l i s a n t u n e c o n d i t i o n d e j a u - g e d e Coulomb m o d i f i é e [ l ] i l e s t p o s s i b l e d e mon-
+ -+
t r e r q u ' i l e x i s t e e n t r e V [ k , w l e t p ( k , w l l a r e l a t i o n
3
( 1 ) v r k , w i = p [ k , w )
E E ( - k , W ) k2
où E e s t l a p e r m i t t i v i t é d u v i d e e t ~ ( k , w ) + l a c o n s - t a n t e d i é l e c t r i q u e d u m i l i e u . S i v = e s t t r è s i n f é r i e u r à l a v i t e s s e d e p r o p a g a t i o n d e l a l u m i è r e d a n s l e v i d e , e t s i e n o u t r e or1 n é g l i g e l e mouvement d e s i o n s , ~ [ k , w l + e s t d o n n é e p a r
-
2( 2 ) E ( ~ . w ) = -+ 1
-
++ e -+ -+[ w + k . v ) [ w + k . v
-
i v loù n e s t l a p u l s a t i o n d e p l a s m a é l e c t r o n i q i i e e t v l a f r é q u e n c e d e c o l l i s i o n d e s é l e c t r o n s a v e c l e s p a n t i c u l e s l o u r d e s . L e mouvement d u p l a s m a i n t r o d u i t d o n c u n e v a r i a t i o n a v e c k d e l a c o n s t a n t e d i é l e c t r i - + q u e , c ' e s t - à - d i r e u n e d i s p e r s i o n s p a t i a l e , b i e n q u e
p u l s a t i o n w , c ' e s t a d i r e q u e n o u s a v o n s
o ù Q e s t un p a r a m è t r e i n d é p e n d a n t d u t e m p s , H [ t ) l a f o n c t i o n d e H e a v i s i d e ( é g a l e à z é r o p o u r t < O e t à l ' u n i t é p o u r t > O ) e t 6~:) l a d i s t r i b u t i o n d e D i r a c d a n s l ' e s p a c e . La t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r s p a t i o - t e m - p o r e l l e d e p ( r , t l s ' é c r i t +
o ù P d é s i g n e l a d i s t r i b u t i o n p a r t i e p r i n c i p a l e . En r e p o r t a n t ( 4 1 d a n s I I I e t e n p r e n a n t l a t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r i n v e r s e o n p e u t s é p a r e r l e p o t e n t i e l e n d e u x p a r t i e s : l ' u n e c o r r e s p o n d a u r é - g i m e t r a n s i t o i r e e t l ' a u t r e a u r é g i m e s t a t i o n n a i r e q u e n o u s a l l o n s é t u d i e r p l u s e n d é t a i l .
C h o i s i s s o n s l ' a x e -L Oz p a r a l l è l e e t d e s e n s c o n - t r a i r e à -+ v e t p o s o n s
avec 2
W,, = (ne
-
V 2 / 4 ) 1 / 2Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19715122
J . M . CHASSERIAUX
Avec c e s n o t a t i o n s l e p o t e n t i e l e n r é g i m e s t a t i o n n a i - r e s [ F . , t ) s ' é c r i t
( 9 1 S[<t)=
Hk)
uu<pcid.t)4rr E.
a v e c
C e t t e i n t é g r a l e se c a l c u l e p a r l a m é t h o d e d e s r é s i - d u s . L ' i n t é g r a n d p r é s e n t e q u a t r e p ô l e s s i m p l e s s i - t u é s e n + i m , - i m , k l e t k2. P a r m i c e u x - c i , s e u l l e p ô l e + l m a p p a r t i e n t a u d e m i - p l a n I m [ k ]>O. L o r s q u e z>O n o u s a v o n s d o n c
e t l o r s q u e z<O
On v é r i f i e q u ' i l n ' y a p a s d e d i s c o n t i n u i t é p o u r z=O (131 I + ( m , O ) = 1-[m,O)
e t q u e p a r c o n s é q u e n t S s e r a u n e f o n c t i o n c o n t i n u e d e z .
En r e p o r t a n t I l 11 e t ( 1 2 1 d a n s (91 e t a p r è s u n e i n t é g r a t i o n e n m. o n o b t i e n t l ' e x p r e s s i o n du po- t e n t i e l e n r é g i m e s t a t i o n n a i r e
a v e c
où K e s t l a f o n c t i o n d e B e s s e l d e d e u x i è m e e s p è c e
O
d ' o r d r e z é r o ; s g n ( z 1 e s t é g a l à +1 s i z>O e t 3 -1 s i z<O e t l a f o n c t i o n sr e s t d é f i n i e p a r
L ' i n t é g r a l e (151 d o i t ê t r e c a l c u l é e n u m é r i q u e ment s a u f l o r s q u e R = O ou z=O où l ' o n p e u t e n o b t e - n i r u n e e x p r e s s i o n r i g o u r e u s e .
E t u d i o n s t o u t d ' a b o r d f r e q u e n c e c o n s t a n t e l a r é p a r t i t i o n s p a t i a l e du p o t e n t i e l d a n s l e c a s où v=O. La p r 6 s e n c e du t e r m e MIR. l z l 1 l o r s q u e z<O, a d e s c o n s é q u e n c e s i m p o r t a n t e s
1
-
L e p o t e n t i e l e s t i n f i n i s u r l e d e m i - a x ed e s z n é g a t i f s
2
-
S i l ' o n d o n n e à R u n e v a l e u r c o n s t a n t e d i f - f é r e n t e d e z é r o , l e p o t e n t i e l p r é s e n t e d e f o r t e s o s - c i l l a t i o n s l o r s q u e z p r e n d d e s v a l e u r s n é g a t i v e s c r o i s s a n t e s . C ' e s t c e q u i a p p a r a i t s u r l a f i g u r e 1.F i g . 1 - V a r i a t i o n du module du p o t e n t i e l n o r m a l i s é
= S / ( Q n / 4 n c V I e n f o n c t i o n d e z l = n z / v p o u r
e O
R'=Rn / v = 5 e t w ' = w /n -0.1
e o o e
S u r c e t t e f i g u r e comme s u r l e s f i g u r e s s u i v a n t e s o n a t r a c é e n t r a i t i n t e r r o m p u c e q u i s e r a i t o b s e r v é d a n s un m i l i e u i m m o b i l e . Ces o s c i l l a t i o n s s p a t i a l e s d o n t l ' a m p l i t u d e d é c r o f t t r è s r a p i d e m e n t l o r s q u e R
croit t r a d u i s e n t u n e m i s e e n p a q u e t d e s é l e c t r o n s s o u s l ' e f f e t du champ a l t e r n a t i f c r Q é p a r l a s o u r c e . a n a l o g u e à c e l l e u t i l i s é e d a n s l e k l y s t r o n . On p e u t r e m a r q u e r à c e p r o p o s l a p a r e n t é q u i e x i s t e e n t r e l e c a l c u l q u e n o u s a v o n s mené e t c e l u i d e l ' i m p é d a n c e d ' u n k l y s t r o n dû A FEIX
[z].
C o n s i d è r o n s A p r a s e n t , e n un p o i n t d o n n é , l a v a r i a t i o n du p o t e n t i e l e n f o n c t i o n d e l a p u l s a t i o n e n s u p p o s a n t t o u j o u r s q u e v=O. On m o n t r e q u e
- l o r s q u e w +O.
( S I
t e n d v e r s u n e v a l e u r f i n i e e t non n u l l e q u i d é p e n d du p o i n t d ' o b s e r v a t i o n c h o i - s i- l o r s q u e w +n ,
1 ~ 1
t e n d v e r s l ' i n f i n i commeO e
~ o g l w , , - n ~ I
- l o r s q u e w
) S I
t e n d v e r s s a v a l e u r d a n s l e v i d e .Ces r é s u l t a t s s o n t i l l u s t r é s p a r l a f i g u r e 2 . Chacune d e s c o u r b e s e n t r a i t p l e i n r e p r é s e n t e , p o u r une v a l e u r d o n n é e d e l a v i t e s s e , e t e n f o n c t i o n d e l a p u l s a t i o n , l e module du p o t e n t i e l e n d e s p o i n t s d ' o b s e r v a t i o n A d i s t i n c t s : t o u s c e s p o i n t s s o n t
i
s i t u é s B u n e même d i s t a n c e d d e l a s o u r c e m a i s d i f -
4 4
f è r e n t p a r l a v a l e u r d e l ' a n g l e a = ( O z , OAil.
E n f i n , e n p r é s e n c e d e c o l l i s i o n s . l ' e f f e t du mouvement a p p a r a i t comme un a m o r t i s s e m e n t s u p p l é -
POTENTIEL CREE PAR UNE CHARGE PULSANTE DANS UN ECOULEMENT DU PLASMA
m e n t a i r e d e l a r é s o n a n c e [ f i g . 31.
F i g . 3
-
V a r i a t i o n d u m o d u l e d e S n = S / i Q / 4 n c o d 1 a u p o i n t P ( a = n / 4 1 d a n s l e c a s où v/n =IO-' e t p o u r F i g . 2-
V a r i a t i o n d u m o d u l e d e S' e n f o n c t i o n d ed i f f é r e n t e s v a l e u r s d e v l = v / n d w ' e n p l u s i e u r s p o i n t s d ' o b s e r v a t i o n A s i t u é s
i
-
c o u r b e no 1 v ' = I O - 'B u n e même d i s t a n c e d d e l a s o u r c e m a i s a u i d i f -
--c -Ç
-
c o u r b e no 2 v ' = 1f è r e n t p a r l a , v a l e u r d e l ' a n g i e a =[Oz, OAil. L e s
c o u r b e s e n t r a i t p l e i n c o r r e s p o n d e n t a u c a s où i La c o u r b e e n t r a i t i n t e r r o m p u c o r r e s p o n d a u cas v = d n et c e l l e e n t r a i t i n t e r r o m p u a u c a s où v=O où vl.O.
e
Nous v o y o n s d o n c q u e l e mouvement du p l a s - ma m o d i f i e l a f o r m e d e s c o u r b e s d e r é s o n a n c e . Une c o n f r o n t a t i o n d e n o s r é s u l t a t s a v e c l ' e x p é r i e n c e s e m b l e t o u t e f o i s p r é m a t u r é e c a r n o u s a v o n s s u p p o s é q u e l e p l a s m a é t a i t f r o i d e t q u ' i l n ' e x i s t a i t p a s d e champ m a g n é t i q u e . C e s d e u x c o n d i t i o n s n e s o n t g é n é r a l e m e n t p a s s a t i s f a i t e s d a n s l a p r a t i q u e m a i s l a t h é o r i e q u e n o u s a v o n s d é v e l o p p é e p e u t s e t r a n s -
p o s e r p o u r t e n i r c o m p t e d e l ' u n e o u l ' a u t r e d e c e s deux c i r c o n s t a n c e s e t l e u r é t u d e est l ' o b j e t d e t r a - v a u x e n c o u r s . En p a r t i c u l i e r , o n p e u t d è s 21 p r é s e n t a f f i r m e r q u e d a n s un p l a s m a c h a u d i s o t r o p e l e s ré- s u l t a t s q u e n o u s v e n o n s d e p r é s e n t e r n e s e r o n t p a s p r o f o n d é m e n t m o d i f i é s s i l a v i t e s s e d e d é r i v e d u p l a s m a est très s u p é r i e u r e B l a v i t e s s e t h e r m i q u e d e s é l e c t r o n s .
8 I ô L IOGRAPHIE
[II
BALNAIN K.G., "The i m p e d a n c e of a s h o r t d i p o l e 121 FEIX M.R., "Impedance o f R.F. g r i d S a n d p l a s m a a n t e n n a i n a m a g n e t o s p l a s m a " c o n d e n s e r s " P h y s . L e t t e r s ,12
(41,I . E . E . A n t e n n a s a n d p r o p a g a t i o n . 316-317, 1964.
AP-12, 5 , 605-617, 1964.
