2.2 Rayonnement acoustique d’une structure plane

Vibroacoustique des plaques

2.1 Introduction

Le m´ecanisme de g´en´eration du son par une surface en vibration dans un fluide est le mˆeme quelle que soit la source. Cependant, l’efficacit´e du rayonnement acous- tique en rapport avec l’amplitude du mouvement varie consid´erablement d’une source `a l’autre. En effet, il ne suffit pas que la densit´e du fluide soit modifi´ee localement par la surface en mouvement, il faut ´egalement qu’il y ait propagation, c’est-`a-dire que cet effet soit sensible `a une distance ´elev´ee du corps en vibration.

En comparaison `a un piston rigide , une structure flexible poss`ede un profil vibra- toire qui n’est pas constant sur sa surface (Fig.2.1). L’existence de zones contigu¨es dont les vitessesv sont de signes oppos´es modifie le rayonnement en champ loin- tain en raison des compensations de pression entre cellules voisines. Le ph´enom`ene est bien entendu directement li´ee aux propri´et´es modales de la structure ainsi qu’aux excitations auxquelles elle est soumise.

La section 2.2 est consacr´ee au rayonnement acoustique en champ lointain d’une structure plane. On y d´efinit les notions de modes radiatifs et de vitesse vo-

Baffle Piston Baffle

Plaque

dépression surpression

(a) (b)

+ + -

-

v

v

àv

Fig. 2.1 – (a) piston rigide (b) plaque flexible

lum´etrique qui sont fr´equemment utilis´ees en contrˆole vibroacoustique. La section 2.3 est consacr´ee `a la transmission acoustique des plaques minces. Un paragraphe est ´egalement consacr´e au cas des doubles parois.

2.2 Rayonnement acoustique d’une structure plane

Comme pr´esent´e dans de nombreux travaux consacr´es au rayonnement acoustique des structures [28, 32, 33, 34, 35], la puissance acoustique rayonn´ee peut ˆetre calcul´ee de deux mani`eres diff´erentes ; la r´esolution de l’int´egrale de Rayleigh ou la m´ethode de la transform´ee de Fourier spatiale. Nous pr´esentons ici la premi`ere m´ethode.

2.2.1 Int´egrale de Rayleigh

L’int´egrale ou formule de Rayleigh est une sommation de la contribution d’un ensemble de sources volumiques ´el´ementaires r´eparties sur une surface plane `a la pression acoustique en un point de l’espace en champ lointain.

Soit une source acoustique en champ libre, constitu´ee d’une sph`ere rayonnant `a la pulsation ω et de vitesse volumique Q. La pression en un point de l’espace s’exprime par

p(r, t) =jωρ0 Q

4πre^j(ωt−kr) (2.1)

o`uρ<sub>0</sub> est la densit´e de l’air, etk= <sup>2π</sup><sub>λ</sub> est le nombre d’onde. On a fait l’hypoth`ese que le rayon de la sph`ere est petit par rapport `a la longueur d’onde.

Si on consid`ere que cette source est partag´ee en deux par un plan infini et rigide, la pression vue par un observateur situ´e d’un cˆot´e du plan est

p(r, t) =jωρ02v_enδS

4πr e^j(ωt−kr) (2.2)

o`uv<sub>en</sub> est la vitesse normale `a la surface quand on fait tendre la taille de la source vers z´ero, etδS l’´el´ement de surface correspondant.

Lorsqu’on consid`ere un ensemble de sources ´el´ementaires r´eparties sur la surface rigide on obtient la pression r´esultante par int´egration. C’est ce qu’a fait Lord Rayleigh [36] pour obtenir

p(r, t) = jωρ₀ 2π e^jωt

Z

S

e

v_n(r_s)e^−jkR

R dS (2.3)

z

p r

r_s

x y

v_n R

dS

Fig.2.2 – Syst`emes d’axes et coordonn´ees

dans lequel r_s d´esigne la position de la source ´el´ementaire sur la surface, r le point dans l’espace o`u on d´esire calculerp, etR la distance entre ces deux points (Fig.2.2).

R=|r−r_s| (2.4)

La puissance acoustique rayonn´eeW se calcule en int´egrant la densit´e de flux de puissance acoustique (l’intensit´e acoustique I) sur un h´emisph`ere H entourant la distribution de sources (voir Annexe A). L’intensit´e instantan´ee I(t) est un vecteur d´efini par le produit de la pressionp(t) et de la vitesse particulairev(t) : I(t) =p(t)v(t) (2.5) En r´egime harmonique et dans notre hypoth`ese d’un calcul en champ libre, l’in- tensit´e moyenneI(r) s’exprime par

I(r) = |p(r)|²

ρ0c (2.6)

o`u cest la vitesse du son dans le fluide et ρ<sub>0</sub> sa densit´e (ρ<sub>0</sub>c est l’imp´edance en champ libre). Le calcul de l’´energieW se r´esume `a

W = Z

H

|p(r)|²

ρ₀c dH (2.7)

2.2.2 Application `a une plaque flexible finie

Le calcul de la puissance acoustique rayonn´ee par une plaque baffl´ee en utilisant l’Equ.(2.3) requiert la connaissance de la distribution des vitesses normales v_en sur toute sa surface. Dans le cas d’une plaque simplement appuy´ee, une solu- tion analytique `a cette int´egrale existe pour la pression en champ lointain, c’est `a dire `a une distance bien sup´erieure aux dimensions de la plaque et en champ libre.

z

p r

b a r_s

x y

vn

R

dS

þ

ò

Fig. 2.3 – Syst`emes d’axes et coordonn´ees

Soit une plaque simplement appuy´ee de dimensionsa×b. La vitesse normale en un point (x, y) correspondant au mode (m, n) s’exprime par

e

v_n=_ev_mnsin(mπx

a) sin(nπy

b) (2.8)

o`u _ev_mn est la vitesse modale du mode (m, n). Rempla¸cons _ev_n dans l’Equ.(2.3) par la relation (2.8) on obtient

pmn(x, y, z, t) = jωρ0vemne^jωt 2π

Z a 0

Z b 0

sin(mπ^x_a) sin(nπ^y_b)e^−jkR

R dxdy (2.9)

La solution analytique de (2.9) a ´et´e d´etermin´ee par Wallace [37] en utilisant le syst`eme de coordonn´ees sph´eriques illustr´e `a la figure 2.3. Il a obtenu pour chaque mode ind´ependamment :

p_mn(r, θ, φ, ω) = e^−jkr

r G_mnv_emn (2.10)

avec

G_mn=jkρ₀c ab

2πmnπ²[(−1)^me^−jα−1

(_mπ^α )²−1 ][(−1)ⁿe^−jβ−1

(_nπ^β )²−1 ] (2.11) et

α=kasin(θ) cos(φ), β =kbsin(θ) sin(φ) (2.12) Afin de d´eterminer les propri´et´es de rayonnement d’un mode (m, n), le calcul de l’intensit´e maximale en champ lointain et `a une fr´equence ω donn´ee vaut [32] :

|p(r, θ, φ)|²_max

2ρ₀c =ρ0c|˜vmn|² 2 (k ab

8πr) (2.13)

obtenu pour α =mπ et β = nπ. L’Equ.(2.13) n’est pas valable pour n’importe quelω car l’introduction de α etβ dans l’Equ.(2.12) impose aussi k > mπ/a et k > nπ/b.

Lorsqu’on a unω tel quek¿mπ/aetk¿nπ/b, les termesα/mπetβ/nπ dans Equ.(2.11) sont petits par rapport `a 1 et peuvent ˆetre n´eglig´es. On obtient dans ce cas :

|p(r, θ, φ)|²_max

2ρ₀c = 2ρ0c|˜vmn|²( k ab

π³r mn)² (2.14)

Cette valeur de l’intensite maximum est (mn)⁻² fois inf´erieure `a celle donn´ee par l’Equ.(2.13), et ´egale `a l’intensit´e que rayonnerait une cellule modale seule d’aire ab/mn[32].

La comparaison de (2.13) et (2.14) nous permet de tirer quelques conclusions im- portantes sur les propri´et´es de rayonnement des modes structuraux d’une plaque.

Soitk_b =^q(^mπ_a )²+ (^nπ_b )² le nombre d’onde du mode (m, n) (voir section 2.3.2) : – lorsque k/k_b > 1, l’intensit´e maximum rayonn´ee ne d´epend plus des indices

(m, n) des modes (Equ.(2.13)).

– lorsque k/k_b < 1, l’intensit´e maximum rayonn´ee par une mode (m, n) varie d’un facteur (mn)⁻² et est, au plus, ´equivalente `a l’intensit´e rayonn´ee par une cellule modale rayonnant seule.

Afin d’´etudier les caract´eristiques de rayonnement des modes structuraux, Wal- lace a d´efini un rendement radiatif modal [37]

Fig. 2.4 – Rendement radiatif des modes structuraux d’une plaque simplement appuy´ee ([28, 37])

σ_mn= W

h|v_mn|²iρ₀c ab (2.15)

avec,W la puissance acoustique rayonn´ee par le mode (m, n), eth|v_mn|²iρ₀c abla puissance acoustique rayonn´ee par un piston de mˆeme aire que la plaque oscillant

`a la mˆeme vitesse moyenne. Ce rendement σ est trac´e en fonction du rapport k/k_b (Fig.2.4) pour les premiers modes structuraux.

On distingue deux zones sur cette figure ; l’une en-dessous de k/k_b = 1 dans la- quelle les rendements radiatifs des modes structuraux sont fort diff´erents les uns des autres ; l’autre au-del`a de k/k_b = 1 dans laquelle les rendements radiatifs deviennent ind´ependants de l’ordre des modes et tendent vers l’unit´e.

Dans la premi`ere zone, le rayonnement acoustique est domin´e par les interf´erences

entre les diff´erentes zones de la plaque d´elimit´ees par les lignes nodales. Ceci est illustr´e `a la figure 2.5. Deux demi cellules adjacentes de phases oppos´ees interf`erent destructivement, et le rayonnement global d’un mode donn´e est ca- ract´eris´e par le rapport des phases des demi cellules localis´ees sur le bords ou aux angles de la plaque, cellules qui ne sont pas compens´ees par les cellules voisines.

Ceci nous permet de classer les diff´erents modes structuraux selon le type de rayonnement leur correspondant ; monopolaire, dipolaire ou quadripolaire [32].

Ceci est illustr´e `a la figure 2.6.

Régions sans interférences destructives

Fig.2.5 – Interf´erences destructives entre les cellules de signes oppos´es d´elimit´ees par les lignes nodales. Les cellules non compens´ees (zones gris´ees) caract´erisent le rayonnement acoustique [32].

(1,1) Mode

Monopole Dipole Quadripole

(2,1) (2,2)

Fig.2.6 – Sch´emas de rayonnement pour diff´erents modes structuraux. Les zones gris´ees caract´erisent le rayonnement ; mode (1,1) monopolaire, mode (2,1) dipo- laire, mode (2,2) quadripolaire.

Les observations que nous venons de faire ne concernaient qu’un seul mode. Pour tenir compte de la contribution des M×N premiers modes de vibrations de la plaque il faut sommer sur ces modes et on obtient

p(r, ω) = e^−jkr r

XM m=1

XN n=1

G_mnev_mn(ω) (2.16) L’intensit´e acoustiqueI(r, ω) au point r s’exprime par

I(r, ω) = |p(r, θ, φ, ω)|²

2ρ0c (2.17)

et la puissance acoustique rayonn´ee obtenue par int´egration de l’intensit´e sur un h´emisph`ere vaut

W(ω) = Z 2π

0 dφ Z ^π₂

0 I(r, ω)r²sinθdθ (2.18)

= va

H(ω)[ 1 2ρ₀c

Z 2π 0

Z ^π₂

0 G^HGsinθdθ]va(ω)

o`uva(ω) est le vecteur des vitesses modales de la plaque (Hd´esigne l’Hermitien, c’est `a dire le conjugu´e transpos´e). Cette relation peut ˆetre r´e´ecrite de mani`ere compacte :

W(ω) =va

H(ω)M(ω)va(ω) (2.19)

o`u M(ω) est la matrice des r´esistances de radiation des modes structuraux. La matriceMest r´eelle, sym´etrique et d´efinie positive. Ses ´el´ements diagonaux sont les r´esistances de radiation propres `a chaque mode, et ses ´el´ements non diagonaux sont les r´esistances de radiation mutuelles entre les modes.

La repr´esentation de la puissance acoustique rayonn´ee sous la forme (2.19) montre qu’il existe un couplage entre les diff´erents modes structuraux. En effet, la ma- triceMn’´etant pas diagonale, les modes structuraux ne rayonnent pas ind´epen- damment.

2.2.3 Calcul en champ proche

Le calcul de la puissance acoustique rayonn´ee par une structure plane peut

´egalement ˆetre calcul´ee par une m´ethode en champ proche ”near field” [33] o`u l’on consid`ere, comme pour l’int´egrale de Rayleigh, le rayonnement ´emis par la plaque comme la somme des rayonnements d’un ensemble denpistons ´el´ementaires os- cillant de mani`ere harmonique. Ceci est illustr´e `a la figure 2.7.

Baffle rigide Plaque flexible

S_i

v_i ^{rij j}

Fig. 2.7 – Approximation du rayonnement acoustique d’une plaque baffl´ee par la m´ethode des sources ´el´ementaires.

A une fr´equence ω, la puissance acoustique rayonn´ee par l’´el´ement i, dont les dimensions sont petites par rapport `a la longeur d’onde acoustique, s’exprime par

Wi = Si

2 <(v_i^∗pi) (2.20) o`u Si est l’aire de piston ´el´ementaire, vi la vitesse normale `a la surface et pi la pression au niveau du piston (on en prend la partie r´eelle car seule l’intensit´e active produit un travail et contribue au rayonnement en champ lointain). La puissance totaleW rayonn´ee par la plaque peut alors ˆetre calcul´ee en d´efinissant les vecteursv etp dont les ´el´ements sont les vitesses et pressions de chacun des

´el´ements. La puissance acoustique totale s’exprime par W = Si

2 <(v^Hp) (2.21)

La pression en chacune des positions des pistons ´el´ementaires peut ˆetre exprim´ee en fonction de leurs vitesses respectives,

p=Zv (2.22)

o`u Z est une matrice n×n reliant la pression pi en chacun des ´el´ements `a la vitessev_i de tous les ´el´ements.

En rempla¸cant l’Equ.(2.22) dans l’Equ.(2.21), on obtient la puissance acoustique rayonn´ee en fonction des vitesses normales en un nombre discret de points de la plaque,

W = S_i

2 <(v^HZv) = S_i

4 v^H(Z+Z^H)v=v^HRv (2.23) o`u

R= S_i

2 <(Z) (2.24)

est une matrice r´eelle, sym´etrique et d´efinie positive.

On constate que cette m´ethode des pistons ´el´ementaires ne fait intervenir que les variables locales `a la surface en mouvement, sans devoir calculer explicitement la pression acoustique en champ lointain.

Pour une surface plane baffl´ee, la matriceR est donn´ee par [38]

R_ij = ω²ρ₀S_i² 4πc

Ãsin(kr_ij) kr_ij

!

(2.25) o`ur_ij d´esigne la distance entre les ´el´ementsietj (Fig.2.7).

Comme le montre l’Equ.(2.23), le principe de cette m´ethode est simple, et est va- lable pour n’importe quelle surface plane dans une baffle infini. Seule la connais- sance de la g´eom´etrie de la surface et de la distribution de vitesse sont n´ecessaires, et quelle que soient les conditions limites. Il faut toutefois veiller `a prendre un nombre suffisant d’´el´ements rayonnants discrets sur la plaque en fonction de la plus petite longueur d’onde consid´er´ee.

C’est cette m´ethode en champ proche qui a ´et´e utilis´ee dans les simulations num´eriques de cette th`ese.

2.2.4 Modes radiatifs

Comme la matrice M d´efinie par l’Equ.(2.19) est sym´etrique et d´efinie positive elle peut ˆetre d´ecompos´ee en valeurs et vecteurs propres [34, 39, 40] :

M(ω) =P^T(ω)Ω(ω)P(ω) (2.26)

Troisième mode de radiation

0 5 10 15 20 25 02 46 8101214

−0.2 0 0.2

Quatrième mode de radiation

0 5 10 15 20 25 02 46 8101214

−0.2 0 0.2

Deuxième mode de radiation

0 5 10 15 20 25 02 46 8101214

−0.2 0 0.2 Premier mode de radiation

0 5 10 15 20 25 02 46 8101214

−0.2 0 0.2

Fig.2.8 – Les 4 premiers modes radiatifs pour kl= 0.1.

o`u P est une matrice r´eelle unitaire de vecteurs propres (P<sup>T</sup> = P<sup>−1</sup>), et Ω est une matrice diagonale de valeurs propres positives r´eelles. Notons la d´ependance fr´equentielle de ce probl`eme aux valeurs propres.

Rempla¸cons (2.26) dans (2.19), on obtient

W(ω) =v^H(ω)P^T(ω)Ω(ω)P(ω)v(ω) (2.27) et en posantb(ω) =P(ω)v(ω) on obtient

W(ω) =b^H(ω)Ω(ω)b(ω) = XN n=0

Ω_n(ω)|b_n(ω)|² (2.28) La matriceΩ´etant diagonale, on obtient un expression de la puissance acoustique rayonn´ee comme une somme de contributions ind´ependantes des modes radiatifs.

Les modes radiatifs, d´efinis par b et aussi appel´es modes transform´es, corres- pondent `a des sch´emas de vibration sp´ecifiques constitu´es par une pond´eration par les vecteurs propresPdes vitesses modales des diff´erents modes de la plaque.

Pour illustrer graphiquement les modes radiatifs, on peut appliquer cette mˆeme d´ecomposition en valeurs propres `a la matrice R d´efinie par (2.24). La seule diff´erence est que nous avons ici une formulation en fonction des vitesses en un nombre discrets de points de la plaque `a la place d’une formulation en fonction des vitesses modales des modes structuraux.

W(ω) = v^H(ω)R(ω)v(ω) =v^H(ω)Q^T(ω)Λ(ω)Q(ω)v(ω) (2.29) W(ω) = y^H(ω)Λ(ω)y(ω) =

XI i=0

λ_i(ω)|y_i(ω)|² (2.30) avecy(ω) =Q(ω)v(ω).

Les matricesR etMsont li´ees par :

R(ω) =Φ^TM(ω)Φ (2.31) o`u les colonnes deΦsont les vecteurs propres correspondant aux d´eform´ees mo- dales de la plaque.

La figure 2.8 montre les quatre premiers vecteurs propres (lignes de Q) corres- pondants aux quatres premiers modes radiatifs, pour une plaque rectangulaire de dimensionsL= 1.26m et l= 0.56 m rayonnant dans l’air. Les vecteurs propres sont calcul´es `a une fr´equence correspondant `akl= 0.1. On constate que chaque mode radiatif regroupe une famille de modes structuraux. Seul les modes d’in- dices (impair, impair) contribuent au premier mode de radiation.

Dans la th´eorie du contrˆole du rayonnement acoustique de structures planes, le premier mode radiatif revˆet une importance particuli`ere et fait l’objet du para- graphe suivant.

2.2.5 Vitesse volum´etrique

La vitesse volum´etrique d’une plaque (quelle que soient les conditions limites) est d´efinie comme ´etant l’int´egrale sur sa surface de sa vitesse normale :

V(t) = Z Z

v(x, y, t)dxdy (2.32)

ou en notation discr`ete

V(t) =^X

i

vi(t)Si (2.33)

ce qui correspond `a une somme pond´er´ee par l’´el´ement de surfaceSi des vitesses normales en un nombre discrets de points de la plaque (Fig.2.7). En se r´ef´erant la figure 2.8 on constate qu’`a la fr´equence repr´esent´ee (kl= 0.1) le vecteur propre d´efinissant le premier mode radiatif est pratiquement constant et que la vitesse volum´etrique peut donc ˆetre assimil´ee `a l’amplitude du premier mode radiatif.

Cette correspondance entre la vitesse volum´etrique et le premier mode radiatif n’est pas valable `a toutes les fr´equences. En effet, les vecteurs propres r´esultants de la d´ecomposition de R d´ependent de la fr´equence comme le montre la figure 2.9 dans laquelle le vecteur propre correspondant au premier mode radiatif a ´et´e repr´esent´e `a diff´erentes fr´equences. Le vecteur propre relatif au premier mode radiatif n’est rigoureusement constant que pour kl ¿ 1. La corr´elation entre la vitesse volum´etrique et le premier mode radiatif n’est donc pas pr´ecis´ement d´efinie. En th´eorie on ´etablit cette limite `akl ≈1 [33] bien que des simulations num´eriques portent cette limite jusqu’`akl≈3.5 [41]. Pour une plaque de dimen- sions 1.26 × 0.56 m comme celle que nous ´etudions plus loin, cela correspond respectivement `a des fr´equences de 42Hz et 150 Hzpour un rayonnement dans l’air, et de 184Hz et 650Hzpour un rayonnement dans l’eau.

L’int´erˆet dans le cadre du contrˆole vibroacoustique est qu’une r´eduction de la vitesse volum´etrique produit ´egalement une r´eduction du bruit rayonn´e. Pour un bande fr´equentielle donn´ee, cette corr´elation va ´egalement d´ependre du nombre de modes participant `a la vitesse volum´etrique sur le nombre total de modes structuraux inclus dans cette bande fr´equentielle.

2.3 Transparence acoustique d’une paroi

Dans cette partie, nous d´ecrivons les m´ecanismes physiques intervenant dans la transmission acoustique d’une paroi, ces m´ecanismes d´efinissant l’allure g´en´erale et les points singuliers de la courbe d’isolation acoustique.

La transparence acoustique d’un paroi s´eparant deux milieux est d´efinie comme le rapport de l’´energie acoustique incidente sur l’´energie acoustique transmise par cette paroi :

τ = P_t

P_i (2.34)

On d´efinit ainsi un indice d’affaiblissement acoustique TL (Transmission Loss)

´egalement appel´e R (Sound Reduction Index).

kl=2

0 5 10 15 20 25 02 46 8101214

−0.2 0 0.2

kl=5

0 5 10 15 20 25 02 46 8101214

−0.2 0 0.2

kl=1

0 5 10 15 20 25 02 46 8101214

−0.2 0 0.2 kl=0.1

0 5 10 15 20 25 02 46 8101214

−0.2 0 0.2

Fig.2.9 – Vecteur propre du premier mode radiatif pour diff´erents kl.

R=T L= 10 log 1

τ (2.35)

qui peut ´egalement d’exprimer en octave ou 1/3 d’octave. Dans ce qui suit, nous supposons que le fluide est de l’air (ρ= 1.2 kg/m³ etc= 340m/s).

2.3.1 Paroi infinie

L’affaiblissement acoustique d’une paroi infinie de masse surfaciquemet soumise

`a un onde plane de fr´equence f `a incidence normale s’exprime par la loi des masses[32]

R(0, ω) =T L(0, ω) = 20 log(πf m

ρc ) (2.36)

exprimant queRcroˆıt de 6 dB par octave avec la fr´equence et s’accroˆıt ´egalement de 6 dB par doublement de la masse surfacique.R est ind´ependant de la rigidit´e et de l’amortissement de la paroi ´etant donn´e que l’incidence normale n’induit pas d’ondes de flexion. Cette relation est illustr´ee `a la figure 2.10.

Fig.2.10 – Loi des masses pour une paroi flexible infinie [42]

Pour une paroi infinie, de rigidit´e flexionnelleD, soumise `a une onde plane d’in- cidenceθ par rapport `a la normale, la loi des masses n’est valable qu’en dessous de la fr´equence critiquef_cde la paroi. La fr´equence critique, et d’un mani`ere plus g´en´erale les fr´equences de co¨ıncidencef_co, sont une cons´equence de l’in´egalit´e des vitesses de phase dans l’air et dans la paroi. La vitesse de phase de l’onde de flexion dans la paroic_b est d´efinie par l’´equation de dispersion

x

k k

ò

Front d’onde incident

Fig.2.11 – Transmission d’un front d’onde oblique au travers d’une paroi infinie

c_b=ω^1/2(D

m)^1/4 (2.37)

Soit un front d’onde de nombre d’onde k (Fig.2.11) et d’incidence θ, l’onde de flexion induite dans la paroi aura comme nombre d’onde

k_x=k sin(θ) (2.38)

qui doit ˆetre ´egal `ak_b tir´e de (2.37)

k_b= (ω²m

D)^1/4 (2.39)

Il n’y aura propagation de l’onde suivantxqu’`a la fr´equence de co¨ıncidence d´efinie park_x =k_b :

f_co= c² 2π sin²θ

rm

D (2.40)

Notons que comme sinθ < 1 , il existe une fr´equence de co¨ıncidence minimum appel´ee fr´equence critique

f_c = c² 2π

rm

D (2.41)

La figure 2.12 illustre graphiquement le ph´enom`ene de co¨ıncidence en fonction de la fr´equence :

– lorsque f < f_c, la longueur d’onde de l’onde acoustique projet´ee sur la paroi est plus grande que la longueur d’onde de flexion dans celle-ci, quelle que soit l’angle d’incidence θ. Il n’y a pas d’onde de flexion induite dans la paroi et la transmission acoustique suit la loi des masses (Equ.(2.36)).

– lorsque f > fc, il existe un angle d’incidence θco pour lequel il y a corres- pondance des longueurs d’onde (r´eciproquement, pour θ donn´e, il existe une fr´equence f_co `a laquelle il y a co¨ıncidence). A la co¨ıncidence, la transmission acoustique de la paroi est ´elev´ee et d´epend principalement de l’amortissement structural.

A cause de ce ph´enom`ene de co¨ıncidence l’indice d’affaiblissement acoustique R prend l’allure de la figure 2.13. Dans la zone A la loi des masses est applicable ;

`a la co¨ıncidence (zone B) la courbe pr´esente un creux ; au-del`a de la co¨ıncidence, l’affaiblissement acoustique est li´e `a la rigidit´e de la paroi et croˆıt de 18 dB par octave [42].

!=!c

òco

c

cb

Vitesse du son

Fréquence critique Vitesse de l’onde

de flexion Vitesse

de phase

Onde de flexion Onde de flexion

Onde acoustique

Onde acoustique 1

Fig.2.12 – Ph´enom`ene de co¨ıncidence (d’apr`es [32])

Les valeurs typiques de la fr´equence critiquef_c de quelques mat´eriaux usuels sont calcul´ees `a la table 2.1 pour une ´epaisseur de 1cm.

Masse Module Fr´equence volumique d’´elasticit´e critique ρ_s [kg/m³] E [GP a] f_c [Hz]

acier 7800 210 1180

aluminium 2700 72 1165

verre 2500 62 1240

Tab.2.1 – Fr´equence critique de quelques mat´eriaux usuels pour 1 cm d’´epaisseur

Champ diffus

En pr´esence d’un champ acoustique diffus constitu´e d’ondes planes d’incidences d’´egale probabilit´e et de phases al´eatoires, les ph´enom`enes de co¨ıncidence cor- respondant `a unθdonn´e disparaissent par effet de moyenne, et seule subsiste la singularit´e `a la fr´equence critique [42]. Une expression deR peut ˆetre ´etablie en dessous de la fr´equence critique [2]

Fig. 2.13 – R d’une plaque infinie excit´ee par une onde plane d’incidence non nulle. Zone A : contrˆole par la masse ; Zone B : contrˆole par l’amortissement ; Zone C : contrˆole par la raideur (d’apr`es [42]).

R_d(f < f_c) =R(0, ω)−10 log₁₀(0.23 R(0, ω)) (2.42) et au-dessus de la fr´equence critique

R_d(f > f_c) =R(0, ω) + 10 log₁₀(f fc

−1) + 10 log₁₀η−2 (2.43) ce qui donne une courbe d’affaiblissement acoustique dont l’allure est repr´esent´ee Fig.2.14. Le facteur dominantRdans la zone de co¨ıncidence reste l’amortissement η de la paroi¹, comme l’indique le dernier terme de (2.43).

2.3.2 Paroi rectangulaire finie

La transmission acoustique d’une plaque rectangulaire finie n’est pas fondamen- talement diff´erente de celle d’une plaque infinie (on consid`ere dans ce qui suit une plaque simplement appuy´ee). Soit une onde plane de nombre d’onde k et

1η= 2ξo`uξest la fraction d’amortissement critique

Fig.2.14 – Affaiblissement acoustiqueRd’une plaque infinie soumise `a un champ diffus (d’apr`es [32]).

d’incidence (θ, φ) (Fig.2.15) ; le ph´enom`ene de co¨ıncidence spatiale d´efini pour la paroi infinie (Equ.(2.38) et Equ.(2.39)) s’exprime ici selon les axes x ety. Il y a co¨ıncidence spatiale lorsque les projections de kdans le plan de la plaque

kx = ksinθcosφ (2.44)

k_y = ksinθsinφ

correspondent aux nombres d’onde satisfaisant les conditions impos´ees par les fr´equences propres de la plaque

k_bx = pπ

a (2.45)

k_by = qπ b

avec p et q les indices d’un mode pq. Si k_x = k_bx ou k_y = k_by la co¨ıncidence spatiale est partielle. Lorsque ces deux ´egalit´es sont v´erifi´ees simultan´ement il y

z

k ky

kx

x

y ò

þ

Fig. 2.15 – Onde incidentek. Rep`ere et notation.

a co¨ıncidence spatiale totale, et on peut ´egalement ´ecrire :

ksinθ= s

(p²π²

a² +q²π²

b² ) (2.46)

La condition de co¨ıncidence spatiale n’est pas suffisante pour que l’onde incidente se transmette `a la paroi. En effet, les ondes de flexion ne peuvent exister dans la paroi qu’aux fr´equences propres de celle-ci (co¨ıncidence fr´equentielle) :

ω_pq= sD

m(p²π²

a² + q²π²

b² ) (2.47)

Pour un onde d’incidence (θ, φ) et de pulsationω, il existe un modepqtel que les relations (2.46) et (2.47) sont v´erifi´ees simultan´ement (co¨ıncidence spatiale totale et co¨ıncidence fr´equentielle). Il y correspond la fr´equence de co¨ıncidence :

f_coin= rm

D c²

2πsin²θ (2.48)

A cette fr´equence, la transparence acoustique de la paroi sera particuli`erement faible. Pour les autres fr´equences o`u il y a co¨ıncidence fr´equentielle et co¨ıncidence spatiale partielle, c’est `a dire

ω = ω_pq (2.49) ksinθcosφ = pπ

a ou

ω = ω_pq (2.50)

ksinθsinφ = qπ b

la transparence acoustique pr´esentera ´egalement une faiblesse mais moins pro- nonc´ee. On parle de pseudo-co¨ıncidence.

En r´esum´e, la figure 2.16 montre l’indice d’affaiblissement acoustique R d’une plaque finie excit´ee par une onde plane d’incidence (θ, φ).

Dans le cas d’un champ acoustique diffus, comme pour la paroi infinie, les singu- larit´es modales sont att´enu´ees et liss´ees, et seul le ph´enom`ene `a la fr´equence de co¨ıncidence conserve une certaine importance.

2.4 Doubles parois

La transmission acoustique des doubles parois est un probl`eme complexe ; les nombreux param`etres entrant en ligne de compte s’opposent au raffinement des mod`eles th´eoriques disponibles dans la litt´erature pour les simples parois. Des mod`eles num´eriques et empiriques sont en g´en´eral pr´ef´er´es.

Les ph´enom`enes particuliers aux doubles parois intervenant dans la transmission acoustique peuvent ˆetre illustr´es analytiquement, en consid´erant le cas de deux parois infinies de masse surfacique m<sub>1</sub> et m<sub>2</sub> s´epar´ees d’une distance dpar une lame d’air et soumises `a un champ acoustique d’incidence normale [32, 42]. L’in- dice d’affaiblissement acoustique de cette double paroi est repr´esent´e Fig.2.17 et doit ˆetre compar´e `a la loi des masses d´efinie pr´ec´edemment pour la simple paroi

`a la Fig.2.10.

Aux basses fr´equences, l’indiceRsuit la loi des masses et la double paroi se com- porte comme une simple paroi de masse m_t=m₁+m₂ avec un indice R(0, m_t).

Le premier point caract´eristique modifiant la loi des masses est le ph´enom`ene de r´esonance masse-air-massecorrespondant au mouvement en opposition de phases des deux parois `a la pulsation

Fig.2.16 – Affaiblissement acoustiqueR d’une plaque finie excit´ee par une onde plane d’incidence (θ, φ) [42].

ω₀ = s

(ρ₀c²

d )(m₁+m₂

m₁m₂ ) (2.51)

La lame d’air s´eparant les deux parois agit comme un ressort de rigidit´e surfacique ρ₀c²/d. On notera sur la figure 2.17 que le rapport des massesm₁/m₂ influence non seulement ω₀ mais ´egalement l’importance de la diminution de R `a cette fr´equence. Une double paroi dissym´etrique (m1 Àm2 oum2Àm1) est favorable

`a la r´eduction de l’effet de r´esonance masse-air-masse. Au-del`a deω₀, la paroi du cˆot´e ´emission se comporte comme un syst`eme masse-ressort dont le mouvement est induit par la paroi excit´ee et l’indiceR augmente de 18 dB/octave :

R(ω)'R(0, m_t) + 40 log₁₀(ω/ω₀) (2.52) Cette croissance importante de R illustre l’avantage des doubles parois sur les simples parois dont la croissance est limit´ee 6 dB/octave. Cette croissance n’est cependant valable que pourkd¿1. Lorsquekd >1, les ph´enom`enes der´esonance de cavit´eentre les deux parois entrent en jeu. La courbeR pr´esente des minima

!

kd= 1=2

Fig.2.17 – Affaiblissement acoustique R d’une double paroi infinie en incidence normale pour diff´erents rapports de masse des deux parois [32]

correspondant aux r´esonances (kd = nπ) et des maxima aux anti-r´esonances (kd= (2n−1)π/2). La valeur des maxima vaut

R(ω)'R(0, m1) +R(0, m2) + 6dB (2.53) et il est int´eressant de noter qu’on se trouve dans un cas plus favorable lorsque m₁=m₂, ce qui est en opposition avec ce qui se passe `a ω₀.

Pour les cas plus complexes des champs diffus et des doubles parois finies, nous renvoyons le lecteur vers les ouvrages sp´ecialis´es [32, 42].

2.5 Conclusions

Dans ce chapitre nous avons abord´e certains aspects du rayonnement acoustique et de la transparence acoustique des structures planes.

A partir de l’int´egrale de Rayleigh nous avons mis en ´evidence le couplage exis- tant entre les contributions au rayonnement acoustique des modes structuraux de la plaque. La notion de modes radiatifs repr´esentant de mani`ere ind´ependante la contribution au rayonnement acoustique des diff´erents modes structuraux a

´et´e introduite. Les modes radiatifs permettent de classer en diff´erentes familles les modes fort rayonnants et les modes peu rayonnants. Cette distinction est importante en contrˆole actif du bruit afin de cibler correctement les objectifs du contrˆole, en dessous de la fr´equence critique. En basse fr´equence (kl < 1), il existe une corr´elation entre la vitesse volum´etrique d’une plaque et l’ampli- tude du premier mode radiatif, celui-ci ´etant responsable de la majorit´e du bruit rayonn´e. Le contrˆole de la vitesse volum´etrique doit donc s’accompagner d’une att´enuation du rayonnement acoustique. Pour des structures dont les dimensions caract´eristiques sont de l’ordre du m`etre (vitrages, parois,...), cette att´enuation s’op`ere `a des fr´equences tr`es basses, `a la limite inf´erieure du spectre audible.

Bien que la vitesse volum´etrique permette des simplifications importantes dans la conception de capteurs de rayonnement acoustique, son efficacit´e est limit´ee.

L’int´erˆet qui lui est port´e dans la litt´erature nous semble un peu excessif mais son utilisation dans notre strat´egie de contrˆole `a faible autorit´e semble justifi´ee.

Par la suite, la transparence acoustique d’une paroi a ´et´e d´efinie et nous avons pr´esent´e les points singuliers (fr´equence critique, co¨ıncidences et pseudo-co¨ınci- dences) et les tendances asymptotiques (loi des masses en dessous de la fr´equence critique,...) de la courbe d’affaiblissement pour quelques cas particuliers. Le cas des doubles parois a ´et´e bri`evement pr´esent´e pour des parois infinies, et le ph´eno- m`ene der´esonance masse-air-masse propre aux doubles parois a ´et´e d´efini.