Une Stratégie de Résolution Orientée par la Topologie des CSPs Numériques

(1)

HAL Id: inria-00000087

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Submitted on 26 May 2005

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Une Stratégie de Résolution Orientée par la Topologie des CSPs Numériques

Heikel Batnini, Michel Rueher, Claude Michel

To cite this version:

Heikel Batnini, Michel Rueher, Claude Michel. Une Stratégie de Résolution Orientée par la Topologie

des CSPs Numériques. Premières Journées Francophones de Programmation par Contraintes, CRIL

- CNRS FRE 2499, Jun 2005, Lens, pp.211-218. �inria-00000087�

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Une Stratégie de Résolution Orientée par

la Topologie des CSPs Numériques

Heikel Batnini Mihel Rueher Claude Mihel

Université de Nie Sophia-Antipolis

Projet COPRINI3S-CNRS/INRIA/CERMICS

INRIA, 2004 Route des Luioles

BP 93,06902 Sophia-Antipolis

hbatninisophia.inria.fr rueheressi.fr pjmessi.fr

Abstrat

Les méthodes lassiques de résolution de

CSPsnumériquessontbaséessurunalgorithme

ombinantunetehniquedebissetionetunl-

trage paronsistane loale. En général,le l-

trageestbasésurlaHull-onsistaneoulaBox-

onsistane. Les algorithmesde ltrage orres-

pondants identientsouventdestrous dansles

domaines,'est-à-diredesintervallessurlesquels

ertainesontraintesnesontpassatisfaites.Ces

trous sont ependant utilisés uniquementpour

déterminerlepluspetitintervalle englobantles

solutions.

Ce papier présente une stratégie de re-

herhe, nommée TopSearh (Topologial

Searh),quiexploitelestrous identiéspares

ltrages. TopSearh utilise es informations

pourséletionnerladiretiondeoupeainsique

pourdénirlepointde oupedans ledomaine

séletionné. Si auun trou n'est identié une

bissetion standard est mise en oeuvre. Les

premiers résultatsexpérimentauxmontrent que

ette heuristique de reherhe dont lesur-oût

est minime, peut améliorer de manière très

signiative les performanes de la bissetion

lassique.

1 Introdution

Cet artile présente une nouvelle straté-

gie de reherhe pour la résolution de CSPs

(ConstraintSatisfation Problem)numériques.

Ce problème apparaît dans de nombreux do-

mainesd'appliationommeenrobotique,hi-

mie ou enore en géométrie. L'objetif est de

trouveruneapproximationnedessolutionsde

systèmesdeontraintesnon-linéaires.

Les méthodes lassiques pour résoudre les

CSPsnumériquessontbaséessurunalgorithme

ombinantunetehniquedebissetionetunl-

trageparonsistaneloale.

La bissetion onsisteà hoisirun intervalle

enutilisantdiversesstratégiesdeséletion.Cet

intervalleestalorsoupéenplusieurspartie,en

généralen son milieu, puis les sous-problèmes

orrespondants sont résolus de manière indé-

pendante.

Parmilesstratégiesdeséletiondedomaine,

laméthodeonsidéréeommeétantlaplusef-

aeen moyenne est le Round Robin (RR),

qui traite les domaines des variables les uns

aprèslesautresdemanièreirulaire.D'autres

stratégiesdeséletionutilisentdesinformations

syntaxiques ou sémantiques. La stratégie Lar-

gest First (LF), aussi appelée geometri split-

ting [17℄, onsiste à hoisir la variable dont le

domaineest le plus grand.La stratégie Maxi-

mal Smear (MS) [6, 13℄ séletionne le domaine

quimaximise lasmear funtion 1

.De manière

informelle,MSidentie lavariabledont lapro-

jetionalaplusgrandepente.

1

Lasmearfuntion de

x

k^est^:

s

k

= max

1≤j≤m

{max {|J

_i,j

|,|J

i,j

|}w(

^xi

)},

où Ji,j

= [J

_i,j

, J

i,j

]

^est^la

(i, j)

^-ème^entrée^de^l'exten-

sionauxintervallesdelamatrieJaobiennedusystème

(3)

sont basées sur la Hull-onsistane [15, 2℄ ou

la Box-onsistane [3, 19℄. Les algorithmes de

ltrage orrespondants identient souvent des

trous dans lesdomaines,'est-à-diredes inter-

vallessur lesquelsertainesontraintesnesont

passatisfaites. Ces trous sontependantutili-

sés uniquement pour déterminer le plus petit

intervalleenglobantlessolutions.

Cepapierprésenteunestratégiedereherhe,

nommée TopSearh (Topologial Searh), qui

exploite les trous identiés par es ltrages.

TopSearh utilise es informations pour séle-

tionnerladiretiondeoupeainsiquepourdé-

nir le point de oupe dans le domaine séle-

tionné.Siauuntroun'estidentiéune bisse-

tionstandardestmiseenoeuvre.

Plus préisément, les trous dans les do-

maines sont identiés par l'algorithme HC4

qui permet d'implanter eaement à la fois

la Hull-onsistane et la Box-onsistane [2℄.

TopSearh réupère es informations ave un

sur-oût négligeablepuislesexploite durantla

phase de reherhe. Plusieurs heuristiques ex-

ploitantesinformationspeuventêtreutilisées,

parexempledesheuristiquesbaséessurlataille

destrousidentiés.

Un retour-arrière hronologique est la plu-

partdutempsutilisépourtraiterlessous-CSPs

générés par la bissetion. D'autres stratégies

plussophistiquéespeuventependantêtreutili-

sées,parexempleunestratégiederetour-arrière

dynamiquetellequeellequiaétéprésentéepar

[11℄. TopSearh est une stratégie dereherhe

pouvant être ombinée ave n'importe quelle

stratégiederetour-arrière.

D'autrepart,desonsistane plusfortesba-

séessurl'utilisationdestrousidentiésontété

proposéespar[8,4℄.L'originalitédeTopSearh

provientdufaitquelestroussontexploitésuni-

quementpourlareherhedesolutions.

Ce papier est organisé de la manière sui-

vante:lasetion2rappellelesnotionsdebase

sur l'arithmétique d'intervalles.Le shéma gé-

néral de TopSearh est dérit dans la setion

3. La setion 4 présente la tehnique utilisée

pourolleterlestrousdans lesdomaines.En-

n,lasetion5présente quelquesrésultatsex-

périmentaux sur des problèmesissus de la lit-

Cette setion présente quelques rappels sur

les CSPs numériques, ainsi que les notations

utilisées dans le reste du papier. Le leteur

pourrasereporterà[16,6,12,9℄pourplusde

détails.

2.1 Notations

L'intervalle x

= [x, x]

^dénote^l'ensemble ^des

réels

x

^tels ^que

x ≤ x ≤ x

^. ^Les ^variables

sont notées

x, y

^, ^les ^veteurs ^de ^variables ^par

X, Y

^et ^les ^veteurs d'intervalles - ou boîtes

- par X

,

^Y. ^Le ^milieu

m(

^x

)

^de l'intervalle x est

(x + x)/2

^et ^sa ^taille ^est ^le ^nombre ^posi-

tif

x − x

^. ^Une ^union d'intervalles sera notée U

x

= S

x(j)^,ôù^xêst^le^plus^petitîntervalleên-

globanttouslessous-intervallesx

(j)^.^Préisons

que es x

(j) ^sont ^disjoints ^et ^triés ^par ^borne

inférieure roissante,'est-à-dire

x

_(j)

< x

_(j+1)^.

Nousonsidérons dans e papier lesCSPs nu-

mériquesdénisparunensembledeontraintes

C

= { c

1

, . . . , c

m

}

^, ^mettant^en^jeu^le^veteur^de

variables

X = (x

1

, . . . , x

n

)

^dont^les^valeurs^sont

n

) ≤ y, ∀ x

i

∈

^xⁱ

, 1 ≤ i ≤ n

End'autrestermes,yestunintervalleonte-

nantlesvaleursde

f

^lorsque^les^valeurs^des^in-

onnuessontrestreintes àlaboîteX.

Lamanièrelaplussimplede aluleretin-

tervalle est de substituer tous les opérateurs

mathématiques, les onstantes et les variables

parleurextensionauxintervalles.Unearithmé-

tiquedesintervallesétenduepermetdealuler

uneuniond'intervallesontenantlesvaleursde

f

ênâppliquant^le^même^prinipe.^Parêxemple,

soit

f (x) = √ x

^pour

x ∈

^x

= [4, 9]

^. ^L'évalua-

tionde

f

^par^rapport^à^x^estl'intervalle

[ − 3, 3]

^,

alorsquel'uniond'intervalles ontenanttoutes

lesvaleursde

f

^est

[ − 3, − 2] ∪ [2, 3]

^.

2.3 Consistanesloales

La plupart des solveurs de ontraintes sont

basés surlaHull-onsistane[15,2℄oulaBox-

(4)

manièreinformelle,soit

c

j ^une^ontrainte

n

^-aire

déniepar

f

j

(x

1

, . . . , x

n

) = 0

^.

c

j^est^onsistante

si pour haune desesvariables

x

i^, ^les^bornes

x

_i^et

x

i^possèdent^un^support^dans^les^domaines

desautresvariables.

Leltragedesdomainesonsisteàappliquer

itérativement un opérateur de rédution asso-

iéàhaqueouple

(c

j

, x

k

)

^.^Ces^opérateurs^ré-

duisent les bornes des domaines de

x

k ^en ^al-

ulant une approximation par intervalle de la

fontion de projetion

π

^k_j^, ^qui ^exprime ^la ^va-

riable

x

k^en^fontion^des^des^autres^variables^de

c

j^. ^Notons ^que l'évaluation exate de

π

_j^k ^n'est

en général pas un simple intervalle, mais sou-

vent une uniond'intervalles omme le montre

lagure1.

00000 00000 11111 11111

000000000000 000000000000 111111111111 111111111111 1

16

−2 −1 1 4

y

c:y=x²

x

X

x

(1)

x

(2)

Fig. 1 Considérons laontrainte

c : y = x

²

ave

x ∈ [ − 2, 4]

^et

y ∈ [1, 16]

^. ^Les ^fontions

de projetion assoiées sont

π

^x

(y) = √ y

^et

π

^y

(x) = x

²^. L'approximation de

π

^x

(y)

^al-

ulée par la Hull-onsistane ou par la Box-

onsistanesurlesintervallesxetyest

[ − 2, 4]

^,

alors que l'évaluation exate de

π

^x

(y)

^est

[ − 2, − 1] ∪ [1, 4]

^.

L'unedes implantations lespluseaesde

laHull-onsistane(Realpaver[5℄)estbaséesur

laproédureHC4revisequiimplémentelesopé-

rateurs de rédution. Cette proédure alule

une rédution des domaines en parourant la

représentationarboresentedelaontraintedes

feuilles à la raine (propagation asendante)

et inversement (propagation desendante). La

gure 2 illustre l'exéution de HC4revise sur

la ontrainte

c : y = x

² ^ave

x ∈ [ − 2, 4]

et

y ∈ [1, 16]

^. ^La propagation asendante (- gure 2(a)) évalue par intervalle haque noeud

de l'arbreen partantdes feuilles et enremon-

enutilisantlesfontionsdeprojetionsassoiés

auxopérateurs.Parexemple,laprojetionde

c

sur

x

^est

x ← √ y

^;^le^domaine^de

y

^étant

[1, 16]

^,

le domaine de

x

^est ^réduit ^à

[ − 2, − 1] ∪ [1, 4]

^.

HC4reviseidentieuntroudansledomainede

x

^: l'intervalle ouvert

] − 1, 1[

^, ^qui ^n'a ^pas ^de

support pour

c

^lorsque

y

^est ^dans l'intervalle

[1, 16]

^.

y ^

=

2 x

[1,16]

[−2,4]

[0,16]

2 [1,16]

(a)Propagationasendante

^

2 x

=

y [0,16]

2

[1,16] [1,16]

[−2,−1]∪[1,4]

[1,16]

[−2,4]

(b)Propagationdesendante

Fig.2L'opérateurderédutionHC4revise.

LesonsistanesloalesbaséessurHC4revise

identientdondestrousdanslesdomainesdes

variables,'est-à-diredesintervallessurlesquels

plusieursontraintesnesontpassatisfaites.Ces

trouspermettentdealulerunerédutionplus

forte des domaines mais ne sont plus utilisés

après l'étapedeltrage.

La setion suivante montre omment es

trouspeuventêtreexploitéspourorienterlare-

herhedesolutions.

3 Reherhe orientée par les trous

Ce papier présente une nouvelle stratégie

de reherhe, nommée TopSearh (Topologi-

al Searh), dérivée de la bissetion standard.

Contrairementauxstratégieslassiquesdebis-

setion,TopSearhexploiteladistribution des

solutionsàl'intérieurdesdomaines.TopSearh

s'appuiesurlestrousidentiéspendantl'étape

(5)

joints qui ne ontiennent auune solution du

CSP.

Funtion TopSearh(in:X

0

,

^C^out^:

S

⁾

%%X0

= (

^x1

, . . . ,

^xn

)

1:

Q ←

^X⁰

2:

S ← ∅

3: while

Q 6 = ∅

^do

4: ExtratX from

Q

5: X

←

^Prune

(

^X

,

^C

)

6: if X

6 = ∅

^then

7: if

w(

^X

) ≤ ω

sol ^then

8: %%

S

^is^a^solution

9:

S ← S ∪

^X

10: else

11: U

X

←

ComputeGaps

(

^X

,

^C

)

12: if somegap existsthen

13: SeletU

xk ^from^U^X

14: Seletg

k(p) ^from^U^x^k

15:

x

¹_k

← x

← m(

^xk

)

21: endif

22:

Q ← Q ∪ (

^x1

, . . . , [x

_k

, x

¹_k

], . . . ,

^xn

)

23:

Q ← Q ∪ (

^x1

, . . . , [x

²_k

, x

k

], . . . ,

^xn

)

24: endif

25: endif

26: endwhile

27: return

S

Fig. 3 Shéma général de l'algorithme

TopSearh.

Ces trous apportent une information signi-

ative à la fois pour hoisir la diretion de

oupe et le point de oupe dans le domaine

hoisi. TopSearh déoupe en priorité les do-

maines pour lesquels des trous ont été identi-

és.Ladéoupeproprementditeonsisteàéli-

miner un troudu domaine séletionné, réant

ainsideuxsous-problèmesdisjoints.

Le shéma général de e nouvel algorithme

est donné par la gure 3. Le domaine ou-

rant est tout d'abord réduit par la proédure

Prune (ligne 5), qui est un algorithme stan-

darddeltragebasé surlaBox-onsistaneou

la Hull-onsistane. Si la boîte ourante X

= (

^x1

, . . . ,

^xn

)

^n'est ^pas ^une ^solution ^du ^CSP,

xi^(ligne^11).

U

X

dénote le veteur d'union d'intervalles

(

^U^x₁

, . . . ,

^U^xn

)

^retourné ^par ^la ^proédure

ComputeGaps(voirsetion4).Pourhaqueva-

riable

x

i^, êtte ^proédure âlule ûne ûnion

d'intervalles

U

xi

= [

xi(j)

,

où xi(j)

= [x

_i(j)

, x

i(j)

]

^dénote ^le

j

^-ème ^sous-

domainedelavariable

x

i^.

Le

p

^-ème^trou^de ^U^xi ^est l'intervalleouvert entrele

p

^-ème^et ^le

p + 1

^-èmesous-domaine:

gi(p)

=]x

i(p)

, x

i(p+1)

[

TopSearhséletionneundomaineontenant

aumoinsuntrou(ligne13).Puis,lespointsde

oupe sont déterminés de manière à éliminer

untroug

k(p) ^(lignes ¹⁵ ^et ^16). ^Plusieurs ^heu-

ristiquespourséletionnerladiretiondeoupe

(ligne13)ainsiqueletrouàéliminer(ligne14)

ontétéétudiées(voirsetion5).

Si auun troun'aété identié,unbissetion

lassiqueest mise enoeuvre (lignes 18-20). La

stratégiedehoixdeladiretiondeoupeuti-

lisée est une des heuristiques dérites dans la

setion1(RR,LF,ouMS).

La setion suivante présente la proédure

ComputeGapsquiolletelestrousaluléspen-

dantlaphasedeltrage.

4 Calul des trous

Cette setion présente un algorithme pour

aluler les trous dans les domaines des va-

riables. TopSearh ollete et intersete les

unions d'intervalles qui ont été alulées dans

haquedomaineparHC4revisedurantlaphase

deltrage.Lesur-oûtengendréestdonlimité

àdesopérationsd'intersetionsentreesunions

d'intervalles.

En d'autre termes, pour haque ouple

(x

i

, c

j

)

^, ^HC4revise âlule ûne ûnion ^d'inter-

valles qui approxime la fontion de proje-

tion

π

_i^(j)^.^Pour^haque^variable

x

i^,l'algorithme ComputeGapsalulel'intersetiondetoutesles

approximationsdes fontionsdeprojetionas-

soiéesauxontraintesmettantenjeu

x

i ^(voir

gure4).

Plus préisément,soient

c

j ûne ôntrainteêt

x

i ^une ^variable ^de

c

j ^et ^soit ^U(j)

xi ^l'approxi-

mation exate de

π

_jⁱ ^qui ^a ^été ^alulée ^pen-

dant laphase de ltrage.L'union d'intervalles

(6)

alulées pour la variable

x

i ^par l'algorithme ComputeGaps (voir gure 5) est l'intersetion

des U

(j)

xi^, ^pour ^toutes ^les ^ontraintes

c

j ^dans

lesquelles

x

i ^apparaît.

000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111

0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000

1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111

c

₂

c

₁

x

1

x

₂

x2

x1

g1(1) ^x1(2) ^g1(2)

x

11(2)

x

11(1)

x

21(2)

x

21(1)

U

1

x1

U

2

x1

Ux1

x1(3)

x1(1)

X1 ^X2

Fig. 4 L'approximation des projetions de

c

1 ^et

c

2 ^sur^la ^variable

x

1 ^sont respetivement U

1

x1

=

^x¹₁₍₁₎

∪

^x¹1(2) ^et ^U2

x1

=

^x²₁₍₁₎

∪

^x²1(2)^.

L'uniond'intervalles générée parComputeGaps

pourlavariable

x

1 ^est l'intersetionde U

1

x1 ^et

U

2

x1 ^: ^U^x1

=

^x1(1)

∪

^x1(2)

∪

^x1(3)^. ^Les ^deux

trousidentiés,g

1(1)^et^g1(1)^,^permettent^d'éli-

minerlesboîtesinonsistantesX

1 ^et^X2^,^dans

lesquellesunedesdeuxontraintesn'estpasvé-

riée.

En terme d'implantation, lealul des U

(j)

xi

aété réalisé parune légèremodiationde la

proédureHC4revise.Pendantl'évaluationdes-

endante del'arbre,lorsque lenoeudonsidéré

estune variable

x

i ^et ^que^des^trous ^ont^été^dé-

tetésdanssondomainexi^,^l'uniond'intervalles

assoiéà

x

i êst întersetéâveÛ^xi^.

Lasetionsuivanteprésenteuneomparaison

entrel'algorithmestandarddebissetionetl'al-

gorithmedereherheTopSearhsurunesérie

deCSPsnumériques.

5 Résultats expérimentaux

Cette setionprésente des résultats obtenus

ave TopSearh sur une série de problèmes

lassiques:

FuntionComputeGaps(in:X

,

^C ^out^:^U^X⁾

%%X

= (

^x1

, . . . ,

^xn

),

^U^X

= (

^U^x₁

, . . . ,

^U^xn

)

1: U

X

←

^X

%%SetU

xi

=

^xi ^for

1 ≤ i ≤ n

2: for eah

c

j

∈

^C^do

3: for eah

x

i

∈

^Vars

(c

j

)

^do

4: U

xi

←

^U^xⁱ

∩

^U^(j)^xi

%%U

(j)

xi ^is^omputed^by^HC4revise

5: endfor

6: endfor

7: returnU

X

Fig.5Computationofthegaps

l'arithmétiquedesintervalles.

- d1 [7℄ est une appliation de la inématique

diretederobots.

- nbody5 [14℄estune instaneduproblèmeà5

orps issudelaméaniqueéleste.

- eo7 et eo8 [19℄ sont deux appliations de

modélisationéonomique.

- ponts [10℄, ext-penta et ext-pentaX [1℄ sont

des problèmes de ontraintes géométriques,

oùext-pentaX est une instane partiulière de

ext-penta.

- aprasse [18℄ est un système d'équations

polynomialesissudesproblèmesdePosso.

n m s

nombredeontraintes,

s

^est^le^nombre^solutions

danslaboîteinitialeX.

Latable 1donne unedesriptionsyntaxique

dees problèmes.

La bissetion lassique est omparée ave

TopSearh;touteslesdeuxsontombinéesave

RR. Le ltrage est réalisé par HC4 seul (ta-