de la propagation lumineuse en fibres optiques et caractérisation des phénomènes ultracourts associés

Université libre de Bruxelles

Faculté des sciences appliquées Service d’optique & d’acoustique

Dynamique non linéaire vectorielle

de la propagation lumineuse en fibres optiques et caractérisation des phénomènes ultracourts associés

Promoteur de thèse : Marc Haelterman

Année académique -

Dissertation originale

présentée par Pascal Kockaert

en vue de l’obtention du grade

de docteur en sciences appliquées

© , Pascal Kockaert

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matériel. Ceci implique notamment qu’il ne peut être transmis électroniquement que dans un format

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Remerciements

La gentillesse a pour tombeau l’ingratitude humaine.

AlfredDEMUSSET(1810-1857)

C ^omme j’aimerais être à même de remercier tous ceux qui de près ou de loin ont permis la réalisation de ce travail de thèse. Malheureusement, bien que je reconnaisse humblement ignorer si je me résume à la somme de mes actes, je suis convaincu d’être le produit des interactions avec les gens qui m’entourent. Espérer définir chacune des contributions et les suites qu’elles ont eues serait irréaliste et c’est à regret que j’y renonce. Je me contenterai de remercier celles et ceux qui m’ont entouré durant ces dernières années ou dont l’apport scientifique est indéniable.

À ce titre, je tiens à remercier mon père qui m’a donné le goût d’observer la nature et le désir d’ou- trepasser l’état de fascination qu’elle procure pour la comprendre par la raison. D’un point de vue plus pratique, il a induit en moi la curiosité de savoir ce qui se cache derrière tous les boutons que je manipule.

En bref, c’est lui qui a fait de moi un « chipoteur

».

Je dois à ma mère le succès de mes études. Grâce à son soutien subtilement dosé, elle m’a permis de vivre mes années de scolarité avec sérénité et efficacité. Ses qualités en la matière n’ont pas failli avec le temps puisqu’elle s’est astreinte à une relecture d’élagage des premiers jets de ce travail. Je profite de l’évocation de mes jeunes années pour remercier tous les enseignants qui s’y sont succédés, à commencer par ceux qui ont posé les premières pierres de la lecture et de l’écriture.

Au rang de mes professeurs, je pourrais ranger Marc Haelterman, Philippe Emplit et Fabien De Schryver, mais j’aurais quelques scrupules à les cantonner à ce rôle. Je préfère les inclure au sommet du petit groupe de personnes chez qui on sent vibrer la fibre optique et qui m’ont offert les discussions optico-physico-philosophiques les plus passionnées que j’aie eues. J’inclus parmi ces quelques personnes capables de converser de photons en des lieux et des temps où l’œil n’en voit plus, Stéphane

, Gregory, Philippe

, Antonio, Gaetan et Eddy. Nos partages d’impressions m’ont permis de comprendre un peu mieux certaines notions que je pensais naïvement avoir acquises dans des livres...

Plus réservés mais tout aussi passionnants furent mes échanges avec les professeurs Paul Mandel, Claude Froehly et Guy Millot.

Tant que j’en suis à égrener des noms, autant me lancer dans l’exercice subjectif et réducteur d’y coller quelques étiquettes.

Marc est tout d’abord mon promoteur de thèse, toujours disponible et dont la justesse des conseils n’a d’égale que la liberté de les appliquer qu’il m’a toujours laissée. Le côté détendu de nos discussions a permis, en général, à mes idées de se clarifier rapidement. Grâce à sa simplicité, je n’ai pas eu de mal à lui dévoiler mes ignorances qu’il a toujours su combler avec efficacité. Dans les périodes de succès, son enthousiasme a été le plus gratifiant des remerciements, tandis qu’aux instants moins glorieux, ses encouragements simples et sincères m’ont apporté des bouffées d’ardeur au travail. Ensuite, une fois les idées secouées et les résultats obtenus, il m’a appris à les présenter sur la scène internationale et m’a communiqué la confiance nécessaire pour parler devant un parterre de scientifiques. D’un point de vue plus personnel, Marc est aussi l’heureux papa de Loïc et Henri avec qui j’ai eu le plaisir de partager quelques jours à Hœdic ; l’impressionnant grimpeur qui m’a transmis sa passion pour l’escalade en salle et, cerise sur le gâteau, un cycliste quotidien. Pour son soutien permanent, les innombrables idées et réponses qu’il m’a fournies, nos émotions sportives et la confiance dont il m’a gratifié, je tiens sincèrement à le remercier. Enfin, dans le cadre de ce travail, je le remercie pour sa relecture attentive qui a généré de très nombreuses améliorations.

Philippe

est beaucoup plus qu’un chef de service. Ce qui m’a tout de suite frappé chez lui, est son sens profond de l’équité. De temps à autre je me dis que c’est grâce à lui que le mot « civisme »

∗

À prendre dans l’acception belge du terme

i

mérite encore de figurer dans les dictionnaires. D’un point de vue plus scientifique, sans lui, il n’y aurait pas de laboratoire dans notre service et sans son entrain à partager ses connaissances expérimentales, on n’y travaillerait pas... J’ai appris de lui une quantité incroyable de détails concernant le laboratoire. Pris séparément, ils peuvent tous paraître insignifiants, mais réunis, ils me permettent de faire face au quo- tidien d’un expérimentateur : beaucoup de gestion de problèmes pratiques et un soupçon de physique.

Sur le plan administratif Philippe m’a fait l’honneur (ressenti autrement sur l’instant) de me confier des responsabilités qui m’ont forcé à prendre conscience de ce que signifie la gestion d’un service dans une université. Que ce soit au niveau de la recherche des budgets, du contact avec les sociétés ou de l’im- plication dans les commissions facultaires, il m’a souvent incité à aller de l’avant et m’a fasciné par sa connaissance des rouages de notre Alma mater. Enfin, tout ceci dresserait un portrait bien austère de sa personnalité si je n’ajoutais que je me suis délecté de ses perpétuelles boutades, que j’ai apprécié sa bonne humeur permanente et son sens strict de la hiérarchie... à un seul niveau.

Fabien est sans conteste le spécialiste de l’optique classique qui m’a judicieusement conseillé chaque fois que j’ai dû maîtriser un front d’onde, réaliser un collage particulier ou obtenir proprement des interférences. Je le remercie pour le plaisir qui se lit dans ses yeux quand on lui soumet une question d’optique et lui décerne la palme du meilleur voisin de bureau que j’aie jamais eu.

Freddy, par sa dextérité, a permis de transférer les conseils réunis du trio Marc-Philippe-Fabien des limbes de l’imagination à la table de manipulation. Je le remercie pour toutes les pièces qu’il m’a fabri- quées. D’apparence anodine, elles ne figurent bien souvent pas sur les schémas de montage mais sont pourtant indispensables.

Dmitri, m’a initié à la manipulation des fibres et de quelques appareils du laboratoire. Ses conseils dis- tillés avec parcimonie ont toujours été d’une profonde pertinence. Quelques montages subsistent encore pour témoigner de son ingéniosité et de son habileté à concevoir des éléments complexes et précis.

Stéphane

est une institution à lui seul. Au risque de paraître l’idôlatrer, je dois le remercier pour avoir répondu inlassablement à la multitude de questions dont je n’ai pas hésité à l’assaillir, pour m’avoir initié au travail du laboratoire ainsi qu’à de puissants outils informatiques. Dans un registre plus lu- dique, il m’a fait découvrir le karting et permis d’atteindre le sommet de certaines voies d’escalade que je n’aurais terminées s’il ne m’avait guidé pas à pas. Enfin, je salue en lui le joyeux compagnon de ski, ama- teur incontesté du fromage fondu et auteur des jurons les plus empreints de générosité que j’aie jamais entendus.

Nadège a très vite confronté sa langue du pays des mot caché troubadours à notre parler du nord. Cela m’a permis d’éliminer quelques-unes des tournures erronées qui peuplent mon verbiage quotidien. Experte en techniques culinaires, elle a souvent attisé notre gourmandise sans jamais la décevoir. Initiatrice des réunions tardives des membres de notre service, Nadège, a certainement mérité son titre de « présidente du comité des fêtes ». Je la remercie par avance pour la touche qu’elle ne manquera pas d’apporter aux festivités qui accompagneront ma défense de thèse.

Antonio aux multiples surnoms, à la voix chantante et ensoleillée est certainement le théoricien le plus enthousiaste, facétieux et passionné que j’aie eu l’occasion de croiser. Je le remercie pour cette fraîcheur et spontanéité avec laquelle il nous fait le plaisir de revenir de temps à autre à Bruxelles.

Thibaut, Stéphane

, Frédérique et Edouard sont les derniers arrivés de notre service. Je les remercie pour leur bonne humeur quotidienne, pour les quelques escapades à New Rock et leur jeu plus ou moins élaboré au volley. Une mention spéciale est décernée à Fred qui joue son rôle de secrétaire à merveille auprès de Nadège et de son comité des fêtes. Je la remercie également pour sa participation à l’organisation des festivités qui suivront la présentation publique de ma thèse.

Pitou est un satellite de notre service dont la verve truculente ne lasse pas de ravir nos oreilles. C’est aussi un fervent adepte de la virgule bien placée, avec qui j’ai eu de très fructueux échanges techniques tout au long de la rédaction de cette thèse. Je dois à sa méticulosité typographique l’émulation d’avoir forcé la mienne, notre but tacitement avoué étant d’égaler en ce domaine Stéphane

et ses incompréhensibles tours de passe-passe TEXniques.

Gaetan, Philippe

et Gregory sont des amis avec qui j’ai eu la chance de faire mes études. Gaetan m’offre le plaisir de pinailler dans des discussions futiles ou graves. Son affection pour notre belle langue

ii

le pousse, aidé en cela par Philippe

, à me proposer des jeux puérils auxquels je me plie sans trop me

faire prier. C’est également un compagnon de ski très stylé. Philippe

m’impressionne par la quantité de choses qu’il mène de front. Je le remercie pour son hospitalité Outre-Atlantique et pour les visites qu’il me rend à chacun de ses retours, quelle que soit la brièveté de son séjour. Gregory mérite un large éventail de remerciements car il s’inscrit plus ou moins dans toutes les catégories que j’ai pu décrire jusqu’ici. Qu’il s’agisse du « binôme

» actif, du copain de guindaille, de l’opticien passionné, du co-skieur joyeux, du co-grimpeur musclé, du co-visiteur de musée, il s’agit toujours du même Greg. Nul besoin de vous dire qu’il s’est proposé comme lecteur attentif de la première mouture de ce travail. Pour tous les rôles qu’il a joués, je le remercie vivement. En outre, je lui dois ma profonde reconnaissance pour les nombreuses soirées — ou nuits? — qu’il a sacrifiées à la relecture de ce travail qui fut rigoureuse et sans complaisance.

En bon profane éclairé, il a décelé les passages les plus abscons et indiqué les pistes pour les rendre compréhensibles.

Ayant évoqué les sorties, je me dois de remercier Zig’, Faf, Denis, Philippe

, Jacek, Virginie, Laurent pour les nombreux moments passés en leur compagnie. J’ajoute à ces prénoms ceux de mes compagnons de voyage à répétition : Lætitia, Dan, Aude et Lætitiô. Je les félicite et remercie de m’avoir supporté durant les périples fabuleux que j’ai partagés avec eux.

Bien évidemment, je voudrais remercier mon frère et ma sœur, dont la présence à mes côtés du- rant de nombreuses années m’a permis de relativiser l’importance de mes « petites formules » dans la vie quotidienne. Je remercie ma sœur pour m’avoir enseigné très jeune, et par la pratique, ce que sont le dévouement et la générosité. Je remercie mon frère qui, également par la pratique, m’a enseigné la

« gestion des conflits » et éveillé — aidé en cela par mon père — à l’appréciation de l’art. Enfin, pour clore les histoires de famille, je tiens à remercier ma grand-mère, qui m’a initié aux joutes verbales et a toujours placé sur un piédestal les succès scolaires. La dédicace de ce travail s’impose à son égard de façon évidente.

D’un point de vue pratique, je me dois de remercier Karl Drais von Sauerbronn, Gavin Dalzell, Pierre & Ernest Michaux, John Starley et John Boyd Dunlop, dont les efforts conjugués ont permis mes déplacements quotidiens. Toujours d’un point de vue pratique, je voudrais remercier tous les dé- veloppeurs de logiciels libres qui se sont échinés à élaborer les petits outils d’apparences anodines qui permettent d’affronter les tâches informatiques sans appréhension de l’échec. Certains d’entre eux se sont investis avec succès dans des projets d’envergure au rang desquels comptent linux ou l’environnement de rédaction de cette thèse gravitant autour de TEX. D’un point de vue plus philosophique, je les re- mercie pour m’avoir démontré qu’un ordinateur est effectivement un système déterministe et même...

permanent !

Ce travail n’aurait pas la même dimension si les membres du jury ne me faisaient l’honneur de le lire. Je les remercie d’ores et déjà pour les enseignements qu’ils m’apporteront par leur critique, pour le temps qu’ils m’auront consacré et pour les longues distances que certains d’entre eux auront consenti à parcourir.

Enfin, l’ingratitude serait profonde si je ne remerciais le Fonds national de la recherche scientifique qui m’a octroyé sa confiance par le biais de subsides durant la préparation de cette thèse. Je remercie également le Gouvernement belge qui par l’octroi d’un crédit de type « pai

» nous a permis d’acquérir une partie importante du matériel expérimental.

2

∗

C’est le joli nom duquel nous désignons les personnes qui souffrent à nos côtés durant les heures de travaux pratiques.

†Iap

P-

iii

Cette thèse a été soutenue publiquement le 20 décembre 2000 devant un jury composé comme suit : Président : Pr Paul Mandel (ulb)

Secrétaire : Pr Philippe Emplit (ulb) Promoteur : Pr Marc Haelterman (ulb)

Pr Claude Froehly (Université de Limoges) Pr Stefan Wabnitz (Alcatel)

Dr Ir Patrice Mégret (Université de Mons)

Une partie des résultats exposés dans le présent travail a fait l’objet des publications internationales suivantes :

– P. Kockaert et M. Haelterman, « Stability and symmetry-breaking of soliton bound states », Journal of The Optical Society of America B, 16, p. 732-740 (mai 1999).

– P. Kockaert, M. Haelterman, S. Pitois et G. Millot, « Isotropic polarization modulational instability and domain walls in spun fibers », Applied Physics Letters, 75, p. 2873-2875 (no- vembre 1999).

– P. Kockaert, M. Peeters, S. Coen Ph. Emplit, M. Haelterman et O. Deparis, « Simple Am- plitude and Phase Measuring Technique for Ultrahigh-Repetition-Rate Lasers », IEEE Photonics Technology Letters, 12, p. 187-189 (février 2000).

Ces résultats ont également été présentés à des conférences :

– P. Kockaert et M. Haelterman, « Experimental observation of polarization modulational instability in isotropic fibers », in Quantum Electronics Laser Science Conference, qels’99, pré- sentation qwi3 (23-28 mai 1999, Baltimore, Maryland, USA).

– P. Kockaert et M. Haelterman, « Observation of Isotropic Polarization Modulational Insta- bility in Spun Fibers », in Nonlinear Guided Waves and Their Applications, nlgw’99, présenta- tion wb5 (1-3 septembre 1999, Dijon, France).

iv

Table des matières

Introduction 1

1 Équations de S

non linéaires couplées 7

1.1 Questions de vocabulaire . . . .  1.1.1 Non-linéarité . . . .  1.1.2 Soliton ou onde solitaire? . . . .  1.1.3 Caractère vectoriel . . . .  1.1.4 État lié . . . .  1.2 Modélisation de la propagation lumineuse en fibres optiques . . . .  1.2.1 Automodulation de phase et intermodulation de phase . . . . 

1.2.2 Équations couplées décrivant la propagation lumineuse en fibres optiques . . 

1.2.3 Simplification des équations de propagation . . . . 

1.2.4 Phénomènes descriptibles par un système d’équations de Schrödinger nl . 

1.3 Propriétés des équations de Schrödinger nl cubiques couplées . . . . 

1.3.1 Propriétés générales du système . . . . 

1.3.2 Solutions analytiques dans les cas dégénérés . . . . 

1.3.3 Solutions de l’équation de Manakov . . . . 

1.4 Synthèse de ce chapitre . . . . 

2 Instabilité des états liés de solitons vectoriels 27

2.1 Solitons vectoriels dans les fibres isotropes . . . . 

2.1.1 Motivation de l’étude des états liés du premier ordre . . . . 

2.1.2 Approche mathématique . . . . 

2.2 Description analytique de l’état lié . . . . 

2.2.1 Méthode variationnelle . . . . 

2.2.2 Inaptitude de la méthode variationnelle à statuer sur la stabilité . . . . 

2.3 Instabilité de l’état lié . . . . 

2.3.1 Étude par perturbation au premier ordre . . . . 

2.3.2 Détermination des états liés . . . . 

2.3.3 Étude numérique en fibre isotrope . . . . 

2.3.4 Dispositif de commutation tout optique . . . . 

2.3.5 Dépendance de l’instabilité en la biréfringence non linéaire . . . . 

2.4 Particularisation de l’étude au cas de Manakov . . . . 

2.5 Extension aux solitons dans les milieux photoréfractifs . . . . 

2.6 Synthèse de ce chapitre . . . . 

v

3 Observation expérimentale de l’

isotrope 61 3.1 Instabilité modulationnelle de polarisation . . . . 

3.1.1 Approche physique de l’instabilité modulationnelle . . . . 

3.1.2 Approche mathématique . . . . 

3.1.3 Vision en tant que mélange à quatre ondes . . . . 

3.1.4 Instabilité modulationnelle en polarisation elliptique . . . . 

3.2 Évolution de l’instabilité et récurrence de Fermi-Pasta-Ulam . . . . 

3.3 Instabilité modulationnelle et solitons . . . . 

3.3.1 Approche physique . . . . 

3.3.2 Approche mathématique : étude du potentiel . . . . 

3.4 Observations de l’instabilité modulationnelle . . . . 

3.4.1 Considérations d’ordre général . . . . 

3.4.2 Simulations numériques . . . . 

3.4.3 Schéma expérimental . . . . 

3.4.4 Méthodologie . . . . 

3.4.5 Présentation et analyse des résultats . . . . 

3.4.6 Biréfringence linéaire induite . . . . 

3.4.7 Conclusions . . . . 

3.5 Synthèse de ce chapitre . . . . 

4 Caractérisation de phénomènes ultracourts 101

4.1 Représentations d’une impulsion lumineuse . . . . 

4.1.1 Représentation temporelle . . . . 

4.1.2 Représentation spectrale . . . . 

4.1.3 Spectrogramme . . . . 

4.1.4 Sonogramme . . . . 

4.1.5 Distribution de Wigner . . . . 

4.2 Mesure d’une impulsion lumineuse . . . . 

4.2.1 Mesures classiques . . . . 

4.2.2 Méthodes non linéaires . . . . 

4.3 Mesure de trains ultrarapides d’impulsions courtes . . . . 

4.3.1 Présentation théorique de la méthode . . . . 

4.3.2 Réalisation expérimentale . . . . 

4.3.3 Estimation de l’erreur sur la mesure . . . . 

4.3.4 Conclusion . . . . 

4.4 Mesure d’impulsions ultracourtes . . . . 

4.4.1 Principe de la méthode . . . . 

4.4.2 Dispositifs de superposition de spectres décalés . . . . 

4.4.3 Effets « chorochronocycliques » . . . . 

4.4.4 Expérience . . . . 

4.4.5 Mesure de la phase spectrale par utilisation d’un masque . . . . 

4.4.6 Application à la mesure de phénomènes non linéaires . . . . 

4.4.7 Propositions d’amélioration du dispositif . . . . 

4.4.8 Conclusion . . . . 

4.5 Spectres décalés pour les trains ultrarapides . . . . 

4.6 Synthèse de ce chapitre . . . . 

Conclusion 173

vi

A La méthode variationnelle et ses fondements 177 A.1 Minimisation d’une fonctionnelle . . . . 

A.1.1 Définition du problème . . . . 

A.1.2 Solution sous forme d’un système d’équations . . . . 

A.1.3 Généralisation des équations d’Euler-Lagrange . . . . 

A.2 Formalismes lagrangien et hamiltonien . . . . 

A.2.1 Densité lagrangienne et coordonnées généralisées . . . . 

A.2.2 Principe de moindre action . . . . 

A.2.3 Formalisme de Hamilton . . . . 

A.2.4 Adaptation au cas des fonctions dépendant de plusieurs variables . . . . 

A.3 Formulation lagrangienne de l’équation de Schrödinger nl . . . . 

B Dérivées partielles de fonctions de variables complexes 185 B.1 Fonctions de variables complexes : rappels et notations . . . . 

B.2 Dérivée d’une fonction de variables complexes . . . . 

B.3 Dérivées partielles d’une fonction de variables complexes . . . . 

B.4 Exemple d’application : le théorème de Cauchy généralisé . . . . 

B.5 Dérivées partielles et méthode variationnelle . . . . 

B.5.1 Considérations générales . . . . 

B.5.2 Application à l’équation de Schrödinger nl . . . . 

C Rappels sur la polarisation de la lumière 193

C.1 Lumière monochromatique . . . . 

C.1.1 Formalisme de Jones . . . . 

C.1.2 Base des polarisations linéaires . . . . 

C.1.3 Base des polarisations circulaires . . . . 

C.1.4 Vecteur de Stokes . . . . 

C.2 Lumière quasi-monochromatique . . . . 

C.2.1 Généralisation des vecteurs de Stokes . . . . 

D Notations 201

D.1 Champ électrique . . . . 

D.1.1 Dépendance temporelle . . . . 

D.1.2 Base de polarisation . . . . 

D.2 Variables longitudinales et transverses . . . . 

D.3 Indices et exposants . . . . 

Bibliographie 203

1

vii

viii

Table des figures

1.1 Interaction typique de deux solitons. . . .  1.2 Indice de réfraction et coefficient de dispersion dans une fibre optique standart. . . . 

1.3 Solitons fondamentaux brillant et noir. . . . 

1.4 Solutions des équations de Manakov. . . . 

2.1 Soliton elliptique fondamental. . . . 

2.2 Onde solitaire elliptique du premier ordre. . . . 

2.3 Différentes ondes solitaires du premier ordre. . . . 

2.4 État lié d’ordre supérieur. . . . 

2.5 Diagrammes de bifurcation des solitons elliptiques. . . . 

2.6 Rotation des états liés en fonction du recouvrement. . . . 

2.7 Comparaison théorie-simulations. . . . 

2.8 État lié en base de polarisations circulaires. . . . 

2.9 Schéma d’agencement des méthodes numériques. . . . 

2.10 Fonctions propres de valeur propre nulle. . . . 

2.11 Fonctions propres de valeur propre à partie réelle positive. . . . 

2.12 Fonction propre de valeur propre à partie réelle négative. . . . 

2.13 Évolution instable de l’état lié. . . . 

2.14 Évolution des valeurs propres en fonction du recouvrement. . . . 

2.15 Évolution de l’instabilité en fonction de la biréfringence non linéaire. . . . 

2.16 Évolution d’un état de Manakov perturbé en amplitude. . . . 

2.17 Évolution d’un état de Manakov perturbé en phase. . . . 

2.18 Interaction soliton-état de Manakov. . . . 

2.19 Interaction soliton-état lié en milieu photoréfractif. . . . 

3.1 Influence d’une perturbation sur une onde monochromatique. . . . 

3.2 Naissance de l’instabilité modulationnelle. . . . 

3.3 Propagation d’un défaut de proche en proche. . . . 

3.4 Influence d’une perturbation vectorielle sur une onde monochromatique. . . . 

3.5 Naissance de l’instabilité modulationnelle de polarisation. . . . 

3.6 Courbe de gain de l’instabilité modulationnelle scalaire. . . . 

3.7 Gain de l’instabilité modulationnelle de polarisation sur l’axe rapide. . . . 

3.8 Gain de l’instabilité modulationnelle de polarisation sur l’axe lent. . . . 

3.9 Instabilité modulationnelle vue en tant que mélange à quatre ondes. . . . 

3.10 Gain de l’instabilité modulationnelle en fonction de l’ellipticité. . . . 

3.11 Potentiel du modèle à trois modes. . . . 

3.12 Évolution d’une sinusoïde vers un train d’impulsions. . . . 

3.13 Instabilité modulationnelle de polarisation et formation de parois. . . . 

3.14 Potentiel montrant l’existence des solitons de parois de domaines. . . . 

3.15 Soliton de parois de domaines. . . . 

3.16 Schéma expérimental d’observation de l’instabilité modulationnelle de polarisation. . 

ix

3.17 Schéma d’une fibre optique. . . . 

3.18 Schéma d’un contrôleur de polarisation. . . . 

3.19 Spectre expérimental caractéristique de l’instabilité modulationnelle de polarisation. 

3.20 Spectres montrant la présence de conversion Raman. . . . 

3.21 Superposition de spectres expérimentaux pour différentes polarisations incidentes. . 

3.22 Caractérisation de la polarisation mesurée à faible puissance. . . . 

3.23 Disparition de l’instabilité modulationnelle en polarisations circulaires. . . . 

3.24 Spectres pris dans la polarisation de la pompe et son orthogonale. . . . 

3.25 Comparaison des traces d’autocorrélation expérimentale et numérique. . . . 

3.26 Comparaison de l’autocorrélation pour l’instabilité scalaire et de polarisation. . . . . 

4.1 Décomposition d’une impulsion en porteuse, amplitude et phase. . . . 

4.2 Exemple de spectrogramme . . . . 

4.3 Distribution de Wigner d’une impulsion. . . . 

4.4 Schéma de principe d’un autocorrélateur. . . . 

4.5 Principe physique sous-tendant pg frog. . . . 

4.6 Schéma de montage d’un dispositif pg frog. . . . 

4.7 Dispositif de mesure spider. . . . 

4.8 Superposition des champs électriques dans un dispositif spider. . . . 

4.9 Schéma de la méthode dospm. . . . 

4.10 Profil de corrélation obtenu dans la technique dospm. . . . 

4.11 Représentation spectrale d’un train d’impulsions. . . . 

4.12 Schéma de montage expérimental. . . . 

4.13 Allure du spectre associé au train d’impulsions. . . . 

4.14 Allure des spectres en fonction du filtrage dans le plan de Fourier. . . . 

4.15 Impulsion de référence. . . . 

4.16 Battements des modes de l’impulsion de référence. . . . 

4.17 Phase spectrale de l’impulsion de référence. . . . 

4.18 Impulsion de référence reconstruite. . . . 

4.19 Phase temporelle de l’impulsion de référence. . . . 

4.20 Lame à deux épaisseurs. . . . 

4.21 Spectre de l’impulsion soumise à un saut de phase. . . . 

4.22 Expression temporelle de l’impulsion soumise au saut de phase. . . . 

4.23 Spectre après filtrage, présentant des modes latéraux. . . . 

4.24 Erreur commise sur le profil temporel de l’impulsion de référence. . . . 

4.25 Erreur commise sur le profil temporel de l’impulsion perturbée. . . . 

4.26 Superposition de deux spectres décalés. . . . 

4.27 Temps de réponse d’un réseau. . . . 

4.28 Superposition d’impulsions par un réseau. . . . 

4.29 Schéma de superposition de spectres par variation angulaire. . . . 

4.30 Schéma de superposition de spectres par variation angulaire après le réseau. . . . 

4.31 Assemblage de miroirs en rétroréflecteur. . . . 

4.32 Montage permettant un décalage sans délai du spectre. . . . 

4.33 Disposition effective des éléments du montage. . . . 

4.34 Photo de détail du dispositif de rétroréflexion à deux étages. . . . 

4.35 Masque utilisé pour l’alignement. . . . 

4.36 Profil temporel dû au masque placé devant le réseau. . . . 

4.37 Traces de battement permettant de reconstruire la phase spectrale. . . . 

4.38 Transformée de Fourier du profil de battement. . . . 

x

4.39 Différence de phase spectrale relative entre deux impulsions. . . . 

4.40 Phase spectrales après élimination de l’erreur de délai. . . . 

4.41 Spectres obtenus par simulation numérique après propagation dans la fibre. . . . 

4.42 Reproduction du masque permettant une mesure sans battement. . . . 

4.43 Mesure de phase par utilisation d’un masque. . . . 

4.44 Traces temporelles après application d’un masque. . . . 

4.45 Spectres de propagation en fibre isotrope (simulation numérique). . . . 

C.1 Champ électrique de polarisation linéaire. . . . 

C.2 Champ électrique de polarisation elliptique. . . . 

1

xi

xii

Introduction

Man had always assumed that he was more intelligent than dolphins because he had achieved so much... the wheel, New York, wars, and so on, whils all the dolphins had ever done was muck about in the water having a good time.

But conversely the dolphins believed themselves to be more intelligent than man for precisely the same reasons.

DouglasADAMS,“The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy” (1995)

D epuis la nuit des temps, la possibilité de communiquer à distance a constitué un élément es- sentiel dans l’évolution des sociétés. Qu’il s’agisse de protéger la grande muraille de Chine en envoyant des signaux de fumée de jour, en allumant des feux la nuit ou qu’il s’agisse de transmettre des informations sur la position des armées ennemies dans les civilisations grecques, romaines et gauloises en éclairant des phares ; dans tous les cas, la transmission optique fut à la base des différents systèmes utilisés. La rapidité fulgurante à laquelle la lumière se propageait laissait penser que sa transmission était instantanée et il eût été difficile de concevoir un moyen de transmission qui fût plus rapide. Avec le recul des dizaines de siècles qui se sont écoulés depuis lors, on peut qualifier ces premiers systèmes de télécommunication de « liaisons point à point utilisant la lumière comme support de l’information codée de manière discrète ». L’ambition de ces systèmes était fondamentalement de transmettre des informations utilitaires à caractère binaire, comme la présence ou l’absence d’ennemis. Des distances de plusieurs centaines de kilomètres pouvaient être couvertes en quelques heures.

En , Robert Hooke relata la première expérience de transmission analogique d’information par fil. Celui-ci conduisait les ondes acoustiques qui reliaient deux caisses de résonance sur lesquelles étaient tendues des membranes. Le dispositif servit de jeu quelques années plus tard et permit d’at- teindre des transmissions sur huit cents mètres. La limitation de ce dispositif ingénieux était due à l’atténuation rapide du signal qui se propageait.

Cette brève incartade dans le domaine de la transmission analogique fut vite oubliée et laissa le champ libre, en , au Sémaphore de Claude Chappe. Celui-ci n’était qu’une extension ingénieuse des signaux de fumée à la transmission d’information non binaire. La position de grands bras articulés s’observait de loin à la lunette puis était répétée de relais en relais. Le système était inactif la nuit et fortement dépendant des conditions météorologiques.

Quelques années plus tard, en , le système de Samuel Morse introduisit deux modifications majeures. En passant d’un support optique de l’information à un support électrique, il rendit la trans- mission d’information indépendante du milieu ambiant et il introduisit dans le même temps le guidage du signal transmis. Les contraintes de l’utilisation du câble se firent sentir lorsqu’il s’agit de traverser les mers et océans. Le défi était important et la pose du premier câble transatlantique fut entamée par deux échecs en  et  suivis d’une réussite en . En , il était possible de faire transiter un message autour de la terre en neuf minutes. La longue durée d’une telle transmission était due au fonctionnement du réseau qui nécessitait des interventions humaines pour répéter les messages ou établir des connexions.

En , l’invention de Graham Bell, déjà nommée « téléphone » introduisit le glissement des communications vers la transmission analogique. On vit apparaître différents systèmes basés sur l’uti- lisation des lignes téléphoniques peu ou pas modifiées. C’est ainsi qu’une nouvelle incursion dans le domaine du transfert analogique fut perpétrée par Edouard Belin et son autographe qui permettait de transmettre des documents écrits ou des photographies avec un rendu des niveaux de gris. L’évolution



 Introduction

du support de l’information se fit également : les premières expériences de télégraphie reposaient sur un dispositif à électricité statique qui fut remplacé par la transmission d’un courant alternatif modulé.

Ce principe permit de réaliser les premiers multiplexages de signaux en fréquence.

Parallèlement au développement des communications par câble, la transmission hertzienne appa- rut. Une première ébauche eut lieu en  et son avènement en . La transmission dans l’espace libre alors appelé « éther » semblait un atout car elle ne contraignait plus à limiter les communications aux seules villes reliées par câbles. Par rapport aux communications optiques, les ondes hertziennes étaient quasiment insensibles aux conditions météorologiques et certainement aux levers et couchers de soleil.

Que ce soit au niveau des communications câblées ou aériennes, la course aux ondes porteuses plus rapides était entamée. Les signaux les plus complexes à transmettre étaient acoustiques et limités à une bande de fréquences de trois kilohertz. Plus l’onde modulée était de fréquence élevée, plus on pouvait placer de canaux en parallèle sur un même câble. Cette réalité n’a pas changé et motive encore nombre de recherches actuelles. Ce qui s’est modifié au cours du temps, c’est le support. Pour la propagation aérienne, il n’a pas changé et, fort heureusement, sa bande passante a toujours été relativement élevée.

Par contre, les câbles ont évolué progressivement vers la géométrie coaxiale qui permet d’augmenter la fréquence de l’onde porteuse. Cette évolution a petit à petit rapproché les signaux des fréquences optiques sans jamais les atteindre.

Au début des années , lorsque les premiers lasers apparurent, il eût été impossible d’utiliser les fibres optiques pour transporter la lumière sur de longues distances : l’atténuation y était extrêmement élevée, de l’ordre de cinq cents décibels au kilomètre. Les premiers essais de guidage se firent en uti- lisant des lentilles de plusieurs dizaines de mètres de focale qui concentraient de proche en proche le faisceau. Malheureusement, ce dispositif s’avérait totalement inadapté aux changements de direction car ceux-ci entraînaient des pertes énormes. Pour y remédier, on imagina des systèmes de lentilles à gaz à placer aux endroits où le dispositif n’était pas rectiligne. En ligne droite, de tels systèmes permet- taient d’obtenir des pertes de seulement quelques décibels par kilomètre. Après divers essais de guides d’ondes métalliques pleins, puis creux suivis de guides diélectriques creux puis pleins, on en vint à la configuration actuelle des fibres optiques faiblement guidantes, constituées de deux zones diélectriques concentriques dont les indices de réfraction ne diffèrent que de quelques pour mille.

À l’apparition de cette nouvelle structure, les fibres étaient surtout choisies pour leur compacité.

En effet, leur bande-passante n’était pas supérieure à celle des liaisons traditionnelles. Les progrès de la chimie ont permis d’obtenir des fibres dont les pertes au kilomètre avoisinent le cinquième de décibel pour des longueurs d’ondes proches de 1,55 µm. Alors qu’une vitre propre laisse passer 92 % de la lumière à cause de la réflexion aux interfaces, une telle fibre autorise le transfert de 95,5 % de l’énergie sur un kilomètre.

La purification chimique a, en quelque sorte, rendu les fibres optiques aussi efficaces que l’at- mosphère pour la transmission des données, avec l’avantage de rendre le transfert indépendant des conditions climatiques. Cette manière de communiquer présente cependant l’inconvénient de néces- siter l’installation de câbles optiques entre les points de communication. Seuls les gens qui ont accès aux extrémités du câble peuvent capter l’information. En réalité, cet inconvénient peut être considéré comme un avantage lorsqu’on veut relier un grand nombre de personnes sans qu’elles interfèrent et en assurant la confidentialité de leurs échanges.

Le passage des fils de cuivre aux fibres optiques n’a pas résolu tous les problèmes liés à la transmis-

sion de l’information. En effet, même si l’atténuation des signaux est faible, elle reste trop importante

pour permettre des transmissions à très longues distances sans nécessiter d’amplification. Depuis ,

année où les dispositifs d’amplification par fibres dopées à l’erbium ont fait leur apparition com-

merciale, le problème de l’amplification du signal transitant dans une fibre optique a été résolu aux

alentours de 1,55 µm. Avant cela, on utilisait un dispositif de détection convertissant le signal op-

tique en signal électronique, suivi d’un amplificateur du signal électrique et d’un émetteur permettant

Introduction 

de renvoyer un signal optique. On était alors tributaire de la vitesse de traitement du signal par les dispositifs électroniques. Dans le schéma des télécommunications optiques par nuages de fumée, l’am- plification qui vient d’être décrite correspond à la sentinelle qui perçoit le message et le reproduit. Il s’agit manifestement du principal objet de ralentissement de la transmission et l’on peut donc penser que l’existence d’amplificateurs tout-optique repousse les limitations de vitesse de transmission aux limites physiques. Malheureusement, le message doit être encodé, décodé et aiguillé dans le réseau.

Le processus d’aiguillage nécessite de pouvoir dévier les faisceaux, ce qui se fait par l’électronique et souffre de contraintes fortes sur les débits qui peuvent être traités. La fréquence maximale de travail d’un circuit électronique est limitée, pour des raisons physiques, à 50 GHz alors que les longueurs d’onde utilisées en optique permettent théoriquement de dépasser le térabit par seconde.

Nous avons tenté de simplifier l’histoire des télécommunications de sorte qu’elle apparaisse comme un lent retour au principe originel. Le raisonnement qui consiste à comparer la fibre optique à une transmission aérienne est cependant biaisé. La simplification abusive ne provient pas du codage discret de l’information, car celui-ci est effectivement utilisé dans les télécommunications par fibres optiques.

Elle est d’ordre plus fondamental : l’utilisation d’un support matériel implique une interaction entre la lumière et la matière. Cette interaction a l’effet positif de guider l’onde transmise mais elle peut avoir des effets fâcheux. Il en est ainsi de la dispersion qui résulte de ce que la matière répond différemment à des sollicitations dont les fréquences sont différentes. Cet effet ne peut être négligé lorsqu’on utilise comme vecteur d’information des impulsions très brèves. Dans notre société où l’instantanéité est déifiée, l’impatience tend à devenir une vertu. Celle-ci attise naturellement le désir d’atteindre sans cesse de nouvelles performances en matière de télécommunications. Les moyens en place associés aux nouvelles technologies de l’information permettent de transférer de plus en plus de données. Qu’il s’agisse d’images, de sons, de textes ou de logiciels, ces transferts sont de plus en plus volumineux parce que plus rapides, et l’on s’évertue à les rendre plus rapides pour qu’ils puissent satisfaire la demande en volume. Cela ressemble, à première vue, à une rétroaction positive dont on ne connaît pas encore le point de saturation... Toujours est-il que cette course aux débits nous incite à revoir les échelles de temps associées aux impulsions. De la picoseconde on est passé à la femtoseconde et l’on commence à flirter avec la limite en deçà de laquelle la notion d’impulsion devient difficile à concevoir : la durée d’une période du champ électrique (5 fs à une longueur d’onde de 1,5 µm).

En confinant l’énergie d’une source à des dimensions aussi restreintes que celles du cœur d’une fibre optique (50 µm ^ ) et en la concentrant sur des temps aussi brefs que quelques dizaines de fem- tosecondes, on malmène la matière à un point tel qu’elle ne puisse se contenter de répondre d’une manière habituelle. La sollicitation est tellement forte qu’on force la fibre à dévoiler une part de son intimité. C’est à ce point précis que l’ingénieur et le physicien se laissent emporter : l’un par le désir de comprendre, et l’autre de maîtriser cette nature encore inconnue. La sujétion de la nature à nos vo- lontés impérialistes n’est cependant pas de tout repos car la matière se fait souvent pudique et parvient à se réfugier derrière des atours de plus en plus ténus mais toujours voilés.

Lorsque l’on prend en compte la dispersion du milieu, on est rapidement contraint à considérer

également sa non-linéarité. La transmission d’impulsions très brèves n’est en effet pas possible en

présence d’une dispersion forte du milieu, car celle-ci signifie que les diverses fréquences composant

une impulsion se propagent à des vitesses fort différentes et que chaque impulsion s’étale en cours

de propagation. Les impulsions très brèves ont également la propriété de présenter des puissances de

crête extrêmement élevées tout en véhiculant très peu d’énergie, ce qui met en évidence la réponse non

linéaire du matériau. Il se fait que dans les fibres standards en silice, au-delà d’une longueur d’onde

de 1,3 µm, la réponse non linéaire du milieu contrecarre la dispersion et permet de préserver le profil

de l’impulsion pourvu qu’il corresponde initialement au profil adéquat. Ces impulsions qui ont la

propriété de préserver leur profil en cours de propagation sont appelées « solitons ». Non seulement,

les solitons sont stationnaires, mais en plus, ils sont stables. On peut donc parvenir à une propagation

sans déformation après une adaptation initiale spontanée du profil.

 Introduction

Au vu de la présentation sommaire à laquelle nous venons de procéder, il semble que la solution parfaite pour transmettre de l’information par fibre optique soit d’utiliser des solitons à une longueur d’onde proche de 1,55 µm. Il s’agit d’une bonne solution mais elle présente un grand désavantage qui provient de l’interaction entre les solitons. Ceux-ci ne peuvent exister qu’en régime non linéaire et, stricto sensu, que s’ils sont seuls. Quand on injecte deux solitons l’un à la suite de l’autre dans une fibre optique, la réaction du milieu vis-à-vis de la seconde impulsion est influencée par la présence de la première. Les solitons possèdent une certaine robustesse qui fait que leur profil est peu modifié par l’interaction mais que leur position relative est altérée de manière croissante au cours de la propaga- tion. La présence d’un soliton au sein d’un train ralentit ou accélère ses voisins et l’on ne peut donc plus définir avec précision l’instant d’arrivée d’une impulsion à la sortie de la fibre. Pour des trains d’impulsions à faibles débits, la variation de l’instant d’arrivée est négligeable par rapport au délai qui sépare deux impulsions et l’utilisation des solitons ne pose pas de problèmes. Au moment où l’on veut augmenter le débit d’information, on est obligé de conserver une séparation très importante entre deux impulsions successives, ce qui limite la quantité d’information véhiculée par le train.

Les pages qui suivent forment une contribution modeste au contournement des deux principaux écueils qui entravent l’exploitation des fibres optiques à leur capacité maximale. Nous les avons déjà évoqués ci-dessus : il s’agit des interactions entre impulsions successives et de la nécessité de passer par des dispositifs électroniques pour insérer et diriger les impulsions dans un réseau de fibres optiques.

À ces limitations qui proviennent en partie du choix du support s’ajoute la difficulté inhérente à l’augmentation des débits d’information qui est d’observer les impulsions lorsqu’elles deviennent très courtes. D’un point de vue strictement axé sur les télécommunications, on pourrait se contenter de détecter la présence ou l’absence d’une impulsion dans un intervalle de temps donné. Néanmoins, la réalisation des sources, des dispositifs de commutation et la caractérisation des effets d’une ligne de transmission nécessitent, pour être complètes, d’observer le profil d’amplitude et de phase des impulsions.

Dans une certaine mesure, ces deux premiers écueils peuvent être évités en exploitant l’aspect vectoriel du champ électrique. Le troisième écueil se distingue par contre des deux autres et ne sera abordé que dans la fin de ce travail. Nous venons d’évoquer la notion de polarisation du champ électrique qui est évidemment présente dans les fibres optiques même si l’on a souvent tendance à l’ignorer. Néanmoins, on assiste depuis peu à un intérêt croissant pour les questions de polarisation du champ électrique lié aux impulsions qui se propagent dans les fibres optiques. Cet aspect est en particulier dû aux désagréments que cause la dispersion des modes de polarisation. Au cours de ces dernières années, les différentes altérations que subissaient les impulsions pendant leur propagation ont été réduites ou supprimées une à une, de sorte que la dispersion des modes de polarisation est devenue l’obstacle le plus important à l’augmentation des débits dans les fibres classiques. Bien sûr, l’intérêt soudain pour la nature vectorielle du champ électrique n’explique pas pourquoi elle fut longtemps négligée. En deux mots, cela s’explique par l’aptitude du modèle scalaire à décrire la propagation dans les fibres optiques les plus couramment utilisées, où la biréfringence est aléatoire.

Le modèle scalaire est complètement englobé dans le modèle vectoriel et toutes les solutions du

premier sont des solutions du second. Néanmoins, la dynamique des phénomènes peut être affectée par

l’existence d’un second mode de polarisation. Parmi les phénomènes spécifiques à un modèle vectoriel,

on retrouve notamment l’existence d’une famille complète de solitons dits « elliptiques » ; l’existence de

l’« instabilité modulationnelle de polarisation » en régime de dispersion normale ; l’existence d’« états

liés de solitons ». Ces trois thèmes nous guideront dans le début de ce travail. Nous commencerons par

une étude théorique des états liés de solitons vectoriels qui sera suivie de l’étude expérimentale de l’in-

stabilité modulationnelle de polarisation telle que prédite par Berkhoer et Zakharov. Ensuite, nous

entamerons l’observation expérimentale des solitons elliptiques. Il ne serait pas plausible d’aborder ce

dernier point sans posséder un dispositif qui permette d’observer les solitons elliptiques. Pour des rai-

sons liées aux niveaux de puissance que requiert l’apparition des solitons elliptiques, les observations

Introduction 

que nous voulons réaliser sont caractérisées par des temps de l’ordre de la centaine de femtoseconde.

À cette échelle de temps et pour la gamme de longueurs d’onde et de puissances que nous utiliserons, il n’existe pas, à l’heure actuelle, de méthode permettant cette observation. C’est pourquoi, l’étape initiale de l’observation des solitons elliptiques sera faite de l’étude et de la réalisation d’un système de mesure d’impulsions ultracourtes.

Les chapitres qui suivent s’organiseront de la manière suivante. Dans le premier, nous préciserons quelques notions physiques déjà approchées dans cette introduction et rappellerons, en le commen- tant, le modèle le plus couramment adopté pour décrire la propagation, en régime non linéaire, des impulsions lumineuses dans les fibres optiques : le couple d’équations de Schrödinger non linéaires cubiques couplées. Nous présenterons séparément la non-linéarité qui se décompose en deux termes : l’un d’automodulation et l’autre d’intermodulation de la phase. À l’intérieur des limites de validité du modèle, nous rappellerons les solutions analytiques connues du couple d’équations de Schrödinger non linéaires, ce qui nous permettra d’aborder les notions de solitons brillants ou noirs, puis les états liés de solitons dont on connaît une solution analytique pour une forme particulière du système dite

« de Manakov ». Enfin, nous citerons quelques domaines de la physique et de l’optique qui font ap- paraître les équations de Schrödinger non linéaires cubiques couplées et auxquels les résultats que nous obtiendrons dans les chapitres suivants pourront être aisément transposés.

Le deuxième chapitre consiste en une analyse théorique de la stabilité des états liés de solitons vectoriels. Nous commencerons par détailler la notion de soliton elliptique et préciserons les diffé- rentes familles que regroupe cette appellation. En particulier, nous distinguerons les solitons elliptiques brillants fondamentaux, les solitons de parois de domaines de polarisation et les états liés vectoriels de solitons. Ces derniers états sont faits de l’assemblage de deux solitons scalaires mais de polarisations orthogonales. Leur rapprochement peut s’accompagner d’une très légère modification des profils tem- porels et d’une rotation de leurs polarisations qui restent orthogonales. Moyennant ces changements, on peut montrer que l’assemblage est stationnaire : il est possible de se placer dans un repère mobile de vitesses longitudinales et angulaires constantes dans lequel les enveloppes des champs soient figées.

L’existence de ces états montre qu’on peut annuler les interactions entre paires de solitons si l’on ex- ploite judicieusement le degré de liberté offert par la polarisation des deux impulsions. Notre étude théorique déterminera dans quelles conditions ces paires constituent des états stables et peuvent servir de chaînon de base pour construire un train d’impulsions qui se propage comme un tout, au sein duquel les interactions entre impulsions voisines s’équilibrent. La confection d’un tel train permet de contourner le problème de l’interaction des impulsions successives mentionné ci-dessus. Notre étude déterminera également les conditions dans lesquelles les paires liées de solitons elliptiques forment des états instables. Dans ce cas, nous transposerons notre étude à la propagation des faisceaux diffractants qui peuvent également être décrits par des équations de Schrödinger non linéaires couplées. Cette transition du domaine temporel au domaine spatial nous permettra de proposer un dispositif de com- mutation totalement optique basé sur l’instabilité mise en évidence. Nous présenterons les avantages liés à ce système dont la mise en pratique devrait permettre de s’écarter du deuxième écueil barrant la route à une exploitation des capacités maximales de la fibre optique pour le transfert d’information.

Avant de terminer ce chapitre, nous étendrons les résultats obtenus au cas des milieux photoréfractifs qui sont décrits par un système d’équations différant légèrement du précédent par le fait qu’il inclut une saturation de la non-linéarité. L’extension aux milieux photoréfractifs est intéressante car en eux les solitons sont plus facilement accessibles à l’expérience.

Dans les chapitres qui suivent, nous quitterons le domaine théorique et aborderons le problème de

la mise en évidence des phénomènes vectoriels prédits par les équations de Schrödinger non linéaires

cubiques couplées. Le processus expérimental peut se détailler en trois phases qui sont la création des

structures à observer, leur propagation et leur observation. La première s’avère simple pour certains

phénomènes mais elle peut également être très complexe. Elle est profondément dépendante de ce que

l’on veut étudier. La deuxième étape dépend principalement du choix du milieu dans lequel se propage

 Introduction

la lumière. Dans notre cas, il s’agira d’une fibre optique dont les propriétés devront être en accord avec le modèle utilisé dans l’étude théorique. La contrainte principale que cela entraînera sera de parvenir à des conditions d’isotropie dans la fibre. Enfin, la troisième étape consistera à observer les phénomènes de durées ultracourtes et donc de posséder un outil de mesure qui soit adapté à des temps si brefs. Il est évident d’un point de vue pratique qu’il vaut mieux s’assurer que l’on dispose d’un milieu propice à l’observation du phénomène, puis des outils nécessaires à leur enregistrement avant de générer des structures complexes. C’est la voie que nous suivrons.

La finalité globale de notre démarche consiste à observer des solitons elliptiques. Au début du troisième chapitre, nous rappellerons que les solitons sont intimement liés à l’instabilité modulation- nelle et plus précisément que les solitons de parois de domaines de polarisation sont liés à l’instabilité modulationnelle de polarisation. En particulier, nous mettrons en évidence l’interaction entre la dis- persion et la non-linéarité qui est à la base de ces deux processus. Lorsque nous aurons constaté que les mécanismes physiques impliqués dans ces deux phénomènes sont identiques, nous pourrons jauger l’adéquation d’une fibre optique à l’observation des solitons de parois de domaines sur base de l’obser- vation de l’instabilité modulationnelle de polarisation. Cette instabilité a déjà été observée plus d’une fois mais dans des conditions pour lesquelles l’accord de phase nécessaire à la création de la modula- tion est en partie assuré par la biréfringence de la fibre, ce qui masque une partie de la dynamique que l’on observerait en milieu isotrope. Outre la mise en évidence de l’existence de cette instabilité prédite depuis trente ans, mais jamais observée, nous vérifierons les différentes prédictions qui lui sont liées et statuerons positivement sur l’isotropie de la fibre. Ce résultat sera obtenu grâce à l’utilisation d’une fibre de type « spun », manipulée avec précaution pour éviter d’induire des contraintes mécaniques qui introduiraient de la biréfringence dans la fibre, ce qui serait propice à la disparition de l’instabilité.

Avant de passer à l’étape finale de la génération et de l’observation de solitons elliptiques, nous devrons être en mesure d’observer finement les structures créées. Étant donnée la brièveté des signaux à caractériser, cette étape se révélera particulièrement délicate. Il existe en effet de nombreuses tech- niques qui permettent de mesurer des impulsions de quelques centaines de femtosecondes mais elles requièrent trop de puissance pour être efficaces sur les impulsions que nous voudrons observer. Face à l’absence de technique adaptée à nos besoins, nous proposerons un principe de caractérisation com- plète des impulsions qui sera dérivé d’une méthode existante mais de plus grande sensibilité, car ne faisant appel à aucun phénomène non linéaire. Nous appliquerons tout d’abord ce principe à la me- sure de trains d’impulsions ultrarapides. La méthode développée à ce stade répondra à un besoin dans le domaine de la caractérisation en amplitude et en phase de trains d’impulsions dont le taux de ré- pétition est de quelques gigahertz. Néanmoins, nous la verrons comme une étape préliminaire à la mise en œuvre d’un système plus ambitieux permettant de caractériser des impulsions uniques ou des trains d’impulsions à bas taux de répétition en amplitude et en phase, en utilisant un dispositif pure- ment linéaire. Nous montrerons l’efficacité de la méthode mais ne pourrons la tester facilement sur un phénomène non linéaire car les différentes sources dont nous disposons ne permettent pas de générer des structures simples — telles les solitons brillants ou elliptiques fondamentaux — aux longueurs d’ondes et puissances qui sont simultanément adaptées à la fibre spun et à la caméra à balayage que nous utiliserons dans la technique de mesure.

Au terme de notre étude, nous aurons démontré la possibilité de se placer en régime d’isotropie

dans une fibre optique, ce qui est nécessaire pour l’observation des différents effets vectoriels non

linéaires prédits par les équations de Schrödinger cubiques couplées. Nous aurons également mis au

point le dispositif qui permettra de les caractériser. Au cours de ce cheminement, outre l’obtention de

résultats théoriques sur la stabilité des états liés de solitons vectoriels, nous aurons pratiqué la première

mise en évidence de l’instabilité modulationnelle de polarisation en milieu isotrope et développé deux

techniques de mesure d’impulsions courtes et ultracourtes purement linéaires.

Équations de S ^CHRÖDINGER

non linéaires couplées 1 Tout a été dit. Sans doute.

Si les mots n’avaient pas changé de sens ; et les sens, de mots.

JeanPAULHAN(1884-1968)

« S mot caché : sorbet olitons vectoriels » est l’expression que nous tenterons d’appréhender dans les pages qui suivent. Pour ce faire, nous choisirons un des contextes physiques dans lesquels ces termes prennent leur sens : la propagation d’impulsions lumineuses en fibres optiques unimodales. Ce choix nous permettra d’amener le concept fondamental qui régit leur existence, à savoir l’équilibre subtil qui se crée entre la dispersion, l’automodulation de phase et l’intermodulation de phase. Nous verrons comment ces phénomènes se transcrivent en termes mathématiques au sein d’un système d’équations non linéaires dites de Schrödinger

. L’énumération des champs d’application physiques et des pro- priétés mathématiques de base de ces équations sera suivie de la présentation de certaines de leurs solutions particulièrement intéressantes, en lesquelles consistent les solitons. En fin de chapitre, nous donnerons l’expression d’une onde solitaire qui se présente sous la forme d’un état lié de solitons. Cette dernière notion clôturera les pré-requis nécessaires à l’étude de l’instabilité de ces états liés.

1.1 Questions de vocabulaire

L’approche physique que nous développons ci-dessous se fait dans le cadre de la propagation d’impulsions lumineuses dans des fibres optiques en régime unimodal. Nous verrons néanmoins à la section .. que ces différentes notions peuvent être décrites dans d’autres contextes physiques. En préambule aux expressions mathématiques, nous présentons ci-dessous quelques notions physiques.

Nous visons ici à fournir un aperçu du contexte dans lequel nous évoluerons et abandonnons, à cet effet, toute prétention de rigueur.

1.1.1 Non-linéarité

Un phénomène qu’on étudie est qualifié de « linéaire » lorsque les effets qu’on observe sont propor- tionnels aux causes. La simplicité d’une telle relation permet d’appréhender intuitivement de tels phé- nomènes avec facilité et de les traiter mathématiquement sans trop de complexité. Le monde qui nous entoure est malheureusement hautement non linéaire. En fait, la plupart des phénomènes peuvent être considérés linéaires tant que les causes sont limitées. Cette approximation est rendue caduque lorsque les causes prennent une importance telle qu’elles détruisent ou altèrent l’environnement du phéno- mène étudié. Prenons l’exemple simple d’une balance. Il semble raisonnable de dire que la position de l’aiguille est proportionnelle au poids de la personne qui s’y installe. Dans ce cas, la cause est la masse de la personne se plaçant sur la balance et l’effet est le déplacement de l’aiguille. Si l’on pèse

∗

que nous noterons parfois « équations

»



 Équations de Schrödinger non linéaires couplées [ Chapitre 1

séparément un bol de soupe et une personne et qu’on additionne les angles décrits par l’aiguille dans ces deux cas pris isolément, leur somme correspond à l’angle que parcourt l’aiguille lorsque la personne ayant absorbé son potage monte sur la balance. L’image prise ici est valable car la masse ingérée par mot caché le dîneur représente un faible excédent de poids. Par contre, si deux personnes de forte corpulence se pèsent séparément, puis que l’une d’entre elles monte sur les épaules de l’autre, la balance n’indiquera pas la somme de leurs poids individuels car son ressort sera arrivé en fin de course. Si trois personnes font une expérience similaire, il risque de ne plus du tout y avoir de balance. Dans ce dernier cas, l’action de la cause (la masse posée sur la balance) sur le milieu dans lequel on étudie l’effet (position de l’aiguille) est évidente, puisque ce milieu est détruit.

La nature non linéaire d’un phénomène rend sa dynamique beaucoup plus complexe. Ainsi, deux phénomènes qui se déroulent indépendamment l’un de l’autre dans un milieu linéaire peuvent se mettre à interagir par l’intermédiaire du milieu lorsque l’intensité de ces effets modifie le comporte- ment du milieu dans lequel ils prennent place. L’exemple souvent évoqué pour illustrer ceci est celui de personnes courant sur un filet de trapéziste fortement tendu. Si deux personnes courent de front, chacune évolue à sa vitesse et elles passent le même temps à traverser le filet que si elles étaient seules.

Faisons maintenant courir dix ou vingt personnes de front. Sous l’effet du poids, le filet va se défor- mer : il sera plus bas au centre du groupe de coureurs. La personne la plus rapide, qui se trouvera à l’avant, verra en permanence un filet incliné vers le haut et sera ralentie. Le coureur le plus lent sera par contre poussé de l’avant. La vitesse des individus ne sera plus la même que s’ils étaient seuls : par leur action sur le milieu, ils auront interagi avec leurs voisins.

1.1.2 Soliton ou onde solitaire?

Une manière simple de définir un soliton, dans le cadre de la propagation d’impulsions en fibres optiques, est de déclarer qu’il s’agit d’une impulsion dont le profil est conservé en cours de propagation.

Néanmoins, la notion de soliton va au-delà de cette définition. En effet, si l’on injecte dans la fibre un soliton rapide à la suite d’un soliton lent, les deux impulsions vont interagir durant un certain temps car leur régime de propagation est non linéaire. Cependant, au terme de cette interaction, on re- trouvera en ordre inversé deux impulsions de mêmes profils, énergies et vitesses qu’avant l’interaction.

Le seul témoin de l’interaction sera la phase des impulsions qui aura varié (cf. figure .).

Un tel comportement lors d’interactions incite à voir les impulsions impliquées comme s’il s’agis- sait de particules conservant leurs énergie, quantité de mouvement et forme. C’est ce caractère de particule que l’on tente de refléter par l’appellation « soliton » qui englobe donc une notion de stabi- lité forte des impulsions qui en sont qualifiées.

Quand on veut désigner une impulsion qui conserve son profil mais ne présente pas une telle robustesse vis-à-vis des collisions, on parle plutôt d’« onde solitaire ». Néanmoins, l’usage a consacré certaines appellations qui s’opposent à cette règle. L’exemple type est celui des « solitons de parois de domaines » qui ne sont en réalité que des ondes solitaires. Quels que soient les abus de langage commis, il est certain que la notion de soliton ne peut être appliquée qu’à une impulsion stable et conservant son profil.

1.1.3 Caractère vectoriel

L’adjectif « vectoriel » implique que nous tiendrons compte de l’orientation du vecteur champ

électrique. La plupart des études de solitons se font dans le cadre d’une description scalaire du champ

électrique. Cette approche permet de décrire avec exactitude l’existence de certains solitons. Néan-

moins, elle est dictée par la volonté de simplifier l’aspect mathématique et masque une partie de la

physique. Nous nous intéressons, dans ce qui suit, à des phénomènes qui ne peuvent être appréhendés

que par une description simultanée des deux composantes de polarisation du champ électrique.